MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  4sqlem8 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 4sqlem8 16818
Description: Lemma for 4sq 16837. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
4sqlem5.2 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
4sqlem5.3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)
4sqlem5.4 ๐ต = (((๐ด + (๐‘€ / 2)) mod ๐‘€) โˆ’ (๐‘€ / 2))
Assertion
Ref Expression
4sqlem8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆฅ ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ตโ†‘2)))

Proof of Theorem 4sqlem8
StepHypRef Expression
1 4sqlem5.3 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)
21nnzd 12527 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
3 4sqlem5.2 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
4 4sqlem5.4 . . . . 5 ๐ต = (((๐ด + (๐‘€ / 2)) mod ๐‘€) โˆ’ (๐‘€ / 2))
53, 1, 44sqlem5 16815 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ((๐ด โˆ’ ๐ต) / ๐‘€) โˆˆ โ„ค))
65simpld 496 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
73, 6zsubcld 12613 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„ค)
8 zsqcl 14035 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„ค)
93, 8syl 17 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„ค)
10 zsqcl 14035 . . . 4 (๐ต โˆˆ โ„ค โ†’ (๐ตโ†‘2) โˆˆ โ„ค)
116, 10syl 17 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ตโ†‘2) โˆˆ โ„ค)
129, 11zsubcld 12613 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ตโ†‘2)) โˆˆ โ„ค)
135simprd 497 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) / ๐‘€) โˆˆ โ„ค)
141nnne0d 12204 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โ‰  0)
15 dvdsval2 16140 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โ‰  0 โˆง (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ โˆฅ (๐ด โˆ’ ๐ต) โ†” ((๐ด โˆ’ ๐ต) / ๐‘€) โˆˆ โ„ค))
162, 14, 7, 15syl3anc 1372 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ โˆฅ (๐ด โˆ’ ๐ต) โ†” ((๐ด โˆ’ ๐ต) / ๐‘€) โˆˆ โ„ค))
1713, 16mpbird 257 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆฅ (๐ด โˆ’ ๐ต))
183, 6zaddcld 12612 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„ค)
19 dvdsmul2 16162 . . . 4 (((๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆฅ ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด โˆ’ ๐ต)))
2018, 7, 19syl2anc 585 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆฅ ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด โˆ’ ๐ต)))
213zcnd 12609 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
226zcnd 12609 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
23 subsq 14115 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ตโ†‘2)) = ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด โˆ’ ๐ต)))
2421, 22, 23syl2anc 585 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ตโ†‘2)) = ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด โˆ’ ๐ต)))
2520, 24breqtrrd 5134 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆฅ ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ตโ†‘2)))
262, 7, 12, 17, 25dvdstrd 16178 1 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆฅ ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ตโ†‘2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2944   class class class wbr 5106  (class class class)co 7358  โ„‚cc 11050  0cc0 11052   + caddc 11055   ยท cmul 11057   โˆ’ cmin 11386   / cdiv 11813  โ„•cn 12154  2c2 12209  โ„คcz 12500   mod cmo 13775  โ†‘cexp 13968   โˆฅ cdvds 16137
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129  ax-pre-sup 11130
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-sup 9379  df-inf 9380  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-div 11814  df-nn 12155  df-2 12217  df-n0 12415  df-z 12501  df-uz 12765  df-rp 12917  df-fl 13698  df-mod 13776  df-seq 13908  df-exp 13969  df-dvds 16138
This theorem is referenced by:  4sqlem14  16831  2sqlem8  26777
  Copyright terms: Public domain W3C validator