MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  3spthond Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 3spthond 29939
Description: A simple path of length 3 from one vertex to another, different vertex via a third vertex. (Contributed by AV, 10-Feb-2021.) (Revised by AV, 24-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
3wlkd.p 𝑃 = βŸ¨β€œπ΄π΅πΆπ·β€βŸ©
3wlkd.f 𝐹 = βŸ¨β€œπ½πΎπΏβ€βŸ©
3wlkd.s (πœ‘ β†’ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ (𝐢 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)))
3wlkd.n (πœ‘ β†’ ((𝐴 β‰  𝐡 ∧ 𝐴 β‰  𝐢) ∧ (𝐡 β‰  𝐢 ∧ 𝐡 β‰  𝐷) ∧ 𝐢 β‰  𝐷))
3wlkd.e (πœ‘ β†’ ({𝐴, 𝐡} βŠ† (πΌβ€˜π½) ∧ {𝐡, 𝐢} βŠ† (πΌβ€˜πΎ) ∧ {𝐢, 𝐷} βŠ† (πΌβ€˜πΏ)))
3wlkd.v 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
3wlkd.i 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ)
3trld.n (πœ‘ β†’ (𝐽 β‰  𝐾 ∧ 𝐽 β‰  𝐿 ∧ 𝐾 β‰  𝐿))
3spthd.n (πœ‘ β†’ 𝐴 β‰  𝐷)
Assertion
Ref Expression
3spthond (πœ‘ β†’ 𝐹(𝐴(SPathsOnβ€˜πΊ)𝐷)𝑃)

Proof of Theorem 3spthond
StepHypRef Expression
1 3wlkd.p . . 3 𝑃 = βŸ¨β€œπ΄π΅πΆπ·β€βŸ©
2 3wlkd.f . . 3 𝐹 = βŸ¨β€œπ½πΎπΏβ€βŸ©
3 3wlkd.s . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ (𝐢 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)))
4 3wlkd.n . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐴 β‰  𝐡 ∧ 𝐴 β‰  𝐢) ∧ (𝐡 β‰  𝐢 ∧ 𝐡 β‰  𝐷) ∧ 𝐢 β‰  𝐷))
5 3wlkd.e . . 3 (πœ‘ β†’ ({𝐴, 𝐡} βŠ† (πΌβ€˜π½) ∧ {𝐡, 𝐢} βŠ† (πΌβ€˜πΎ) ∧ {𝐢, 𝐷} βŠ† (πΌβ€˜πΏ)))
6 3wlkd.v . . 3 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
7 3wlkd.i . . 3 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ)
8 3trld.n . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐽 β‰  𝐾 ∧ 𝐽 β‰  𝐿 ∧ 𝐾 β‰  𝐿))
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 83trlond 29935 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹(𝐴(TrailsOnβ€˜πΊ)𝐷)𝑃)
10 3spthd.n . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 β‰  𝐷)
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 103spthd 29938 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹(SPathsβ€˜πΊ)𝑃)
123simplld 765 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
133simprrd 771 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑉)
14 s3cli 14838 . . . . . 6 βŸ¨β€œπ½πΎπΏβ€βŸ© ∈ Word V
152, 14eqeltri 2823 . . . . 5 𝐹 ∈ Word V
16 s4cli 14839 . . . . . 6 βŸ¨β€œπ΄π΅πΆπ·β€βŸ© ∈ Word V
171, 16eqeltri 2823 . . . . 5 𝑃 ∈ Word V
1815, 17pm3.2i 470 . . . 4 (𝐹 ∈ Word V ∧ 𝑃 ∈ Word V)
1918a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ Word V ∧ 𝑃 ∈ Word V))
206isspthson 29509 . . 3 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ Word V ∧ 𝑃 ∈ Word V)) β†’ (𝐹(𝐴(SPathsOnβ€˜πΊ)𝐷)𝑃 ↔ (𝐹(𝐴(TrailsOnβ€˜πΊ)𝐷)𝑃 ∧ 𝐹(SPathsβ€˜πΊ)𝑃)))
2112, 13, 19, 20syl21anc 835 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹(𝐴(SPathsOnβ€˜πΊ)𝐷)𝑃 ↔ (𝐹(𝐴(TrailsOnβ€˜πΊ)𝐷)𝑃 ∧ 𝐹(SPathsβ€˜πΊ)𝑃)))
229, 11, 21mpbir2and 710 1 (πœ‘ β†’ 𝐹(𝐴(SPathsOnβ€˜πΊ)𝐷)𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  Vcvv 3468   βŠ† wss 3943  {cpr 4625   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Word cword 14470  βŸ¨β€œcs3 14799  βŸ¨β€œcs4 14800  Vtxcvtx 28764  iEdgciedg 28765  TrailsOnctrlson 29457  SPathscspths 29479  SPathsOncspthson 29481
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-ifp 1060  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-hash 14296  df-word 14471  df-lsw 14519  df-concat 14527  df-s1 14552  df-s2 14805  df-s3 14806  df-s4 14807  df-wlks 29365  df-wlkson 29366  df-trls 29458  df-trlson 29459  df-spths 29483  df-spthson 29485
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator