MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bernneq3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bernneq3 14199
Description: A corollary of bernneq 14197. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
bernneq3 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘ < (๐‘ƒโ†‘๐‘))

Proof of Theorem bernneq3
StepHypRef Expression
1 nn0re 12485 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
21adantl 481 . 2 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
3 peano2re 11391 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ โ„)
42, 3syl 17 . 2 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ โ„)
5 eluzelre 12837 . . 3 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„)
6 reexpcl 14049 . . 3 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ƒโ†‘๐‘) โˆˆ โ„)
75, 6sylan 579 . 2 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ƒโ†‘๐‘) โˆˆ โ„)
82ltp1d 12148 . 2 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘ < (๐‘ + 1))
9 uz2m1nn 12911 . . . . . . 7 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•)
109adantr 480 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•)
1110nnred 12231 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
1211, 2remulcld 11248 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) ยท ๐‘) โˆˆ โ„)
13 peano2re 11391 . . . 4 (((๐‘ƒ โˆ’ 1) ยท ๐‘) โˆˆ โ„ โ†’ (((๐‘ƒ โˆ’ 1) ยท ๐‘) + 1) โˆˆ โ„)
1412, 13syl 17 . . 3 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (((๐‘ƒ โˆ’ 1) ยท ๐‘) + 1) โˆˆ โ„)
15 1red 11219 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
16 nn0ge0 12501 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ 0 โ‰ค ๐‘)
1716adantl 481 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ 0 โ‰ค ๐‘)
1810nnge1d 12264 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ 1 โ‰ค (๐‘ƒ โˆ’ 1))
192, 11, 17, 18lemulge12d 12156 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘ โ‰ค ((๐‘ƒ โˆ’ 1) ยท ๐‘))
202, 12, 15, 19leadd1dd 11832 . . 3 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ + 1) โ‰ค (((๐‘ƒ โˆ’ 1) ยท ๐‘) + 1))
215adantr 480 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„)
22 simpr 484 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
23 eluzge2nn0 12875 . . . . . 6 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•0)
24 nn0ge0 12501 . . . . . 6 (๐‘ƒ โˆˆ โ„•0 โ†’ 0 โ‰ค ๐‘ƒ)
2523, 24syl 17 . . . . 5 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ 0 โ‰ค ๐‘ƒ)
2625adantr 480 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ 0 โ‰ค ๐‘ƒ)
27 bernneq2 14198 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง 0 โ‰ค ๐‘ƒ) โ†’ (((๐‘ƒ โˆ’ 1) ยท ๐‘) + 1) โ‰ค (๐‘ƒโ†‘๐‘))
2821, 22, 26, 27syl3anc 1368 . . 3 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (((๐‘ƒ โˆ’ 1) ยท ๐‘) + 1) โ‰ค (๐‘ƒโ†‘๐‘))
294, 14, 7, 20, 28letrd 11375 . 2 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ + 1) โ‰ค (๐‘ƒโ†‘๐‘))
302, 4, 7, 8, 29ltletrd 11378 1 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘ < (๐‘ƒโ†‘๐‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   โˆˆ wcel 2098   class class class wbr 5141  โ€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  โ„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117   < clt 11252   โ‰ค cle 11253   โˆ’ cmin 11448  โ„•cn 12216  2c2 12271  โ„•0cn0 12476  โ„คโ‰ฅcuz 12826  โ†‘cexp 14032
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-seq 13973  df-exp 14033
This theorem is referenced by:  climcnds  15803  bitsfzo  16383  bitsinv1  16390  pcfaclem  16840  pcfac  16841  chpchtsum  27107  bposlem1  27172
  Copyright terms: Public domain W3C validator