Theorem 2ltceilhalf 47688

Description: The ceiling of half of an integer greater than 2 is greater than or equal to 2. (Contributed by AV, 4-Sep-2025.)

Assertion

Ref	Expression
2ltceilhalf	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 2 ≤ (⌈‘(𝑁 / 2)))

Proof of Theorem 2ltceilhalf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzp1 12800	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑁 = 3 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(3 + 1))))
2		ex-ceil 30535	. . . . 5 ⊢ ((⌈‘(3 / 2)) = 2 ∧ (⌈‘-(3 / 2)) = -1)
3		2re 12231	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
4	3	leidi 11683	. . . . . . 7 ⊢ 2 ≤ 2
5		breq2 5104	. . . . . . 7 ⊢ ((⌈‘(3 / 2)) = 2 → (2 ≤ (⌈‘(3 / 2)) ↔ 2 ≤ 2))
6	4, 5	mpbiri 258	. . . . . 6 ⊢ ((⌈‘(3 / 2)) = 2 → 2 ≤ (⌈‘(3 / 2)))
7	6	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((⌈‘(3 / 2)) = 2 ∧ (⌈‘-(3 / 2)) = -1) → 2 ≤ (⌈‘(3 / 2)))
8	2, 7	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 2 ≤ (⌈‘(3 / 2))
9		fvoveq1 7391	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 3 → (⌈‘(𝑁 / 2)) = (⌈‘(3 / 2)))
10	8, 9	breqtrrid 5138	. . 3 ⊢ (𝑁 = 3 → 2 ≤ (⌈‘(𝑁 / 2)))
11	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → 2 ∈ ℝ)
12		eluzelre 12774	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → 𝑁 ∈ ℝ)
13	12	rehalfcld 12400	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (𝑁 / 2) ∈ ℝ)
14	13	ceilcld 13775	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℤ)
15	14	zred 12608	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℝ)
16		2t2e4 12316	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 2) = 4
17		eluzle 12776	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → 4 ≤ 𝑁)
18	16, 17	eqbrtrid 5135	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (2 · 2) ≤ 𝑁)
19		2pos 12260	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 2
20	3, 19	pm3.2i 470	. . . . . . . 8 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
21	20	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
22		lemuldiv 12034	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((2 · 2) ≤ 𝑁 ↔ 2 ≤ (𝑁 / 2)))
23	3, 12, 21, 22	mp3an2i 1469	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → ((2 · 2) ≤ 𝑁 ↔ 2 ≤ (𝑁 / 2)))
24	18, 23	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → 2 ≤ (𝑁 / 2))
25	13	ceilged 13778	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (𝑁 / 2) ≤ (⌈‘(𝑁 / 2)))
26	11, 13, 15, 24, 25	letrd 11302	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → 2 ≤ (⌈‘(𝑁 / 2)))
27		3p1e4 12297	. . . . 5 ⊢ (3 + 1) = 4
28	27	fveq2i 6845	. . . 4 ⊢ (ℤ≥‘(3 + 1)) = (ℤ≥‘4)
29	26, 28	eleq2s 2855	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(3 + 1)) → 2 ≤ (⌈‘(𝑁 / 2)))
30	10, 29	jaoi 858	. 2 ⊢ ((𝑁 = 3 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(3 + 1))) → 2 ≤ (⌈‘(𝑁 / 2)))
31	1, 30	syl 17	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 2 ≤ (⌈‘(𝑁 / 2)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5100  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  ℝcr 11037  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   · cmul 11043   < clt 11178   ≤ cle 11179  -cneg 11377   / cdiv 11806  2c2 12212  3c3 12213  4c4 12214  ℤ_≥cuz 12763  ⌈cceil 13723

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-sup 9357  df-inf 9358  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-fl 13724  df-ceil 13725

This theorem is referenced by:  ceilhalfgt1  47689  gpgprismgrusgra  48418  gpg3nbgrvtx0ALT  48437  gpg5edgnedg  48490