MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bernneq3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bernneq3 14267
Description: A corollary of bernneq 14265. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
bernneq3 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 < (𝑃𝑁))

Proof of Theorem bernneq3
StepHypRef Expression
1 nn0re 12533 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
21adantl 481 . 2 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
3 peano2re 11432 . . 3 (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
42, 3syl 17 . 2 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
5 eluzelre 12887 . . 3 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → 𝑃 ∈ ℝ)
6 reexpcl 14116 . . 3 ((𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑃𝑁) ∈ ℝ)
75, 6sylan 580 . 2 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑃𝑁) ∈ ℝ)
82ltp1d 12196 . 2 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 < (𝑁 + 1))
9 uz2m1nn 12963 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → (𝑃 − 1) ∈ ℕ)
109adantr 480 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑃 − 1) ∈ ℕ)
1110nnred 12279 . . . . 5 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑃 − 1) ∈ ℝ)
1211, 2remulcld 11289 . . . 4 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑃 − 1) · 𝑁) ∈ ℝ)
13 peano2re 11432 . . . 4 (((𝑃 − 1) · 𝑁) ∈ ℝ → (((𝑃 − 1) · 𝑁) + 1) ∈ ℝ)
1412, 13syl 17 . . 3 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝑃 − 1) · 𝑁) + 1) ∈ ℝ)
15 1red 11260 . . . 4 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℝ)
16 nn0ge0 12549 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)
1716adantl 481 . . . . 5 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝑁)
1810nnge1d 12312 . . . . 5 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 1 ≤ (𝑃 − 1))
192, 11, 17, 18lemulge12d 12204 . . . 4 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ≤ ((𝑃 − 1) · 𝑁))
202, 12, 15, 19leadd1dd 11875 . . 3 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ≤ (((𝑃 − 1) · 𝑁) + 1))
215adantr 480 . . . 4 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ ℝ)
22 simpr 484 . . . 4 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
23 eluzge2nn0 12927 . . . . . 6 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → 𝑃 ∈ ℕ0)
24 nn0ge0 12549 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑃)
2523, 24syl 17 . . . . 5 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → 0 ≤ 𝑃)
2625adantr 480 . . . 4 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝑃)
27 bernneq2 14266 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 0 ≤ 𝑃) → (((𝑃 − 1) · 𝑁) + 1) ≤ (𝑃𝑁))
2821, 22, 26, 27syl3anc 1370 . . 3 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝑃 − 1) · 𝑁) + 1) ≤ (𝑃𝑁))
294, 14, 7, 20, 28letrd 11416 . 2 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ≤ (𝑃𝑁))
302, 4, 7, 8, 29ltletrd 11419 1 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 < (𝑃𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wcel 2106   class class class wbr 5148  cfv 6563  (class class class)co 7431  cr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158   < clt 11293  cle 11294  cmin 11490  cn 12264  2c2 12319  0cn0 12524  cuz 12876  cexp 14099
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-seq 14040  df-exp 14100
This theorem is referenced by:  climcnds  15884  bitsfzo  16469  bitsinv1  16476  pcfaclem  16932  pcfac  16933  chpchtsum  27278  bposlem1  27343
  Copyright terms: Public domain W3C validator