Theorem 2ltceilhalf 47359

Description: The ceiling of half of an integer greater than 2 is greater than or equal to 2. (Contributed by AV, 4-Sep-2025.)

Assertion

Ref	Expression
2ltceilhalf	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 2 ≤ (⌈‘(𝑁 / 2)))

Proof of Theorem 2ltceilhalf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzp1 12768	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑁 = 3 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(3 + 1))))
2		ex-ceil 30420	. . . . 5 ⊢ ((⌈‘(3 / 2)) = 2 ∧ (⌈‘-(3 / 2)) = -1)
3		2re 12194	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
4	3	leidi 11646	. . . . . . 7 ⊢ 2 ≤ 2
5		breq2 5090	. . . . . . 7 ⊢ ((⌈‘(3 / 2)) = 2 → (2 ≤ (⌈‘(3 / 2)) ↔ 2 ≤ 2))
6	4, 5	mpbiri 258	. . . . . 6 ⊢ ((⌈‘(3 / 2)) = 2 → 2 ≤ (⌈‘(3 / 2)))
7	6	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((⌈‘(3 / 2)) = 2 ∧ (⌈‘-(3 / 2)) = -1) → 2 ≤ (⌈‘(3 / 2)))
8	2, 7	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 2 ≤ (⌈‘(3 / 2))
9		fvoveq1 7364	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 3 → (⌈‘(𝑁 / 2)) = (⌈‘(3 / 2)))
10	8, 9	breqtrrid 5124	. . 3 ⊢ (𝑁 = 3 → 2 ≤ (⌈‘(𝑁 / 2)))
11	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → 2 ∈ ℝ)
12		eluzelre 12738	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → 𝑁 ∈ ℝ)
13	12	rehalfcld 12363	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (𝑁 / 2) ∈ ℝ)
14	13	ceilcld 13742	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℤ)
15	14	zred 12572	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℝ)
16		2t2e4 12279	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 2) = 4
17		eluzle 12740	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → 4 ≤ 𝑁)
18	16, 17	eqbrtrid 5121	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (2 · 2) ≤ 𝑁)
19		2pos 12223	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 2
20	3, 19	pm3.2i 470	. . . . . . . 8 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
21	20	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
22		lemuldiv 11997	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((2 · 2) ≤ 𝑁 ↔ 2 ≤ (𝑁 / 2)))
23	3, 12, 21, 22	mp3an2i 1468	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → ((2 · 2) ≤ 𝑁 ↔ 2 ≤ (𝑁 / 2)))
24	18, 23	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → 2 ≤ (𝑁 / 2))
25	13	ceilged 13745	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (𝑁 / 2) ≤ (⌈‘(𝑁 / 2)))
26	11, 13, 15, 24, 25	letrd 11265	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → 2 ≤ (⌈‘(𝑁 / 2)))
27		3p1e4 12260	. . . . 5 ⊢ (3 + 1) = 4
28	27	fveq2i 6820	. . . 4 ⊢ (ℤ≥‘(3 + 1)) = (ℤ≥‘4)
29	26, 28	eleq2s 2849	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(3 + 1)) → 2 ≤ (⌈‘(𝑁 / 2)))
30	10, 29	jaoi 857	. 2 ⊢ ((𝑁 = 3 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(3 + 1))) → 2 ≤ (⌈‘(𝑁 / 2)))
31	1, 30	syl 17	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 2 ≤ (⌈‘(𝑁 / 2)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5086  ‘cfv 6476  (class class class)co 7341  ℝcr 11000  0cc0 11001  1c1 11002   + caddc 11004   · cmul 11006   < clt 11141   ≤ cle 11142  -cneg 11340   / cdiv 11769  2c2 12175  3c3 12176  4c4 12177  ℤ_≥cuz 12727  ⌈cceil 13690

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078  ax-pre-sup 11079

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-sup 9321  df-inf 9322  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-div 11770  df-nn 12121  df-2 12183  df-3 12184  df-4 12185  df-n0 12377  df-z 12464  df-uz 12728  df-fl 13691  df-ceil 13692

This theorem is referenced by:  ceilhalfgt1  47360  gpgprismgrusgra  48089  gpg3nbgrvtx0ALT  48108  gpg5edgnedg  48161