Theorem uvcendim 22133

Description: In a nonzero ring, the number of unit vectors of a free module corresponds to the dimension of the free module. (Contributed by AV, 10-Mar-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
uvcf1o.u	⊢ 𝑈 = (𝑅 unitVec 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
uvcendim	⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐼 ≈ ran 𝑈)

Proof of Theorem uvcendim

Dummy variable 𝑢 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uvcf1o.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (𝑅 unitVec 𝐼)
2	1	ovexi 7446	. . . . 5 ⊢ 𝑈 ∈ V
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝑈 ∈ V)
4	1	uvcf1o 22132	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝑈:𝐼–1-1-onto→ran 𝑈)
5		f1oeq1 6804	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 = 𝑢 → (𝑈:𝐼–1-1-onto→ran 𝑈 ↔ 𝑢:𝐼–1-1-onto→ran 𝑈))
6	5	eqcoms 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → (𝑈:𝐼–1-1-onto→ran 𝑈 ↔ 𝑢:𝐼–1-1-onto→ran 𝑈))
7	6	biimpd 232	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → (𝑈:𝐼–1-1-onto→ran 𝑈 → 𝑢:𝐼–1-1-onto→ran 𝑈))
8	7	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (𝑢 = 𝑈 → (𝑈:𝐼–1-1-onto→ran 𝑈 → 𝑢:𝐼–1-1-onto→ran 𝑈)))
9	4, 8	syl7 75	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (𝑢 = 𝑈 → ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝑢:𝐼–1-1-onto→ran 𝑈)))
10	9	imp 412	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ 𝑢 = 𝑈) → ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝑢:𝐼–1-1-onto→ran 𝑈))
11	3, 10	spcimedv 3550	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → ∃𝑢 𝑢:𝐼–1-1-onto→ran 𝑈))
12	11	pm2.43i 53	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → ∃𝑢 𝑢:𝐼–1-1-onto→ran 𝑈)
13		bren 8967	. 2 ⊢ (𝐼 ≈ ran 𝑈 ↔ ∃𝑢 𝑢:𝐼–1-1-onto→ran 𝑈)
14	12, 13	sylibr 237	1 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐼 ≈ ran 𝑈)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2145  Vcvv 3451   class class class wbr 5103  ran crn 5652  –1-1-onto→wf1o 6530  (class class class)co 7412   ≈ cen 8954  NzRingcnzr 20742   unitVec cuvc 22068

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-er 8701  df-map 8833  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9338  df-sup 9418  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-4 12388  df-5 12389  df-6 12390  df-7 12391  df-8 12392  df-9 12393  df-n0 12588  df-z 12675  df-dec 12796  df-uz 12947  df-fz 13621  df-struct 17305  df-sets 17322  df-slot 17340  df-ndx 17352  df-base 17368  df-ress 17389  df-plusg 17421  df-mulr 17422  df-sca 17424  df-vsca 17425  df-ip 17426  df-tset 17427  df-ple 17428  df-ds 17430  df-hom 17432  df-cco 17433  df-0g 17592  df-prds 17598  df-pws 17600  df-mgm 18796  df-sgrp 18888  df-mnd 18904  df-grp 19127  df-mgp 20341  df-ur 20388  df-ring 20441  df-nzr 20743  df-sra 21428  df-rgmod 21429  df-dsmm 22018  df-frlm 22033  df-uvc 22069

This theorem is used by:  frlmisfrlm  22134  lindsdom  22136  aacllem  50883