MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  4sqlem9 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 4sqlem9 16647
Description: Lemma for 4sq 16665. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
4sqlem5.2 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
4sqlem5.3 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
4sqlem5.4 𝐵 = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
4sqlem9.5 ((𝜑𝜓) → (𝐵↑2) = 0)
Assertion
Ref Expression
4sqlem9 ((𝜑𝜓) → (𝑀↑2) ∥ (𝐴↑2))

Proof of Theorem 4sqlem9
StepHypRef Expression
1 4sqlem9.5 . . . . . . . 8 ((𝜑𝜓) → (𝐵↑2) = 0)
2 4sqlem5.2 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
3 4sqlem5.3 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
4 4sqlem5.4 . . . . . . . . . . . . 13 𝐵 = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
52, 3, 44sqlem5 16643 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐵 ∈ ℤ ∧ ((𝐴𝐵) / 𝑀) ∈ ℤ))
65simpld 495 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
76zcnd 12427 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
8 sqeq0 13840 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ ℂ → ((𝐵↑2) = 0 ↔ 𝐵 = 0))
97, 8syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐵↑2) = 0 ↔ 𝐵 = 0))
109biimpa 477 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐵↑2) = 0) → 𝐵 = 0)
111, 10syldan 591 . . . . . . 7 ((𝜑𝜓) → 𝐵 = 0)
1211oveq2d 7291 . . . . . 6 ((𝜑𝜓) → (𝐴𝐵) = (𝐴 − 0))
132adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝜓) → 𝐴 ∈ ℤ)
1413zcnd 12427 . . . . . . 7 ((𝜑𝜓) → 𝐴 ∈ ℂ)
1514subid1d 11321 . . . . . 6 ((𝜑𝜓) → (𝐴 − 0) = 𝐴)
1612, 15eqtrd 2778 . . . . 5 ((𝜑𝜓) → (𝐴𝐵) = 𝐴)
1716oveq1d 7290 . . . 4 ((𝜑𝜓) → ((𝐴𝐵) / 𝑀) = (𝐴 / 𝑀))
185simprd 496 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴𝐵) / 𝑀) ∈ ℤ)
1918adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝜓) → ((𝐴𝐵) / 𝑀) ∈ ℤ)
2017, 19eqeltrrd 2840 . . 3 ((𝜑𝜓) → (𝐴 / 𝑀) ∈ ℤ)
213nnzd 12425 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
223nnne0d 12023 . . . . 5 (𝜑𝑀 ≠ 0)
23 dvdsval2 15966 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑀𝐴 ↔ (𝐴 / 𝑀) ∈ ℤ))
2421, 22, 2, 23syl3anc 1370 . . . 4 (𝜑 → (𝑀𝐴 ↔ (𝐴 / 𝑀) ∈ ℤ))
2524adantr 481 . . 3 ((𝜑𝜓) → (𝑀𝐴 ↔ (𝐴 / 𝑀) ∈ ℤ))
2620, 25mpbird 256 . 2 ((𝜑𝜓) → 𝑀𝐴)
27 dvdssq 16272 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑀𝐴 ↔ (𝑀↑2) ∥ (𝐴↑2)))
2821, 13, 27syl2an2r 682 . 2 ((𝜑𝜓) → (𝑀𝐴 ↔ (𝑀↑2) ∥ (𝐴↑2)))
2926, 28mpbid 231 1 ((𝜑𝜓) → (𝑀↑2) ∥ (𝐴↑2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1539  wcel 2106  wne 2943   class class class wbr 5074  (class class class)co 7275  cc 10869  0cc0 10871   + caddc 10874  cmin 11205   / cdiv 11632  cn 11973  2c2 12028  cz 12319   mod cmo 13589  cexp 13782  cdvds 15963
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-sup 9201  df-inf 9202  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-fl 13512  df-mod 13590  df-seq 13722  df-exp 13783  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-dvds 15964  df-gcd 16202
This theorem is referenced by:  4sqlem16  16661  2sqlem8a  26573
  Copyright terms: Public domain W3C validator