Theorem gpgprismgrusgra 48749

Description: The generalized Petersen graphs G(N,1), which are the N-prisms, are simple graphs. (Contributed by AV, 31-Oct-2025.)

Assertion

Ref	Expression
gpgprismgrusgra	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑁 gPetersenGr 1) ∈ USGraph)

Proof of Theorem gpgprismgrusgra

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1zzd 12627	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 1 ∈ ℤ)
2		eluzelre 12875	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ ℝ)
3		2re 12317	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
4	3	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 2 ∈ ℝ)
5		2ne0 12349	. . . . . . 7 ⊢ 2 ≠ 0
6	5	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 2 ≠ 0)
7	2, 4, 6	3jca 1144	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 2 ≠ 0))
8		redivcl 11936	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 2 ≠ 0) → (𝑁 / 2) ∈ ℝ)
9	7, 8	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑁 / 2) ∈ ℝ)
10	9	ceilcld 13878	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℤ)
11		1red 11211	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 1 ∈ ℝ)
12	8	ceilcld 13878	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 2 ≠ 0) → (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℤ)
13	7, 12	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℤ)
14	13	zred 12702	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℝ)
15		1lt2 12415	. . . . 5 ⊢ 1 < 2
16	15	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 1 < 2)
17		2ltceilhalf 47995	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 2 ≤ (⌈‘(𝑁 / 2)))
18	11, 4, 14, 16, 17	ltletrd 11372	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 1 < (⌈‘(𝑁 / 2)))
19		fzolb 13696	. . 3 ⊢ (1 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))) ↔ (1 ∈ ℤ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℤ ∧ 1 < (⌈‘(𝑁 / 2))))
20	1, 10, 18, 19	syl3anbrc 1360	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 1 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))))
21		gpgusgra 48748	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 1 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))) → (𝑁 gPetersenGr 1) ∈ USGraph)
22	20, 21	mpdan 699	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑁 gPetersenGr 1) ∈ USGraph)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1101   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964   class class class wbr 5113  ‘cfv 6539  (class class class)co 7413  ℝcr 11101  0cc0 11102  1c1 11103   < clt 11245   / cdiv 11873  2c2 12297  3c3 12298  ℤcz 12593  ℤ_≥cuz 12864  ..^cfzo 13684  ⌈cceil 13826  USGraphcusgr 29442   gPetersenGr cgpg 48731

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5273  ax-pow 5339  ax-pr 5407  ax-un 7735  ax-cnex 11158  ax-resscn 11159  ax-1cn 11160  ax-icn 11161  ax-addcl 11162  ax-addrcl 11163  ax-mulcl 11164  ax-mulrcl 11165  ax-mulcom 11166  ax-addass 11167  ax-mulass 11168  ax-distr 11169  ax-i2m1 11170  ax-1ne0 11171  ax-1rid 11172  ax-rnegex 11173  ax-rrecex 11174  ax-cnre 11175  ax-pre-lttri 11176  ax-pre-lttrn 11177  ax-pre-ltadd 11178  ax-pre-mulgt0 11179  ax-pre-sup 11180

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5559  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5670  df-rel 5671  df-cnv 5672  df-co 5673  df-dm 5674  df-rn 5675  df-res 5676  df-ima 5677  df-pred 6305  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6495  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-oadd 8459  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-sup 9404  df-inf 9405  df-dju 9889  df-card 9927  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11874  df-nn 12236  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12507  df-xnn0 12580  df-z 12594  df-dec 12714  df-uz 12865  df-rp 13019  df-fz 13538  df-fzo 13685  df-fl 13827  df-ceil 13828  df-mod 13905  df-hash 14369  df-dvds 16313  df-struct 17209  df-slot 17244  df-ndx 17256  df-base 17272  df-edgf 29282  df-vtx 29291  df-iedg 29292  df-usgr 29444  df-gpg 48732

This theorem is referenced by:  gpgprismgr4cycllem11  48796  grlimedgnedg  48822