Theorem isfieldidl2 21488

Description: Determine if a ring is a field based on its ideals. (Contributed by Jeff Madsen, 6-Jan-2011.) (Revised by AV, 30-Jun-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
isfieldidl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
isfieldidl.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
isfieldidl.i	⊢ 𝐼 = (LIdeal‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
isfieldidl2	⊢ (𝑅 ∈ Field ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐵 ≠ { 0 } ∧ 𝐼 = {{ 0 }, 𝐵}))

Proof of Theorem isfieldidl2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfieldidl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		isfieldidl.0	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
3		isfieldidl.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (LIdeal‘𝑅)
4		eqid 2760	. . 3 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
5	1, 2, 3, 4	isfieldidl 21487	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Field ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ 0 ≠ (1r‘𝑅) ∧ 𝐼 = {{ 0 }, 𝐵}))
6		crngring 20419	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
7		eqcom 2767	. . . . . . . 8 ⊢ ( 0 = (1r‘𝑅) ↔ (1r‘𝑅) = 0 )
8	1, 2, 4	0ring01eqbi2 20730	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐵 = { 0 } ↔ (1r‘𝑅) = 0 ))
9	7, 8	bitr4id 293	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ( 0 = (1r‘𝑅) ↔ 𝐵 = { 0 }))
10	6, 9	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → ( 0 = (1r‘𝑅) ↔ 𝐵 = { 0 }))
11	10	necon3bid 2999	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → ( 0 ≠ (1r‘𝑅) ↔ 𝐵 ≠ { 0 }))
12	11	anbi1d 643	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (( 0 ≠ (1r‘𝑅) ∧ 𝐼 = {{ 0 }, 𝐵}) ↔ (𝐵 ≠ { 0 } ∧ 𝐼 = {{ 0 }, 𝐵})))
13	12	pm5.32i 585	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ ( 0 ≠ (1r‘𝑅) ∧ 𝐼 = {{ 0 }, 𝐵})) ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ (𝐵 ≠ { 0 } ∧ 𝐼 = {{ 0 }, 𝐵})))
14		3anass 1111	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 0 ≠ (1r‘𝑅) ∧ 𝐼 = {{ 0 }, 𝐵}) ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ ( 0 ≠ (1r‘𝑅) ∧ 𝐼 = {{ 0 }, 𝐵})))
15		3anass 1111	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐵 ≠ { 0 } ∧ 𝐼 = {{ 0 }, 𝐵}) ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ (𝐵 ≠ { 0 } ∧ 𝐼 = {{ 0 }, 𝐵})))
16	13, 14, 15	3bitr4i 306	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 0 ≠ (1r‘𝑅) ∧ 𝐼 = {{ 0 }, 𝐵}) ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐵 ≠ { 0 } ∧ 𝐼 = {{ 0 }, 𝐵}))
17	5, 16	bitri 278	1 ⊢ (𝑅 ∈ Field ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐵 ≠ { 0 } ∧ 𝐼 = {{ 0 }, 𝐵}))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  {csn 4584  {cpr 4586  ‘cfv 6528  Basecbs 17334  0_gc0g 17557  1_rcur 20354  Ringcrg 20406  CRingccrg 20407  Fieldcfield 20928  LIdealclidl 21431

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7735  ax-cnex 11213  ax-resscn 11214  ax-1cn 11215  ax-icn 11216  ax-addcl 11217  ax-addrcl 11218  ax-mulcl 11219  ax-mulrcl 11220  ax-mulcom 11221  ax-addass 11222  ax-mulass 11223  ax-distr 11224  ax-i2m1 11225  ax-1ne0 11226  ax-1rid 11227  ax-rnegex 11228  ax-rrecex 11229  ax-cnre 11230  ax-pre-lttri 11231  ax-pre-lttrn 11232  ax-pre-ltadd 11233  ax-pre-mulgt0 11234

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6294  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-riota 7366  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-tpos 8222  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8455  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-card 9977  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-sub 11500  df-neg 11501  df-nn 12291  df-2 12360  df-3 12361  df-4 12362  df-5 12363  df-6 12364  df-7 12365  df-8 12366  df-n0 12562  df-z 12649  df-uz 12921  df-fz 13595  df-hash 14428  df-sets 17289  df-slot 17307  df-ndx 17319  df-base 17335  df-ress 17356  df-plusg 17388  df-mulr 17389  df-sca 17391  df-vsca 17392  df-ip 17393  df-0g 17559  df-mgm 18763  df-sgrp 18855  df-mnd 18871  df-grp 19094  df-minusg 19095  df-sbg 19096  df-subg 19280  df-cmn 19943  df-abl 19944  df-mgp 20308  df-rng 20322  df-ur 20355  df-ring 20408  df-cring 20409  df-oppr 20514  df-dvdsr 20534  df-unit 20535  df-invr 20565  df-nzr 20710  df-subrg 20769  df-drng 20929  df-field 20930  df-lmod 21084  df-lss 21154  df-lsp 21194  df-sra 21395  df-rgmod 21396  df-lidl 21433  df-rsp 21434

This theorem is used by: (None)