Theorem 4sqlem8 16992

Description: Lemma for 4sq 17011. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
4sqlem5.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
4sqlem5.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
4sqlem5.4	⊢ 𝐵 = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))

Assertion

Ref	Expression
4sqlem8	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∥ ((𝐴↑2) − (𝐵↑2)))

Proof of Theorem 4sqlem8

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4sqlem5.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
2	1	nnzd 12666	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		4sqlem5.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
4		4sqlem5.4	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
5	3, 1, 4	4sqlem5 16989	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 𝐵) / 𝑀) ∈ ℤ))
6	5	simpld 494	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
7	3, 6	zsubcld 12752	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)
8		zsqcl 14179	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
9	3, 8	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
10		zsqcl 14179	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵↑2) ∈ ℤ)
11	6, 10	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℤ)
12	9, 11	zsubcld 12752	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) − (𝐵↑2)) ∈ ℤ)
13	5	simprd 495	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) / 𝑀) ∈ ℤ)
14	1	nnne0d 12343	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≠ 0)
15		dvdsval2 16305	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ (𝐴 − 𝐵) ↔ ((𝐴 − 𝐵) / 𝑀) ∈ ℤ))
16	2, 14, 7, 15	syl3anc 1371	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∥ (𝐴 − 𝐵) ↔ ((𝐴 − 𝐵) / 𝑀) ∈ ℤ))
17	13, 16	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∥ (𝐴 − 𝐵))
18	3, 6	zaddcld 12751	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)
19		dvdsmul2 16327	. . . 4 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ) → (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵)))
20	18, 7, 19	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵)))
21	3	zcnd 12748	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
22	6	zcnd 12748	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
23		subsq 14259	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) − (𝐵↑2)) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵)))
24	21, 22, 23	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) − (𝐵↑2)) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵)))
25	20, 24	breqtrrd 5194	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴↑2) − (𝐵↑2)))
26	2, 7, 12, 17, 25	dvdstrd 16343	1 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∥ ((𝐴↑2) − (𝐵↑2)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946   class class class wbr 5166  (class class class)co 7448  ℂcc 11182  0cc0 11184   + caddc 11187   · cmul 11189   − cmin 11520   / cdiv 11947  ℕcn 12293  2c2 12348  ℤcz 12639   mod cmo 13920  ↑cexp 14112   ∥ cdvds 16302

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-sup 9511  df-inf 9512  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-rp 13058  df-fl 13843  df-mod 13921  df-seq 14053  df-exp 14113  df-dvds 16303

This theorem is referenced by:  4sqlem14  17005  2sqlem8  27488