Theorem 1stf1 18247

Description: Value of the first projection on an object. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
1stfval.t	⊢ 𝑇 = (𝐶 ×c 𝐷)
1stfval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑇)
1stfval.h	⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝑇)
1stfval.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
1stfval.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
1stfval.p	⊢ 𝑃 = (𝐶 1stF 𝐷)
1stf1.p	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
1stf1	⊢ (𝜑 → ((1st ‘𝑃)‘𝑅) = (1st ‘𝑅))

Proof of Theorem 1stf1

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1stfval.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = (𝐶 ×c 𝐷)
2		1stfval.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑇)
3		1stfval.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝑇)
4		1stfval.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
5		1stfval.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
6		1stfval.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (𝐶 1stF 𝐷)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	1stfval 18246	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 = ⟨(1st ↾ 𝐵), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1st ↾ (𝑥𝐻𝑦)))⟩)
8		fo1st 8005	. . . . . . 7 ⊢ 1st :V–onto→V
9		fofun 6794	. . . . . . 7 ⊢ (1st :V–onto→V → Fun 1st )
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ Fun 1st
11	2	fvexi 6896	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ V
12		resfunexg 7214	. . . . . 6 ⊢ ((Fun 1st ∧ 𝐵 ∈ V) → (1st ↾ 𝐵) ∈ V)
13	10, 11, 12	mp2an 704	. . . . 5 ⊢ (1st ↾ 𝐵) ∈ V
14	11, 11	mpoex 8075	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1st ↾ (𝑥𝐻𝑦))) ∈ V
15	13, 14	op1std 7995	. . . 4 ⊢ (𝑃 = ⟨(1st ↾ 𝐵), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1st ↾ (𝑥𝐻𝑦)))⟩ → (1st ‘𝑃) = (1st ↾ 𝐵))
16	7, 15	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1st ‘𝑃) = (1st ↾ 𝐵))
17	16	fveq1d 6884	. 2 ⊢ (𝜑 → ((1st ‘𝑃)‘𝑅) = ((1st ↾ 𝐵)‘𝑅))
18		1stf1.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝐵)
19	18	fvresd 6902	. 2 ⊢ (𝜑 → ((1st ↾ 𝐵)‘𝑅) = (1st ‘𝑅))
20	17, 19	eqtrd 2804	1 ⊢ (𝜑 → ((1st ‘𝑃)‘𝑅) = (1st ‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  Vcvv 3463  ⟨cop 4600   ↾ cres 5664  Fun wfun 6531  –onto→wfo 6535  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411   ∈ cmpo 7413  1^st c1st 7983  Basecbs 17268  Hom chom 17320  Catccat 17719   ×_c cxpc 18223   1^st_F c1stf 18224

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-4 12304  df-5 12305  df-6 12306  df-7 12307  df-8 12308  df-9 12309  df-n0 12504  df-z 12591  df-dec 12711  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-hom 17333  df-cco 17334  df-xpc 18227  df-1stf 18228

This theorem is referenced by:  prf1st  18259  1st2ndprf  18261  uncf1  18291  uncf2  18292  diag11  18298  yonedalem21  18328  yonedalem22  18333