MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  3spthond Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 3spthond 29430
Description: A simple path of length 3 from one vertex to another, different vertex via a third vertex. (Contributed by AV, 10-Feb-2021.) (Revised by AV, 24-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
3wlkd.p 𝑃 = βŸ¨β€œπ΄π΅πΆπ·β€βŸ©
3wlkd.f 𝐹 = βŸ¨β€œπ½πΎπΏβ€βŸ©
3wlkd.s (πœ‘ β†’ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ (𝐢 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)))
3wlkd.n (πœ‘ β†’ ((𝐴 β‰  𝐡 ∧ 𝐴 β‰  𝐢) ∧ (𝐡 β‰  𝐢 ∧ 𝐡 β‰  𝐷) ∧ 𝐢 β‰  𝐷))
3wlkd.e (πœ‘ β†’ ({𝐴, 𝐡} βŠ† (πΌβ€˜π½) ∧ {𝐡, 𝐢} βŠ† (πΌβ€˜πΎ) ∧ {𝐢, 𝐷} βŠ† (πΌβ€˜πΏ)))
3wlkd.v 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
3wlkd.i 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ)
3trld.n (πœ‘ β†’ (𝐽 β‰  𝐾 ∧ 𝐽 β‰  𝐿 ∧ 𝐾 β‰  𝐿))
3spthd.n (πœ‘ β†’ 𝐴 β‰  𝐷)
Assertion
Ref Expression
3spthond (πœ‘ β†’ 𝐹(𝐴(SPathsOnβ€˜πΊ)𝐷)𝑃)

Proof of Theorem 3spthond
StepHypRef Expression
1 3wlkd.p . . 3 𝑃 = βŸ¨β€œπ΄π΅πΆπ·β€βŸ©
2 3wlkd.f . . 3 𝐹 = βŸ¨β€œπ½πΎπΏβ€βŸ©
3 3wlkd.s . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ (𝐢 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)))
4 3wlkd.n . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐴 β‰  𝐡 ∧ 𝐴 β‰  𝐢) ∧ (𝐡 β‰  𝐢 ∧ 𝐡 β‰  𝐷) ∧ 𝐢 β‰  𝐷))
5 3wlkd.e . . 3 (πœ‘ β†’ ({𝐴, 𝐡} βŠ† (πΌβ€˜π½) ∧ {𝐡, 𝐢} βŠ† (πΌβ€˜πΎ) ∧ {𝐢, 𝐷} βŠ† (πΌβ€˜πΏ)))
6 3wlkd.v . . 3 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
7 3wlkd.i . . 3 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ)
8 3trld.n . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐽 β‰  𝐾 ∧ 𝐽 β‰  𝐿 ∧ 𝐾 β‰  𝐿))
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 83trlond 29426 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹(𝐴(TrailsOnβ€˜πΊ)𝐷)𝑃)
10 3spthd.n . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 β‰  𝐷)
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 103spthd 29429 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹(SPathsβ€˜πΊ)𝑃)
123simplld 767 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
133simprrd 773 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑉)
14 s3cli 14832 . . . . . 6 βŸ¨β€œπ½πΎπΏβ€βŸ© ∈ Word V
152, 14eqeltri 2830 . . . . 5 𝐹 ∈ Word V
16 s4cli 14833 . . . . . 6 βŸ¨β€œπ΄π΅πΆπ·β€βŸ© ∈ Word V
171, 16eqeltri 2830 . . . . 5 𝑃 ∈ Word V
1815, 17pm3.2i 472 . . . 4 (𝐹 ∈ Word V ∧ 𝑃 ∈ Word V)
1918a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ Word V ∧ 𝑃 ∈ Word V))
206isspthson 29000 . . 3 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ Word V ∧ 𝑃 ∈ Word V)) β†’ (𝐹(𝐴(SPathsOnβ€˜πΊ)𝐷)𝑃 ↔ (𝐹(𝐴(TrailsOnβ€˜πΊ)𝐷)𝑃 ∧ 𝐹(SPathsβ€˜πΊ)𝑃)))
2112, 13, 19, 20syl21anc 837 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹(𝐴(SPathsOnβ€˜πΊ)𝐷)𝑃 ↔ (𝐹(𝐴(TrailsOnβ€˜πΊ)𝐷)𝑃 ∧ 𝐹(SPathsβ€˜πΊ)𝑃)))
229, 11, 21mpbir2and 712 1 (πœ‘ β†’ 𝐹(𝐴(SPathsOnβ€˜πΊ)𝐷)𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  Vcvv 3475   βŠ† wss 3949  {cpr 4631   class class class wbr 5149  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Word cword 14464  βŸ¨β€œcs3 14793  βŸ¨β€œcs4 14794  Vtxcvtx 28256  iEdgciedg 28257  TrailsOnctrlson 28948  SPathscspths 28970  SPathsOncspthson 28972
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-ifp 1063  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-hash 14291  df-word 14465  df-lsw 14513  df-concat 14521  df-s1 14546  df-s2 14799  df-s3 14800  df-s4 14801  df-wlks 28856  df-wlkson 28857  df-trls 28949  df-trlson 28950  df-spths 28974  df-spthson 28976
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator