MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  3spthd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 3spthd 29294
Description: A simple path of length 3 from one vertex to another, different vertex via a third vertex. (Contributed by AV, 10-Feb-2021.) (Revised by AV, 24-Mar-2021.) (Proof shortened by AV, 30-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
3wlkd.p 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩
3wlkd.f 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩
3wlkd.s (𝜑 → ((𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑉)))
3wlkd.n (𝜑 → ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷))
3wlkd.e (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼𝐽) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼𝐾) ∧ {𝐶, 𝐷} ⊆ (𝐼𝐿)))
3wlkd.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3wlkd.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
3trld.n (𝜑 → (𝐽𝐾𝐽𝐿𝐾𝐿))
3spthd.n (𝜑𝐴𝐷)
Assertion
Ref Expression
3spthd (𝜑𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃)

Proof of Theorem 3spthd
StepHypRef Expression
1 3wlkd.p . . 3 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩
2 3wlkd.f . . 3 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩
3 3wlkd.s . . 3 (𝜑 → ((𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑉)))
4 3wlkd.n . . 3 (𝜑 → ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷))
5 3wlkd.e . . 3 (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼𝐽) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼𝐾) ∧ {𝐶, 𝐷} ⊆ (𝐼𝐿)))
6 3wlkd.v . . 3 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
7 3wlkd.i . . 3 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
8 3trld.n . . 3 (𝜑 → (𝐽𝐾𝐽𝐿𝐾𝐿))
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 83trld 29290 . 2 (𝜑𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
10 simpr 485 . . 3 ((𝜑𝐹(Trails‘𝐺)𝑃) → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
11 3spthd.n . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴𝐷)
12 df-3an 1089 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴𝐷) ↔ ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ 𝐴𝐷))
1312simplbi2 501 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝐵𝐴𝐶) → (𝐴𝐷 → (𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴𝐷)))
14133ad2ant1 1133 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷) → (𝐴𝐷 → (𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴𝐷)))
1511, 14mpan9 507 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷)) → (𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴𝐷))
16 simpr2 1195 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷)) → (𝐵𝐶𝐵𝐷))
17 simpr3 1196 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷)) → 𝐶𝐷)
1815, 16, 173jca 1128 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷)) → ((𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷))
194, 18mpdan 685 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷))
20 funcnvs4 14848 . . . . . 6 ((((𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑉)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷)) → Fun ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩)
213, 19, 20syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → Fun ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩)
2221adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝐹(Trails‘𝐺)𝑃) → Fun ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩)
231a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝐹(Trails‘𝐺)𝑃) → 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩)
2423cnveqd 5867 . . . . 5 ((𝜑𝐹(Trails‘𝐺)𝑃) → 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩)
2524funeqd 6559 . . . 4 ((𝜑𝐹(Trails‘𝐺)𝑃) → (Fun 𝑃 ↔ Fun ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩))
2622, 25mpbird 256 . . 3 ((𝜑𝐹(Trails‘𝐺)𝑃) → Fun 𝑃)
27 isspth 28846 . . 3 (𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun 𝑃))
2810, 26, 27sylanbrc 583 . 2 ((𝜑𝐹(Trails‘𝐺)𝑃) → 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃)
299, 28mpdan 685 1 (𝜑𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2939  wss 3944  {cpr 4624   class class class wbr 5141  ccnv 5668  Fun wfun 6526  cfv 6532  ⟨“cs3 14775  ⟨“cs4 14776  Vtxcvtx 28121  iEdgciedg 28122  Trailsctrls 28812  SPathscspths 28835
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-cnex 11148  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168  ax-pre-mulgt0 11169
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-ifp 1062  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-tp 4627  df-op 4629  df-uni 4902  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-om 7839  df-1st 7957  df-2nd 7958  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-rdg 8392  df-1o 8448  df-er 8686  df-map 8805  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-fin 8926  df-card 9916  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-le 11236  df-sub 11428  df-neg 11429  df-nn 12195  df-2 12257  df-3 12258  df-4 12259  df-n0 12455  df-z 12541  df-uz 12805  df-fz 13467  df-fzo 13610  df-hash 14273  df-word 14447  df-concat 14503  df-s1 14528  df-s2 14781  df-s3 14782  df-s4 14783  df-wlks 28721  df-trls 28814  df-spths 28839
This theorem is referenced by:  3spthond  29295
  Copyright terms: Public domain W3C validator