MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  4sqlem9 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 4sqlem9 16383
Description: Lemma for 4sq 16401. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
4sqlem5.2 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
4sqlem5.3 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
4sqlem5.4 𝐵 = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
4sqlem9.5 ((𝜑𝜓) → (𝐵↑2) = 0)
Assertion
Ref Expression
4sqlem9 ((𝜑𝜓) → (𝑀↑2) ∥ (𝐴↑2))

Proof of Theorem 4sqlem9
StepHypRef Expression
1 4sqlem9.5 . . . . . . . 8 ((𝜑𝜓) → (𝐵↑2) = 0)
2 4sqlem5.2 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
3 4sqlem5.3 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
4 4sqlem5.4 . . . . . . . . . . . . 13 𝐵 = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
52, 3, 44sqlem5 16379 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐵 ∈ ℤ ∧ ((𝐴𝐵) / 𝑀) ∈ ℤ))
65simpld 498 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
76zcnd 12170 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
8 sqeq0 13579 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ ℂ → ((𝐵↑2) = 0 ↔ 𝐵 = 0))
97, 8syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐵↑2) = 0 ↔ 𝐵 = 0))
109biimpa 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐵↑2) = 0) → 𝐵 = 0)
111, 10syldan 594 . . . . . . 7 ((𝜑𝜓) → 𝐵 = 0)
1211oveq2d 7187 . . . . . 6 ((𝜑𝜓) → (𝐴𝐵) = (𝐴 − 0))
132adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝜓) → 𝐴 ∈ ℤ)
1413zcnd 12170 . . . . . . 7 ((𝜑𝜓) → 𝐴 ∈ ℂ)
1514subid1d 11065 . . . . . 6 ((𝜑𝜓) → (𝐴 − 0) = 𝐴)
1612, 15eqtrd 2773 . . . . 5 ((𝜑𝜓) → (𝐴𝐵) = 𝐴)
1716oveq1d 7186 . . . 4 ((𝜑𝜓) → ((𝐴𝐵) / 𝑀) = (𝐴 / 𝑀))
185simprd 499 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴𝐵) / 𝑀) ∈ ℤ)
1918adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝜓) → ((𝐴𝐵) / 𝑀) ∈ ℤ)
2017, 19eqeltrrd 2834 . . 3 ((𝜑𝜓) → (𝐴 / 𝑀) ∈ ℤ)
213nnzd 12168 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
223nnne0d 11767 . . . . 5 (𝜑𝑀 ≠ 0)
23 dvdsval2 15703 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑀𝐴 ↔ (𝐴 / 𝑀) ∈ ℤ))
2421, 22, 2, 23syl3anc 1372 . . . 4 (𝜑 → (𝑀𝐴 ↔ (𝐴 / 𝑀) ∈ ℤ))
2524adantr 484 . . 3 ((𝜑𝜓) → (𝑀𝐴 ↔ (𝐴 / 𝑀) ∈ ℤ))
2620, 25mpbird 260 . 2 ((𝜑𝜓) → 𝑀𝐴)
27 dvdssq 16009 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑀𝐴 ↔ (𝑀↑2) ∥ (𝐴↑2)))
2821, 13, 27syl2an2r 685 . 2 ((𝜑𝜓) → (𝑀𝐴 ↔ (𝑀↑2) ∥ (𝐴↑2)))
2926, 28mpbid 235 1 ((𝜑𝜓) → (𝑀↑2) ∥ (𝐴↑2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1542  wcel 2113  wne 2934   class class class wbr 5031  (class class class)co 7171  cc 10614  0cc0 10616   + caddc 10619  cmin 10949   / cdiv 11376  cn 11717  2c2 11772  cz 12063   mod cmo 13329  cexp 13522  cdvds 15700
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5233  ax-pr 5297  ax-un 7480  ax-cnex 10672  ax-resscn 10673  ax-1cn 10674  ax-icn 10675  ax-addcl 10676  ax-addrcl 10677  ax-mulcl 10678  ax-mulrcl 10679  ax-mulcom 10680  ax-addass 10681  ax-mulass 10682  ax-distr 10683  ax-i2m1 10684  ax-1ne0 10685  ax-1rid 10686  ax-rnegex 10687  ax-rrecex 10688  ax-cnre 10689  ax-pre-lttri 10690  ax-pre-lttrn 10691  ax-pre-ltadd 10692  ax-pre-mulgt0 10693  ax-pre-sup 10694
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3683  df-csb 3792  df-dif 3847  df-un 3849  df-in 3851  df-ss 3861  df-pss 3863  df-nul 4213  df-if 4416  df-pw 4491  df-sn 4518  df-pr 4520  df-tp 4522  df-op 4524  df-uni 4798  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5484  df-we 5486  df-xp 5532  df-rel 5533  df-cnv 5534  df-co 5535  df-dm 5536  df-rn 5537  df-res 5538  df-ima 5539  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7128  df-ov 7174  df-oprab 7175  df-mpo 7176  df-om 7601  df-2nd 7716  df-wrecs 7977  df-recs 8038  df-rdg 8076  df-er 8321  df-en 8557  df-dom 8558  df-sdom 8559  df-sup 8980  df-inf 8981  df-pnf 10756  df-mnf 10757  df-xr 10758  df-ltxr 10759  df-le 10760  df-sub 10951  df-neg 10952  df-div 11377  df-nn 11718  df-2 11780  df-3 11781  df-n0 11978  df-z 12064  df-uz 12326  df-rp 12474  df-fl 13254  df-mod 13330  df-seq 13462  df-exp 13523  df-cj 14549  df-re 14550  df-im 14551  df-sqrt 14685  df-abs 14686  df-dvds 15701  df-gcd 15939
This theorem is referenced by:  4sqlem16  16397  2sqlem8a  26161
  Copyright terms: Public domain W3C validator