Theorem isfieldidl2 21568

Description: Determine if a ring is a field based on its ideals. (Contributed by Jeff Madsen, 6-Jan-2011.) (Revised by AV, 30-Jun-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
isfieldidl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
isfieldidl.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
isfieldidl.i	⊢ 𝐼 = (LIdeal‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
isfieldidl2	⊢ (𝑅 ∈ Field ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐵 ≠ { 0 } ∧ 𝐼 = {{ 0 }, 𝐵}))

Proof of Theorem isfieldidl2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfieldidl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		isfieldidl.0	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
3		isfieldidl.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (LIdeal‘𝑅)
4		eqid 2763	. . 3 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
5	1, 2, 3, 4	isfieldidl 21567	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Field ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ 0 ≠ (1r‘𝑅) ∧ 𝐼 = {{ 0 }, 𝐵}))
6		crngring 20499	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
7		eqcom 2770	. . . . . . . 8 ⊢ ( 0 = (1r‘𝑅) ↔ (1r‘𝑅) = 0 )
8	1, 2, 4	0ring01eqbi2 20810	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐵 = { 0 } ↔ (1r‘𝑅) = 0 ))
9	7, 8	bitr4id 293	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ( 0 = (1r‘𝑅) ↔ 𝐵 = { 0 }))
10	6, 9	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → ( 0 = (1r‘𝑅) ↔ 𝐵 = { 0 }))
11	10	necon3bid 3003	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → ( 0 ≠ (1r‘𝑅) ↔ 𝐵 ≠ { 0 }))
12	11	anbi1d 643	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (( 0 ≠ (1r‘𝑅) ∧ 𝐼 = {{ 0 }, 𝐵}) ↔ (𝐵 ≠ { 0 } ∧ 𝐼 = {{ 0 }, 𝐵})))
13	12	pm5.32i 585	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ ( 0 ≠ (1r‘𝑅) ∧ 𝐼 = {{ 0 }, 𝐵})) ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ (𝐵 ≠ { 0 } ∧ 𝐼 = {{ 0 }, 𝐵})))
14		3anass 1111	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 0 ≠ (1r‘𝑅) ∧ 𝐼 = {{ 0 }, 𝐵}) ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ ( 0 ≠ (1r‘𝑅) ∧ 𝐼 = {{ 0 }, 𝐵})))
15		3anass 1111	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐵 ≠ { 0 } ∧ 𝐼 = {{ 0 }, 𝐵}) ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ (𝐵 ≠ { 0 } ∧ 𝐼 = {{ 0 }, 𝐵})))
16	13, 14, 15	3bitr4i 306	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 0 ≠ (1r‘𝑅) ∧ 𝐼 = {{ 0 }, 𝐵}) ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐵 ≠ { 0 } ∧ 𝐼 = {{ 0 }, 𝐵}))
17	5, 16	bitri 278	1 ⊢ (𝑅 ∈ Field ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐵 ≠ { 0 } ∧ 𝐼 = {{ 0 }, 𝐵}))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  {csn 4588  {cpr 4590  ‘cfv 6555  Basecbs 17413  0_gc0g 17636  1_rcur 20434  Ringcrg 20486  CRingccrg 20487  Fieldcfield 21008  LIdealclidl 21511

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-tpos 8268  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8501  df-er 8742  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-fin 9002  df-card 10044  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-nn 12360  df-2 12429  df-3 12430  df-4 12431  df-5 12432  df-6 12433  df-7 12434  df-8 12435  df-n0 12631  df-z 12718  df-uz 12990  df-fz 13664  df-hash 14499  df-sets 17368  df-slot 17386  df-ndx 17398  df-base 17414  df-ress 17435  df-plusg 17467  df-mulr 17468  df-sca 17470  df-vsca 17471  df-ip 17472  df-0g 17638  df-mgm 18842  df-sgrp 18934  df-mnd 18950  df-grp 19173  df-minusg 19174  df-sbg 19175  df-subg 19359  df-cmn 20023  df-abl 20024  df-mgp 20388  df-rng 20402  df-ur 20435  df-ring 20488  df-cring 20489  df-oppr 20594  df-dvdsr 20614  df-unit 20615  df-invr 20645  df-nzr 20790  df-subrg 20849  df-drng 21009  df-field 21010  df-lmod 21164  df-lss 21234  df-lsp 21274  df-sra 21475  df-rgmod 21476  df-lidl 21513  df-rsp 21514

This theorem is used by: (None)