![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > 4sqlem8 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Lemma for 4sq 16837. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jul-2014.) |
Ref | Expression |
---|---|
4sqlem5.2 | โข (๐ โ ๐ด โ โค) |
4sqlem5.3 | โข (๐ โ ๐ โ โ) |
4sqlem5.4 | โข ๐ต = (((๐ด + (๐ / 2)) mod ๐) โ (๐ / 2)) |
Ref | Expression |
---|---|
4sqlem8 | โข (๐ โ ๐ โฅ ((๐ดโ2) โ (๐ตโ2))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | 4sqlem5.3 | . . 3 โข (๐ โ ๐ โ โ) | |
2 | 1 | nnzd 12527 | . 2 โข (๐ โ ๐ โ โค) |
3 | 4sqlem5.2 | . . 3 โข (๐ โ ๐ด โ โค) | |
4 | 4sqlem5.4 | . . . . 5 โข ๐ต = (((๐ด + (๐ / 2)) mod ๐) โ (๐ / 2)) | |
5 | 3, 1, 4 | 4sqlem5 16815 | . . . 4 โข (๐ โ (๐ต โ โค โง ((๐ด โ ๐ต) / ๐) โ โค)) |
6 | 5 | simpld 496 | . . 3 โข (๐ โ ๐ต โ โค) |
7 | 3, 6 | zsubcld 12613 | . 2 โข (๐ โ (๐ด โ ๐ต) โ โค) |
8 | zsqcl 14035 | . . . 4 โข (๐ด โ โค โ (๐ดโ2) โ โค) | |
9 | 3, 8 | syl 17 | . . 3 โข (๐ โ (๐ดโ2) โ โค) |
10 | zsqcl 14035 | . . . 4 โข (๐ต โ โค โ (๐ตโ2) โ โค) | |
11 | 6, 10 | syl 17 | . . 3 โข (๐ โ (๐ตโ2) โ โค) |
12 | 9, 11 | zsubcld 12613 | . 2 โข (๐ โ ((๐ดโ2) โ (๐ตโ2)) โ โค) |
13 | 5 | simprd 497 | . . 3 โข (๐ โ ((๐ด โ ๐ต) / ๐) โ โค) |
14 | 1 | nnne0d 12204 | . . . 4 โข (๐ โ ๐ โ 0) |
15 | dvdsval2 16140 | . . . 4 โข ((๐ โ โค โง ๐ โ 0 โง (๐ด โ ๐ต) โ โค) โ (๐ โฅ (๐ด โ ๐ต) โ ((๐ด โ ๐ต) / ๐) โ โค)) | |
16 | 2, 14, 7, 15 | syl3anc 1372 | . . 3 โข (๐ โ (๐ โฅ (๐ด โ ๐ต) โ ((๐ด โ ๐ต) / ๐) โ โค)) |
17 | 13, 16 | mpbird 257 | . 2 โข (๐ โ ๐ โฅ (๐ด โ ๐ต)) |
18 | 3, 6 | zaddcld 12612 | . . . 4 โข (๐ โ (๐ด + ๐ต) โ โค) |
19 | dvdsmul2 16162 | . . . 4 โข (((๐ด + ๐ต) โ โค โง (๐ด โ ๐ต) โ โค) โ (๐ด โ ๐ต) โฅ ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด โ ๐ต))) | |
20 | 18, 7, 19 | syl2anc 585 | . . 3 โข (๐ โ (๐ด โ ๐ต) โฅ ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด โ ๐ต))) |
21 | 3 | zcnd 12609 | . . . 4 โข (๐ โ ๐ด โ โ) |
22 | 6 | zcnd 12609 | . . . 4 โข (๐ โ ๐ต โ โ) |
23 | subsq 14115 | . . . 4 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ ((๐ดโ2) โ (๐ตโ2)) = ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด โ ๐ต))) | |
24 | 21, 22, 23 | syl2anc 585 | . . 3 โข (๐ โ ((๐ดโ2) โ (๐ตโ2)) = ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด โ ๐ต))) |
25 | 20, 24 | breqtrrd 5134 | . 2 โข (๐ โ (๐ด โ ๐ต) โฅ ((๐ดโ2) โ (๐ตโ2))) |
26 | 2, 7, 12, 17, 25 | dvdstrd 16178 | 1 โข (๐ โ ๐ โฅ ((๐ดโ2) โ (๐ตโ2))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โ wb 205 = wceq 1542 โ wcel 2107 โ wne 2944 class class class wbr 5106 (class class class)co 7358 โcc 11050 0cc0 11052 + caddc 11055 ยท cmul 11057 โ cmin 11386 / cdiv 11813 โcn 12154 2c2 12209 โคcz 12500 mod cmo 13775 โcexp 13968 โฅ cdvds 16137 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2708 ax-sep 5257 ax-nul 5264 ax-pow 5321 ax-pr 5385 ax-un 7673 ax-cnex 11108 ax-resscn 11109 ax-1cn 11110 ax-icn 11111 ax-addcl 11112 ax-addrcl 11113 ax-mulcl 11114 ax-mulrcl 11115 ax-mulcom 11116 ax-addass 11117 ax-mulass 11118 ax-distr 11119 ax-i2m1 11120 ax-1ne0 11121 ax-1rid 11122 ax-rnegex 11123 ax-rrecex 11124 ax-cnre 11125 ax-pre-lttri 11126 ax-pre-lttrn 11127 ax-pre-ltadd 11128 ax-pre-mulgt0 11129 ax-pre-sup 11130 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3or 1089 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2539 df-eu 2568 df-clab 2715 df-cleq 2729 df-clel 2815 df-nfc 2890 df-ne 2945 df-nel 3051 df-ral 3066 df-rex 3075 df-rmo 3354 df-reu 3355 df-rab 3409 df-v 3448 df-sbc 3741 df-csb 3857 df-dif 3914 df-un 3916 df-in 3918 df-ss 3928 df-pss 3930 df-nul 4284 df-if 4488 df-pw 4563 df-sn 4588 df-pr 4590 df-op 4594 df-uni 4867 df-iun 4957 df-br 5107 df-opab 5169 df-mpt 5190 df-tr 5224 df-id 5532 df-eprel 5538 df-po 5546 df-so 5547 df-fr 5589 df-we 5591 df-xp 5640 df-rel 5641 df-cnv 5642 df-co 5643 df-dm 5644 df-rn 5645 df-res 5646 df-ima 5647 df-pred 6254 df-ord 6321 df-on 6322 df-lim 6323 df-suc 6324 df-iota 6449 df-fun 6499 df-fn 6500 df-f 6501 df-f1 6502 df-fo 6503 df-f1o 6504 df-fv 6505 df-riota 7314 df-ov 7361 df-oprab 7362 df-mpo 7363 df-om 7804 df-2nd 7923 df-frecs 8213 df-wrecs 8244 df-recs 8318 df-rdg 8357 df-er 8649 df-en 8885 df-dom 8886 df-sdom 8887 df-sup 9379 df-inf 9380 df-pnf 11192 df-mnf 11193 df-xr 11194 df-ltxr 11195 df-le 11196 df-sub 11388 df-neg 11389 df-div 11814 df-nn 12155 df-2 12217 df-n0 12415 df-z 12501 df-uz 12765 df-rp 12917 df-fl 13698 df-mod 13776 df-seq 13908 df-exp 13969 df-dvds 16138 |
This theorem is referenced by: 4sqlem14 16831 2sqlem8 26777 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |