ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  prmrp GIF version

Theorem prmrp 11846
Description: Unequal prime numbers are relatively prime. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.)
Assertion
Ref Expression
prmrp ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) → ((𝑃 gcd 𝑄) = 1 ↔ 𝑃𝑄))

Proof of Theorem prmrp
StepHypRef Expression
1 prmz 11815 . . 3 (𝑄 ∈ ℙ → 𝑄 ∈ ℤ)
2 coprm 11845 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℤ) → (¬ 𝑃𝑄 ↔ (𝑃 gcd 𝑄) = 1))
31, 2sylan2 284 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) → (¬ 𝑃𝑄 ↔ (𝑃 gcd 𝑄) = 1))
4 prmuz2 11834 . . . 4 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ‘2))
5 dvdsprm 11840 . . . 4 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑄 ∈ ℙ) → (𝑃𝑄𝑃 = 𝑄))
64, 5sylan 281 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) → (𝑃𝑄𝑃 = 𝑄))
76necon3bbid 2348 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) → (¬ 𝑃𝑄𝑃𝑄))
83, 7bitr3d 189 1 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) → ((𝑃 gcd 𝑄) = 1 ↔ 𝑃𝑄))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wb 104   = wceq 1331  wcel 1480  wne 2308   class class class wbr 3932  cfv 5126  (class class class)co 5777  1c1 7640  2c2 8790  cz 9073  cuz 9345  cdvds 11516   gcd cgcd 11658  cprime 11811
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4046  ax-sep 4049  ax-nul 4057  ax-pow 4101  ax-pr 4134  ax-un 4358  ax-setind 4455  ax-iinf 4505  ax-cnex 7730  ax-resscn 7731  ax-1cn 7732  ax-1re 7733  ax-icn 7734  ax-addcl 7735  ax-addrcl 7736  ax-mulcl 7737  ax-mulrcl 7738  ax-addcom 7739  ax-mulcom 7740  ax-addass 7741  ax-mulass 7742  ax-distr 7743  ax-i2m1 7744  ax-0lt1 7745  ax-1rid 7746  ax-0id 7747  ax-rnegex 7748  ax-precex 7749  ax-cnre 7750  ax-pre-ltirr 7751  ax-pre-ltwlin 7752  ax-pre-lttrn 7753  ax-pre-apti 7754  ax-pre-ltadd 7755  ax-pre-mulgt0 7756  ax-pre-mulext 7757  ax-arch 7758  ax-caucvg 7759
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3740  df-int 3775  df-iun 3818  df-br 3933  df-opab 3993  df-mpt 3994  df-tr 4030  df-id 4218  df-po 4221  df-iso 4222  df-iord 4291  df-on 4293  df-ilim 4294  df-suc 4296  df-iom 4508  df-xp 4548  df-rel 4549  df-cnv 4550  df-co 4551  df-dm 4552  df-rn 4553  df-res 4554  df-ima 4555  df-iota 5091  df-fun 5128  df-fn 5129  df-f 5130  df-f1 5131  df-fo 5132  df-f1o 5133  df-fv 5134  df-riota 5733  df-ov 5780  df-oprab 5781  df-mpo 5782  df-1st 6041  df-2nd 6042  df-recs 6205  df-frec 6291  df-1o 6316  df-2o 6317  df-er 6432  df-en 6638  df-sup 6874  df-pnf 7821  df-mnf 7822  df-xr 7823  df-ltxr 7824  df-le 7825  df-sub 7954  df-neg 7955  df-reap 8356  df-ap 8363  df-div 8452  df-inn 8740  df-2 8798  df-3 8799  df-4 8800  df-n0 8997  df-z 9074  df-uz 9346  df-q 9434  df-rp 9464  df-fz 9815  df-fzo 9944  df-fl 10067  df-mod 10120  df-seqfrec 10243  df-exp 10317  df-cj 10638  df-re 10639  df-im 10640  df-rsqrt 10794  df-abs 10795  df-dvds 11517  df-gcd 11659  df-prm 11812
This theorem is referenced by:  3lcm2e6  11861
  Copyright terms: Public domain W3C validator