MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  3trlond Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 3trlond 29120
Description: A trail of length 3 from one vertex to another, different vertex via a third vertex. (Contributed by AV, 8-Feb-2021.) (Revised by AV, 24-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
3wlkd.p 𝑃 = βŸ¨β€œπ΄π΅πΆπ·β€βŸ©
3wlkd.f 𝐹 = βŸ¨β€œπ½πΎπΏβ€βŸ©
3wlkd.s (πœ‘ β†’ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ (𝐢 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)))
3wlkd.n (πœ‘ β†’ ((𝐴 β‰  𝐡 ∧ 𝐴 β‰  𝐢) ∧ (𝐡 β‰  𝐢 ∧ 𝐡 β‰  𝐷) ∧ 𝐢 β‰  𝐷))
3wlkd.e (πœ‘ β†’ ({𝐴, 𝐡} βŠ† (πΌβ€˜π½) ∧ {𝐡, 𝐢} βŠ† (πΌβ€˜πΎ) ∧ {𝐢, 𝐷} βŠ† (πΌβ€˜πΏ)))
3wlkd.v 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
3wlkd.i 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ)
3trld.n (πœ‘ β†’ (𝐽 β‰  𝐾 ∧ 𝐽 β‰  𝐿 ∧ 𝐾 β‰  𝐿))
Assertion
Ref Expression
3trlond (πœ‘ β†’ 𝐹(𝐴(TrailsOnβ€˜πΊ)𝐷)𝑃)

Proof of Theorem 3trlond
StepHypRef Expression
1 3wlkd.p . . 3 𝑃 = βŸ¨β€œπ΄π΅πΆπ·β€βŸ©
2 3wlkd.f . . 3 𝐹 = βŸ¨β€œπ½πΎπΏβ€βŸ©
3 3wlkd.s . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ (𝐢 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)))
4 3wlkd.n . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐴 β‰  𝐡 ∧ 𝐴 β‰  𝐢) ∧ (𝐡 β‰  𝐢 ∧ 𝐡 β‰  𝐷) ∧ 𝐢 β‰  𝐷))
5 3wlkd.e . . 3 (πœ‘ β†’ ({𝐴, 𝐡} βŠ† (πΌβ€˜π½) ∧ {𝐡, 𝐢} βŠ† (πΌβ€˜πΎ) ∧ {𝐢, 𝐷} βŠ† (πΌβ€˜πΏ)))
6 3wlkd.v . . 3 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
7 3wlkd.i . . 3 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ)
81, 2, 3, 4, 5, 6, 73wlkond 29118 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹(𝐴(WalksOnβ€˜πΊ)𝐷)𝑃)
9 3trld.n . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐽 β‰  𝐾 ∧ 𝐽 β‰  𝐿 ∧ 𝐾 β‰  𝐿))
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 93trld 29119 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹(Trailsβ€˜πΊ)𝑃)
113simplld 767 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
123simprrd 773 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑉)
13 s3cli 14771 . . . . . 6 βŸ¨β€œπ½πΎπΏβ€βŸ© ∈ Word V
142, 13eqeltri 2834 . . . . 5 𝐹 ∈ Word V
15 s4cli 14772 . . . . . 6 βŸ¨β€œπ΄π΅πΆπ·β€βŸ© ∈ Word V
161, 15eqeltri 2834 . . . . 5 𝑃 ∈ Word V
1714, 16pm3.2i 472 . . . 4 (𝐹 ∈ Word V ∧ 𝑃 ∈ Word V)
1817a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ Word V ∧ 𝑃 ∈ Word V))
196istrlson 28658 . . 3 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ Word V ∧ 𝑃 ∈ Word V)) β†’ (𝐹(𝐴(TrailsOnβ€˜πΊ)𝐷)𝑃 ↔ (𝐹(𝐴(WalksOnβ€˜πΊ)𝐷)𝑃 ∧ 𝐹(Trailsβ€˜πΊ)𝑃)))
2011, 12, 18, 19syl21anc 837 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹(𝐴(TrailsOnβ€˜πΊ)𝐷)𝑃 ↔ (𝐹(𝐴(WalksOnβ€˜πΊ)𝐷)𝑃 ∧ 𝐹(Trailsβ€˜πΊ)𝑃)))
218, 10, 20mpbir2and 712 1 (πœ‘ β†’ 𝐹(𝐴(TrailsOnβ€˜πΊ)𝐷)𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  Vcvv 3446   βŠ† wss 3911  {cpr 4589   class class class wbr 5106  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Word cword 14403  βŸ¨β€œcs3 14732  βŸ¨β€œcs4 14733  Vtxcvtx 27950  iEdgciedg 27951  WalksOncwlkson 28548  Trailsctrls 28641  TrailsOnctrlson 28642
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-ifp 1063  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8649  df-map 8768  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-card 9876  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-nn 12155  df-2 12217  df-3 12218  df-4 12219  df-n0 12415  df-z 12501  df-uz 12765  df-fz 13426  df-fzo 13569  df-hash 14232  df-word 14404  df-lsw 14452  df-concat 14460  df-s1 14485  df-s2 14738  df-s3 14739  df-s4 14740  df-wlks 28550  df-wlkson 28551  df-trls 28643  df-trlson 28644
This theorem is referenced by:  3pthond  29122  3spthond  29124
  Copyright terms: Public domain W3C validator