Theorem 2ltceilhalf 48102

Description: The ceiling of half of an integer greater than 2 is greater than or equal to 2. (Contributed by AV, 4-Sep-2025.)

Assertion

Ref	Expression
2ltceilhalf	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 2 ≤ (⌈‘(𝑁 / 2)))

Proof of Theorem 2ltceilhalf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzp1 12911	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑁 = 3 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(3 + 1))))
2		ex-ceil 30846	. . . . 5 ⊢ ((⌈‘(3 / 2)) = 2 ∧ (⌈‘-(3 / 2)) = -1)
3		2re 12326	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
4	3	leidi 11759	. . . . . . 7 ⊢ 2 ≤ 2
5		breq2 5115	. . . . . . 7 ⊢ ((⌈‘(3 / 2)) = 2 → (2 ≤ (⌈‘(3 / 2)) ↔ 2 ≤ 2))
6	4, 5	mpbiri 261	. . . . . 6 ⊢ ((⌈‘(3 / 2)) = 2 → 2 ≤ (⌈‘(3 / 2)))
7	6	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((⌈‘(3 / 2)) = 2 ∧ (⌈‘-(3 / 2)) = -1) → 2 ≤ (⌈‘(3 / 2)))
8	2, 7	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 2 ≤ (⌈‘(3 / 2))
9		fvoveq1 7439	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 3 → (⌈‘(𝑁 / 2)) = (⌈‘(3 / 2)))
10	8, 9	breqtrrid 5151	. . 3 ⊢ (𝑁 = 3 → 2 ≤ (⌈‘(𝑁 / 2)))
11	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → 2 ∈ ℝ)
12		eluzelre 12885	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → 𝑁 ∈ ℝ)
13	12	rehalfcld 12502	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (𝑁 / 2) ∈ ℝ)
14	13	ceilcld 13890	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℤ)
15	14	zred 12712	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℝ)
16		2t2e4 12415	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 2) = 4
17		eluzle 12887	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → 4 ≤ 𝑁)
18	16, 17	eqbrtrid 5148	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (2 · 2) ≤ 𝑁)
19		2pos 12356	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 2
20	3, 19	pm3.2i 476	. . . . . . . 8 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
21	20	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
22		lemuldiv 12106	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((2 · 2) ≤ 𝑁 ↔ 2 ≤ (𝑁 / 2)))
23	3, 12, 21, 22	mp3an2i 1495	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → ((2 · 2) ≤ 𝑁 ↔ 2 ≤ (𝑁 / 2)))
24	18, 23	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → 2 ≤ (𝑁 / 2))
25	13	ceilged 13893	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (𝑁 / 2) ≤ (⌈‘(𝑁 / 2)))
26	11, 13, 15, 24, 25	letrd 11378	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → 2 ≤ (⌈‘(𝑁 / 2)))
27		3p1e4 12396	. . . . 5 ⊢ (3 + 1) = 4
28	27	fveq2i 6888	. . . 4 ⊢ (ℤ≥‘(3 + 1)) = (ℤ≥‘4)
29	26, 28	eleq2s 2883	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(3 + 1)) → 2 ≤ (⌈‘(𝑁 / 2)))
30	10, 29	jaoi 871	. 2 ⊢ ((𝑁 = 3 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(3 + 1))) → 2 ≤ (⌈‘(𝑁 / 2)))
31	1, 30	syl 18	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 2 ≤ (⌈‘(𝑁 / 2)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5111  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  ℝcr 11110  0cc0 11111  1c1 11112   + caddc 11114   · cmul 11116   < clt 11254   ≤ cle 11255  -cneg 11453   / cdiv 11882  2c2 12306  3c3 12307  4c4 12308  ℤ_≥cuz 12874  ⌈cceil 13838

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188  ax-pre-sup 11189

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-sup 9405  df-inf 9406  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-div 11883  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-4 12316  df-n0 12516  df-z 12603  df-uz 12875  df-fl 13839  df-ceil 13840

This theorem is used by:  ceilhalfgt1  48103  gpgprismgrusgra  48856  gpg3nbgrvtx0ALT  48875  gpg5edgnedg  48928