Theorem 2ltceilhalf 47902

Description: The ceiling of half of an integer greater than 2 is greater than or equal to 2. (Contributed by AV, 4-Sep-2025.)

Assertion

Ref	Expression
2ltceilhalf	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 2 ≤ (⌈‘(𝑁 / 2)))

Proof of Theorem 2ltceilhalf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzp1 12951	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑁 = 3 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(3 + 1))))
2		ex-ceil 30500	. . . . 5 ⊢ ((⌈‘(3 / 2)) = 2 ∧ (⌈‘-(3 / 2)) = -1)
3		2re 12372	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
4	3	leidi 11829	. . . . . . 7 ⊢ 2 ≤ 2
5		breq2 5171	. . . . . . 7 ⊢ ((⌈‘(3 / 2)) = 2 → (2 ≤ (⌈‘(3 / 2)) ↔ 2 ≤ 2))
6	4, 5	mpbiri 258	. . . . . 6 ⊢ ((⌈‘(3 / 2)) = 2 → 2 ≤ (⌈‘(3 / 2)))
7	6	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((⌈‘(3 / 2)) = 2 ∧ (⌈‘-(3 / 2)) = -1) → 2 ≤ (⌈‘(3 / 2)))
8	2, 7	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 2 ≤ (⌈‘(3 / 2))
9		fvoveq1 7474	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 3 → (⌈‘(𝑁 / 2)) = (⌈‘(3 / 2)))
10	8, 9	breqtrrid 5205	. . 3 ⊢ (𝑁 = 3 → 2 ≤ (⌈‘(𝑁 / 2)))
11	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → 2 ∈ ℝ)
12		eluzelre 12921	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → 𝑁 ∈ ℝ)
13	12	rehalfcld 12545	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (𝑁 / 2) ∈ ℝ)
14	13	ceilcld 13910	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℤ)
15	14	zred 12754	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℝ)
16		2t2e4 12462	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 2) = 4
17		eluzle 12923	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → 4 ≤ 𝑁)
18	16, 17	eqbrtrid 5202	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (2 · 2) ≤ 𝑁)
19		2pos 12401	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 2
20	3, 19	pm3.2i 470	. . . . . . . 8 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
21	20	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
22		lemuldiv 12180	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((2 · 2) ≤ 𝑁 ↔ 2 ≤ (𝑁 / 2)))
23	3, 12, 21, 22	mp3an2i 1466	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → ((2 · 2) ≤ 𝑁 ↔ 2 ≤ (𝑁 / 2)))
24	18, 23	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → 2 ≤ (𝑁 / 2))
25	13	ceilged 13913	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (𝑁 / 2) ≤ (⌈‘(𝑁 / 2)))
26	11, 13, 15, 24, 25	letrd 11450	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → 2 ≤ (⌈‘(𝑁 / 2)))
27		3p1e4 12443	. . . . 5 ⊢ (3 + 1) = 4
28	27	fveq2i 6926	. . . 4 ⊢ (ℤ≥‘(3 + 1)) = (ℤ≥‘4)
29	26, 28	eleq2s 2862	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(3 + 1)) → 2 ≤ (⌈‘(𝑁 / 2)))
30	10, 29	jaoi 856	. 2 ⊢ ((𝑁 = 3 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(3 + 1))) → 2 ≤ (⌈‘(𝑁 / 2)))
31	1, 30	syl 17	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 2 ≤ (⌈‘(𝑁 / 2)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 846   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5167  ‘cfv 6576  (class class class)co 7451  ℝcr 11186  0cc0 11187  1c1 11188   + caddc 11190   · cmul 11192   < clt 11327   ≤ cle 11328  -cneg 11525   / cdiv 11952  2c2 12353  3c3 12354  4c4 12355  ℤ_≥cuz 12910  ⌈cceil 13858

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5318  ax-nul 5325  ax-pow 5384  ax-pr 5448  ax-un 7773  ax-cnex 11243  ax-resscn 11244  ax-1cn 11245  ax-icn 11246  ax-addcl 11247  ax-addrcl 11248  ax-mulcl 11249  ax-mulrcl 11250  ax-mulcom 11251  ax-addass 11252  ax-mulass 11253  ax-distr 11254  ax-i2m1 11255  ax-1ne0 11256  ax-1rid 11257  ax-rnegex 11258  ax-rrecex 11259  ax-cnre 11260  ax-pre-lttri 11261  ax-pre-lttrn 11262  ax-pre-ltadd 11263  ax-pre-mulgt0 11264  ax-pre-sup 11265

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4933  df-iun 5018  df-br 5168  df-opab 5230  df-mpt 5251  df-tr 5285  df-id 5594  df-eprel 5600  df-po 5608  df-so 5609  df-fr 5653  df-we 5655  df-xp 5707  df-rel 5708  df-cnv 5709  df-co 5710  df-dm 5711  df-rn 5712  df-res 5713  df-ima 5714  df-pred 6335  df-ord 6401  df-on 6402  df-lim 6403  df-suc 6404  df-iota 6528  df-fun 6578  df-fn 6579  df-f 6580  df-f1 6581  df-fo 6582  df-f1o 6583  df-fv 6584  df-riota 7407  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7907  df-2nd 8034  df-frecs 8325  df-wrecs 8356  df-recs 8430  df-rdg 8469  df-er 8766  df-en 9007  df-dom 9008  df-sdom 9009  df-sup 9514  df-inf 9515  df-pnf 11329  df-mnf 11330  df-xr 11331  df-ltxr 11332  df-le 11333  df-sub 11526  df-neg 11527  df-div 11953  df-nn 12299  df-2 12361  df-3 12362  df-4 12363  df-n0 12559  df-z 12646  df-uz 12911  df-fl 13859  df-ceil 13860

This theorem is referenced by:  gpg3nbgrvtx0ALT  47920