Theorem 4sqlem9 16885

Description: Lemma for 4sq 16903. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
4sqlem5.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
4sqlem5.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
4sqlem5.4	⊢ 𝐵 = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
4sqlem9.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (𝐵↑2) = 0)

Assertion

Ref	Expression
4sqlem9	⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (𝑀↑2) ∥ (𝐴↑2))

Proof of Theorem 4sqlem9

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4sqlem9.5	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (𝐵↑2) = 0)
2		4sqlem5.2	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
3		4sqlem5.3	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
4		4sqlem5.4	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐵 = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
5	2, 3, 4	4sqlem5 16881	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 𝐵) / 𝑀) ∈ ℤ))
6	5	simpld 494	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
7	6	zcnd 12668	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
8		sqeq0 14087	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → ((𝐵↑2) = 0 ↔ 𝐵 = 0))
9	7, 8	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑2) = 0 ↔ 𝐵 = 0))
10	9	biimpa 476	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵↑2) = 0) → 𝐵 = 0)
11	1, 10	syldan 590	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝐵 = 0)
12	11	oveq2d 7420	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (𝐴 − 𝐵) = (𝐴 − 0))
13	2	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝐴 ∈ ℤ)
14	13	zcnd 12668	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝐴 ∈ ℂ)
15	14	subid1d 11561	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (𝐴 − 0) = 𝐴)
16	12, 15	eqtrd 2766	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (𝐴 − 𝐵) = 𝐴)
17	16	oveq1d 7419	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ((𝐴 − 𝐵) / 𝑀) = (𝐴 / 𝑀))
18	5	simprd 495	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) / 𝑀) ∈ ℤ)
19	18	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ((𝐴 − 𝐵) / 𝑀) ∈ ℤ)
20	17, 19	eqeltrrd 2828	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (𝐴 / 𝑀) ∈ ℤ)
21	3	nnzd 12586	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
22	3	nnne0d 12263	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≠ 0)
23		dvdsval2 16204	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ 𝐴 ↔ (𝐴 / 𝑀) ∈ ℤ))
24	21, 22, 2, 23	syl3anc 1368	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∥ 𝐴 ↔ (𝐴 / 𝑀) ∈ ℤ))
25	24	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (𝑀 ∥ 𝐴 ↔ (𝐴 / 𝑀) ∈ ℤ))
26	20, 25	mpbird 257	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝑀 ∥ 𝐴)
27		dvdssq 16508	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ 𝐴 ↔ (𝑀↑2) ∥ (𝐴↑2)))
28	21, 13, 27	syl2an2r 682	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (𝑀 ∥ 𝐴 ↔ (𝑀↑2) ∥ (𝐴↑2)))
29	26, 28	mpbid 231	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (𝑀↑2) ∥ (𝐴↑2))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2934   class class class wbr 5141  (class class class)co 7404  ℂcc 11107  0cc0 11109   + caddc 11112   − cmin 11445   / cdiv 11872  ℕcn 12213  2c2 12268  ℤcz 12559   mod cmo 13837  ↑cexp 14029   ∥ cdvds 16201

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-rp 12978  df-fl 13760  df-mod 13838  df-seq 13970  df-exp 14030  df-cj 15049  df-re 15050  df-im 15051  df-sqrt 15185  df-abs 15186  df-dvds 16202  df-gcd 16440

This theorem is referenced by:  4sqlem16  16899  2sqlem8a  27308