Theorem 3spthond 30543

Description: A simple path of length 3 from one vertex to another, different vertex via a third vertex. (Contributed by AV, 10-Feb-2021.) (Revised by AV, 24-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
3wlkd.p	⊢ 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩
3wlkd.f	⊢ 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩
3wlkd.s	⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)))
3wlkd.n	⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷))
3wlkd.e	⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘𝐽) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼‘𝐾) ∧ {𝐶, 𝐷} ⊆ (𝐼‘𝐿)))
3wlkd.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3wlkd.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
3trld.n	⊢ (𝜑 → (𝐽 ≠ 𝐾 ∧ 𝐽 ≠ 𝐿 ∧ 𝐾 ≠ 𝐿))
3spthd.n	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
3spthond	⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐷)𝑃)

Proof of Theorem 3spthond

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3wlkd.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩
2		3wlkd.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩
3		3wlkd.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)))
4		3wlkd.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷))
5		3wlkd.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘𝐽) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼‘𝐾) ∧ {𝐶, 𝐷} ⊆ (𝐼‘𝐿)))
6		3wlkd.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
7		3wlkd.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
8		3trld.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ≠ 𝐾 ∧ 𝐽 ≠ 𝐿 ∧ 𝐾 ≠ 𝐿))
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	3trlond 30539	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐴(TrailsOn‘𝐺)𝐷)𝑃)
10		3spthd.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐷)
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10	3spthd 30542	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃)
12	3	simplld 780	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
13	3	simprrd 786	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
14		s3cli 14929	. . . . . 6 ⊢ ⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩ ∈ Word V
15	2, 14	eqeltri 2862	. . . . 5 ⊢ 𝐹 ∈ Word V
16		s4cli 14930	. . . . . 6 ⊢ ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ ∈ Word V
17	1, 16	eqeltri 2862	. . . . 5 ⊢ 𝑃 ∈ Word V
18	15, 17	pm3.2i 476	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ Word V ∧ 𝑃 ∈ Word V)
19	18	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ Word V ∧ 𝑃 ∈ Word V))
20	6	isspthson 30107	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ Word V ∧ 𝑃 ∈ Word V)) → (𝐹(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐷)𝑃 ↔ (𝐹(𝐴(TrailsOn‘𝐺)𝐷)𝑃 ∧ 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃)))
21	12, 13, 19, 20	syl21anc 851	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐷)𝑃 ↔ (𝐹(𝐴(TrailsOn‘𝐺)𝐷)𝑃 ∧ 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃)))
22	9, 11, 21	mpbir2and 726	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐷)𝑃)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2961  Vcvv 3458   ⊆ wss 3908  {cpr 4594   class class class wbr 5112  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  Word cword 14561  ⟨“cs3 14890  ⟨“cs4 14891  Vtxcvtx 29361  iEdgciedg 29362  TrailsOnctrlson 30054  SPathscspths 30075  SPathsOncspthson 30077

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5241  ax-sep 5260  ax-nul 5272  ax-pow 5339  ax-pr 5407  ax-un 7738  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-ifp 1079  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4876  df-int 4916  df-iun 4961  df-br 5113  df-opab 5177  df-mpt 5196  df-tr 5222  df-id 5559  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5670  df-rel 5671  df-cnv 5672  df-co 5673  df-dm 5674  df-rn 5675  df-res 5676  df-ima 5677  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-er 8696  df-map 8828  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-card 9936  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12244  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-n0 12515  df-z 12602  df-uz 12873  df-fz 13546  df-fzo 13694  df-hash 14378  df-word 14562  df-lsw 14611  df-concat 14619  df-s1 14645  df-s2 14896  df-s3 14897  df-s4 14898  df-wlks 29964  df-wlkson 29965  df-trls 30055  df-trlson 30056  df-spths 30079  df-spthson 30081

This theorem is used by: (None)