![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > 4sqlem8 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Lemma for 4sq 16903. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jul-2014.) |
Ref | Expression |
---|---|
4sqlem5.2 | โข (๐ โ ๐ด โ โค) |
4sqlem5.3 | โข (๐ โ ๐ โ โ) |
4sqlem5.4 | โข ๐ต = (((๐ด + (๐ / 2)) mod ๐) โ (๐ / 2)) |
Ref | Expression |
---|---|
4sqlem8 | โข (๐ โ ๐ โฅ ((๐ดโ2) โ (๐ตโ2))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | 4sqlem5.3 | . . 3 โข (๐ โ ๐ โ โ) | |
2 | 1 | nnzd 12586 | . 2 โข (๐ โ ๐ โ โค) |
3 | 4sqlem5.2 | . . 3 โข (๐ โ ๐ด โ โค) | |
4 | 4sqlem5.4 | . . . . 5 โข ๐ต = (((๐ด + (๐ / 2)) mod ๐) โ (๐ / 2)) | |
5 | 3, 1, 4 | 4sqlem5 16881 | . . . 4 โข (๐ โ (๐ต โ โค โง ((๐ด โ ๐ต) / ๐) โ โค)) |
6 | 5 | simpld 494 | . . 3 โข (๐ โ ๐ต โ โค) |
7 | 3, 6 | zsubcld 12672 | . 2 โข (๐ โ (๐ด โ ๐ต) โ โค) |
8 | zsqcl 14096 | . . . 4 โข (๐ด โ โค โ (๐ดโ2) โ โค) | |
9 | 3, 8 | syl 17 | . . 3 โข (๐ โ (๐ดโ2) โ โค) |
10 | zsqcl 14096 | . . . 4 โข (๐ต โ โค โ (๐ตโ2) โ โค) | |
11 | 6, 10 | syl 17 | . . 3 โข (๐ โ (๐ตโ2) โ โค) |
12 | 9, 11 | zsubcld 12672 | . 2 โข (๐ โ ((๐ดโ2) โ (๐ตโ2)) โ โค) |
13 | 5 | simprd 495 | . . 3 โข (๐ โ ((๐ด โ ๐ต) / ๐) โ โค) |
14 | 1 | nnne0d 12263 | . . . 4 โข (๐ โ ๐ โ 0) |
15 | dvdsval2 16204 | . . . 4 โข ((๐ โ โค โง ๐ โ 0 โง (๐ด โ ๐ต) โ โค) โ (๐ โฅ (๐ด โ ๐ต) โ ((๐ด โ ๐ต) / ๐) โ โค)) | |
16 | 2, 14, 7, 15 | syl3anc 1368 | . . 3 โข (๐ โ (๐ โฅ (๐ด โ ๐ต) โ ((๐ด โ ๐ต) / ๐) โ โค)) |
17 | 13, 16 | mpbird 257 | . 2 โข (๐ โ ๐ โฅ (๐ด โ ๐ต)) |
18 | 3, 6 | zaddcld 12671 | . . . 4 โข (๐ โ (๐ด + ๐ต) โ โค) |
19 | dvdsmul2 16226 | . . . 4 โข (((๐ด + ๐ต) โ โค โง (๐ด โ ๐ต) โ โค) โ (๐ด โ ๐ต) โฅ ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด โ ๐ต))) | |
20 | 18, 7, 19 | syl2anc 583 | . . 3 โข (๐ โ (๐ด โ ๐ต) โฅ ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด โ ๐ต))) |
21 | 3 | zcnd 12668 | . . . 4 โข (๐ โ ๐ด โ โ) |
22 | 6 | zcnd 12668 | . . . 4 โข (๐ โ ๐ต โ โ) |
23 | subsq 14176 | . . . 4 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ ((๐ดโ2) โ (๐ตโ2)) = ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด โ ๐ต))) | |
24 | 21, 22, 23 | syl2anc 583 | . . 3 โข (๐ โ ((๐ดโ2) โ (๐ตโ2)) = ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด โ ๐ต))) |
25 | 20, 24 | breqtrrd 5169 | . 2 โข (๐ โ (๐ด โ ๐ต) โฅ ((๐ดโ2) โ (๐ตโ2))) |
26 | 2, 7, 12, 17, 25 | dvdstrd 16242 | 1 โข (๐ โ ๐ โฅ ((๐ดโ2) โ (๐ตโ2))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โ wb 205 = wceq 1533 โ wcel 2098 โ wne 2934 class class class wbr 5141 (class class class)co 7404 โcc 11107 0cc0 11109 + caddc 11112 ยท cmul 11114 โ cmin 11445 / cdiv 11872 โcn 12213 2c2 12268 โคcz 12559 mod cmo 13837 โcexp 14029 โฅ cdvds 16201 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2163 ax-ext 2697 ax-sep 5292 ax-nul 5299 ax-pow 5356 ax-pr 5420 ax-un 7721 ax-cnex 11165 ax-resscn 11166 ax-1cn 11167 ax-icn 11168 ax-addcl 11169 ax-addrcl 11170 ax-mulcl 11171 ax-mulrcl 11172 ax-mulcom 11173 ax-addass 11174 ax-mulass 11175 ax-distr 11176 ax-i2m1 11177 ax-1ne0 11178 ax-1rid 11179 ax-rnegex 11180 ax-rrecex 11181 ax-cnre 11182 ax-pre-lttri 11183 ax-pre-lttrn 11184 ax-pre-ltadd 11185 ax-pre-mulgt0 11186 ax-pre-sup 11187 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2528 df-eu 2557 df-clab 2704 df-cleq 2718 df-clel 2804 df-nfc 2879 df-ne 2935 df-nel 3041 df-ral 3056 df-rex 3065 df-rmo 3370 df-reu 3371 df-rab 3427 df-v 3470 df-sbc 3773 df-csb 3889 df-dif 3946 df-un 3948 df-in 3950 df-ss 3960 df-pss 3962 df-nul 4318 df-if 4524 df-pw 4599 df-sn 4624 df-pr 4626 df-op 4630 df-uni 4903 df-iun 4992 df-br 5142 df-opab 5204 df-mpt 5225 df-tr 5259 df-id 5567 df-eprel 5573 df-po 5581 df-so 5582 df-fr 5624 df-we 5626 df-xp 5675 df-rel 5676 df-cnv 5677 df-co 5678 df-dm 5679 df-rn 5680 df-res 5681 df-ima 5682 df-pred 6293 df-ord 6360 df-on 6361 df-lim 6362 df-suc 6363 df-iota 6488 df-fun 6538 df-fn 6539 df-f 6540 df-f1 6541 df-fo 6542 df-f1o 6543 df-fv 6544 df-riota 7360 df-ov 7407 df-oprab 7408 df-mpo 7409 df-om 7852 df-2nd 7972 df-frecs 8264 df-wrecs 8295 df-recs 8369 df-rdg 8408 df-er 8702 df-en 8939 df-dom 8940 df-sdom 8941 df-sup 9436 df-inf 9437 df-pnf 11251 df-mnf 11252 df-xr 11253 df-ltxr 11254 df-le 11255 df-sub 11447 df-neg 11448 df-div 11873 df-nn 12214 df-2 12276 df-n0 12474 df-z 12560 df-uz 12824 df-rp 12978 df-fl 13760 df-mod 13838 df-seq 13970 df-exp 14030 df-dvds 16202 |
This theorem is referenced by: 4sqlem14 16897 2sqlem8 27309 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |