Theorem catcid 17492

Description: The identity arrow in the category of categories is the identity functor. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
catccatid.c	⊢ 𝐶 = (CatCat‘𝑈)
catccatid.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
catcid.o	⊢ 1 = (Id‘𝐶)
catcid.i	⊢ 𝐼 = (idfunc‘𝑋)
catcid.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
catcid.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
catcid	⊢ (𝜑 → ( 1 ‘𝑋) = 𝐼)

Proof of Theorem catcid

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		catcid.o	. . . 4 ⊢ 1 = (Id‘𝐶)
2		catcid.u	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
3		catccatid.c	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 = (CatCat‘𝑈)
4		catccatid.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
5	3, 4	catccatid 17491	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → (𝐶 ∈ Cat ∧ (Id‘𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (idfunc‘𝑥))))
6	2, 5	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ Cat ∧ (Id‘𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (idfunc‘𝑥))))
7	6	simprd 499	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Id‘𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (idfunc‘𝑥)))
8	1, 7	syl5eq 2786	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (idfunc‘𝑥)))
9		simpr 488	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 = 𝑋)
10	9	fveq2d 6691	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (idfunc‘𝑥) = (idfunc‘𝑋))
11		catcid.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
12		fvexd 6702	. . 3 ⊢ (𝜑 → (idfunc‘𝑋) ∈ V)
13	8, 10, 11, 12	fvmptd 6795	. 2 ⊢ (𝜑 → ( 1 ‘𝑋) = (idfunc‘𝑋))
14		catcid.i	. 2 ⊢ 𝐼 = (idfunc‘𝑋)
15	13, 14	eqtr4di 2792	1 ⊢ (𝜑 → ( 1 ‘𝑋) = 𝐼)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3400   ↦ cmpt 5120  ‘cfv 6350  Basecbs 16599  Catccat 17051  Idccid 17052  id_funccidfu 17243  CatCatccatc 17483

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7492  ax-cnex 10684  ax-resscn 10685  ax-1cn 10686  ax-icn 10687  ax-addcl 10688  ax-addrcl 10689  ax-mulcl 10690  ax-mulrcl 10691  ax-mulcom 10692  ax-addass 10693  ax-mulass 10694  ax-distr 10695  ax-i2m1 10696  ax-1ne0 10697  ax-1rid 10698  ax-rnegex 10699  ax-rrecex 10700  ax-cnre 10701  ax-pre-lttri 10702  ax-pre-lttrn 10703  ax-pre-ltadd 10704  ax-pre-mulgt0 10705

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3402  df-sbc 3686  df-csb 3801  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4222  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-tp 4531  df-op 4533  df-uni 4807  df-iun 4893  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5439  df-eprel 5444  df-po 5452  df-so 5453  df-fr 5493  df-we 5495  df-xp 5541  df-rel 5542  df-cnv 5543  df-co 5544  df-dm 5545  df-rn 5546  df-res 5547  df-ima 5548  df-pred 6139  df-ord 6186  df-on 6187  df-lim 6188  df-suc 6189  df-iota 6308  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-riota 7140  df-ov 7186  df-oprab 7187  df-mpo 7188  df-om 7613  df-1st 7727  df-2nd 7728  df-wrecs 7989  df-recs 8050  df-rdg 8088  df-1o 8144  df-er 8333  df-map 8452  df-ixp 8521  df-en 8569  df-dom 8570  df-sdom 8571  df-fin 8572  df-pnf 10768  df-mnf 10769  df-xr 10770  df-ltxr 10771  df-le 10772  df-sub 10963  df-neg 10964  df-nn 11730  df-2 11792  df-3 11793  df-4 11794  df-5 11795  df-6 11796  df-7 11797  df-8 11798  df-9 11799  df-n0 11990  df-z 12076  df-dec 12193  df-uz 12338  df-fz 12995  df-struct 16601  df-ndx 16602  df-slot 16603  df-base 16605  df-hom 16705  df-cco 16706  df-cat 17055  df-cid 17056  df-func 17246  df-idfu 17247  df-cofu 17248  df-catc 17484

This theorem is referenced by:  catcisolem  17495  catciso  17496