MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  4sqlem9 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 4sqlem9 16922
Description: Lemma for 4sq 16940. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
4sqlem5.2 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
4sqlem5.3 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
4sqlem5.4 𝐵 = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
4sqlem9.5 ((𝜑𝜓) → (𝐵↑2) = 0)
Assertion
Ref Expression
4sqlem9 ((𝜑𝜓) → (𝑀↑2) ∥ (𝐴↑2))

Proof of Theorem 4sqlem9
StepHypRef Expression
1 4sqlem9.5 . . . . . . . 8 ((𝜑𝜓) → (𝐵↑2) = 0)
2 4sqlem5.2 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
3 4sqlem5.3 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
4 4sqlem5.4 . . . . . . . . . . . . 13 𝐵 = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
52, 3, 44sqlem5 16918 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐵 ∈ ℤ ∧ ((𝐴𝐵) / 𝑀) ∈ ℤ))
65simpld 493 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
76zcnd 12705 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
8 sqeq0 14124 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ ℂ → ((𝐵↑2) = 0 ↔ 𝐵 = 0))
97, 8syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐵↑2) = 0 ↔ 𝐵 = 0))
109biimpa 475 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐵↑2) = 0) → 𝐵 = 0)
111, 10syldan 589 . . . . . . 7 ((𝜑𝜓) → 𝐵 = 0)
1211oveq2d 7442 . . . . . 6 ((𝜑𝜓) → (𝐴𝐵) = (𝐴 − 0))
132adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑𝜓) → 𝐴 ∈ ℤ)
1413zcnd 12705 . . . . . . 7 ((𝜑𝜓) → 𝐴 ∈ ℂ)
1514subid1d 11598 . . . . . 6 ((𝜑𝜓) → (𝐴 − 0) = 𝐴)
1612, 15eqtrd 2768 . . . . 5 ((𝜑𝜓) → (𝐴𝐵) = 𝐴)
1716oveq1d 7441 . . . 4 ((𝜑𝜓) → ((𝐴𝐵) / 𝑀) = (𝐴 / 𝑀))
185simprd 494 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴𝐵) / 𝑀) ∈ ℤ)
1918adantr 479 . . . 4 ((𝜑𝜓) → ((𝐴𝐵) / 𝑀) ∈ ℤ)
2017, 19eqeltrrd 2830 . . 3 ((𝜑𝜓) → (𝐴 / 𝑀) ∈ ℤ)
213nnzd 12623 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
223nnne0d 12300 . . . . 5 (𝜑𝑀 ≠ 0)
23 dvdsval2 16241 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑀𝐴 ↔ (𝐴 / 𝑀) ∈ ℤ))
2421, 22, 2, 23syl3anc 1368 . . . 4 (𝜑 → (𝑀𝐴 ↔ (𝐴 / 𝑀) ∈ ℤ))
2524adantr 479 . . 3 ((𝜑𝜓) → (𝑀𝐴 ↔ (𝐴 / 𝑀) ∈ ℤ))
2620, 25mpbird 256 . 2 ((𝜑𝜓) → 𝑀𝐴)
27 dvdssq 16545 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑀𝐴 ↔ (𝑀↑2) ∥ (𝐴↑2)))
2821, 13, 27syl2an2r 683 . 2 ((𝜑𝜓) → (𝑀𝐴 ↔ (𝑀↑2) ∥ (𝐴↑2)))
2926, 28mpbid 231 1 ((𝜑𝜓) → (𝑀↑2) ∥ (𝐴↑2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2937   class class class wbr 5152  (class class class)co 7426  cc 11144  0cc0 11146   + caddc 11149  cmin 11482   / cdiv 11909  cn 12250  2c2 12305  cz 12596   mod cmo 13874  cexp 14066  cdvds 16238
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-sup 9473  df-inf 9474  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-rp 13015  df-fl 13797  df-mod 13875  df-seq 14007  df-exp 14067  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-dvds 16239  df-gcd 16477
This theorem is referenced by:  4sqlem16  16936  2sqlem8a  27378
  Copyright terms: Public domain W3C validator