Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cosval GIF version

Theorem cosval 11444
 Description: Value of the cosine function. (Contributed by NM, 14-Mar-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
cosval (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘𝐴) = (((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) / 2))

Proof of Theorem cosval
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-icn 7738 . . . . . . 7 i ∈ ℂ
21a1i 9 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → i ∈ ℂ)
3 id 19 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
42, 3mulcld 7809 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
5 efcl 11405 . . . . 5 ((i · 𝐴) ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) ∈ ℂ)
64, 5syl 14 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) ∈ ℂ)
7 negicn 7986 . . . . . . 7 -i ∈ ℂ
87a1i 9 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → -i ∈ ℂ)
98, 3mulcld 7809 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (-i · 𝐴) ∈ ℂ)
10 efcl 11405 . . . . 5 ((-i · 𝐴) ∈ ℂ → (exp‘(-i · 𝐴)) ∈ ℂ)
119, 10syl 14 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(-i · 𝐴)) ∈ ℂ)
126, 11addcld 7808 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) ∈ ℂ)
1312halfcld 8987 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) / 2) ∈ ℂ)
14 oveq2 5789 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐴 → (i · 𝑥) = (i · 𝐴))
1514fveq2d 5432 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → (exp‘(i · 𝑥)) = (exp‘(i · 𝐴)))
16 oveq2 5789 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐴 → (-i · 𝑥) = (-i · 𝐴))
1716fveq2d 5432 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → (exp‘(-i · 𝑥)) = (exp‘(-i · 𝐴)))
1815, 17oveq12d 5799 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → ((exp‘(i · 𝑥)) + (exp‘(-i · 𝑥))) = ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))))
1918oveq1d 5796 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → (((exp‘(i · 𝑥)) + (exp‘(-i · 𝑥))) / 2) = (((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) / 2))
20 df-cos 11392 . . 3 cos = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (((exp‘(i · 𝑥)) + (exp‘(-i · 𝑥))) / 2))
2119, 20fvmptg 5504 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) / 2) ∈ ℂ) → (cos‘𝐴) = (((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) / 2))
2213, 21mpdan 418 1 (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘𝐴) = (((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) / 2))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1332   ∈ wcel 1481  ‘cfv 5130  (class class class)co 5781  ℂcc 7641  ici 7645   + caddc 7646   · cmul 7648  -cneg 7957   / cdiv 8455  2c2 8794  expce 11383  cosccos 11386 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4050  ax-sep 4053  ax-nul 4061  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-setind 4459  ax-iinf 4509  ax-cnex 7734  ax-resscn 7735  ax-1cn 7736  ax-1re 7737  ax-icn 7738  ax-addcl 7739  ax-addrcl 7740  ax-mulcl 7741  ax-mulrcl 7742  ax-addcom 7743  ax-mulcom 7744  ax-addass 7745  ax-mulass 7746  ax-distr 7747  ax-i2m1 7748  ax-0lt1 7749  ax-1rid 7750  ax-0id 7751  ax-rnegex 7752  ax-precex 7753  ax-cnre 7754  ax-pre-ltirr 7755  ax-pre-ltwlin 7756  ax-pre-lttrn 7757  ax-pre-apti 7758  ax-pre-ltadd 7759  ax-pre-mulgt0 7760  ax-pre-mulext 7761  ax-arch 7762  ax-caucvg 7763 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-csb 3007  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-nul 3368  df-if 3479  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-int 3779  df-iun 3822  df-br 3937  df-opab 3997  df-mpt 3998  df-tr 4034  df-id 4222  df-po 4225  df-iso 4226  df-iord 4295  df-on 4297  df-ilim 4298  df-suc 4300  df-iom 4512  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-rn 4557  df-res 4558  df-ima 4559  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fn 5133  df-f 5134  df-f1 5135  df-fo 5136  df-f1o 5137  df-fv 5138  df-isom 5139  df-riota 5737  df-ov 5784  df-oprab 5785  df-mpo 5786  df-1st 6045  df-2nd 6046  df-recs 6209  df-irdg 6274  df-frec 6295  df-1o 6320  df-oadd 6324  df-er 6436  df-en 6642  df-dom 6643  df-fin 6644  df-pnf 7825  df-mnf 7826  df-xr 7827  df-ltxr 7828  df-le 7829  df-sub 7958  df-neg 7959  df-reap 8360  df-ap 8367  df-div 8456  df-inn 8744  df-2 8802  df-3 8803  df-4 8804  df-n0 9001  df-z 9078  df-uz 9350  df-q 9438  df-rp 9470  df-ico 9706  df-fz 9821  df-fzo 9950  df-seqfrec 10249  df-exp 10323  df-fac 10503  df-ihash 10553  df-cj 10645  df-re 10646  df-im 10647  df-rsqrt 10801  df-abs 10802  df-clim 11079  df-sumdc 11154  df-ef 11389  df-cos 11392 This theorem is referenced by:  tanval2ap  11454  tanval3ap  11455  recosval  11457  cosneg  11468  efival  11473  cosadd  11478  cosper  12937
 Copyright terms: Public domain W3C validator