Theorem 4sqlem9 16966

Description: Lemma for 4sq 16984. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
4sqlem5.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
4sqlem5.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
4sqlem5.4	⊢ 𝐵 = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
4sqlem9.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (𝐵↑2) = 0)

Assertion

Ref	Expression
4sqlem9	⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (𝑀↑2) ∥ (𝐴↑2))

Proof of Theorem 4sqlem9

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4sqlem9.5	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (𝐵↑2) = 0)
2		4sqlem5.2	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
3		4sqlem5.3	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
4		4sqlem5.4	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐵 = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
5	2, 3, 4	4sqlem5 16962	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 𝐵) / 𝑀) ∈ ℤ))
6	5	simpld 494	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
7	6	zcnd 12706	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
8		sqeq0 14142	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → ((𝐵↑2) = 0 ↔ 𝐵 = 0))
9	7, 8	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑2) = 0 ↔ 𝐵 = 0))
10	9	biimpa 476	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵↑2) = 0) → 𝐵 = 0)
11	1, 10	syldan 591	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝐵 = 0)
12	11	oveq2d 7429	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (𝐴 − 𝐵) = (𝐴 − 0))
13	2	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝐴 ∈ ℤ)
14	13	zcnd 12706	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝐴 ∈ ℂ)
15	14	subid1d 11591	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (𝐴 − 0) = 𝐴)
16	12, 15	eqtrd 2769	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (𝐴 − 𝐵) = 𝐴)
17	16	oveq1d 7428	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ((𝐴 − 𝐵) / 𝑀) = (𝐴 / 𝑀))
18	5	simprd 495	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) / 𝑀) ∈ ℤ)
19	18	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ((𝐴 − 𝐵) / 𝑀) ∈ ℤ)
20	17, 19	eqeltrrd 2834	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (𝐴 / 𝑀) ∈ ℤ)
21	3	nnzd 12623	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
22	3	nnne0d 12298	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≠ 0)
23		dvdsval2 16275	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ 𝐴 ↔ (𝐴 / 𝑀) ∈ ℤ))
24	21, 22, 2, 23	syl3anc 1372	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∥ 𝐴 ↔ (𝐴 / 𝑀) ∈ ℤ))
25	24	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (𝑀 ∥ 𝐴 ↔ (𝐴 / 𝑀) ∈ ℤ))
26	20, 25	mpbird 257	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝑀 ∥ 𝐴)
27		dvdssq 16586	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ 𝐴 ↔ (𝑀↑2) ∥ (𝐴↑2)))
28	21, 13, 27	syl2an2r 685	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (𝑀 ∥ 𝐴 ↔ (𝑀↑2) ∥ (𝐴↑2)))
29	26, 28	mpbid 232	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (𝑀↑2) ∥ (𝐴↑2))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2931   class class class wbr 5123  (class class class)co 7413  ℂcc 11135  0cc0 11137   + caddc 11140   − cmin 11474   / cdiv 11902  ℕcn 12248  2c2 12303  ℤcz 12596   mod cmo 13891  ↑cexp 14084   ∥ cdvds 16272

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737  ax-cnex 11193  ax-resscn 11194  ax-1cn 11195  ax-icn 11196  ax-addcl 11197  ax-addrcl 11198  ax-mulcl 11199  ax-mulrcl 11200  ax-mulcom 11201  ax-addass 11202  ax-mulass 11203  ax-distr 11204  ax-i2m1 11205  ax-1ne0 11206  ax-1rid 11207  ax-rnegex 11208  ax-rrecex 11209  ax-cnre 11210  ax-pre-lttri 11211  ax-pre-lttrn 11212  ax-pre-ltadd 11213  ax-pre-mulgt0 11214  ax-pre-sup 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-iun 4973  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7870  df-2nd 7997  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-er 8727  df-en 8968  df-dom 8969  df-sdom 8970  df-sup 9464  df-inf 9465  df-pnf 11279  df-mnf 11280  df-xr 11281  df-ltxr 11282  df-le 11283  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11903  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-n0 12510  df-z 12597  df-uz 12861  df-rp 13017  df-fl 13814  df-mod 13892  df-seq 14025  df-exp 14085  df-cj 15120  df-re 15121  df-im 15122  df-sqrt 15256  df-abs 15257  df-dvds 16273  df-gcd 16514

This theorem is referenced by:  4sqlem16  16980  2sqlem8a  27405