Theorem 0ring01eqbi2 20641

Description: In a ring, 0 = 1 iff the ring contains only 0. (Contributed by Jeff Madsen, 6-Jan-2011.) (Revised by AV, 27-Jun-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
0ring.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
0ring.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
0ring01eq.1	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
0ring01eqbi2	⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐵 = { 0 } ↔ 1 = 0 ))

Proof of Theorem 0ring01eqbi2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6881	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = { 0 } → (♯‘𝐵) = (♯‘{ 0 }))
2		0ring.0	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
3	2	fvexi 6895	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ V
4		hashsng 14412	. . . . . . 7 ⊢ ( 0 ∈ V → (♯‘{ 0 }) = 1)
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (♯‘{ 0 }) = 1
6	1, 5	eqtrdi 2813	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = { 0 } → (♯‘𝐵) = 1)
7		0ring.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
8		0ring01eq.1	. . . . . 6 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
9	7, 2, 8	0ring01eq 20638	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → 0 = 1 )
10	6, 9	sylan2 604	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐵 = { 0 }) → 0 = 1 )
11	10	eqcomd 2768	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐵 = { 0 }) → 1 = 0 )
12	11	ex 417	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐵 = { 0 } → 1 = 0 ))
13		eqcom 2769	. . 3 ⊢ ( 1 = 0 ↔ 0 = 1 )
14	7, 2, 8	01eq0ring 20639	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 0 = 1 ) → 𝐵 = { 0 })
15	14	ex 417	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ( 0 = 1 → 𝐵 = { 0 }))
16	13, 15	biimtrid 245	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ( 1 = 0 → 𝐵 = { 0 }))
17	12, 16	impbid 215	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐵 = { 0 } ↔ 1 = 0 ))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1569   ∈ wcel 2142  Vcvv 3454  {csn 4588  ‘cfv 6536  1c1 11107  ♯chash 14373  Basecbs 17275  0_gc0g 17498  1_rcur 20269  Ringcrg 20321

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-1o 8451  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-card 9932  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-nn 12240  df-2 12309  df-n0 12511  df-z 12598  df-uz 12869  df-fz 13542  df-hash 14374  df-sets 17230  df-slot 17248  df-ndx 17260  df-base 17276  df-plusg 17329  df-0g 17500  df-mgm 18704  df-sgrp 18783  df-mnd 18799  df-grp 19009  df-minusg 19010  df-cmn 19858  df-abl 19859  df-mgp 20223  df-rng 20237  df-ur 20270  df-ring 20323

This theorem is used by:  isfieldidl2  21398