Theorem ppiqp1le 16267

Description: The prime-counting function π cannot locally increase faster than the identity function. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ppiqp1le	⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (π‘(𝐴 + 1)) ≤ ((π‘𝐴) + 1))

Proof of Theorem ppiqp1le

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flqcl 10725	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
2		zq 10042	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⌊‘𝐴) ∈ ℤ → (⌊‘𝐴) ∈ ℚ)
3		1z 9681	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℤ
4		zq 10042	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 ∈ ℤ → 1 ∈ ℚ)
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℚ
6		qaddcl 10051	. . . . . . . . 9 ⊢ (((⌊‘𝐴) ∈ ℚ ∧ 1 ∈ ℚ) → ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℚ)
7	2, 5, 6	sylancl 417	. . . . . . . 8 ⊢ ((⌊‘𝐴) ∈ ℤ → ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℚ)
8	7	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ (((⌊‘𝐴) ∈ ℤ ∧ ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℙ) → ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℚ)
9		ppiqcl 16251	. . . . . . 7 ⊢ (((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℚ → (π‘((⌊‘𝐴) + 1)) ∈ ℕ0)
10	8, 9	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (((⌊‘𝐴) ∈ ℤ ∧ ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℙ) → (π‘((⌊‘𝐴) + 1)) ∈ ℕ0)
11	10	nn0red 9632	. . . . 5 ⊢ (((⌊‘𝐴) ∈ ℤ ∧ ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℙ) → (π‘((⌊‘𝐴) + 1)) ∈ ℝ)
12		ppiprm 16259	. . . . 5 ⊢ (((⌊‘𝐴) ∈ ℤ ∧ ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℙ) → (π‘((⌊‘𝐴) + 1)) = ((π‘(⌊‘𝐴)) + 1))
13	11, 12	eqled 8424	. . . 4 ⊢ (((⌊‘𝐴) ∈ ℤ ∧ ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℙ) → (π‘((⌊‘𝐴) + 1)) ≤ ((π‘(⌊‘𝐴)) + 1))
14		ppinprm 16260	. . . . 5 ⊢ (((⌊‘𝐴) ∈ ℤ ∧ ¬ ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℙ) → (π‘((⌊‘𝐴) + 1)) = (π‘(⌊‘𝐴)))
15		ppiqcl 16251	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⌊‘𝐴) ∈ ℚ → (π‘(⌊‘𝐴)) ∈ ℕ0)
16	2, 15	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((⌊‘𝐴) ∈ ℤ → (π‘(⌊‘𝐴)) ∈ ℕ0)
17	16	nn0red 9632	. . . . . . 7 ⊢ ((⌊‘𝐴) ∈ ℤ → (π‘(⌊‘𝐴)) ∈ ℝ)
18	17	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ (((⌊‘𝐴) ∈ ℤ ∧ ¬ ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℙ) → (π‘(⌊‘𝐴)) ∈ ℝ)
19	18	lep1d 9269	. . . . 5 ⊢ (((⌊‘𝐴) ∈ ℤ ∧ ¬ ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℙ) → (π‘(⌊‘𝐴)) ≤ ((π‘(⌊‘𝐴)) + 1))
20	14, 19	eqbrtrd 4153	. . . 4 ⊢ (((⌊‘𝐴) ∈ ℤ ∧ ¬ ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℙ) → (π‘((⌊‘𝐴) + 1)) ≤ ((π‘(⌊‘𝐴)) + 1))
21		peano2z 9691	. . . . 5 ⊢ ((⌊‘𝐴) ∈ ℤ → ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℤ)
22		prmdcz 12934	. . . . 5 ⊢ (((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℤ → DECID ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℙ)
23		exmiddc 848	. . . . 5 ⊢ (DECID ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℙ → (((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℙ ∨ ¬ ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℙ))
24	21, 22, 23	3syl 17	. . . 4 ⊢ ((⌊‘𝐴) ∈ ℤ → (((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℙ ∨ ¬ ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℙ))
25	13, 20, 24	mpjaodan 810	. . 3 ⊢ ((⌊‘𝐴) ∈ ℤ → (π‘((⌊‘𝐴) + 1)) ≤ ((π‘(⌊‘𝐴)) + 1))
26	1, 25	syl 14	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (π‘((⌊‘𝐴) + 1)) ≤ ((π‘(⌊‘𝐴)) + 1))
27		flqaddz 10753	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 1 ∈ ℤ) → (⌊‘(𝐴 + 1)) = ((⌊‘𝐴) + 1))
28	3, 27	mpan2 429	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (⌊‘(𝐴 + 1)) = ((⌊‘𝐴) + 1))
29	28	fveq2d 5702	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (π‘(⌊‘(𝐴 + 1))) = (π‘((⌊‘𝐴) + 1)))
30		qaddcl 10051	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 1 ∈ ℚ) → (𝐴 + 1) ∈ ℚ)
31	5, 30	mpan2 429	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (𝐴 + 1) ∈ ℚ)
32		ppiqfl 16266	. . . 4 ⊢ ((𝐴 + 1) ∈ ℚ → (π‘(⌊‘(𝐴 + 1))) = (π‘(𝐴 + 1)))
33	31, 32	syl 14	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (π‘(⌊‘(𝐴 + 1))) = (π‘(𝐴 + 1)))
34	29, 33	eqtr3d 2273	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (π‘((⌊‘𝐴) + 1)) = (π‘(𝐴 + 1)))
35		ppiqfl 16266	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (π‘(⌊‘𝐴)) = (π‘𝐴))
36	35	oveq1d 6103	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ((π‘(⌊‘𝐴)) + 1) = ((π‘𝐴) + 1))
37	26, 34, 36	3brtr3d 4162	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (π‘(𝐴 + 1)) ≤ ((π‘𝐴) + 1))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 720  DECID wdc 846   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4131  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088  ℝcr 8184  1c1 8186   + caddc 8188   ≤ cle 8367  ℕ₀cn0 9574  ℤcz 9655  ℚcq 10035  ⌊cfl 10720  ℙcprime 12910  πcppi 16234

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302  ax-pre-mulext 8303  ax-arch 8304  ax-caucvg 8305

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-irdg 6645  df-frec 6666  df-1o 6691  df-2o 6692  df-oadd 6695  df-er 6811  df-en 7027  df-dom 7028  df-fin 7029  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918  df-div 9011  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-n0 9575  df-z 9656  df-uz 9938  df-q 10036  df-rp 10072  df-icc 10314  df-fz 10429  df-fl 10722  df-mod 10781  df-seqfrec 10906  df-exp 10997  df-ihash 11237  df-cj 11629  df-re 11630  df-im 11631  df-rsqrt 11786  df-abs 11787  df-dvds 12580  df-prm 12911  df-ppi 16237

This theorem is used by:  ppiqltx  16281