Theorem psrmulclfi 15190

Description: Closure of the power series multiplication operation. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrmulcl.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrmulcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
psrmulcl.t	⊢ · = (.r‘𝑆)
psrmulcl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
psrmulclfi.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
psrmulcl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
psrmulcl.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
psrmulclfi	⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem psrmulclfi

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrmulcl.s	. 2 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2		psrmulcl.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
3		psrmulcl.t	. 2 ⊢ · = (.r‘𝑆)
4		psrmulcl.r	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
5		psrmulclfi.i	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
6		psrmulcl.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
7		psrmulcl.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
8		eqid 2238	. 2 ⊢ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	psrmulclfilem 15189	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  {crab 2532  ^◡ccnv 4775   “ cima 4779  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088   ↑_𝑚 cmap 6926  Fincfn 7026  ℕcn 9313  ℕ₀cn0 9574  Basecbs 13410  ._rcmulr 13491  Ringcrg 14407   mPwSer cmps 15154

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302  ax-pre-mulext 8303  ax-arch 8304  ax-caucvg 8305

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-tp 3717  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-of 6305  df-ofr 6306  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-irdg 6645  df-frec 6666  df-1o 6691  df-oadd 6695  df-er 6811  df-map 6928  df-ixp 6985  df-en 7027  df-dom 7028  df-fin 7029  df-sup 7330  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918  df-div 9011  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-5 9375  df-6 9376  df-7 9377  df-8 9378  df-9 9379  df-n0 9575  df-z 9656  df-uz 9938  df-rp 10072  df-fz 10429  df-fzo 10567  df-seqfrec 10906  df-exp 10997  df-ihash 11237  df-cj 11629  df-re 11630  df-im 11631  df-rsqrt 11786  df-abs 11787  df-struct 13412  df-ndx 13413  df-slot 13414  df-base 13416  df-sets 13417  df-plusg 13503  df-mulr 13504  df-sca 13506  df-vsca 13507  df-tset 13509  df-rest 13654  df-topn 13655  df-0g 13671  df-gzsum 13672  df-topgen 13673  df-pt 13674  df-mgm 13735  df-sgrp 13776  df-mnd 13789  df-grp 13867  df-minusg 13868  df-mulg 13982  df-cmn 14179  df-abl 14180  df-gsumfi 14241  df-mgp 14325  df-ur 14370  df-ring 14409  df-psr 15156

This theorem is used by:  psrlidmfi  15199  psrridmfi  15200  psrass1fi  15201  psrdifi  15202  psrdirfi  15203  psrringfi  15204