Theorem 4sqlem9 16984

Description: Lemma for 4sq 17002. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
4sqlem5.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
4sqlem5.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
4sqlem5.4	⊢ 𝐵 = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
4sqlem9.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (𝐵↑2) = 0)

Assertion

Ref	Expression
4sqlem9	⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (𝑀↑2) ∥ (𝐴↑2))

Proof of Theorem 4sqlem9

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4sqlem9.5	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (𝐵↑2) = 0)
2		4sqlem5.2	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
3		4sqlem5.3	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
4		4sqlem5.4	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐵 = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
5	2, 3, 4	4sqlem5 16980	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 𝐵) / 𝑀) ∈ ℤ))
6	5	simpld 494	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
7	6	zcnd 12723	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
8		sqeq0 14160	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → ((𝐵↑2) = 0 ↔ 𝐵 = 0))
9	7, 8	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑2) = 0 ↔ 𝐵 = 0))
10	9	biimpa 476	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵↑2) = 0) → 𝐵 = 0)
11	1, 10	syldan 591	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝐵 = 0)
12	11	oveq2d 7447	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (𝐴 − 𝐵) = (𝐴 − 0))
13	2	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝐴 ∈ ℤ)
14	13	zcnd 12723	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝐴 ∈ ℂ)
15	14	subid1d 11609	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (𝐴 − 0) = 𝐴)
16	12, 15	eqtrd 2777	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (𝐴 − 𝐵) = 𝐴)
17	16	oveq1d 7446	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ((𝐴 − 𝐵) / 𝑀) = (𝐴 / 𝑀))
18	5	simprd 495	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) / 𝑀) ∈ ℤ)
19	18	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ((𝐴 − 𝐵) / 𝑀) ∈ ℤ)
20	17, 19	eqeltrrd 2842	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (𝐴 / 𝑀) ∈ ℤ)
21	3	nnzd 12640	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
22	3	nnne0d 12316	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≠ 0)
23		dvdsval2 16293	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ 𝐴 ↔ (𝐴 / 𝑀) ∈ ℤ))
24	21, 22, 2, 23	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∥ 𝐴 ↔ (𝐴 / 𝑀) ∈ ℤ))
25	24	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (𝑀 ∥ 𝐴 ↔ (𝐴 / 𝑀) ∈ ℤ))
26	20, 25	mpbird 257	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝑀 ∥ 𝐴)
27		dvdssq 16604	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ 𝐴 ↔ (𝑀↑2) ∥ (𝐴↑2)))
28	21, 13, 27	syl2an2r 685	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (𝑀 ∥ 𝐴 ↔ (𝑀↑2) ∥ (𝐴↑2)))
29	26, 28	mpbid 232	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (𝑀↑2) ∥ (𝐴↑2))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940   class class class wbr 5143  (class class class)co 7431  ℂcc 11153  0cc0 11155   + caddc 11158   − cmin 11492   / cdiv 11920  ℕcn 12266  2c2 12321  ℤcz 12613   mod cmo 13909  ↑cexp 14102   ∥ cdvds 16290

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-dvds 16291  df-gcd 16532

This theorem is referenced by:  4sqlem16  16998  2sqlem8a  27469