MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bernneq3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bernneq3 13430
Description: A corollary of bernneq 13428. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
bernneq3 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 < (𝑃𝑁))

Proof of Theorem bernneq3
StepHypRef Expression
1 nn0re 11743 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
21adantl 482 . 2 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
3 peano2re 10649 . . 3 (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
42, 3syl 17 . 2 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
5 eluzelre 12093 . . 3 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → 𝑃 ∈ ℝ)
6 reexpcl 13284 . . 3 ((𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑃𝑁) ∈ ℝ)
75, 6sylan 580 . 2 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑃𝑁) ∈ ℝ)
82ltp1d 11407 . 2 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 < (𝑁 + 1))
9 uz2m1nn 12161 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → (𝑃 − 1) ∈ ℕ)
109adantr 481 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑃 − 1) ∈ ℕ)
1110nnred 11490 . . . . 5 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑃 − 1) ∈ ℝ)
1211, 2remulcld 10506 . . . 4 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑃 − 1) · 𝑁) ∈ ℝ)
13 peano2re 10649 . . . 4 (((𝑃 − 1) · 𝑁) ∈ ℝ → (((𝑃 − 1) · 𝑁) + 1) ∈ ℝ)
1412, 13syl 17 . . 3 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝑃 − 1) · 𝑁) + 1) ∈ ℝ)
15 1red 10477 . . . 4 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℝ)
16 nn0ge0 11759 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)
1716adantl 482 . . . . 5 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝑁)
1810nnge1d 11522 . . . . 5 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 1 ≤ (𝑃 − 1))
192, 11, 17, 18lemulge12d 11415 . . . 4 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ≤ ((𝑃 − 1) · 𝑁))
202, 12, 15, 19leadd1dd 11091 . . 3 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ≤ (((𝑃 − 1) · 𝑁) + 1))
215adantr 481 . . . 4 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ ℝ)
22 simpr 485 . . . 4 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
23 eluzge2nn0 12125 . . . . . 6 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → 𝑃 ∈ ℕ0)
24 nn0ge0 11759 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑃)
2523, 24syl 17 . . . . 5 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → 0 ≤ 𝑃)
2625adantr 481 . . . 4 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝑃)
27 bernneq2 13429 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 0 ≤ 𝑃) → (((𝑃 − 1) · 𝑁) + 1) ≤ (𝑃𝑁))
2821, 22, 26, 27syl3anc 1362 . . 3 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝑃 − 1) · 𝑁) + 1) ≤ (𝑃𝑁))
294, 14, 7, 20, 28letrd 10633 . 2 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ≤ (𝑃𝑁))
302, 4, 7, 8, 29ltletrd 10636 1 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 < (𝑃𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wcel 2079   class class class wbr 4956  cfv 6217  (class class class)co 7007  cr 10371  0cc0 10372  1c1 10373   + caddc 10375   · cmul 10377   < clt 10510  cle 10511  cmin 10706  cn 11475  2c2 11529  0cn0 11734  cuz 12082  cexp 13267
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1775  ax-4 1789  ax-5 1886  ax-6 1945  ax-7 1990  ax-8 2081  ax-9 2089  ax-10 2110  ax-11 2124  ax-12 2139  ax-13 2342  ax-ext 2767  ax-sep 5088  ax-nul 5095  ax-pow 5150  ax-pr 5214  ax-un 7310  ax-cnex 10428  ax-resscn 10429  ax-1cn 10430  ax-icn 10431  ax-addcl 10432  ax-addrcl 10433  ax-mulcl 10434  ax-mulrcl 10435  ax-mulcom 10436  ax-addass 10437  ax-mulass 10438  ax-distr 10439  ax-i2m1 10440  ax-1ne0 10441  ax-1rid 10442  ax-rnegex 10443  ax-rrecex 10444  ax-cnre 10445  ax-pre-lttri 10446  ax-pre-lttrn 10447  ax-pre-ltadd 10448  ax-pre-mulgt0 10449
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1079  df-3an 1080  df-tru 1523  df-ex 1760  df-nf 1764  df-sb 2041  df-mo 2574  df-eu 2610  df-clab 2774  df-cleq 2786  df-clel 2861  df-nfc 2933  df-ne 2983  df-nel 3089  df-ral 3108  df-rex 3109  df-reu 3110  df-rab 3112  df-v 3434  df-sbc 3702  df-csb 3807  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3869  df-pss 3871  df-nul 4207  df-if 4376  df-pw 4449  df-sn 4467  df-pr 4469  df-tp 4471  df-op 4473  df-uni 4740  df-iun 4821  df-br 4957  df-opab 5019  df-mpt 5036  df-tr 5058  df-id 5340  df-eprel 5345  df-po 5354  df-so 5355  df-fr 5394  df-we 5396  df-xp 5441  df-rel 5442  df-cnv 5443  df-co 5444  df-dm 5445  df-rn 5446  df-res 5447  df-ima 5448  df-pred 6015  df-ord 6061  df-on 6062  df-lim 6063  df-suc 6064  df-iota 6181  df-fun 6219  df-fn 6220  df-f 6221  df-f1 6222  df-fo 6223  df-f1o 6224  df-fv 6225  df-riota 6968  df-ov 7010  df-oprab 7011  df-mpo 7012  df-om 7428  df-2nd 7537  df-wrecs 7789  df-recs 7851  df-rdg 7889  df-er 8130  df-en 8348  df-dom 8349  df-sdom 8350  df-pnf 10512  df-mnf 10513  df-xr 10514  df-ltxr 10515  df-le 10516  df-sub 10708  df-neg 10709  df-nn 11476  df-2 11537  df-n0 11735  df-z 11819  df-uz 12083  df-seq 13208  df-exp 13268
This theorem is referenced by:  climcnds  15027  bitsfzo  15605  bitsinv1  15612  pcfaclem  16051  pcfac  16052  chpchtsum  25465  bposlem1  25530
  Copyright terms: Public domain W3C validator