Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1stf1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1stf1 17442
 Description: Value of the first projection on an object. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
1stfval.t 𝑇 = (𝐶 ×c 𝐷)
1stfval.b 𝐵 = (Base‘𝑇)
1stfval.h 𝐻 = (Hom ‘𝑇)
1stfval.c (𝜑𝐶 ∈ Cat)
1stfval.d (𝜑𝐷 ∈ Cat)
1stfval.p 𝑃 = (𝐶 1stF 𝐷)
1stf1.p (𝜑𝑅𝐵)
Assertion
Ref Expression
1stf1 (𝜑 → ((1st𝑃)‘𝑅) = (1st𝑅))

Proof of Theorem 1stf1
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1stfval.t . . . . 5 𝑇 = (𝐶 ×c 𝐷)
2 1stfval.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑇)
3 1stfval.h . . . . 5 𝐻 = (Hom ‘𝑇)
4 1stfval.c . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ Cat)
5 1stfval.d . . . . 5 (𝜑𝐷 ∈ Cat)
6 1stfval.p . . . . 5 𝑃 = (𝐶 1stF 𝐷)
71, 2, 3, 4, 5, 61stfval 17441 . . . 4 (𝜑𝑃 = ⟨(1st𝐵), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (1st ↾ (𝑥𝐻𝑦)))⟩)
8 fo1st 7704 . . . . . . 7 1st :V–onto→V
9 fofun 6582 . . . . . . 7 (1st :V–onto→V → Fun 1st )
108, 9ax-mp 5 . . . . . 6 Fun 1st
112fvexi 6675 . . . . . 6 𝐵 ∈ V
12 resfunexg 6969 . . . . . 6 ((Fun 1st𝐵 ∈ V) → (1st𝐵) ∈ V)
1310, 11, 12mp2an 691 . . . . 5 (1st𝐵) ∈ V
1411, 11mpoex 7773 . . . . 5 (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (1st ↾ (𝑥𝐻𝑦))) ∈ V
1513, 14op1std 7694 . . . 4 (𝑃 = ⟨(1st𝐵), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (1st ↾ (𝑥𝐻𝑦)))⟩ → (1st𝑃) = (1st𝐵))
167, 15syl 17 . . 3 (𝜑 → (1st𝑃) = (1st𝐵))
1716fveq1d 6663 . 2 (𝜑 → ((1st𝑃)‘𝑅) = ((1st𝐵)‘𝑅))
18 1stf1.p . . 3 (𝜑𝑅𝐵)
1918fvresd 6681 . 2 (𝜑 → ((1st𝐵)‘𝑅) = (1st𝑅))
2017, 19eqtrd 2859 1 (𝜑 → ((1st𝑃)‘𝑅) = (1st𝑅))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  Vcvv 3480  ⟨cop 4556   ↾ cres 5544  Fun wfun 6337  –onto→wfo 6341  ‘cfv 6343  (class class class)co 7149   ∈ cmpo 7151  1st c1st 7682  Basecbs 16483  Hom chom 16576  Catccat 16935   ×c cxpc 17418   1stF c1stf 17419 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-er 8285  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-4 11699  df-5 11700  df-6 11701  df-7 11702  df-8 11703  df-9 11704  df-n0 11895  df-z 11979  df-dec 12096  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-hom 16589  df-cco 16590  df-xpc 17422  df-1stf 17423 This theorem is referenced by:  prf1st  17454  1st2ndprf  17456  uncf1  17486  uncf2  17487  diag11  17493  yonedalem21  17523  yonedalem22  17528
 Copyright terms: Public domain W3C validator