Theorem 3spthond 30498

Description: A simple path of length 3 from one vertex to another, different vertex via a third vertex. (Contributed by AV, 10-Feb-2021.) (Revised by AV, 24-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
3wlkd.p	⊢ 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩
3wlkd.f	⊢ 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩
3wlkd.s	⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)))
3wlkd.n	⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷))
3wlkd.e	⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘𝐽) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼‘𝐾) ∧ {𝐶, 𝐷} ⊆ (𝐼‘𝐿)))
3wlkd.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3wlkd.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
3trld.n	⊢ (𝜑 → (𝐽 ≠ 𝐾 ∧ 𝐽 ≠ 𝐿 ∧ 𝐾 ≠ 𝐿))
3spthd.n	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
3spthond	⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐷)𝑃)

Proof of Theorem 3spthond

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3wlkd.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩
2		3wlkd.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩
3		3wlkd.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)))
4		3wlkd.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷))
5		3wlkd.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘𝐽) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼‘𝐾) ∧ {𝐶, 𝐷} ⊆ (𝐼‘𝐿)))
6		3wlkd.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
7		3wlkd.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
8		3trld.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ≠ 𝐾 ∧ 𝐽 ≠ 𝐿 ∧ 𝐾 ≠ 𝐿))
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	3trlond 30494	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐴(TrailsOn‘𝐺)𝐷)𝑃)
10		3spthd.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐷)
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10	3spthd 30497	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃)
12	3	simplld 779	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
13	3	simprrd 785	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
14		s3cli 14921	. . . . . 6 ⊢ ⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩ ∈ Word V
15	2, 14	eqeltri 2866	. . . . 5 ⊢ 𝐹 ∈ Word V
16		s4cli 14922	. . . . . 6 ⊢ ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ ∈ Word V
17	1, 16	eqeltri 2866	. . . . 5 ⊢ 𝑃 ∈ Word V
18	15, 17	pm3.2i 475	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ Word V ∧ 𝑃 ∈ Word V)
19	18	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ Word V ∧ 𝑃 ∈ Word V))
20	6	isspthson 30062	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ Word V ∧ 𝑃 ∈ Word V)) → (𝐹(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐷)𝑃 ↔ (𝐹(𝐴(TrailsOn‘𝐺)𝐷)𝑃 ∧ 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃)))
21	12, 13, 19, 20	syl21anc 850	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐷)𝑃 ↔ (𝐹(𝐴(TrailsOn‘𝐺)𝐷)𝑃 ∧ 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃)))
22	9, 11, 21	mpbir2and 725	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐷)𝑃)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1568   ∈ wcel 2150   ≠ wne 2965  Vcvv 3462   ⊆ wss 3913  {cpr 4596   class class class wbr 5114  ‘cfv 6540  (class class class)co 7414  Word cword 14553  ⟨“cs3 14882  ⟨“cs4 14883  Vtxcvtx 29316  iEdgciedg 29317  TrailsOnctrlson 30009  SPathscspths 30030  SPathsOncspthson 30032

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2152  ax-9 2160  ax-10 2183  ax-11 2199  ax-12 2220  ax-ext 2742  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5340  ax-pr 5408  ax-un 7736  ax-cnex 11159  ax-resscn 11160  ax-1cn 11161  ax-icn 11162  ax-addcl 11163  ax-addrcl 11164  ax-mulcl 11165  ax-mulrcl 11166  ax-mulcom 11167  ax-addass 11168  ax-mulass 11169  ax-distr 11170  ax-i2m1 11171  ax-1ne0 11172  ax-1rid 11173  ax-rnegex 11174  ax-rrecex 11175  ax-cnre 11176  ax-pre-lttri 11177  ax-pre-lttrn 11178  ax-pre-ltadd 11179  ax-pre-mulgt0 11180

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-ifp 1077  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2099  df-mo 2574  df-eu 2604  df-clab 2749  df-cleq 2762  df-clel 2845  df-nfc 2919  df-ne 2966  df-nel 3072  df-ral 3087  df-rex 3097  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3464  df-sbc 3753  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5560  df-eprel 5565  df-po 5573  df-so 5574  df-fr 5618  df-we 5620  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8456  df-er 8697  df-map 8829  df-en 8947  df-dom 8948  df-sdom 8949  df-fin 8950  df-card 9928  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12237  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-n0 12508  df-z 12595  df-uz 12866  df-fz 13539  df-fzo 13686  df-hash 14370  df-word 14554  df-lsw 14603  df-concat 14611  df-s1 14637  df-s2 14888  df-s3 14889  df-s4 14890  df-wlks 29919  df-wlkson 29920  df-trls 30010  df-trlson 30011  df-spths 30034  df-spthson 30036

This theorem is referenced by: (None)