Theorem usgr2wspthons3 29911

Description: A simple path of length 2 between two vertices represented as length 3 string corresponds to two adjacent edges in a simple graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 8-Mar-2018.) (Revised by AV, 17-May-2021.) (Proof shortened by AV, 16-Mar-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
usgr2wspthon0.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
usgr2wspthon0.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
usgr2wspthons3	⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐶) ↔ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸)))

Proof of Theorem usgr2wspthons3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn 12320	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ
2		ne0i 4321	. . . . . . 7 ⊢ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐶) → (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐶) ≠ ∅)
3		wspthsnonn0vne 29864	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐶) ≠ ∅) → 𝐴 ≠ 𝐶)
4	1, 2, 3	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐶) → 𝐴 ≠ 𝐶)
5		simplr 768	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐶)) → 𝐴 ≠ 𝐶)
6		wpthswwlks2on 29908	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐶) = (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶))
7	6	eleq2d 2819	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐶) ↔ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶)))
8	7	biimpa 476	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐶)) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶))
9	5, 8	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐶)) → (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶)))
10	9	exp31 419	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (𝐴 ≠ 𝐶 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐶) → (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶)))))
11	10	com13 88	. . . . . 6 ⊢ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐶) → (𝐴 ≠ 𝐶 → (𝐺 ∈ USGraph → (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶)))))
12	4, 11	mpd 15	. . . . 5 ⊢ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐶) → (𝐺 ∈ USGraph → (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶))))
13	12	com12 32	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐶) → (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶))))
14	7	biimprd 248	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐶)))
15	14	expimpd 453	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → ((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶)) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐶)))
16	13, 15	impbid 212	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐶) ↔ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶))))
17	16	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐶) ↔ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶))))
18		usgrumgr 29125	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → 𝐺 ∈ UMGraph)
19		usgr2wspthon0.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
20		usgr2wspthon0.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
21	19, 20	umgrwwlks2on 29904	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶) ↔ ({𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸)))
22	18, 21	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶) ↔ ({𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸)))
23	22	anbi2d 630	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → ((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶)) ↔ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ ({𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸))))
24		3anass 1094	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸) ↔ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ ({𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸)))
25	23, 24	bitr4di 289	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → ((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶)) ↔ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸)))
26	17, 25	bitrd 279	1 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐶) ↔ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2931  ∅c0 4313  {cpr 4608  ‘cfv 6540  (class class class)co 7412  ℕcn 12247  2c2 12302  ⟨“cs3 14862  Vtxcvtx 28940  Edgcedg 28991  UMGraphcumgr 29025  USGraphcusgr 29093   WWalksNOn cwwlksnon 29774   WSPathsNOn cwwspthsnon 29776

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5259  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7736  ax-ac2 10484  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-ifp 1063  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4888  df-int 4927  df-iun 4973  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-se 5618  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6493  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7869  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-oadd 8491  df-er 8726  df-map 8849  df-pm 8850  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-dju 9922  df-card 9960  df-ac 10137  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11475  df-neg 11476  df-nn 12248  df-2 12310  df-3 12311  df-n0 12509  df-xnn0 12582  df-z 12596  df-uz 12860  df-fz 13529  df-fzo 13676  df-hash 14351  df-word 14534  df-concat 14590  df-s1 14615  df-s2 14868  df-s3 14869  df-edg 28992  df-uhgr 29002  df-upgr 29026  df-umgr 29027  df-uspgr 29094  df-usgr 29095  df-wlks 29544  df-wlkson 29545  df-trls 29637  df-trlson 29638  df-pths 29661  df-spths 29662  df-pthson 29663  df-spthson 29664  df-wwlks 29777  df-wwlksn 29778  df-wwlksnon 29779  df-wspthsnon 29781

This theorem is referenced by:  usgr2wspthon  29912