MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bernneq3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bernneq3 14235
Description: A corollary of bernneq 14233. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
bernneq3 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘ < (๐‘ƒโ†‘๐‘))

Proof of Theorem bernneq3
StepHypRef Expression
1 nn0re 12521 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
21adantl 480 . 2 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
3 peano2re 11427 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ โ„)
42, 3syl 17 . 2 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ โ„)
5 eluzelre 12873 . . 3 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„)
6 reexpcl 14085 . . 3 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ƒโ†‘๐‘) โˆˆ โ„)
75, 6sylan 578 . 2 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ƒโ†‘๐‘) โˆˆ โ„)
82ltp1d 12184 . 2 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘ < (๐‘ + 1))
9 uz2m1nn 12947 . . . . . . 7 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•)
109adantr 479 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•)
1110nnred 12267 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
1211, 2remulcld 11284 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) ยท ๐‘) โˆˆ โ„)
13 peano2re 11427 . . . 4 (((๐‘ƒ โˆ’ 1) ยท ๐‘) โˆˆ โ„ โ†’ (((๐‘ƒ โˆ’ 1) ยท ๐‘) + 1) โˆˆ โ„)
1412, 13syl 17 . . 3 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (((๐‘ƒ โˆ’ 1) ยท ๐‘) + 1) โˆˆ โ„)
15 1red 11255 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
16 nn0ge0 12537 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ 0 โ‰ค ๐‘)
1716adantl 480 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ 0 โ‰ค ๐‘)
1810nnge1d 12300 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ 1 โ‰ค (๐‘ƒ โˆ’ 1))
192, 11, 17, 18lemulge12d 12192 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘ โ‰ค ((๐‘ƒ โˆ’ 1) ยท ๐‘))
202, 12, 15, 19leadd1dd 11868 . . 3 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ + 1) โ‰ค (((๐‘ƒ โˆ’ 1) ยท ๐‘) + 1))
215adantr 479 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„)
22 simpr 483 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
23 eluzge2nn0 12911 . . . . . 6 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•0)
24 nn0ge0 12537 . . . . . 6 (๐‘ƒ โˆˆ โ„•0 โ†’ 0 โ‰ค ๐‘ƒ)
2523, 24syl 17 . . . . 5 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ 0 โ‰ค ๐‘ƒ)
2625adantr 479 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ 0 โ‰ค ๐‘ƒ)
27 bernneq2 14234 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง 0 โ‰ค ๐‘ƒ) โ†’ (((๐‘ƒ โˆ’ 1) ยท ๐‘) + 1) โ‰ค (๐‘ƒโ†‘๐‘))
2821, 22, 26, 27syl3anc 1368 . . 3 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (((๐‘ƒ โˆ’ 1) ยท ๐‘) + 1) โ‰ค (๐‘ƒโ†‘๐‘))
294, 14, 7, 20, 28letrd 11411 . 2 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ + 1) โ‰ค (๐‘ƒโ†‘๐‘))
302, 4, 7, 8, 29ltletrd 11414 1 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘ < (๐‘ƒโ†‘๐‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   โˆˆ wcel 2098   class class class wbr 5152  โ€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  โ„cr 11147  0cc0 11148  1c1 11149   + caddc 11151   ยท cmul 11153   < clt 11288   โ‰ค cle 11289   โˆ’ cmin 11484  โ„•cn 12252  2c2 12307  โ„•0cn0 12512  โ„คโ‰ฅcuz 12862  โ†‘cexp 14068
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-er 8733  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-nn 12253  df-2 12315  df-n0 12513  df-z 12599  df-uz 12863  df-seq 14009  df-exp 14069
This theorem is referenced by:  climcnds  15839  bitsfzo  16419  bitsinv1  16426  pcfaclem  16876  pcfac  16877  chpchtsum  27180  bposlem1  27245
  Copyright terms: Public domain W3C validator