Theorem climeldmeqmpt 46382

Description: Two functions that are eventually equal, either both are convergent or both are divergent. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
climeldmeqmpt.k	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
climeldmeqmpt.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climeldmeqmpt.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climeldmeqmpt.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑅)
climeldmeqmpt.i	⊢ (𝜑 → 𝑍 ⊆ 𝐴)
climeldmeqmpt.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
climeldmeqmpt.t	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑆)
climeldmeqmpt.l	⊢ (𝜑 → 𝑍 ⊆ 𝐶)
climeldmeqmpt.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶) → 𝐷 ∈ 𝑊)
climeldmeqmpt.e	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐵 = 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
climeldmeqmpt	⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ dom ⇝ ↔ (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷) ∈ dom ⇝ ))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐶,𝑘   𝑘,𝑉   𝑘,𝑊   𝑘,𝑍

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐷(𝑘)   𝑅(𝑘)   𝑆(𝑘)   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem climeldmeqmpt

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climeldmeqmpt.z	. 2 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		climeldmeqmpt.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑅)
3	2	mptexd 7222	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ V)
4		climeldmeqmpt.t	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑆)
5	4	mptexd 7222	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷) ∈ V)
6		climeldmeqmpt.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
7		climeldmeqmpt.k	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
8		nfv 1944	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑗 ∈ 𝑍
9	7, 8	nfan 1929	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍)
10		nfcsb1v 3877	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵
11		nfcv 2925	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘𝑗
12	11	nfcsb1 3876	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐷
13	10, 12	nfeq 2938	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐷
14	9, 13	nfim 1926	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐷)
15		eleq1w 2846	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↔ 𝑗 ∈ 𝑍))
16	15	anbi2d 641	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ↔ (𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍)))
17		csbeq1a 3867	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → 𝐵 = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)
18		csbeq1a 3867	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → 𝐷 = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐷)
19	17, 18	eqeq12d 2779	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐵 = 𝐷 ↔ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐷))
20	16, 19	imbi12d 347	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐵 = 𝐷) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐷)))
21		climeldmeqmpt.e	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐵 = 𝐷)
22	14, 20, 21	chvarfv 2276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐷)
23		climeldmeqmpt.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ⊆ 𝐴)
24	23	sselda 3937	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝑗 ∈ 𝐴)
25		nfv 1944	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑗 ∈ 𝐴
26	7, 25	nfan 1929	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴)
27		nfcv 2925	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘𝑉
28	10, 27	nfel 2939	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ 𝑉
29	26, 28	nfim 1926	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ 𝑉)
30		eleq1w 2846	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↔ 𝑗 ∈ 𝐴))
31	30	anbi2d 641	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ↔ (𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴)))
32	17	eleq1d 2848	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐵 ∈ 𝑉 ↔ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ 𝑉))
33	31, 32	imbi12d 347	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ 𝑉)))
34		climeldmeqmpt.b	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
35	29, 33, 34	chvarfv 2276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ 𝑉)
36	24, 35	syldan 602	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ 𝑉)
37	11	nfcsb1 3876	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵
38		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
39	11, 37, 17, 38	fvmptf 7011	. . . 4 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝐴 ∧ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ 𝑉) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑗) = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)
40	24, 36, 39	syl2anc 595	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑗) = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)
41		climeldmeqmpt.l	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ⊆ 𝐶)
42	41	sselda 3937	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝑗 ∈ 𝐶)
43		nfv 1944	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑗 ∈ 𝐶
44	7, 43	nfan 1929	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐶)
45		nfcv 2925	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘𝑊
46	12, 45	nfel 2939	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐷 ∈ 𝑊
47	44, 46	nfim 1926	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐶) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐷 ∈ 𝑊)
48		eleq1w 2846	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 ∈ 𝐶 ↔ 𝑗 ∈ 𝐶))
49	48	anbi2d 641	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶) ↔ (𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐶)))
50	18	eleq1d 2848	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐷 ∈ 𝑊 ↔ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐷 ∈ 𝑊))
51	49, 50	imbi12d 347	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶) → 𝐷 ∈ 𝑊) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐶) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐷 ∈ 𝑊)))
52		climeldmeqmpt.c	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶) → 𝐷 ∈ 𝑊)
53	47, 51, 52	chvarfv 2276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐶) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐷 ∈ 𝑊)
54	42, 53	syldan 602	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐷 ∈ 𝑊)
55		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷) = (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷)
56	11, 12, 18, 55	fvmptf 7011	. . . 4 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝐶 ∧ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐷 ∈ 𝑊) → ((𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷)‘𝑗) = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐷)
57	42, 54, 56	syl2anc 595	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → ((𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷)‘𝑗) = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐷)
58	22, 40, 57	3eqtr4d 2808	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑗) = ((𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷)‘𝑗))
59	1, 3, 5, 6, 58	climeldmeq 46379	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ dom ⇝ ↔ (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷) ∈ dom ⇝ ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570  Ⅎwnf 1813   ∈ wcel 2143  Vcvv 3455  ⦋csb 3853   ⊆ wss 3905   ↦ cmpt 5192  dom cdm 5661  ‘cfv 6536  ℤcz 12586  ℤ_≥cuz 12857   ⇝ cli 15531

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172  ax-pre-sup 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9398  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-div 11867  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12858  df-rp 13012  df-seq 14034  df-exp 14094  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-clim 15535

This theorem is referenced by:  fnlimfvre  46388  smflimsuplem4  47537