Theorem catcid 17738

Description: The identity arrow in the category of categories is the identity functor. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
catccatid.c	⊢ 𝐶 = (CatCat‘𝑈)
catccatid.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
catcid.o	⊢ 1 = (Id‘𝐶)
catcid.i	⊢ 𝐼 = (idfunc‘𝑋)
catcid.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
catcid.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
catcid	⊢ (𝜑 → ( 1 ‘𝑋) = 𝐼)

Proof of Theorem catcid

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		catcid.o	. . . 4 ⊢ 1 = (Id‘𝐶)
2		catcid.u	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
3		catccatid.c	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 = (CatCat‘𝑈)
4		catccatid.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
5	3, 4	catccatid 17737	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → (𝐶 ∈ Cat ∧ (Id‘𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (idfunc‘𝑥))))
6	2, 5	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ Cat ∧ (Id‘𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (idfunc‘𝑥))))
7	6	simprd 495	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Id‘𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (idfunc‘𝑥)))
8	1, 7	eqtrid 2790	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (idfunc‘𝑥)))
9		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 = 𝑋)
10	9	fveq2d 6760	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (idfunc‘𝑥) = (idfunc‘𝑋))
11		catcid.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
12		fvexd 6771	. . 3 ⊢ (𝜑 → (idfunc‘𝑋) ∈ V)
13	8, 10, 11, 12	fvmptd 6864	. 2 ⊢ (𝜑 → ( 1 ‘𝑋) = (idfunc‘𝑋))
14		catcid.i	. 2 ⊢ 𝐼 = (idfunc‘𝑋)
15	13, 14	eqtr4di 2797	1 ⊢ (𝜑 → ( 1 ‘𝑋) = 𝐼)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  Vcvv 3422   ↦ cmpt 5153  ‘cfv 6418  Basecbs 16840  Catccat 17290  Idccid 17291  id_funccidfu 17486  CatCatccatc 17729

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-ixp 8644  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-fz 13169  df-struct 16776  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-hom 16912  df-cco 16913  df-cat 17294  df-cid 17295  df-func 17489  df-idfu 17490  df-cofu 17491  df-catc 17730

This theorem is referenced by:  catcisolem  17741  catciso  17742