Theorem psrdirfi 15203

Description: Distributive law for the ring of power series (right-distributivity). (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrring.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrringfi.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
psrring.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
psrass.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
psrass.t	⊢ × = (.r‘𝑆)
psrass.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
psrass.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
psrass.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
psrass.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
psrdi.a	⊢ + = (+g‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
psrdirfi	⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌) × 𝑍) = ((𝑋 × 𝑍) + (𝑌 × 𝑍)))

Distinct variable groups:   𝑓,𝐼   𝑅,𝑓   𝑓,𝑋   𝑓,𝑍   𝑓,𝑌

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐵(𝑓)   𝐷(𝑓)   + (𝑓)   𝑆(𝑓)   × (𝑓)

Proof of Theorem psrdirfi

Dummy variables 𝑥 𝑘 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrring.s	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2		psrass.b	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
3		eqid 2238	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
4		psrdi.a	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ + = (+g‘𝑆)
5		psrass.x	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
6		psrass.y	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	psradd 15183	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) = (𝑋 ∘𝑓 (+g‘𝑅)𝑌))
8	7	fveq1d 5700	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌)‘𝑥) = ((𝑋 ∘𝑓 (+g‘𝑅)𝑌)‘𝑥))
9	8	ad2antrr 492	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘}) → ((𝑋 + 𝑌)‘𝑥) = ((𝑋 ∘𝑓 (+g‘𝑅)𝑌)‘𝑥))
10		ssrab2 3333	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘} ⊆ 𝐷
11		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘}) → 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘})
12	10, 11	sselid 3246	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘}) → 𝑥 ∈ 𝐷)
13		eqid 2238	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
14		psrass.d	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
15	1, 13, 14, 2, 5	psrelbas 15179	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅))
16	15	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘}) → 𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅))
17	16	ffnd 5537	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘}) → 𝑋 Fn 𝐷)
18	1, 13, 14, 2, 6	psrelbas 15179	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑌:𝐷⟶(Base‘𝑅))
19	18	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘}) → 𝑌:𝐷⟶(Base‘𝑅))
20	19	ffnd 5537	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘}) → 𝑌 Fn 𝐷)
21		fnmap 6933	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ↑𝑚 Fn (V × V)
22		nn0ex 9580	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ℕ0 ∈ V
23		psrringfi.i	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
24	23	elexd 2835	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
25		fnovex 6121	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (( ↑𝑚 Fn (V × V) ∧ ℕ0 ∈ V ∧ 𝐼 ∈ V) → (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∈ V)
26	21, 22, 24, 25	mp3an12i 1382	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∈ V)
27	14, 26	rabexd 4283	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ V)
28	27	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘}) → 𝐷 ∈ V)
29		inidm 3440	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐷 ∩ 𝐷) = 𝐷
30		eqidd 2239	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘}) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑋‘𝑥) = (𝑋‘𝑥))
31		eqidd 2239	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘}) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑌‘𝑥) = (𝑌‘𝑥))
32		psrring.r	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
33	32	ad3antrrr 496	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘}) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝑅 ∈ Ring)
34	16	ffvelcdmda 5846	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘}) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑋‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
35	19	ffvelcdmda 5846	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘}) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑌‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
36	13, 3	ringacl 14442	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑌‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑋‘𝑥)(+g‘𝑅)(𝑌‘𝑥)) ∈ (Base‘𝑅))
37	33, 34, 35, 36	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘}) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((𝑋‘𝑥)(+g‘𝑅)(𝑌‘𝑥)) ∈ (Base‘𝑅))
38	17, 20, 28, 28, 29, 30, 31, 37	ofvalg 6316	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘}) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((𝑋 ∘𝑓 (+g‘𝑅)𝑌)‘𝑥) = ((𝑋‘𝑥)(+g‘𝑅)(𝑌‘𝑥)))
39	12, 38	mpdan 425	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘}) → ((𝑋 ∘𝑓 (+g‘𝑅)𝑌)‘𝑥) = ((𝑋‘𝑥)(+g‘𝑅)(𝑌‘𝑥)))
40	9, 39	eqtrd 2271	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘}) → ((𝑋 + 𝑌)‘𝑥) = ((𝑋‘𝑥)(+g‘𝑅)(𝑌‘𝑥)))
41	40	oveq1d 6103	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘}) → (((𝑋 + 𝑌)‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥))) = (((𝑋‘𝑥)(+g‘𝑅)(𝑌‘𝑥))(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥))))
42	32	ad2antrr 492	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘}) → 𝑅 ∈ Ring)
43	16, 12	ffvelcdmd 5847	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘}) → (𝑋‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
44	19, 12	ffvelcdmd 5847	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘}) → (𝑌‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
45		psrass.z	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
46	1, 13, 14, 2, 45	psrelbas 15179	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑍:𝐷⟶(Base‘𝑅))
47	46	ad2antrr 492	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘}) → 𝑍:𝐷⟶(Base‘𝑅))
48		eqid 2238	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘} = {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘}
49	14, 48	psrbagconcl 15173	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝐷 ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘}) → (𝑘 ∘𝑓 − 𝑥) ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘})
50	49	adantll 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘}) → (𝑘 ∘𝑓 − 𝑥) ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘})
51	10, 50	sselid 3246	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘}) → (𝑘 ∘𝑓 − 𝑥) ∈ 𝐷)
52	47, 51	ffvelcdmd 5847	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘}) → (𝑍‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥)) ∈ (Base‘𝑅))
53		eqid 2238	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
54	13, 3, 53	ringdir 14431	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑋‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑌‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑍‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥)) ∈ (Base‘𝑅))) → (((𝑋‘𝑥)(+g‘𝑅)(𝑌‘𝑥))(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥))) = (((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥)))(+g‘𝑅)((𝑌‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥)))))
55	42, 43, 44, 52, 54	syl13anc 1280	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘}) → (((𝑋‘𝑥)(+g‘𝑅)(𝑌‘𝑥))(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥))) = (((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥)))(+g‘𝑅)((𝑌‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥)))))
56	41, 55	eqtrd 2271	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘}) → (((𝑋 + 𝑌)‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥))) = (((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥)))(+g‘𝑅)((𝑌‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥)))))
57	56	mpteq2dva 4223	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘} ↦ (((𝑋 + 𝑌)‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥)))) = (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘} ↦ (((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥)))(+g‘𝑅)((𝑌‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥))))))
58		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → 𝑘 ∈ 𝐷)
59	23	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → 𝐼 ∈ Fin)
60	14	psrbaglefifi 15172	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ Fin) → {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘} ∈ Fin)
61	58, 59, 60	syl2anc 415	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘} ∈ Fin)
62	13, 53, 42, 43, 52	ringcld 14429	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘}) → ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥))) ∈ (Base‘𝑅))
63	13, 53, 42, 44, 52	ringcld 14429	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘}) → ((𝑌‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥))) ∈ (Base‘𝑅))
64		eqidd 2239	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥)))) = (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥)))))
65		eqidd 2239	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘} ↦ ((𝑌‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥)))) = (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘} ↦ ((𝑌‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥)))))
66	61, 62, 63, 64, 65	offval2 6322	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → ((𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥)))) ∘𝑓 (+g‘𝑅)(𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘} ↦ ((𝑌‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥))))) = (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘} ↦ (((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥)))(+g‘𝑅)((𝑌‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥))))))
67	57, 66	eqtr4d 2274	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘} ↦ (((𝑋 + 𝑌)‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥)))) = ((𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥)))) ∘𝑓 (+g‘𝑅)(𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘} ↦ ((𝑌‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥))))))
68	67	oveq2d 6104	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘} ↦ (((𝑋 + 𝑌)‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥))))) = (𝑅 Σg ((𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥)))) ∘𝑓 (+g‘𝑅)(𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘} ↦ ((𝑌‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥)))))))
69	32	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → 𝑅 ∈ Ring)
70	69	ringcmnd 14447	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → 𝑅 ∈ CMnd)
71		eqid 2238	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥)))) = (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥))))
72		eqid 2238	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘} ↦ ((𝑌‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥)))) = (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘} ↦ ((𝑌‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥))))
73	13, 3, 70, 61, 62, 63, 71, 72	gsummptfidmadd2 14252	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → (𝑅 Σg ((𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥)))) ∘𝑓 (+g‘𝑅)(𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘} ↦ ((𝑌‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥)))))) = ((𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥)))))(+g‘𝑅)(𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘} ↦ ((𝑌‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥)))))))
74	68, 73	eqtrd 2271	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘} ↦ (((𝑋 + 𝑌)‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥))))) = ((𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥)))))(+g‘𝑅)(𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘} ↦ ((𝑌‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥)))))))
75	74	mpteq2dva 4223	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘} ↦ (((𝑋 + 𝑌)‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥)))))) = (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ ((𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥)))))(+g‘𝑅)(𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘} ↦ ((𝑌‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥))))))))
76		psrass.t	. . 3 ⊢ × = (.r‘𝑆)
77	32	ringgrpd 14416	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
78	77	grpmgmd 13890	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Mgm)
79	1, 2, 4, 78, 5, 6	psraddcl 15184	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
80	1, 2, 53, 76, 14, 79, 45	psrmulfval 15187	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌) × 𝑍) = (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘} ↦ (((𝑋 + 𝑌)‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥)))))))
81	1, 2, 76, 32, 23, 5, 45	psrmulclfi 15190	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 × 𝑍) ∈ 𝐵)
82	1, 2, 76, 32, 23, 6, 45	psrmulclfi 15190	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 × 𝑍) ∈ 𝐵)
83	1, 2, 3, 4, 81, 82	psradd 15183	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 × 𝑍) + (𝑌 × 𝑍)) = ((𝑋 × 𝑍) ∘𝑓 (+g‘𝑅)(𝑌 × 𝑍)))
84	14, 32, 23, 15, 46	rhmpsrfilem2 15185	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥))))) ∈ (Base‘𝑅))
85	14, 32, 23, 18, 46	rhmpsrfilem2 15185	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘} ↦ ((𝑌‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥))))) ∈ (Base‘𝑅))
86	1, 2, 53, 76, 14, 5, 45	psrmulfval 15187	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 × 𝑍) = (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥)))))))
87	1, 2, 53, 76, 14, 6, 45	psrmulfval 15187	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 × 𝑍) = (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘} ↦ ((𝑌‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥)))))))
88	27, 84, 85, 86, 87	offval2 6322	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 × 𝑍) ∘𝑓 (+g‘𝑅)(𝑌 × 𝑍)) = (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ ((𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥)))))(+g‘𝑅)(𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘} ↦ ((𝑌‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥))))))))
89	83, 88	eqtrd 2271	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 × 𝑍) + (𝑌 × 𝑍)) = (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ ((𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥)))))(+g‘𝑅)(𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘} ↦ ((𝑌‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥))))))))
90	75, 80, 89	3eqtr4d 2281	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌) × 𝑍) = ((𝑋 × 𝑍) + (𝑌 × 𝑍)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  {crab 2532  Vcvv 2821   class class class wbr 4131   ↦ cmpt 4193   × cxp 4774  ^◡ccnv 4775   “ cima 4779   Fn wfn 5375  ⟶wf 5376  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088   ∘_𝑓 cof 6303   ∘_𝑟 cofr 6304   ↑_𝑚 cmap 6926  Fincfn 7026   ≤ cle 8367   − cmin 8504  ℕcn 9313  ℕ₀cn0 9574  Basecbs 13410  +_gcplusg 13490  ._rcmulr 13491   Σ_g cgsu 14240  Ringcrg 14407   mPwSer cmps 15154

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302  ax-pre-mulext 8303  ax-arch 8304  ax-caucvg 8305

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-tp 3717  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-of 6305  df-ofr 6306  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-irdg 6645  df-frec 6666  df-1o 6691  df-oadd 6695  df-er 6811  df-map 6928  df-ixp 6985  df-en 7027  df-dom 7028  df-fin 7029  df-sup 7330  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918  df-div 9011  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-5 9375  df-6 9376  df-7 9377  df-8 9378  df-9 9379  df-n0 9575  df-z 9656  df-uz 9938  df-rp 10072  df-fz 10429  df-fzo 10567  df-seqfrec 10906  df-exp 10997  df-ihash 11237  df-cj 11629  df-re 11630  df-im 11631  df-rsqrt 11786  df-abs 11787  df-struct 13412  df-ndx 13413  df-slot 13414  df-base 13416  df-sets 13417  df-plusg 13503  df-mulr 13504  df-sca 13506  df-vsca 13507  df-tset 13509  df-rest 13654  df-topn 13655  df-0g 13671  df-gzsum 13672  df-topgen 13673  df-pt 13674  df-mgm 13735  df-sgrp 13776  df-mnd 13789  df-grp 13867  df-minusg 13868  df-mulg 13982  df-cmn 14179  df-abl 14180  df-gsumfi 14241  df-mgp 14325  df-ur 14370  df-ring 14409  df-psr 15156

This theorem is used by:  psrringfi  15204