Theorem cosval 12496

Description: Value of the cosine function. (Contributed by NM, 14-Mar-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
cosval	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘𝐴) = (((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘( -i · 𝐴))) / 2))

Proof of Theorem cosval

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-icn 8281	. . . . . . 7 ⊢ i ∈ ℂ
2	1	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → i ∈ ℂ)
3		id 19	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
4	2, 3	mulcld 8353	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
5		efcl 12457	. . . . 5 ⊢ ((i · 𝐴) ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) ∈ ℂ)
6	4, 5	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) ∈ ℂ)
7		negicn 8535	. . . . . . 7 ⊢ -i ∈ ℂ
8	7	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -i ∈ ℂ)
9	8, 3	mulcld 8353	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ( -i · 𝐴) ∈ ℂ)
10		efcl 12457	. . . . 5 ⊢ (( -i · 𝐴) ∈ ℂ → (exp‘( -i · 𝐴)) ∈ ℂ)
11	9, 10	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘( -i · 𝐴)) ∈ ℂ)
12	6, 11	addcld 8352	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘( -i · 𝐴))) ∈ ℂ)
13	12	halfcld 9562	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘( -i · 𝐴))) / 2) ∈ ℂ)
14		oveq2 6096	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (i · 𝑥) = (i · 𝐴))
15	14	fveq2d 5702	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (exp‘(i · 𝑥)) = (exp‘(i · 𝐴)))
16		oveq2 6096	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ( -i · 𝑥) = ( -i · 𝐴))
17	16	fveq2d 5702	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (exp‘( -i · 𝑥)) = (exp‘( -i · 𝐴)))
18	15, 17	oveq12d 6106	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((exp‘(i · 𝑥)) + (exp‘( -i · 𝑥))) = ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘( -i · 𝐴))))
19	18	oveq1d 6103	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (((exp‘(i · 𝑥)) + (exp‘( -i · 𝑥))) / 2) = (((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘( -i · 𝐴))) / 2))
20		df-cos 12444	. . 3 ⊢ cos = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (((exp‘(i · 𝑥)) + (exp‘( -i · 𝑥))) / 2))
21	19, 20	fvmptg 5784	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘( -i · 𝐴))) / 2) ∈ ℂ) → (cos‘𝐴) = (((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘( -i · 𝐴))) / 2))
22	13, 21	mpdan 425	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘𝐴) = (((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘( -i · 𝐴))) / 2))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088  ℂcc 8184  ici 8188   + caddc 8189   · cmul 8191   -cneg 8506   / cdiv 9011  2c2 9365  expce 12435  cosccos 12438

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-1re 8280  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-addrcl 8283  ax-mulcl 8284  ax-mulrcl 8285  ax-addcom 8286  ax-mulcom 8287  ax-addass 8288  ax-mulass 8289  ax-distr 8290  ax-i2m1 8291  ax-0lt1 8292  ax-1rid 8293  ax-0id 8294  ax-rnegex 8295  ax-precex 8296  ax-cnre 8297  ax-pre-ltirr 8298  ax-pre-ltwlin 8299  ax-pre-lttrn 8300  ax-pre-apti 8301  ax-pre-ltadd 8302  ax-pre-mulgt0 8303  ax-pre-mulext 8304  ax-arch 8305  ax-caucvg 8306

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-isom 5389  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-irdg 6645  df-frec 6666  df-1o 6691  df-oadd 6695  df-er 6811  df-en 7028  df-dom 7029  df-fin 7030  df-pnf 8369  df-mnf 8370  df-xr 8371  df-ltxr 8372  df-le 8373  df-sub 8507  df-neg 8508  df-reap 8912  df-ap 8919  df-div 9012  df-inn 9315  df-2 9373  df-3 9374  df-4 9375  df-n0 9576  df-z 9657  df-uz 9939  df-q 10037  df-rp 10073  df-ico 10314  df-fz 10430  df-fzo 10568  df-seqfrec 10907  df-exp 10998  df-fac 11187  df-ihash 11238  df-cj 11630  df-re 11631  df-im 11632  df-rsqrt 11787  df-abs 11788  df-clim 12071  df-sumdc 12146  df-ef 12441  df-cos 12444

This theorem is used by:  tanval2ap  12506  tanval3ap  12507  recosval  12509  cosneg  12520  efival  12525  cosadd  12530  cosper  16049