Theorem ppiqltx 16242

Description: The prime-counting function π is strictly less than the identity. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ppiqltx	⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐴) → (π‘𝐴) < 𝐴)

Proof of Theorem ppiqltx

Dummy variables 𝑤 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ppiqcl 16212	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (π‘𝐴) ∈ ℕ0)
2	1	ad2antrr 492	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℕ) → (π‘𝐴) ∈ ℕ0)
3	2	nn0red 9626	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℕ) → (π‘𝐴) ∈ ℝ)
4		simpr 110	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℕ) → (⌊‘𝐴) ∈ ℕ)
5	4	nnred 9320	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℕ) → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)
6		qre 10035	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℝ)
7	6	ad2antrr 492	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
8		ppiqfl 16227	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (π‘(⌊‘𝐴)) = (π‘𝐴))
9	8	ad2antrr 492	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℕ) → (π‘(⌊‘𝐴)) = (π‘𝐴))
10		fveq2 5695	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 1 → (π‘𝑤) = (π‘1))
11		id 19	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 1 → 𝑤 = 1)
12	10, 11	breq12d 4143	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 1 → ((π‘𝑤) < 𝑤 ↔ (π‘1) < 1))
13		fveq2 5695	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → (π‘𝑤) = (π‘𝑘))
14		id 19	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → 𝑤 = 𝑘)
15	13, 14	breq12d 4143	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → ((π‘𝑤) < 𝑤 ↔ (π‘𝑘) < 𝑘))
16		fveq2 5695	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → (π‘𝑤) = (π‘(𝑘 + 1)))
17		id 19	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → 𝑤 = (𝑘 + 1))
18	16, 17	breq12d 4143	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → ((π‘𝑤) < 𝑤 ↔ (π‘(𝑘 + 1)) < (𝑘 + 1)))
19		fveq2 5695	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = (⌊‘𝐴) → (π‘𝑤) = (π‘(⌊‘𝐴)))
20		id 19	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = (⌊‘𝐴) → 𝑤 = (⌊‘𝐴))
21	19, 20	breq12d 4143	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = (⌊‘𝐴) → ((π‘𝑤) < 𝑤 ↔ (π‘(⌊‘𝐴)) < (⌊‘𝐴)))
22		ppi1 16231	. . . . . . 7 ⊢ (π‘1) = 0
23		0lt1 8455	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 1
24	22, 23	eqbrtri 4151	. . . . . 6 ⊢ (π‘1) < 1
25		nnq 10043	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℚ)
26		1z 9675	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℤ
27		zq 10036	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 ∈ ℤ → 1 ∈ ℚ)
28	26, 27	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℚ
29		qaddcl 10045	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ ℚ ∧ 1 ∈ ℚ) → (𝑘 + 1) ∈ ℚ)
30	25, 28, 29	sylancl 417	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 + 1) ∈ ℚ)
31		ppiqcl 16212	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 + 1) ∈ ℚ → (π‘(𝑘 + 1)) ∈ ℕ0)
32	30, 31	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (π‘(𝑘 + 1)) ∈ ℕ0)
33	32	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (π‘𝑘) < 𝑘) → (π‘(𝑘 + 1)) ∈ ℕ0)
34	33	nn0red 9626	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (π‘𝑘) < 𝑘) → (π‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
35		ppiqcl 16212	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℚ → (π‘𝑘) ∈ ℕ0)
36	25, 35	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (π‘𝑘) ∈ ℕ0)
37	36	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (π‘𝑘) < 𝑘) → (π‘𝑘) ∈ ℕ0)
38	37	nn0red 9626	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (π‘𝑘) < 𝑘) → (π‘𝑘) ∈ ℝ)
39		peano2re 8464	. . . . . . . . 9 ⊢ ((π‘𝑘) ∈ ℝ → ((π‘𝑘) + 1) ∈ ℝ)
40	38, 39	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (π‘𝑘) < 𝑘) → ((π‘𝑘) + 1) ∈ ℝ)
41		nnre 9314	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ)
42	41	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (π‘𝑘) < 𝑘) → 𝑘 ∈ ℝ)
43		peano2re 8464	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
44	42, 43	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (π‘𝑘) < 𝑘) → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
45		ppiqp1le 16228	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℚ → (π‘(𝑘 + 1)) ≤ ((π‘𝑘) + 1))
46	25, 45	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (π‘(𝑘 + 1)) ≤ ((π‘𝑘) + 1))
47	46	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (π‘𝑘) < 𝑘) → (π‘(𝑘 + 1)) ≤ ((π‘𝑘) + 1))
48		1red 8342	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (π‘𝑘) < 𝑘) → 1 ∈ ℝ)
49		simpr 110	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (π‘𝑘) < 𝑘) → (π‘𝑘) < 𝑘)
50	38, 42, 48, 49	ltadd1dd 8886	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (π‘𝑘) < 𝑘) → ((π‘𝑘) + 1) < (𝑘 + 1))
51	34, 40, 44, 47, 50	lelttrd 8453	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (π‘𝑘) < 𝑘) → (π‘(𝑘 + 1)) < (𝑘 + 1))
52	51	ex 115	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((π‘𝑘) < 𝑘 → (π‘(𝑘 + 1)) < (𝑘 + 1)))
53	12, 15, 18, 21, 24, 52	nnind 9323	. . . . 5 ⊢ ((⌊‘𝐴) ∈ ℕ → (π‘(⌊‘𝐴)) < (⌊‘𝐴))
54	4, 53	syl 14	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℕ) → (π‘(⌊‘𝐴)) < (⌊‘𝐴))
55	9, 54	eqbrtrrd 4154	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℕ) → (π‘𝐴) < (⌊‘𝐴))
56		flqle 10726	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)
57	56	ad2antrr 492	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℕ) → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)
58	3, 5, 7, 55, 57	ltletrd 8753	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℕ) → (π‘𝐴) < 𝐴)
59	8	ad2antrr 492	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (⌊‘𝐴) = 0) → (π‘(⌊‘𝐴)) = (π‘𝐴))
60		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (⌊‘𝐴) = 0) → (⌊‘𝐴) = 0)
61	60	fveq2d 5699	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (⌊‘𝐴) = 0) → (π‘(⌊‘𝐴)) = (π‘0))
62		2pos 9398	. . . . . 6 ⊢ 0 < 2
63		0z 9660	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℤ
64		zq 10036	. . . . . . 7 ⊢ (0 ∈ ℤ → 0 ∈ ℚ)
65		ppiqeq0 16241	. . . . . . 7 ⊢ (0 ∈ ℚ → ((π‘0) = 0 ↔ 0 < 2))
66	63, 64, 65	mp2b 8	. . . . . 6 ⊢ ((π‘0) = 0 ↔ 0 < 2)
67	62, 66	mpbir 146	. . . . 5 ⊢ (π‘0) = 0
68	61, 67	eqtrdi 2287	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (⌊‘𝐴) = 0) → (π‘(⌊‘𝐴)) = 0)
69	59, 68	eqtr3d 2273	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (⌊‘𝐴) = 0) → (π‘𝐴) = 0)
70		simplr 533	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (⌊‘𝐴) = 0) → 0 < 𝐴)
71	69, 70	eqbrtrd 4152	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (⌊‘𝐴) = 0) → (π‘𝐴) < 𝐴)
72		0red 8328	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐴) → 0 ∈ ℝ)
73	6	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
74		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐴) → 0 < 𝐴)
75	72, 73, 74	ltled 8447	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐴) → 0 ≤ 𝐴)
76		flqge0nn0 10743	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (⌊‘𝐴) ∈ ℕ0)
77	75, 76	syldan 282	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐴) → (⌊‘𝐴) ∈ ℕ0)
78		elnn0 9570	. . 3 ⊢ ((⌊‘𝐴) ∈ ℕ0 ↔ ((⌊‘𝐴) ∈ ℕ ∨ (⌊‘𝐴) = 0))
79	77, 78	sylib 122	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐴) → ((⌊‘𝐴) ∈ ℕ ∨ (⌊‘𝐴) = 0))
80	58, 71, 79	mpjaodan 810	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐴) → (π‘𝐴) < 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 720   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4130  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085  ℝcr 8179  0cc0 8180  1c1 8181   + caddc 8183   < clt 8361   ≤ cle 8362  ℕcn 9307  2c2 9358  ℕ₀cn0 9568  ℤcz 9649  ℚcq 10029  ⌊cfl 10714  πcppi 16195

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-mulrcl 8279  ax-addcom 8280  ax-mulcom 8281  ax-addass 8282  ax-mulass 8283  ax-distr 8284  ax-i2m1 8285  ax-0lt1 8286  ax-1rid 8287  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-precex 8290  ax-cnre 8291  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-ltwlin 8293  ax-pre-lttrn 8294  ax-pre-apti 8295  ax-pre-ltadd 8296  ax-pre-mulgt0 8297  ax-pre-mulext 8298  ax-arch 8299  ax-caucvg 8300

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-irdg 6641  df-frec 6662  df-1o 6687  df-2o 6688  df-oadd 6691  df-er 6807  df-en 7023  df-dom 7024  df-fin 7025  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-xr 8365  df-ltxr 8366  df-le 8367  df-sub 8501  df-neg 8502  df-reap 8906  df-ap 8913  df-div 9006  df-inn 9308  df-2 9366  df-3 9367  df-4 9368  df-n0 9569  df-z 9650  df-uz 9932  df-q 10030  df-rp 10066  df-icc 10308  df-fz 10423  df-fl 10716  df-mod 10775  df-seqfrec 10900  df-exp 10991  df-ihash 11231  df-cj 11623  df-re 11624  df-im 11625  df-rsqrt 11780  df-abs 11781  df-dvds 12574  df-prm 12905  df-ppi 16198

This theorem is used by: (None)