Theorem catcid 18069

Description: The identity arrow in the category of categories is the identity functor. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
catccatid.c	⊢ 𝐶 = (CatCat‘𝑈)
catccatid.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
catcid.o	⊢ 1 = (Id‘𝐶)
catcid.i	⊢ 𝐼 = (idfunc‘𝑋)
catcid.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
catcid.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
catcid	⊢ (𝜑 → ( 1 ‘𝑋) = 𝐼)

Proof of Theorem catcid

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		catcid.o	. . . 4 ⊢ 1 = (Id‘𝐶)
2		catcid.u	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
3		catccatid.c	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 = (CatCat‘𝑈)
4		catccatid.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
5	3, 4	catccatid 18068	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → (𝐶 ∈ Cat ∧ (Id‘𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (idfunc‘𝑥))))
6	2, 5	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ Cat ∧ (Id‘𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (idfunc‘𝑥))))
7	6	simprd 497	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Id‘𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (idfunc‘𝑥)))
8	1, 7	eqtrid 2788	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (idfunc‘𝑥)))
9		simpr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 = 𝑋)
10	9	fveq2d 6835	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (idfunc‘𝑥) = (idfunc‘𝑋))
11		catcid.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
12		fvexd 6846	. . 3 ⊢ (𝜑 → (idfunc‘𝑋) ∈ V)
13	8, 10, 11, 12	fvmptd 6947	. 2 ⊢ (𝜑 → ( 1 ‘𝑋) = (idfunc‘𝑋))
14		catcid.i	. 2 ⊢ 𝐼 = (idfunc‘𝑋)
15	13, 14	eqtr4di 2794	1 ⊢ (𝜑 → ( 1 ‘𝑋) = 𝐼)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1548   ∈ wcel 2121  Vcvv 3433   ↦ cmpt 5156  ‘cfv 6489  Basecbs 17174  Catccat 17625  Idccid 17626  id_funccidfu 17817  CatCatccatc 18060

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5202  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4842  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-map 8769  df-ixp 8840  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-7 12244  df-8 12245  df-9 12246  df-n0 12433  df-z 12520  df-dec 12640  df-uz 12784  df-fz 13457  df-struct 17112  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-hom 17239  df-cco 17240  df-cat 17629  df-cid 17630  df-func 17820  df-idfu 17821  df-cofu 17822  df-catc 18061

This theorem is referenced by:  catcisolem  18072  catciso  18073  catcsect  49902