Theorem 2ltceilhalf 47302

Description: The ceiling of half of an integer greater than 2 is greater than or equal to 2. (Contributed by AV, 4-Sep-2025.)

Assertion

Ref	Expression
2ltceilhalf	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 2 ≤ (⌈‘(𝑁 / 2)))

Proof of Theorem 2ltceilhalf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzp1 12810	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑁 = 3 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(3 + 1))))
2		ex-ceil 30350	. . . . 5 ⊢ ((⌈‘(3 / 2)) = 2 ∧ (⌈‘-(3 / 2)) = -1)
3		2re 12236	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
4	3	leidi 11688	. . . . . . 7 ⊢ 2 ≤ 2
5		breq2 5106	. . . . . . 7 ⊢ ((⌈‘(3 / 2)) = 2 → (2 ≤ (⌈‘(3 / 2)) ↔ 2 ≤ 2))
6	4, 5	mpbiri 258	. . . . . 6 ⊢ ((⌈‘(3 / 2)) = 2 → 2 ≤ (⌈‘(3 / 2)))
7	6	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((⌈‘(3 / 2)) = 2 ∧ (⌈‘-(3 / 2)) = -1) → 2 ≤ (⌈‘(3 / 2)))
8	2, 7	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 2 ≤ (⌈‘(3 / 2))
9		fvoveq1 7392	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 3 → (⌈‘(𝑁 / 2)) = (⌈‘(3 / 2)))
10	8, 9	breqtrrid 5140	. . 3 ⊢ (𝑁 = 3 → 2 ≤ (⌈‘(𝑁 / 2)))
11	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → 2 ∈ ℝ)
12		eluzelre 12780	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → 𝑁 ∈ ℝ)
13	12	rehalfcld 12405	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (𝑁 / 2) ∈ ℝ)
14	13	ceilcld 13781	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℤ)
15	14	zred 12614	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℝ)
16		2t2e4 12321	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 2) = 4
17		eluzle 12782	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → 4 ≤ 𝑁)
18	16, 17	eqbrtrid 5137	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (2 · 2) ≤ 𝑁)
19		2pos 12265	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 2
20	3, 19	pm3.2i 470	. . . . . . . 8 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
21	20	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
22		lemuldiv 12039	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((2 · 2) ≤ 𝑁 ↔ 2 ≤ (𝑁 / 2)))
23	3, 12, 21, 22	mp3an2i 1468	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → ((2 · 2) ≤ 𝑁 ↔ 2 ≤ (𝑁 / 2)))
24	18, 23	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → 2 ≤ (𝑁 / 2))
25	13	ceilged 13784	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (𝑁 / 2) ≤ (⌈‘(𝑁 / 2)))
26	11, 13, 15, 24, 25	letrd 11307	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → 2 ≤ (⌈‘(𝑁 / 2)))
27		3p1e4 12302	. . . . 5 ⊢ (3 + 1) = 4
28	27	fveq2i 6843	. . . 4 ⊢ (ℤ≥‘(3 + 1)) = (ℤ≥‘4)
29	26, 28	eleq2s 2846	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(3 + 1)) → 2 ≤ (⌈‘(𝑁 / 2)))
30	10, 29	jaoi 857	. 2 ⊢ ((𝑁 = 3 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(3 + 1))) → 2 ≤ (⌈‘(𝑁 / 2)))
31	1, 30	syl 17	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 2 ≤ (⌈‘(𝑁 / 2)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5102  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  ℝcr 11043  0cc0 11044  1c1 11045   + caddc 11047   · cmul 11049   < clt 11184   ≤ cle 11185  -cneg 11382   / cdiv 11811  2c2 12217  3c3 12218  4c4 12219  ℤ_≥cuz 12769  ⌈cceil 13729

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-sup 9369  df-inf 9370  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-fl 13730  df-ceil 13731

This theorem is referenced by:  ceilhalfgt1  47303  gpgprismgrusgra  48022  gpg3nbgrvtx0ALT  48041