Theorem 4sqlem8 16127

Description: Lemma for 4sq 16146. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
4sqlem5.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
4sqlem5.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
4sqlem5.4	⊢ 𝐵 = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))

Assertion

Ref	Expression
4sqlem8	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∥ ((𝐴↑2) − (𝐵↑2)))

Proof of Theorem 4sqlem8

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4sqlem5.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		4sqlem5.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
3		4sqlem5.4	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
4	1, 2, 3	4sqlem5 16124	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 𝐵) / 𝑀) ∈ ℤ))
5	4	simprd 488	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) / 𝑀) ∈ ℤ)
6	2	nnzd 11892	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
7	2	nnne0d 11483	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≠ 0)
8	4	simpld 487	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
9	1, 8	zsubcld 11898	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)
10		dvdsval2 15460	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ (𝐴 − 𝐵) ↔ ((𝐴 − 𝐵) / 𝑀) ∈ ℤ))
11	6, 7, 9, 10	syl3anc 1351	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∥ (𝐴 − 𝐵) ↔ ((𝐴 − 𝐵) / 𝑀) ∈ ℤ))
12	5, 11	mpbird 249	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∥ (𝐴 − 𝐵))
13	1, 8	zaddcld 11897	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)
14		dvdsmul2 15482	. . . 4 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ) → (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵)))
15	13, 9, 14	syl2anc 576	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵)))
16	1	zcnd 11894	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
17	8	zcnd 11894	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
18		subsq 13380	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) − (𝐵↑2)) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵)))
19	16, 17, 18	syl2anc 576	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) − (𝐵↑2)) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵)))
20	15, 19	breqtrrd 4951	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴↑2) − (𝐵↑2)))
21		zsqcl 13302	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
22	1, 21	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
23		zsqcl 13302	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵↑2) ∈ ℤ)
24	8, 23	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℤ)
25	22, 24	zsubcld 11898	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) − (𝐵↑2)) ∈ ℤ)
26		dvdstr 15496	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ ∧ ((𝐴↑2) − (𝐵↑2)) ∈ ℤ) → ((𝑀 ∥ (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴↑2) − (𝐵↑2))) → 𝑀 ∥ ((𝐴↑2) − (𝐵↑2))))
27	6, 9, 25, 26	syl3anc 1351	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 ∥ (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴↑2) − (𝐵↑2))) → 𝑀 ∥ ((𝐴↑2) − (𝐵↑2))))
28	12, 20, 27	mp2and 686	1 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∥ ((𝐴↑2) − (𝐵↑2)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 387   = wceq 1507   ∈ wcel 2048   ≠ wne 2961   class class class wbr 4923  (class class class)co 6970  ℂcc 10325  0cc0 10327   + caddc 10330   · cmul 10332   − cmin 10662   / cdiv 11090  ℕcn 11431  2c2 11488  ℤcz 11786   mod cmo 13045  ↑cexp 13237   ∥ cdvds 15457

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1964  ax-8 2050  ax-9 2057  ax-10 2077  ax-11 2091  ax-12 2104  ax-13 2299  ax-ext 2745  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-cnex 10383  ax-resscn 10384  ax-1cn 10385  ax-icn 10386  ax-addcl 10387  ax-addrcl 10388  ax-mulcl 10389  ax-mulrcl 10390  ax-mulcom 10391  ax-addass 10392  ax-mulass 10393  ax-distr 10394  ax-i2m1 10395  ax-1ne0 10396  ax-1rid 10397  ax-rnegex 10398  ax-rrecex 10399  ax-cnre 10400  ax-pre-lttri 10401  ax-pre-lttrn 10402  ax-pre-ltadd 10403  ax-pre-mulgt0 10404  ax-pre-sup 10405

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2014  df-mo 2544  df-eu 2580  df-clab 2754  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rmo 3090  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3678  df-csb 3783  df-dif 3828  df-un 3830  df-in 3832  df-ss 3839  df-pss 3841  df-nul 4174  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4707  df-iun 4788  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-tr 5025  df-id 5305  df-eprel 5310  df-po 5319  df-so 5320  df-fr 5359  df-we 5361  df-xp 5406  df-rel 5407  df-cnv 5408  df-co 5409  df-dm 5410  df-rn 5411  df-res 5412  df-ima 5413  df-pred 5980  df-ord 6026  df-on 6027  df-lim 6028  df-suc 6029  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-riota 6931  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-om 7391  df-2nd 7495  df-wrecs 7743  df-recs 7805  df-rdg 7843  df-er 8081  df-en 8299  df-dom 8300  df-sdom 8301  df-sup 8693  df-inf 8694  df-pnf 10468  df-mnf 10469  df-xr 10470  df-ltxr 10471  df-le 10472  df-sub 10664  df-neg 10665  df-div 11091  df-nn 11432  df-2 11496  df-n0 11701  df-z 11787  df-uz 12052  df-rp 12198  df-fl 12970  df-mod 13046  df-seq 13178  df-exp 13238  df-dvds 15458

This theorem is referenced by:  4sqlem14  16140  2sqlem8  25694