MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  4sqlem9 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 4sqlem9 16825
Description: Lemma for 4sq 16843. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
4sqlem5.2 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
4sqlem5.3 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
4sqlem5.4 𝐵 = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
4sqlem9.5 ((𝜑𝜓) → (𝐵↑2) = 0)
Assertion
Ref Expression
4sqlem9 ((𝜑𝜓) → (𝑀↑2) ∥ (𝐴↑2))

Proof of Theorem 4sqlem9
StepHypRef Expression
1 4sqlem9.5 . . . . . . . 8 ((𝜑𝜓) → (𝐵↑2) = 0)
2 4sqlem5.2 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
3 4sqlem5.3 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
4 4sqlem5.4 . . . . . . . . . . . . 13 𝐵 = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
52, 3, 44sqlem5 16821 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐵 ∈ ℤ ∧ ((𝐴𝐵) / 𝑀) ∈ ℤ))
65simpld 496 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
76zcnd 12615 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
8 sqeq0 14032 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ ℂ → ((𝐵↑2) = 0 ↔ 𝐵 = 0))
97, 8syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐵↑2) = 0 ↔ 𝐵 = 0))
109biimpa 478 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐵↑2) = 0) → 𝐵 = 0)
111, 10syldan 592 . . . . . . 7 ((𝜑𝜓) → 𝐵 = 0)
1211oveq2d 7378 . . . . . 6 ((𝜑𝜓) → (𝐴𝐵) = (𝐴 − 0))
132adantr 482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝜓) → 𝐴 ∈ ℤ)
1413zcnd 12615 . . . . . . 7 ((𝜑𝜓) → 𝐴 ∈ ℂ)
1514subid1d 11508 . . . . . 6 ((𝜑𝜓) → (𝐴 − 0) = 𝐴)
1612, 15eqtrd 2777 . . . . 5 ((𝜑𝜓) → (𝐴𝐵) = 𝐴)
1716oveq1d 7377 . . . 4 ((𝜑𝜓) → ((𝐴𝐵) / 𝑀) = (𝐴 / 𝑀))
185simprd 497 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴𝐵) / 𝑀) ∈ ℤ)
1918adantr 482 . . . 4 ((𝜑𝜓) → ((𝐴𝐵) / 𝑀) ∈ ℤ)
2017, 19eqeltrrd 2839 . . 3 ((𝜑𝜓) → (𝐴 / 𝑀) ∈ ℤ)
213nnzd 12533 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
223nnne0d 12210 . . . . 5 (𝜑𝑀 ≠ 0)
23 dvdsval2 16146 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑀𝐴 ↔ (𝐴 / 𝑀) ∈ ℤ))
2421, 22, 2, 23syl3anc 1372 . . . 4 (𝜑 → (𝑀𝐴 ↔ (𝐴 / 𝑀) ∈ ℤ))
2524adantr 482 . . 3 ((𝜑𝜓) → (𝑀𝐴 ↔ (𝐴 / 𝑀) ∈ ℤ))
2620, 25mpbird 257 . 2 ((𝜑𝜓) → 𝑀𝐴)
27 dvdssq 16450 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑀𝐴 ↔ (𝑀↑2) ∥ (𝐴↑2)))
2821, 13, 27syl2an2r 684 . 2 ((𝜑𝜓) → (𝑀𝐴 ↔ (𝑀↑2) ∥ (𝐴↑2)))
2926, 28mpbid 231 1 ((𝜑𝜓) → (𝑀↑2) ∥ (𝐴↑2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2944   class class class wbr 5110  (class class class)co 7362  cc 11056  0cc0 11058   + caddc 11061  cmin 11392   / cdiv 11819  cn 12160  2c2 12215  cz 12506   mod cmo 13781  cexp 13974  cdvds 16143
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-sup 9385  df-inf 9386  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-rp 12923  df-fl 13704  df-mod 13782  df-seq 13914  df-exp 13975  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-dvds 16144  df-gcd 16382
This theorem is referenced by:  4sqlem16  16839  2sqlem8a  26789
  Copyright terms: Public domain W3C validator