Theorem 4sqlem8 16275

Description: Lemma for 4sq 16294. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
4sqlem5.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
4sqlem5.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
4sqlem5.4	⊢ 𝐵 = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))

Assertion

Ref	Expression
4sqlem8	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∥ ((𝐴↑2) − (𝐵↑2)))

Proof of Theorem 4sqlem8

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4sqlem5.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		4sqlem5.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
3		4sqlem5.4	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
4	1, 2, 3	4sqlem5 16272	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 𝐵) / 𝑀) ∈ ℤ))
5	4	simprd 498	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) / 𝑀) ∈ ℤ)
6	2	nnzd 12080	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
7	2	nnne0d 11681	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≠ 0)
8	4	simpld 497	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
9	1, 8	zsubcld 12086	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)
10		dvdsval2 15604	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ (𝐴 − 𝐵) ↔ ((𝐴 − 𝐵) / 𝑀) ∈ ℤ))
11	6, 7, 9, 10	syl3anc 1367	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∥ (𝐴 − 𝐵) ↔ ((𝐴 − 𝐵) / 𝑀) ∈ ℤ))
12	5, 11	mpbird 259	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∥ (𝐴 − 𝐵))
13	1, 8	zaddcld 12085	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)
14		dvdsmul2 15626	. . . 4 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ) → (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵)))
15	13, 9, 14	syl2anc 586	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵)))
16	1	zcnd 12082	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
17	8	zcnd 12082	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
18		subsq 13566	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) − (𝐵↑2)) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵)))
19	16, 17, 18	syl2anc 586	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) − (𝐵↑2)) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵)))
20	15, 19	breqtrrd 5087	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴↑2) − (𝐵↑2)))
21		zsqcl 13488	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
22	1, 21	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
23		zsqcl 13488	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵↑2) ∈ ℤ)
24	8, 23	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℤ)
25	22, 24	zsubcld 12086	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) − (𝐵↑2)) ∈ ℤ)
26		dvdstr 15640	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ ∧ ((𝐴↑2) − (𝐵↑2)) ∈ ℤ) → ((𝑀 ∥ (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴↑2) − (𝐵↑2))) → 𝑀 ∥ ((𝐴↑2) − (𝐵↑2))))
27	6, 9, 25, 26	syl3anc 1367	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 ∥ (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴↑2) − (𝐵↑2))) → 𝑀 ∥ ((𝐴↑2) − (𝐵↑2))))
28	12, 20, 27	mp2and 697	1 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∥ ((𝐴↑2) − (𝐵↑2)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ≠ wne 3016   class class class wbr 5059  (class class class)co 7150  ℂcc 10529  0cc0 10531   + caddc 10534   · cmul 10536   − cmin 10864   / cdiv 11291  ℕcn 11632  2c2 11686  ℤcz 11975   mod cmo 13231  ↑cexp 13423   ∥ cdvds 15601

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4833  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5469  df-so 5470  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-pred 6143  df-ord 6189  df-on 6190  df-lim 6191  df-suc 6192  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-sup 8900  df-inf 8901  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-rp 12384  df-fl 13156  df-mod 13232  df-seq 13364  df-exp 13424  df-dvds 15602

This theorem is referenced by:  4sqlem14  16288  2sqlem8  25996