Theorem 0ring01eqbi2 20607

Description: In a ring, 0 = 1 iff the ring contains only 0. (Contributed by Jeff Madsen, 6-Jan-2011.) (Revised by AV, 27-Jun-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
0ring.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
0ring.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
0ring01eq.1	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
0ring01eqbi2	⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐵 = { 0 } ↔ 1 = 0 ))

Proof of Theorem 0ring01eqbi2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6871	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = { 0 } → (♯‘𝐵) = (♯‘{ 0 }))
2		0ring.0	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
3	2	fvexi 6885	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ V
4		hashsng 14396	. . . . . . 7 ⊢ ( 0 ∈ V → (♯‘{ 0 }) = 1)
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (♯‘{ 0 }) = 1
6	1, 5	eqtrdi 2816	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = { 0 } → (♯‘𝐵) = 1)
7		0ring.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
8		0ring01eq.1	. . . . . 6 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
9	7, 2, 8	0ring01eq 20604	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → 0 = 1 )
10	6, 9	sylan2 604	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐵 = { 0 }) → 0 = 1 )
11	10	eqcomd 2771	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐵 = { 0 }) → 1 = 0 )
12	11	ex 417	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐵 = { 0 } → 1 = 0 ))
13		eqcom 2772	. . 3 ⊢ ( 1 = 0 ↔ 0 = 1 )
14	7, 2, 8	01eq0ring 20605	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 0 = 1 ) → 𝐵 = { 0 })
15	14	ex 417	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ( 0 = 1 → 𝐵 = { 0 }))
16	13, 15	biimtrid 245	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ( 1 = 0 → 𝐵 = { 0 }))
17	12, 16	impbid 215	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐵 = { 0 } ↔ 1 = 0 ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  Vcvv 3457  {csn 4585  ‘cfv 6525  1c1 11089  ♯chash 14357  Basecbs 17259  0_gc0g 17482  1_rcur 20254  Ringcrg 20306

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-int 4909  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-card 9913  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12225  df-2 12294  df-n0 12496  df-z 12583  df-uz 12854  df-fz 13527  df-hash 14358  df-sets 17214  df-slot 17232  df-ndx 17244  df-base 17260  df-plusg 17313  df-0g 17484  df-mgm 18688  df-sgrp 18767  df-mnd 18783  df-grp 18993  df-minusg 18994  df-cmn 19843  df-abl 19844  df-mgp 20208  df-rng 20222  df-ur 20255  df-ring 20308

This theorem is referenced by: (None)