MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eulerth Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eulerth 16725
Description: Euler's theorem, a generalization of Fermat's little theorem. If ๐ด and ๐‘ are coprime, then ๐ดโ†‘ฯ•(๐‘)โ‰ก1 (mod ๐‘). This is Metamath 100 proof #10. Also called Euler-Fermat theorem, see theorem 5.17 in [ApostolNT] p. 113. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2014.)
Assertion
Ref Expression
eulerth ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘) = 1) โ†’ ((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘)) mod ๐‘) = (1 mod ๐‘))

Proof of Theorem eulerth
Dummy variables ๐‘“ ๐‘˜ ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 phicl 16711 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (ฯ•โ€˜๐‘) โˆˆ โ„•)
21nnnn0d 12536 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (ฯ•โ€˜๐‘) โˆˆ โ„•0)
3 hashfz1 14311 . . . . . . 7 ((ฯ•โ€˜๐‘) โˆˆ โ„•0 โ†’ (โ™ฏโ€˜(1...(ฯ•โ€˜๐‘))) = (ฯ•โ€˜๐‘))
42, 3syl 17 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (โ™ฏโ€˜(1...(ฯ•โ€˜๐‘))) = (ฯ•โ€˜๐‘))
5 dfphi2 16716 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (ฯ•โ€˜๐‘) = (โ™ฏโ€˜{๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘) โˆฃ (๐‘˜ gcd ๐‘) = 1}))
64, 5eqtrd 2766 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (โ™ฏโ€˜(1...(ฯ•โ€˜๐‘))) = (โ™ฏโ€˜{๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘) โˆฃ (๐‘˜ gcd ๐‘) = 1}))
763ad2ant1 1130 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘) = 1) โ†’ (โ™ฏโ€˜(1...(ฯ•โ€˜๐‘))) = (โ™ฏโ€˜{๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘) โˆฃ (๐‘˜ gcd ๐‘) = 1}))
8 fzfi 13943 . . . . 5 (1...(ฯ•โ€˜๐‘)) โˆˆ Fin
9 fzofi 13945 . . . . . 6 (0..^๐‘) โˆˆ Fin
10 ssrab2 4072 . . . . . 6 {๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘) โˆฃ (๐‘˜ gcd ๐‘) = 1} โІ (0..^๐‘)
11 ssfi 9175 . . . . . 6 (((0..^๐‘) โˆˆ Fin โˆง {๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘) โˆฃ (๐‘˜ gcd ๐‘) = 1} โІ (0..^๐‘)) โ†’ {๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘) โˆฃ (๐‘˜ gcd ๐‘) = 1} โˆˆ Fin)
129, 10, 11mp2an 689 . . . . 5 {๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘) โˆฃ (๐‘˜ gcd ๐‘) = 1} โˆˆ Fin
13 hashen 14312 . . . . 5 (((1...(ฯ•โ€˜๐‘)) โˆˆ Fin โˆง {๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘) โˆฃ (๐‘˜ gcd ๐‘) = 1} โˆˆ Fin) โ†’ ((โ™ฏโ€˜(1...(ฯ•โ€˜๐‘))) = (โ™ฏโ€˜{๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘) โˆฃ (๐‘˜ gcd ๐‘) = 1}) โ†” (1...(ฯ•โ€˜๐‘)) โ‰ˆ {๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘) โˆฃ (๐‘˜ gcd ๐‘) = 1}))
148, 12, 13mp2an 689 . . . 4 ((โ™ฏโ€˜(1...(ฯ•โ€˜๐‘))) = (โ™ฏโ€˜{๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘) โˆฃ (๐‘˜ gcd ๐‘) = 1}) โ†” (1...(ฯ•โ€˜๐‘)) โ‰ˆ {๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘) โˆฃ (๐‘˜ gcd ๐‘) = 1})
157, 14sylib 217 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘) = 1) โ†’ (1...(ฯ•โ€˜๐‘)) โ‰ˆ {๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘) โˆฃ (๐‘˜ gcd ๐‘) = 1})
16 bren 8951 . . 3 ((1...(ฯ•โ€˜๐‘)) โ‰ˆ {๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘) โˆฃ (๐‘˜ gcd ๐‘) = 1} โ†” โˆƒ๐‘“ ๐‘“:(1...(ฯ•โ€˜๐‘))โ€“1-1-ontoโ†’{๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘) โˆฃ (๐‘˜ gcd ๐‘) = 1})
1715, 16sylib 217 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘) = 1) โ†’ โˆƒ๐‘“ ๐‘“:(1...(ฯ•โ€˜๐‘))โ€“1-1-ontoโ†’{๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘) โˆฃ (๐‘˜ gcd ๐‘) = 1})
18 simpl 482 . . 3 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘) = 1) โˆง ๐‘“:(1...(ฯ•โ€˜๐‘))โ€“1-1-ontoโ†’{๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘) โˆฃ (๐‘˜ gcd ๐‘) = 1}) โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘) = 1))
19 oveq1 7412 . . . . 5 (๐‘˜ = ๐‘ฆ โ†’ (๐‘˜ gcd ๐‘) = (๐‘ฆ gcd ๐‘))
2019eqeq1d 2728 . . . 4 (๐‘˜ = ๐‘ฆ โ†’ ((๐‘˜ gcd ๐‘) = 1 โ†” (๐‘ฆ gcd ๐‘) = 1))
2120cbvrabv 3436 . . 3 {๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘) โˆฃ (๐‘˜ gcd ๐‘) = 1} = {๐‘ฆ โˆˆ (0..^๐‘) โˆฃ (๐‘ฆ gcd ๐‘) = 1}
22 eqid 2726 . . 3 (1...(ฯ•โ€˜๐‘)) = (1...(ฯ•โ€˜๐‘))
23 simpr 484 . . 3 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘) = 1) โˆง ๐‘“:(1...(ฯ•โ€˜๐‘))โ€“1-1-ontoโ†’{๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘) โˆฃ (๐‘˜ gcd ๐‘) = 1}) โ†’ ๐‘“:(1...(ฯ•โ€˜๐‘))โ€“1-1-ontoโ†’{๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘) โˆฃ (๐‘˜ gcd ๐‘) = 1})
24 fveq2 6885 . . . . . 6 (๐‘˜ = ๐‘ฅ โ†’ (๐‘“โ€˜๐‘˜) = (๐‘“โ€˜๐‘ฅ))
2524oveq2d 7421 . . . . 5 (๐‘˜ = ๐‘ฅ โ†’ (๐ด ยท (๐‘“โ€˜๐‘˜)) = (๐ด ยท (๐‘“โ€˜๐‘ฅ)))
2625oveq1d 7420 . . . 4 (๐‘˜ = ๐‘ฅ โ†’ ((๐ด ยท (๐‘“โ€˜๐‘˜)) mod ๐‘) = ((๐ด ยท (๐‘“โ€˜๐‘ฅ)) mod ๐‘))
2726cbvmptv 5254 . . 3 (๐‘˜ โˆˆ (1...(ฯ•โ€˜๐‘)) โ†ฆ ((๐ด ยท (๐‘“โ€˜๐‘˜)) mod ๐‘)) = (๐‘ฅ โˆˆ (1...(ฯ•โ€˜๐‘)) โ†ฆ ((๐ด ยท (๐‘“โ€˜๐‘ฅ)) mod ๐‘))
2818, 21, 22, 23, 27eulerthlem2 16724 . 2 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘) = 1) โˆง ๐‘“:(1...(ฯ•โ€˜๐‘))โ€“1-1-ontoโ†’{๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘) โˆฃ (๐‘˜ gcd ๐‘) = 1}) โ†’ ((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘)) mod ๐‘) = (1 mod ๐‘))
2917, 28exlimddv 1930 1 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘) = 1) โ†’ ((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘)) mod ๐‘) = (1 mod ๐‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆง w3a 1084   = wceq 1533  โˆƒwex 1773   โˆˆ wcel 2098  {crab 3426   โІ wss 3943   class class class wbr 5141   โ†ฆ cmpt 5224  โ€“1-1-ontoโ†’wf1o 6536  โ€˜cfv 6537  (class class class)co 7405   โ‰ˆ cen 8938  Fincfn 8941  0cc0 11112  1c1 11113   ยท cmul 11117  โ„•cn 12216  โ„•0cn0 12476  โ„คcz 12562  ...cfz 13490  ..^cfzo 13633   mod cmo 13840  โ†‘cexp 14032  โ™ฏchash 14295   gcd cgcd 16442  ฯ•cphi 16706
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-oadd 8471  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-mod 13841  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-dvds 16205  df-gcd 16443  df-phi 16708
This theorem is referenced by:  fermltl  16726  prmdiv  16727  odzcllem  16734  odzphi  16738  vfermltl  16743  lgslem1  27185  lgsqrlem2  27235
  Copyright terms: Public domain W3C validator