Theorem gpgprismgrusgra 48371

Description: The generalized Petersen graphs G(N,1), which are the N-prisms, are simple graphs. (Contributed by AV, 31-Oct-2025.)

Assertion

Ref	Expression
gpgprismgrusgra	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑁 gPetersenGr 1) ∈ USGraph)

Proof of Theorem gpgprismgrusgra

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1zzd 12526	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 1 ∈ ℤ)
2		eluzelre 12766	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ ℝ)
3		2re 12223	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
4	3	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 2 ∈ ℝ)
5		2ne0 12253	. . . . . . 7 ⊢ 2 ≠ 0
6	5	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 2 ≠ 0)
7	2, 4, 6	3jca 1129	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 2 ≠ 0))
8		redivcl 11864	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 2 ≠ 0) → (𝑁 / 2) ∈ ℝ)
9	7, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑁 / 2) ∈ ℝ)
10	9	ceilcld 13767	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℤ)
11		1red 11137	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 1 ∈ ℝ)
12	8	ceilcld 13767	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 2 ≠ 0) → (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℤ)
13	7, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℤ)
14	13	zred 12600	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℝ)
15		1lt2 12315	. . . . 5 ⊢ 1 < 2
16	15	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 1 < 2)
17		2ltceilhalf 47641	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 2 ≤ (⌈‘(𝑁 / 2)))
18	11, 4, 14, 16, 17	ltletrd 11297	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 1 < (⌈‘(𝑁 / 2)))
19		fzolb 13585	. . 3 ⊢ (1 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))) ↔ (1 ∈ ℤ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℤ ∧ 1 < (⌈‘(𝑁 / 2))))
20	1, 10, 18, 19	syl3anbrc 1345	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 1 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))))
21		gpgusgra 48370	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 1 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))) → (𝑁 gPetersenGr 1) ∈ USGraph)
22	20, 21	mpdan 688	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑁 gPetersenGr 1) ∈ USGraph)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   class class class wbr 5099  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360  ℝcr 11029  0cc0 11030  1c1 11031   < clt 11170   / cdiv 11798  2c2 12204  3c3 12205  ℤcz 12492  ℤ_≥cuz 12755  ..^cfzo 13574  ⌈cceil 13715  USGraphcusgr 29226   gPetersenGr cgpg 48353

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107  ax-pre-sup 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-oadd 8403  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-sup 9349  df-inf 9350  df-dju 9817  df-card 9855  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-4 12214  df-5 12215  df-6 12216  df-7 12217  df-8 12218  df-9 12219  df-n0 12406  df-xnn0 12479  df-z 12493  df-dec 12612  df-uz 12756  df-rp 12910  df-fz 13428  df-fzo 13575  df-fl 13716  df-ceil 13717  df-mod 13794  df-hash 14258  df-dvds 16184  df-struct 17078  df-slot 17113  df-ndx 17125  df-base 17141  df-edgf 29066  df-vtx 29075  df-iedg 29076  df-usgr 29228  df-gpg 48354

This theorem is referenced by:  gpgprismgr4cycllem11  48418  grlimedgnedg  48444