Theorem usgr2wspthons3 29687

Description: A simple path of length 2 between two vertices represented as length 3 string corresponds to two adjacent edges in a simple graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 8-Mar-2018.) (Revised by AV, 17-May-2021.) (Proof shortened by AV, 16-Mar-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
usgr2wspthon0.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
usgr2wspthon0.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
usgr2wspthons3	⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐶) ↔ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸)))

Proof of Theorem usgr2wspthons3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn 12282	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ
2		ne0i 4326	. . . . . . 7 ⊢ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐶) → (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐶) ≠ ∅)
3		wspthsnonn0vne 29640	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐶) ≠ ∅) → 𝐴 ≠ 𝐶)
4	1, 2, 3	sylancr 586	. . . . . 6 ⊢ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐶) → 𝐴 ≠ 𝐶)
5		simplr 766	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐶)) → 𝐴 ≠ 𝐶)
6		wpthswwlks2on 29684	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐶) = (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶))
7	6	eleq2d 2811	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐶) ↔ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶)))
8	7	biimpa 476	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐶)) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶))
9	5, 8	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐶)) → (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶)))
10	9	exp31 419	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (𝐴 ≠ 𝐶 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐶) → (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶)))))
11	10	com13 88	. . . . . 6 ⊢ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐶) → (𝐴 ≠ 𝐶 → (𝐺 ∈ USGraph → (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶)))))
12	4, 11	mpd 15	. . . . 5 ⊢ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐶) → (𝐺 ∈ USGraph → (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶))))
13	12	com12 32	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐶) → (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶))))
14	7	biimprd 247	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐶)))
15	14	expimpd 453	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → ((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶)) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐶)))
16	13, 15	impbid 211	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐶) ↔ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶))))
17	16	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐶) ↔ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶))))
18		usgrumgr 28908	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → 𝐺 ∈ UMGraph)
19		usgr2wspthon0.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
20		usgr2wspthon0.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
21	19, 20	umgrwwlks2on 29680	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶) ↔ ({𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸)))
22	18, 21	sylan 579	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶) ↔ ({𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸)))
23	22	anbi2d 628	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → ((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶)) ↔ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ ({𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸))))
24		3anass 1092	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸) ↔ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ ({𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸)))
25	23, 24	bitr4di 289	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → ((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶)) ↔ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸)))
26	17, 25	bitrd 279	1 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐶) ↔ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2932  ∅c0 4314  {cpr 4622  ‘cfv 6533  (class class class)co 7401  ℕcn 12209  2c2 12264  ⟨“cs3 14790  Vtxcvtx 28725  Edgcedg 28776  UMGraphcumgr 28810  USGraphcusgr 28878   WWalksNOn cwwlksnon 29550   WSPathsNOn cwwspthsnon 29552

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-ac2 10454  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-ifp 1060  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-2o 8462  df-oadd 8465  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-dju 9892  df-card 9930  df-ac 10107  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-n0 12470  df-xnn0 12542  df-z 12556  df-uz 12820  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-hash 14288  df-word 14462  df-concat 14518  df-s1 14543  df-s2 14796  df-s3 14797  df-edg 28777  df-uhgr 28787  df-upgr 28811  df-umgr 28812  df-uspgr 28879  df-usgr 28880  df-wlks 29325  df-wlkson 29326  df-trls 29418  df-trlson 29419  df-pths 29442  df-spths 29443  df-pthson 29444  df-spthson 29445  df-wwlks 29553  df-wwlksn 29554  df-wwlksnon 29555  df-wspthsnon 29557

This theorem is referenced by:  usgr2wspthon  29688