Theorem uvcendim 21772

Description: In a nonzero ring, the number of unit vectors of a free module corresponds to the dimension of the free module. (Contributed by AV, 10-Mar-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
uvcf1o.u	⊢ 𝑈 = (𝑅 unitVec 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
uvcendim	⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐼 ≈ ran 𝑈)

Proof of Theorem uvcendim

Dummy variable 𝑢 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uvcf1o.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (𝑅 unitVec 𝐼)
2	1	ovexi 7387	. . . . 5 ⊢ 𝑈 ∈ V
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝑈 ∈ V)
4	1	uvcf1o 21771	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝑈:𝐼–1-1-onto→ran 𝑈)
5		f1oeq1 6756	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 = 𝑢 → (𝑈:𝐼–1-1-onto→ran 𝑈 ↔ 𝑢:𝐼–1-1-onto→ran 𝑈))
6	5	eqcoms 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → (𝑈:𝐼–1-1-onto→ran 𝑈 ↔ 𝑢:𝐼–1-1-onto→ran 𝑈))
7	6	biimpd 229	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → (𝑈:𝐼–1-1-onto→ran 𝑈 → 𝑢:𝐼–1-1-onto→ran 𝑈))
8	7	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (𝑢 = 𝑈 → (𝑈:𝐼–1-1-onto→ran 𝑈 → 𝑢:𝐼–1-1-onto→ran 𝑈)))
9	4, 8	syl7 74	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (𝑢 = 𝑈 → ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝑢:𝐼–1-1-onto→ran 𝑈)))
10	9	imp 406	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ 𝑢 = 𝑈) → ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝑢:𝐼–1-1-onto→ran 𝑈))
11	3, 10	spcimedv 3552	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → ∃𝑢 𝑢:𝐼–1-1-onto→ran 𝑈))
12	11	pm2.43i 52	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → ∃𝑢 𝑢:𝐼–1-1-onto→ran 𝑈)
13		bren 8889	. 2 ⊢ (𝐼 ≈ ran 𝑈 ↔ ∃𝑢 𝑢:𝐼–1-1-onto→ran 𝑈)
14	12, 13	sylibr 234	1 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐼 ≈ ran 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109  Vcvv 3438   class class class wbr 5095  ran crn 5624  –1-1-onto→wf1o 6485  (class class class)co 7353   ≈ cen 8876  NzRingcnzr 20415   unitVec cuvc 21707

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8632  df-map 8762  df-ixp 8832  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-fsupp 9271  df-sup 9351  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-7 12214  df-8 12215  df-9 12216  df-n0 12403  df-z 12490  df-dec 12610  df-uz 12754  df-fz 13429  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-ress 17160  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-sca 17195  df-vsca 17196  df-ip 17197  df-tset 17198  df-ple 17199  df-ds 17201  df-hom 17203  df-cco 17204  df-0g 17363  df-prds 17369  df-pws 17371  df-mgm 18532  df-sgrp 18611  df-mnd 18627  df-grp 18833  df-mgp 20044  df-ur 20085  df-ring 20138  df-nzr 20416  df-sra 21095  df-rgmod 21096  df-dsmm 21657  df-frlm 21672  df-uvc 21708

This theorem is referenced by:  frlmisfrlm  21773  lindsdom  37593  aacllem  49787