Theorem gpgprismgrusgra 49039

Description: The generalized Petersen graphs G(N,1), which are the N-prisms, are simple graphs. (Contributed by AV, 31-Oct-2025.)

Assertion

Ref	Expression
gpgprismgrusgra	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑁 gPetersenGr 1) ∈ USGraph)

Proof of Theorem gpgprismgrusgra

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1zzd 12674	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 1 ∈ ℤ)
2		eluzelre 12923	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ ℝ)
3		2re 12364	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
4	3	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 2 ∈ ℝ)
5		2ne0 12396	. . . . . . 7 ⊢ 2 ≠ 0
6	5	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 2 ≠ 0)
7	2, 4, 6	3jca 1146	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 2 ≠ 0))
8		redivcl 11983	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 2 ≠ 0) → (𝑁 / 2) ∈ ℝ)
9	7, 8	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑁 / 2) ∈ ℝ)
10	9	ceilcld 13929	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℤ)
11		1red 11258	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 1 ∈ ℝ)
12	8	ceilcld 13929	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 2 ≠ 0) → (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℤ)
13	7, 12	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℤ)
14	13	zred 12750	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℝ)
15		1lt2 12462	. . . . 5 ⊢ 1 < 2
16	15	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 1 < 2)
17		2ltceilhalf 48285	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 2 ≤ (⌈‘(𝑁 / 2)))
18	11, 4, 14, 16, 17	ltletrd 11419	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 1 < (⌈‘(𝑁 / 2)))
19		fzolb 13746	. . 3 ⊢ (1 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))) ↔ (1 ∈ ℤ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℤ ∧ 1 < (⌈‘(𝑁 / 2))))
20	1, 10, 18, 19	syl3anbrc 1362	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 1 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))))
21		gpgusgra 49038	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 1 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))) → (𝑁 gPetersenGr 1) ∈ USGraph)
22	20, 21	mpdan 700	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑁 gPetersenGr 1) ∈ USGraph)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955   class class class wbr 5103  ‘cfv 6535  (class class class)co 7416  ℝcr 11148  0cc0 11149  1c1 11150   < clt 11292   / cdiv 11920  2c2 12344  3c3 12345  ℤcz 12640  ℤ_≥cuz 12912  ..^cfzo 13734  ⌈cceil 13877  USGraphcusgr 29641   gPetersenGr cgpg 49021

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7742  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226  ax-pre-sup 11227

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6301  df-ord 6362  df-on 6363  df-lim 6364  df-suc 6365  df-iota 6491  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-1o 8462  df-oadd 8466  df-er 8703  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-sup 9419  df-inf 9420  df-dju 9931  df-card 9969  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11921  df-nn 12283  df-2 12352  df-3 12353  df-4 12354  df-5 12355  df-6 12356  df-7 12357  df-8 12358  df-9 12359  df-n0 12554  df-xnn0 12627  df-z 12641  df-dec 12762  df-uz 12913  df-rp 13068  df-fz 13587  df-fzo 13735  df-fl 13878  df-ceil 13879  df-mod 13956  df-hash 14420  df-dvds 16368  df-struct 17264  df-slot 17299  df-ndx 17311  df-base 17327  df-edgf 29478  df-vtx 29487  df-iedg 29488  df-usgr 29643  df-gpg 49022

This theorem is used by:  gpgprismgr4cycllem11  49086  grlimedgnedg  49112