Theorem eulerth 16711

Description: Euler's theorem, a generalization of Fermat's little theorem. If 𝐴 and 𝑁 are coprime, then 𝐴↑ϕ(𝑁)≡1 (mod 𝑁). This is Metamath 100 proof #10. Also called Euler-Fermat theorem, see theorem 5.17 in [ApostolNT] p. 113. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2014.)

Assertion

Ref	Expression
eulerth	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → ((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁))

Proof of Theorem eulerth

Dummy variables 𝑓 𝑘 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		phicl 16697	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (ϕ‘𝑁) ∈ ℕ)
2	1	nnnn0d 12463	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (ϕ‘𝑁) ∈ ℕ0)
3		hashfz1 14270	. . . . . . 7 ⊢ ((ϕ‘𝑁) ∈ ℕ0 → (♯‘(1...(ϕ‘𝑁))) = (ϕ‘𝑁))
4	2, 3	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘(1...(ϕ‘𝑁))) = (ϕ‘𝑁))
5		dfphi2 16702	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (ϕ‘𝑁) = (♯‘{𝑘 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑘 gcd 𝑁) = 1}))
6	4, 5	eqtrd 2772	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘(1...(ϕ‘𝑁))) = (♯‘{𝑘 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑘 gcd 𝑁) = 1}))
7	6	3ad2ant1 1134	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → (♯‘(1...(ϕ‘𝑁))) = (♯‘{𝑘 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑘 gcd 𝑁) = 1}))
8		fzfi 13896	. . . . 5 ⊢ (1...(ϕ‘𝑁)) ∈ Fin
9		fzofi 13898	. . . . . 6 ⊢ (0..^𝑁) ∈ Fin
10		ssrab2 4021	. . . . . 6 ⊢ {𝑘 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑘 gcd 𝑁) = 1} ⊆ (0..^𝑁)
11		ssfi 9098	. . . . . 6 ⊢ (((0..^𝑁) ∈ Fin ∧ {𝑘 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑘 gcd 𝑁) = 1} ⊆ (0..^𝑁)) → {𝑘 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑘 gcd 𝑁) = 1} ∈ Fin)
12	9, 10, 11	mp2an 693	. . . . 5 ⊢ {𝑘 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑘 gcd 𝑁) = 1} ∈ Fin
13		hashen 14271	. . . . 5 ⊢ (((1...(ϕ‘𝑁)) ∈ Fin ∧ {𝑘 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑘 gcd 𝑁) = 1} ∈ Fin) → ((♯‘(1...(ϕ‘𝑁))) = (♯‘{𝑘 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑘 gcd 𝑁) = 1}) ↔ (1...(ϕ‘𝑁)) ≈ {𝑘 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑘 gcd 𝑁) = 1}))
14	8, 12, 13	mp2an 693	. . . 4 ⊢ ((♯‘(1...(ϕ‘𝑁))) = (♯‘{𝑘 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑘 gcd 𝑁) = 1}) ↔ (1...(ϕ‘𝑁)) ≈ {𝑘 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑘 gcd 𝑁) = 1})
15	7, 14	sylib 218	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → (1...(ϕ‘𝑁)) ≈ {𝑘 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑘 gcd 𝑁) = 1})
16		bren 8894	. . 3 ⊢ ((1...(ϕ‘𝑁)) ≈ {𝑘 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑘 gcd 𝑁) = 1} ↔ ∃𝑓 𝑓:(1...(ϕ‘𝑁))–1-1-onto→{𝑘 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑘 gcd 𝑁) = 1})
17	15, 16	sylib 218	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → ∃𝑓 𝑓:(1...(ϕ‘𝑁))–1-1-onto→{𝑘 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑘 gcd 𝑁) = 1})
18		simpl 482	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝑓:(1...(ϕ‘𝑁))–1-1-onto→{𝑘 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑘 gcd 𝑁) = 1}) → (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1))
19		oveq1 7365	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑦 → (𝑘 gcd 𝑁) = (𝑦 gcd 𝑁))
20	19	eqeq1d 2739	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑦 → ((𝑘 gcd 𝑁) = 1 ↔ (𝑦 gcd 𝑁) = 1))
21	20	cbvrabv 3400	. . 3 ⊢ {𝑘 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑘 gcd 𝑁) = 1} = {𝑦 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑦 gcd 𝑁) = 1}
22		eqid 2737	. . 3 ⊢ (1...(ϕ‘𝑁)) = (1...(ϕ‘𝑁))
23		simpr 484	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝑓:(1...(ϕ‘𝑁))–1-1-onto→{𝑘 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑘 gcd 𝑁) = 1}) → 𝑓:(1...(ϕ‘𝑁))–1-1-onto→{𝑘 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑘 gcd 𝑁) = 1})
24		fveq2 6832	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → (𝑓‘𝑘) = (𝑓‘𝑥))
25	24	oveq2d 7374	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → (𝐴 · (𝑓‘𝑘)) = (𝐴 · (𝑓‘𝑥)))
26	25	oveq1d 7373	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → ((𝐴 · (𝑓‘𝑘)) mod 𝑁) = ((𝐴 · (𝑓‘𝑥)) mod 𝑁))
27	26	cbvmptv 5190	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ (1...(ϕ‘𝑁)) ↦ ((𝐴 · (𝑓‘𝑘)) mod 𝑁)) = (𝑥 ∈ (1...(ϕ‘𝑁)) ↦ ((𝐴 · (𝑓‘𝑥)) mod 𝑁))
28	18, 21, 22, 23, 27	eulerthlem2 16710	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝑓:(1...(ϕ‘𝑁))–1-1-onto→{𝑘 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑘 gcd 𝑁) = 1}) → ((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁))
29	17, 28	exlimddv 1937	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → ((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114  {crab 3390   ⊆ wss 3890   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167  –1-1-onto→wf1o 6489  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358   ≈ cen 8881  Fincfn 8884  0cc0 11027  1c1 11028   · cmul 11032  ℕcn 12146  ℕ₀cn0 12402  ℤcz 12489  ...cfz 13424  ..^cfzo 13571   mod cmo 13790  ↑cexp 13985  ♯chash 14254   gcd cgcd 16422  ϕcphi 16692

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104  ax-pre-sup 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-oadd 8400  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-sup 9346  df-inf 9347  df-card 9852  df-pnf 11169  df-mnf 11170  df-xr 11171  df-ltxr 11172  df-le 11173  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-n0 12403  df-xnn0 12476  df-z 12490  df-uz 12753  df-rp 12907  df-fz 13425  df-fzo 13572  df-fl 13713  df-mod 13791  df-seq 13926  df-exp 13986  df-hash 14255  df-cj 15023  df-re 15024  df-im 15025  df-sqrt 15159  df-abs 15160  df-dvds 16181  df-gcd 16423  df-phi 16694

This theorem is referenced by:  fermltl  16712  prmdiv  16713  odzcllem  16721  odzphi  16725  vfermltl  16730  lgslem1  27248  lgsqrlem2  27298