Theorem climeldmeqmpt 43899

Description: Two functions that are eventually equal, either both are convergent or both are divergent. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
climeldmeqmpt.k	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
climeldmeqmpt.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climeldmeqmpt.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climeldmeqmpt.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑅)
climeldmeqmpt.i	⊢ (𝜑 → 𝑍 ⊆ 𝐴)
climeldmeqmpt.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
climeldmeqmpt.t	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑆)
climeldmeqmpt.l	⊢ (𝜑 → 𝑍 ⊆ 𝐶)
climeldmeqmpt.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶) → 𝐷 ∈ 𝑊)
climeldmeqmpt.e	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐵 = 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
climeldmeqmpt	⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ dom ⇝ ↔ (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷) ∈ dom ⇝ ))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐶,𝑘   𝑘,𝑉   𝑘,𝑊   𝑘,𝑍

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐷(𝑘)   𝑅(𝑘)   𝑆(𝑘)   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem climeldmeqmpt

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climeldmeqmpt.z	. 2 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		climeldmeqmpt.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑅)
3	2	mptexd 7174	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ V)
4		climeldmeqmpt.t	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑆)
5	4	mptexd 7174	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷) ∈ V)
6		climeldmeqmpt.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
7		climeldmeqmpt.k	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
8		nfv 1917	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑗 ∈ 𝑍
9	7, 8	nfan 1902	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍)
10		nfcsb1v 3880	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵
11		nfcv 2907	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘𝑗
12	11	nfcsb1 3879	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐷
13	10, 12	nfeq 2920	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐷
14	9, 13	nfim 1899	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐷)
15		eleq1w 2820	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↔ 𝑗 ∈ 𝑍))
16	15	anbi2d 629	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ↔ (𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍)))
17		csbeq1a 3869	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → 𝐵 = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)
18		csbeq1a 3869	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → 𝐷 = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐷)
19	17, 18	eqeq12d 2752	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐵 = 𝐷 ↔ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐷))
20	16, 19	imbi12d 344	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐵 = 𝐷) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐷)))
21		climeldmeqmpt.e	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐵 = 𝐷)
22	14, 20, 21	chvarfv 2233	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐷)
23		climeldmeqmpt.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ⊆ 𝐴)
24	23	sselda 3944	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝑗 ∈ 𝐴)
25		nfv 1917	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑗 ∈ 𝐴
26	7, 25	nfan 1902	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴)
27		nfcv 2907	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘𝑉
28	10, 27	nfel 2921	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ 𝑉
29	26, 28	nfim 1899	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ 𝑉)
30		eleq1w 2820	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↔ 𝑗 ∈ 𝐴))
31	30	anbi2d 629	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ↔ (𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴)))
32	17	eleq1d 2822	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐵 ∈ 𝑉 ↔ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ 𝑉))
33	31, 32	imbi12d 344	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ 𝑉)))
34		climeldmeqmpt.b	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
35	29, 33, 34	chvarfv 2233	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ 𝑉)
36	24, 35	syldan 591	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ 𝑉)
37	11	nfcsb1 3879	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵
38		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
39	11, 37, 17, 38	fvmptf 6969	. . . 4 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝐴 ∧ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ 𝑉) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑗) = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)
40	24, 36, 39	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑗) = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)
41		climeldmeqmpt.l	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ⊆ 𝐶)
42	41	sselda 3944	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝑗 ∈ 𝐶)
43		nfv 1917	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑗 ∈ 𝐶
44	7, 43	nfan 1902	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐶)
45		nfcv 2907	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘𝑊
46	12, 45	nfel 2921	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐷 ∈ 𝑊
47	44, 46	nfim 1899	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐶) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐷 ∈ 𝑊)
48		eleq1w 2820	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 ∈ 𝐶 ↔ 𝑗 ∈ 𝐶))
49	48	anbi2d 629	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶) ↔ (𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐶)))
50	18	eleq1d 2822	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐷 ∈ 𝑊 ↔ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐷 ∈ 𝑊))
51	49, 50	imbi12d 344	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶) → 𝐷 ∈ 𝑊) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐶) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐷 ∈ 𝑊)))
52		climeldmeqmpt.c	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶) → 𝐷 ∈ 𝑊)
53	47, 51, 52	chvarfv 2233	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐶) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐷 ∈ 𝑊)
54	42, 53	syldan 591	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐷 ∈ 𝑊)
55		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷) = (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷)
56	11, 12, 18, 55	fvmptf 6969	. . . 4 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝐶 ∧ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐷 ∈ 𝑊) → ((𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷)‘𝑗) = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐷)
57	42, 54, 56	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → ((𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷)‘𝑗) = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐷)
58	22, 40, 57	3eqtr4d 2786	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑗) = ((𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷)‘𝑗))
59	1, 3, 5, 6, 58	climeldmeq 43896	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ dom ⇝ ↔ (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷) ∈ dom ⇝ ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541  Ⅎwnf 1785   ∈ wcel 2106  Vcvv 3445  ⦋csb 3855   ⊆ wss 3910   ↦ cmpt 5188  dom cdm 5633  ‘cfv 6496  ℤcz 12499  ℤ_≥cuz 12763   ⇝ cli 15366

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9378  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-seq 13907  df-exp 13968  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370

This theorem is referenced by:  fnlimfvre  43905  smflimsuplem4  45054