MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uvcendim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uvcendim 20967
Description: In a nonzero ring, the number of unit vectors of a free module corresponds to the dimension of the free module. (Contributed by AV, 10-Mar-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
uvcf1o.u 𝑈 = (𝑅 unitVec 𝐼)
Assertion
Ref Expression
uvcendim ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼𝑊) → 𝐼 ≈ ran 𝑈)

Proof of Theorem uvcendim
Dummy variable 𝑢 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uvcf1o.u . . . . . 6 𝑈 = (𝑅 unitVec 𝐼)
21ovexi 7164 . . . . 5 𝑈 ∈ V
32a1i 11 . . . 4 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼𝑊) → 𝑈 ∈ V)
41uvcf1o 20966 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼𝑊) → 𝑈:𝐼1-1-onto→ran 𝑈)
5 f1oeq1 6577 . . . . . . . . 9 (𝑈 = 𝑢 → (𝑈:𝐼1-1-onto→ran 𝑈𝑢:𝐼1-1-onto→ran 𝑈))
65eqcoms 2829 . . . . . . . 8 (𝑢 = 𝑈 → (𝑈:𝐼1-1-onto→ran 𝑈𝑢:𝐼1-1-onto→ran 𝑈))
76biimpd 232 . . . . . . 7 (𝑢 = 𝑈 → (𝑈:𝐼1-1-onto→ran 𝑈𝑢:𝐼1-1-onto→ran 𝑈))
87a1i 11 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼𝑊) → (𝑢 = 𝑈 → (𝑈:𝐼1-1-onto→ran 𝑈𝑢:𝐼1-1-onto→ran 𝑈)))
94, 8syl7 74 . . . . 5 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼𝑊) → (𝑢 = 𝑈 → ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼𝑊) → 𝑢:𝐼1-1-onto→ran 𝑈)))
109imp 410 . . . 4 (((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼𝑊) ∧ 𝑢 = 𝑈) → ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼𝑊) → 𝑢:𝐼1-1-onto→ran 𝑈))
113, 10spcimedv 3571 . . 3 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼𝑊) → ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼𝑊) → ∃𝑢 𝑢:𝐼1-1-onto→ran 𝑈))
1211pm2.43i 52 . 2 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼𝑊) → ∃𝑢 𝑢:𝐼1-1-onto→ran 𝑈)
13 bren 8493 . 2 (𝐼 ≈ ran 𝑈 ↔ ∃𝑢 𝑢:𝐼1-1-onto→ran 𝑈)
1412, 13sylibr 237 1 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼𝑊) → 𝐼 ≈ ran 𝑈)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wex 1781  wcel 2115  Vcvv 3471   class class class wbr 5039  ran crn 5529  1-1-ontowf1o 6327  (class class class)co 7130  cen 8481  NzRingcnzr 20006   unitVec cuvc 20902
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-rep 5163  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rmo 3134  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-int 4850  df-iun 4894  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-om 7556  df-1st 7664  df-2nd 7665  df-supp 7806  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-1o 8077  df-oadd 8081  df-er 8264  df-map 8383  df-ixp 8437  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-fin 8488  df-fsupp 8810  df-sup 8882  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-nn 11616  df-2 11678  df-3 11679  df-4 11680  df-5 11681  df-6 11682  df-7 11683  df-8 11684  df-9 11685  df-n0 11876  df-z 11960  df-dec 12077  df-uz 12222  df-fz 12876  df-struct 16464  df-ndx 16465  df-slot 16466  df-base 16468  df-sets 16469  df-ress 16470  df-plusg 16557  df-mulr 16558  df-sca 16560  df-vsca 16561  df-ip 16562  df-tset 16563  df-ple 16564  df-ds 16566  df-hom 16568  df-cco 16569  df-0g 16694  df-prds 16700  df-pws 16702  df-mgm 17831  df-sgrp 17880  df-mnd 17891  df-grp 18085  df-mgp 19219  df-ur 19231  df-ring 19278  df-sra 19920  df-rgmod 19921  df-nzr 20007  df-dsmm 20852  df-frlm 20867  df-uvc 20903
This theorem is referenced by:  frlmisfrlm  20968  lindsdom  34933  aacllem  45136
  Copyright terms: Public domain W3C validator