Theorem 3spthd 30786

Description: A simple path of length 3 from one vertex to another, different vertex via a third vertex. (Contributed by AV, 10-Feb-2021.) (Revised by AV, 24-Mar-2021.) (Proof shortened by AV, 30-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
3wlkd.p	⊢ 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩
3wlkd.f	⊢ 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩
3wlkd.s	⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)))
3wlkd.n	⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷))
3wlkd.e	⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘𝐽) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼‘𝐾) ∧ {𝐶, 𝐷} ⊆ (𝐼‘𝐿)))
3wlkd.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3wlkd.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
3trld.n	⊢ (𝜑 → (𝐽 ≠ 𝐾 ∧ 𝐽 ≠ 𝐿 ∧ 𝐾 ≠ 𝐿))
3spthd.n	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
3spthd	⊢ (𝜑 → 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃)

Proof of Theorem 3spthd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3wlkd.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩
2		3wlkd.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩
3		3wlkd.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)))
4		3wlkd.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷))
5		3wlkd.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘𝐽) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼‘𝐾) ∧ {𝐶, 𝐷} ⊆ (𝐼‘𝐿)))
6		3wlkd.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
7		3wlkd.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
8		3trld.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ≠ 𝐾 ∧ 𝐽 ≠ 𝐿 ∧ 𝐾 ≠ 𝐿))
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	3trld 30782	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
10		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃) → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
11		3spthd.n	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐷)
12		df-3an 1105	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷) ↔ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐷))
13	12	simplbi2 506	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → (𝐴 ≠ 𝐷 → (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷)))
14	13	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) → (𝐴 ≠ 𝐷 → (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷)))
15	11, 14	mpan9 516	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷)) → (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷))
16		simpr2 1214	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷)) → (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷))
17		simpr3 1215	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷)) → 𝐶 ≠ 𝐷)
18	15, 16, 17	3jca 1146	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷)) → ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷))
19	4, 18	mpdan 700	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷))
20		funcnvs4 15075	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)) ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷)) → Fun ◡⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩)
21	3, 19, 20	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Fun ◡⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩)
22	21	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃) → Fun ◡⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩)
23	1	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃) → 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩)
24	23	cnveqd 5854	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃) → ◡𝑃 = ◡⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩)
25	24	funeqd 6566	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃) → (Fun ◡𝑃 ↔ Fun ◡⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩))
26	22, 25	mpbird 260	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃) → Fun ◡𝑃)
27		isspth 30316	. . 3 ⊢ (𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝑃))
28	10, 26, 27	sylanbrc 595	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃) → 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃)
29	9, 28	mpdan 700	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955   ⊆ wss 3896  {cpr 4586   class class class wbr 5102  ^◡ccnv 5650  Fun wfun 6537  ‘cfv 6543  ⟨“cs3 15001  ⟨“cs4 15002  Vtxcvtx 29583  iEdgciedg 29584  Trailsctrls 30282  SPathscspths 30305

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-ifp 1079  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8387  df-rdg 8426  df-1o 8484  df-er 8725  df-map 8857  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-fin 8985  df-card 10027  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-nn 12343  df-2 12412  df-3 12413  df-4 12414  df-n0 12614  df-z 12701  df-uz 12973  df-fz 13647  df-fzo 13796  df-hash 14482  df-word 14666  df-concat 14723  df-s1 14750  df-s2 15007  df-s3 15008  df-s4 15009  df-wlks 30189  df-trls 30284  df-spths 30309

This theorem is used by:  3spthond  30787