MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  3spthd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 3spthd 29934
Description: A simple path of length 3 from one vertex to another, different vertex via a third vertex. (Contributed by AV, 10-Feb-2021.) (Revised by AV, 24-Mar-2021.) (Proof shortened by AV, 30-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
3wlkd.p 𝑃 = βŸ¨β€œπ΄π΅πΆπ·β€βŸ©
3wlkd.f 𝐹 = βŸ¨β€œπ½πΎπΏβ€βŸ©
3wlkd.s (πœ‘ β†’ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ (𝐢 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)))
3wlkd.n (πœ‘ β†’ ((𝐴 β‰  𝐡 ∧ 𝐴 β‰  𝐢) ∧ (𝐡 β‰  𝐢 ∧ 𝐡 β‰  𝐷) ∧ 𝐢 β‰  𝐷))
3wlkd.e (πœ‘ β†’ ({𝐴, 𝐡} βŠ† (πΌβ€˜π½) ∧ {𝐡, 𝐢} βŠ† (πΌβ€˜πΎ) ∧ {𝐢, 𝐷} βŠ† (πΌβ€˜πΏ)))
3wlkd.v 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
3wlkd.i 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ)
3trld.n (πœ‘ β†’ (𝐽 β‰  𝐾 ∧ 𝐽 β‰  𝐿 ∧ 𝐾 β‰  𝐿))
3spthd.n (πœ‘ β†’ 𝐴 β‰  𝐷)
Assertion
Ref Expression
3spthd (πœ‘ β†’ 𝐹(SPathsβ€˜πΊ)𝑃)

Proof of Theorem 3spthd
StepHypRef Expression
1 3wlkd.p . . 3 𝑃 = βŸ¨β€œπ΄π΅πΆπ·β€βŸ©
2 3wlkd.f . . 3 𝐹 = βŸ¨β€œπ½πΎπΏβ€βŸ©
3 3wlkd.s . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ (𝐢 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)))
4 3wlkd.n . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐴 β‰  𝐡 ∧ 𝐴 β‰  𝐢) ∧ (𝐡 β‰  𝐢 ∧ 𝐡 β‰  𝐷) ∧ 𝐢 β‰  𝐷))
5 3wlkd.e . . 3 (πœ‘ β†’ ({𝐴, 𝐡} βŠ† (πΌβ€˜π½) ∧ {𝐡, 𝐢} βŠ† (πΌβ€˜πΎ) ∧ {𝐢, 𝐷} βŠ† (πΌβ€˜πΏ)))
6 3wlkd.v . . 3 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
7 3wlkd.i . . 3 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ)
8 3trld.n . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐽 β‰  𝐾 ∧ 𝐽 β‰  𝐿 ∧ 𝐾 β‰  𝐿))
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 83trld 29930 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹(Trailsβ€˜πΊ)𝑃)
10 simpr 484 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐹(Trailsβ€˜πΊ)𝑃) β†’ 𝐹(Trailsβ€˜πΊ)𝑃)
11 3spthd.n . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐴 β‰  𝐷)
12 df-3an 1086 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 β‰  𝐡 ∧ 𝐴 β‰  𝐢 ∧ 𝐴 β‰  𝐷) ↔ ((𝐴 β‰  𝐡 ∧ 𝐴 β‰  𝐢) ∧ 𝐴 β‰  𝐷))
1312simplbi2 500 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 β‰  𝐡 ∧ 𝐴 β‰  𝐢) β†’ (𝐴 β‰  𝐷 β†’ (𝐴 β‰  𝐡 ∧ 𝐴 β‰  𝐢 ∧ 𝐴 β‰  𝐷)))
14133ad2ant1 1130 . . . . . . . . 9 (((𝐴 β‰  𝐡 ∧ 𝐴 β‰  𝐢) ∧ (𝐡 β‰  𝐢 ∧ 𝐡 β‰  𝐷) ∧ 𝐢 β‰  𝐷) β†’ (𝐴 β‰  𝐷 β†’ (𝐴 β‰  𝐡 ∧ 𝐴 β‰  𝐢 ∧ 𝐴 β‰  𝐷)))
1511, 14mpan9 506 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((𝐴 β‰  𝐡 ∧ 𝐴 β‰  𝐢) ∧ (𝐡 β‰  𝐢 ∧ 𝐡 β‰  𝐷) ∧ 𝐢 β‰  𝐷)) β†’ (𝐴 β‰  𝐡 ∧ 𝐴 β‰  𝐢 ∧ 𝐴 β‰  𝐷))
16 simpr2 1192 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((𝐴 β‰  𝐡 ∧ 𝐴 β‰  𝐢) ∧ (𝐡 β‰  𝐢 ∧ 𝐡 β‰  𝐷) ∧ 𝐢 β‰  𝐷)) β†’ (𝐡 β‰  𝐢 ∧ 𝐡 β‰  𝐷))
17 simpr3 1193 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((𝐴 β‰  𝐡 ∧ 𝐴 β‰  𝐢) ∧ (𝐡 β‰  𝐢 ∧ 𝐡 β‰  𝐷) ∧ 𝐢 β‰  𝐷)) β†’ 𝐢 β‰  𝐷)
1815, 16, 173jca 1125 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((𝐴 β‰  𝐡 ∧ 𝐴 β‰  𝐢) ∧ (𝐡 β‰  𝐢 ∧ 𝐡 β‰  𝐷) ∧ 𝐢 β‰  𝐷)) β†’ ((𝐴 β‰  𝐡 ∧ 𝐴 β‰  𝐢 ∧ 𝐴 β‰  𝐷) ∧ (𝐡 β‰  𝐢 ∧ 𝐡 β‰  𝐷) ∧ 𝐢 β‰  𝐷))
194, 18mpdan 684 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝐴 β‰  𝐡 ∧ 𝐴 β‰  𝐢 ∧ 𝐴 β‰  𝐷) ∧ (𝐡 β‰  𝐢 ∧ 𝐡 β‰  𝐷) ∧ 𝐢 β‰  𝐷))
20 funcnvs4 14870 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ (𝐢 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)) ∧ ((𝐴 β‰  𝐡 ∧ 𝐴 β‰  𝐢 ∧ 𝐴 β‰  𝐷) ∧ (𝐡 β‰  𝐢 ∧ 𝐡 β‰  𝐷) ∧ 𝐢 β‰  𝐷)) β†’ Fun β—‘βŸ¨β€œπ΄π΅πΆπ·β€βŸ©)
213, 19, 20syl2anc 583 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Fun β—‘βŸ¨β€œπ΄π΅πΆπ·β€βŸ©)
2221adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐹(Trailsβ€˜πΊ)𝑃) β†’ Fun β—‘βŸ¨β€œπ΄π΅πΆπ·β€βŸ©)
231a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐹(Trailsβ€˜πΊ)𝑃) β†’ 𝑃 = βŸ¨β€œπ΄π΅πΆπ·β€βŸ©)
2423cnveqd 5868 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐹(Trailsβ€˜πΊ)𝑃) β†’ ◑𝑃 = β—‘βŸ¨β€œπ΄π΅πΆπ·β€βŸ©)
2524funeqd 6563 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐹(Trailsβ€˜πΊ)𝑃) β†’ (Fun ◑𝑃 ↔ Fun β—‘βŸ¨β€œπ΄π΅πΆπ·β€βŸ©))
2622, 25mpbird 257 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐹(Trailsβ€˜πΊ)𝑃) β†’ Fun ◑𝑃)
27 isspth 29486 . . 3 (𝐹(SPathsβ€˜πΊ)𝑃 ↔ (𝐹(Trailsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ Fun ◑𝑃))
2810, 26, 27sylanbrc 582 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐹(Trailsβ€˜πΊ)𝑃) β†’ 𝐹(SPathsβ€˜πΊ)𝑃)
299, 28mpdan 684 1 (πœ‘ β†’ 𝐹(SPathsβ€˜πΊ)𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934   βŠ† wss 3943  {cpr 4625   class class class wbr 5141  β—‘ccnv 5668  Fun wfun 6530  β€˜cfv 6536  βŸ¨β€œcs3 14797  βŸ¨β€œcs4 14798  Vtxcvtx 28760  iEdgciedg 28761  Trailsctrls 29452  SPathscspths 29475
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-ifp 1060  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-hash 14294  df-word 14469  df-concat 14525  df-s1 14550  df-s2 14803  df-s3 14804  df-s4 14805  df-wlks 29361  df-trls 29454  df-spths 29479
This theorem is referenced by:  3spthond  29935
  Copyright terms: Public domain W3C validator