Theorem gpgprismgrusgra 48010

Description: The generalized Petersen graphs G(N,1), which are the N-prisms, are simple graphs. (Contributed by AV, 31-Oct-2025.)

Assertion

Ref	Expression
gpgprismgrusgra	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑁 gPetersenGr 1) ∈ USGraph)

Proof of Theorem gpgprismgrusgra

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1zzd 12621	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 1 ∈ ℤ)
2		eluzelre 12861	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ ℝ)
3		2re 12312	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
4	3	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 2 ∈ ℝ)
5		2ne0 12342	. . . . . . 7 ⊢ 2 ≠ 0
6	5	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 2 ≠ 0)
7	2, 4, 6	3jca 1128	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 2 ≠ 0))
8		redivcl 11958	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 2 ≠ 0) → (𝑁 / 2) ∈ ℝ)
9	7, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑁 / 2) ∈ ℝ)
10	9	ceilcld 13858	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℤ)
11		1red 11234	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 1 ∈ ℝ)
12	8	ceilcld 13858	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 2 ≠ 0) → (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℤ)
13	7, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℤ)
14	13	zred 12695	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℝ)
15		1lt2 12409	. . . . 5 ⊢ 1 < 2
16	15	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 1 < 2)
17		2ltceilhalf 47305	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 2 ≤ (⌈‘(𝑁 / 2)))
18	11, 4, 14, 16, 17	ltletrd 11393	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 1 < (⌈‘(𝑁 / 2)))
19		fzolb 13680	. . 3 ⊢ (1 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))) ↔ (1 ∈ ℤ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℤ ∧ 1 < (⌈‘(𝑁 / 2))))
20	1, 10, 18, 19	syl3anbrc 1344	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 1 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))))
21		gpgusgra 48009	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 1 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))) → (𝑁 gPetersenGr 1) ∈ USGraph)
22	20, 21	mpdan 687	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑁 gPetersenGr 1) ∈ USGraph)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932   class class class wbr 5119  ‘cfv 6530  (class class class)co 7403  ℝcr 11126  0cc0 11127  1c1 11128   < clt 11267   / cdiv 11892  2c2 12293  3c3 12294  ℤcz 12586  ℤ_≥cuz 12850  ..^cfzo 13669  ⌈cceil 13806  USGraphcusgr 29074   gPetersenGr cgpg 47992

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-riota 7360  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-om 7860  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-oadd 8482  df-er 8717  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9452  df-inf 9453  df-dju 9913  df-card 9951  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11466  df-neg 11467  df-div 11893  df-nn 12239  df-2 12301  df-3 12302  df-4 12303  df-5 12304  df-6 12305  df-7 12306  df-8 12307  df-9 12308  df-n0 12500  df-xnn0 12573  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12851  df-rp 13007  df-fz 13523  df-fzo 13670  df-fl 13807  df-ceil 13808  df-mod 13885  df-hash 14347  df-dvds 16271  df-struct 17164  df-slot 17199  df-ndx 17211  df-base 17227  df-edgf 28914  df-vtx 28923  df-iedg 28924  df-usgr 29076  df-gpg 47993

This theorem is referenced by:  gpgprismgr4cycllem11  48052