MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  3trld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 3trld 27954
Description: Construction of a trail from two given edges in a graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 13-Nov-2017.) (Revised by AV, 8-Feb-2021.) (Revised by AV, 24-Mar-2021.) (Proof shortened by AV, 30-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
3wlkd.p 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩
3wlkd.f 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩
3wlkd.s (𝜑 → ((𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑉)))
3wlkd.n (𝜑 → ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷))
3wlkd.e (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼𝐽) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼𝐾) ∧ {𝐶, 𝐷} ⊆ (𝐼𝐿)))
3wlkd.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3wlkd.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
3trld.n (𝜑 → (𝐽𝐾𝐽𝐿𝐾𝐿))
Assertion
Ref Expression
3trld (𝜑𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)

Proof of Theorem 3trld
StepHypRef Expression
1 3wlkd.p . . 3 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩
2 3wlkd.f . . 3 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩
3 3wlkd.s . . 3 (𝜑 → ((𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑉)))
4 3wlkd.n . . 3 (𝜑 → ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷))
5 3wlkd.e . . 3 (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼𝐽) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼𝐾) ∧ {𝐶, 𝐷} ⊆ (𝐼𝐿)))
6 3wlkd.v . . 3 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
7 3wlkd.i . . 3 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
81, 2, 3, 4, 5, 6, 73wlkd 27952 . 2 (𝜑𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
91, 2, 3, 4, 53wlkdlem7 27948 . . . 4 (𝜑 → (𝐽 ∈ V ∧ 𝐾 ∈ V ∧ 𝐿 ∈ V))
10 3trld.n . . . 4 (𝜑 → (𝐽𝐾𝐽𝐿𝐾𝐿))
11 funcnvs3 14279 . . . 4 (((𝐽 ∈ V ∧ 𝐾 ∈ V ∧ 𝐿 ∈ V) ∧ (𝐽𝐾𝐽𝐿𝐾𝐿)) → Fun ⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩)
129, 10, 11syl2anc 586 . . 3 (𝜑 → Fun ⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩)
132cnveqi 5748 . . . 4 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩
1413funeqi 6379 . . 3 (Fun 𝐹 ↔ Fun ⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩)
1512, 14sylibr 236 . 2 (𝜑 → Fun 𝐹)
16 istrl 27481 . 2 (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ Fun 𝐹))
178, 15, 16sylanbrc 585 1 (𝜑𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398  w3a 1083   = wceq 1536  wcel 2113  wne 3019  Vcvv 3497  wss 3939  {cpr 4572   class class class wbr 5069  ccnv 5557  Fun wfun 6352  cfv 6358  ⟨“cs3 14207  ⟨“cs4 14208  Vtxcvtx 26784  iEdgciedg 26785  Walkscwlks 27381  Trailsctrls 27475
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-rep 5193  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-cnex 10596  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616  ax-pre-mulgt0 10617
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-ifp 1058  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-int 4880  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-om 7584  df-1st 7692  df-2nd 7693  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-1o 8105  df-oadd 8109  df-er 8292  df-map 8411  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-fin 8516  df-card 9371  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-sub 10875  df-neg 10876  df-nn 11642  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-fz 12896  df-fzo 13037  df-hash 13694  df-word 13865  df-concat 13926  df-s1 13953  df-s2 14213  df-s3 14214  df-s4 14215  df-wlks 27384  df-trls 27477
This theorem is referenced by:  3trlond  27955  3pthd  27956  3spthd  27958
  Copyright terms: Public domain W3C validator