Theorem logbprmirr 15234

Description: The logarithm of a prime to a different prime base is not rational. For example, (2 log_b 3) ∈ (ℝ ∖ ℚ) (see 2logb3irr 15235). (Contributed by AV, 31-Dec-2022.)

Assertion

Ref	Expression
logbprmirr	⊢ ((𝑋 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ ∧ 𝑋 ≠ 𝐵) → (𝐵 logb 𝑋) ∈ (ℝ ∖ ℚ))

Proof of Theorem logbprmirr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmuz2 12310	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ ℙ → 𝑋 ∈ (ℤ≥‘2))
2	1	3ad2ant1 1020	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ ∧ 𝑋 ≠ 𝐵) → 𝑋 ∈ (ℤ≥‘2))
3		prmuz2 12310	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℙ → 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2))
4	3	3ad2ant2 1021	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ ∧ 𝑋 ≠ 𝐵) → 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2))
5		prmrp 12324	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ) → ((𝑋 gcd 𝐵) = 1 ↔ 𝑋 ≠ 𝐵))
6	5	biimp3ar 1357	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ ∧ 𝑋 ≠ 𝐵) → (𝑋 gcd 𝐵) = 1)
7		logbgcd1irr 15229	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑋 gcd 𝐵) = 1) → (𝐵 logb 𝑋) ∈ (ℝ ∖ ℚ))
8	2, 4, 6, 7	syl3anc 1249	1 ⊢ ((𝑋 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ ∧ 𝑋 ≠ 𝐵) → (𝐵 logb 𝑋) ∈ (ℝ ∖ ℚ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   ≠ wne 2367   ∖ cdif 3154  ‘cfv 5259  (class class class)co 5923  ℝcr 7881  1c1 7883  2c2 9044  ℤ_≥cuz 9604  ℚcq 9696   gcd cgcd 12131  ℙcprime 12286   log_b clogb 15205

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7973  ax-resscn 7974  ax-1cn 7975  ax-1re 7976  ax-icn 7977  ax-addcl 7978  ax-addrcl 7979  ax-mulcl 7980  ax-mulrcl 7981  ax-addcom 7982  ax-mulcom 7983  ax-addass 7984  ax-mulass 7985  ax-distr 7986  ax-i2m1 7987  ax-0lt1 7988  ax-1rid 7989  ax-0id 7990  ax-rnegex 7991  ax-precex 7992  ax-cnre 7993  ax-pre-ltirr 7994  ax-pre-ltwlin 7995  ax-pre-lttrn 7996  ax-pre-apti 7997  ax-pre-ltadd 7998  ax-pre-mulgt0 7999  ax-pre-mulext 8000  ax-arch 8001  ax-caucvg 8002  ax-pre-suploc 8003  ax-addf 8004  ax-mulf 8005

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-disj 4012  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-isom 5268  df-riota 5878  df-ov 5926  df-oprab 5927  df-mpo 5928  df-of 6137  df-1st 6200  df-2nd 6201  df-recs 6365  df-irdg 6430  df-frec 6451  df-1o 6476  df-2o 6477  df-oadd 6480  df-er 6594  df-map 6711  df-pm 6712  df-en 6802  df-dom 6803  df-fin 6804  df-sup 7052  df-inf 7053  df-pnf 8066  df-mnf 8067  df-xr 8068  df-ltxr 8069  df-le 8070  df-sub 8202  df-neg 8203  df-reap 8605  df-ap 8612  df-div 8703  df-inn 8994  df-2 9052  df-3 9053  df-4 9054  df-n0 9253  df-z 9330  df-uz 9605  df-q 9697  df-rp 9732  df-xneg 9850  df-xadd 9851  df-ioo 9970  df-ico 9972  df-icc 9973  df-fz 10087  df-fzo 10221  df-fl 10363  df-mod 10418  df-seqfrec 10543  df-exp 10634  df-fac 10821  df-bc 10843  df-ihash 10871  df-shft 10983  df-cj 11010  df-re 11011  df-im 11012  df-rsqrt 11166  df-abs 11167  df-clim 11447  df-sumdc 11522  df-ef 11816  df-e 11817  df-dvds 11956  df-gcd 12132  df-prm 12287  df-rest 12929  df-topgen 12948  df-psmet 14125  df-xmet 14126  df-met 14127  df-bl 14128  df-mopn 14129  df-top 14260  df-topon 14273  df-bases 14305  df-ntr 14358  df-cn 14450  df-cnp 14451  df-tx 14515  df-cncf 14833  df-limced 14918  df-dvap 14919  df-relog 15120  df-rpcxp 15121  df-logb 15206

This theorem is referenced by:  2logb3irr  15235