MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  4sqlem8 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 4sqlem8 16127
Description: Lemma for 4sq 16146. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
4sqlem5.2 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
4sqlem5.3 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
4sqlem5.4 𝐵 = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
Assertion
Ref Expression
4sqlem8 (𝜑𝑀 ∥ ((𝐴↑2) − (𝐵↑2)))

Proof of Theorem 4sqlem8
StepHypRef Expression
1 4sqlem5.2 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
2 4sqlem5.3 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
3 4sqlem5.4 . . . . 5 𝐵 = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
41, 2, 34sqlem5 16124 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 ∈ ℤ ∧ ((𝐴𝐵) / 𝑀) ∈ ℤ))
54simprd 488 . . 3 (𝜑 → ((𝐴𝐵) / 𝑀) ∈ ℤ)
62nnzd 11892 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
72nnne0d 11483 . . . 4 (𝜑𝑀 ≠ 0)
84simpld 487 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
91, 8zsubcld 11898 . . . 4 (𝜑 → (𝐴𝐵) ∈ ℤ)
10 dvdsval2 15460 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ∧ (𝐴𝐵) ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ (𝐴𝐵) ↔ ((𝐴𝐵) / 𝑀) ∈ ℤ))
116, 7, 9, 10syl3anc 1351 . . 3 (𝜑 → (𝑀 ∥ (𝐴𝐵) ↔ ((𝐴𝐵) / 𝑀) ∈ ℤ))
125, 11mpbird 249 . 2 (𝜑𝑀 ∥ (𝐴𝐵))
131, 8zaddcld 11897 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)
14 dvdsmul2 15482 . . . 4 (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝐴𝐵) ∈ ℤ) → (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴𝐵)))
1513, 9, 14syl2anc 576 . . 3 (𝜑 → (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴𝐵)))
161zcnd 11894 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
178zcnd 11894 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
18 subsq 13380 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) − (𝐵↑2)) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴𝐵)))
1916, 17, 18syl2anc 576 . . 3 (𝜑 → ((𝐴↑2) − (𝐵↑2)) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴𝐵)))
2015, 19breqtrrd 4951 . 2 (𝜑 → (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴↑2) − (𝐵↑2)))
21 zsqcl 13302 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
221, 21syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
23 zsqcl 13302 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵↑2) ∈ ℤ)
248, 23syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℤ)
2522, 24zsubcld 11898 . . 3 (𝜑 → ((𝐴↑2) − (𝐵↑2)) ∈ ℤ)
26 dvdstr 15496 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝐴𝐵) ∈ ℤ ∧ ((𝐴↑2) − (𝐵↑2)) ∈ ℤ) → ((𝑀 ∥ (𝐴𝐵) ∧ (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴↑2) − (𝐵↑2))) → 𝑀 ∥ ((𝐴↑2) − (𝐵↑2))))
276, 9, 25, 26syl3anc 1351 . 2 (𝜑 → ((𝑀 ∥ (𝐴𝐵) ∧ (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴↑2) − (𝐵↑2))) → 𝑀 ∥ ((𝐴↑2) − (𝐵↑2))))
2812, 20, 27mp2and 686 1 (𝜑𝑀 ∥ ((𝐴↑2) − (𝐵↑2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 387   = wceq 1507  wcel 2048  wne 2961   class class class wbr 4923  (class class class)co 6970  cc 10325  0cc0 10327   + caddc 10330   · cmul 10332  cmin 10662   / cdiv 11090  cn 11431  2c2 11488  cz 11786   mod cmo 13045  cexp 13237  cdvds 15457
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1964  ax-8 2050  ax-9 2057  ax-10 2077  ax-11 2091  ax-12 2104  ax-13 2299  ax-ext 2745  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-cnex 10383  ax-resscn 10384  ax-1cn 10385  ax-icn 10386  ax-addcl 10387  ax-addrcl 10388  ax-mulcl 10389  ax-mulrcl 10390  ax-mulcom 10391  ax-addass 10392  ax-mulass 10393  ax-distr 10394  ax-i2m1 10395  ax-1ne0 10396  ax-1rid 10397  ax-rnegex 10398  ax-rrecex 10399  ax-cnre 10400  ax-pre-lttri 10401  ax-pre-lttrn 10402  ax-pre-ltadd 10403  ax-pre-mulgt0 10404  ax-pre-sup 10405
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2014  df-mo 2544  df-eu 2580  df-clab 2754  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rmo 3090  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3678  df-csb 3783  df-dif 3828  df-un 3830  df-in 3832  df-ss 3839  df-pss 3841  df-nul 4174  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4707  df-iun 4788  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-tr 5025  df-id 5305  df-eprel 5310  df-po 5319  df-so 5320  df-fr 5359  df-we 5361  df-xp 5406  df-rel 5407  df-cnv 5408  df-co 5409  df-dm 5410  df-rn 5411  df-res 5412  df-ima 5413  df-pred 5980  df-ord 6026  df-on 6027  df-lim 6028  df-suc 6029  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-riota 6931  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-om 7391  df-2nd 7495  df-wrecs 7743  df-recs 7805  df-rdg 7843  df-er 8081  df-en 8299  df-dom 8300  df-sdom 8301  df-sup 8693  df-inf 8694  df-pnf 10468  df-mnf 10469  df-xr 10470  df-ltxr 10471  df-le 10472  df-sub 10664  df-neg 10665  df-div 11091  df-nn 11432  df-2 11496  df-n0 11701  df-z 11787  df-uz 12052  df-rp 12198  df-fl 12970  df-mod 13046  df-seq 13178  df-exp 13238  df-dvds 15458
This theorem is referenced by:  4sqlem14  16140  2sqlem8  25694
  Copyright terms: Public domain W3C validator