Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  climeldmeqmpt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climeldmeqmpt 41949
Description: Two functions that are eventually equal, either both are convergent or both are divergent. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
climeldmeqmpt.k 𝑘𝜑
climeldmeqmpt.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
climeldmeqmpt.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
climeldmeqmpt.a (𝜑𝐴𝑅)
climeldmeqmpt.i (𝜑𝑍𝐴)
climeldmeqmpt.b ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵𝑉)
climeldmeqmpt.t (𝜑𝐶𝑆)
climeldmeqmpt.l (𝜑𝑍𝐶)
climeldmeqmpt.c ((𝜑𝑘𝐶) → 𝐷𝑊)
climeldmeqmpt.e ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 = 𝐷)
Assertion
Ref Expression
climeldmeqmpt (𝜑 → ((𝑘𝐴𝐵) ∈ dom ⇝ ↔ (𝑘𝐶𝐷) ∈ dom ⇝ ))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐶,𝑘   𝑘,𝑉   𝑘,𝑊   𝑘,𝑍
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐷(𝑘)   𝑅(𝑘)   𝑆(𝑘)   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem climeldmeqmpt
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climeldmeqmpt.z . 2 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 climeldmeqmpt.a . . 3 (𝜑𝐴𝑅)
32mptexd 6986 . 2 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐵) ∈ V)
4 climeldmeqmpt.t . . 3 (𝜑𝐶𝑆)
54mptexd 6986 . 2 (𝜑 → (𝑘𝐶𝐷) ∈ V)
6 climeldmeqmpt.m . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
7 climeldmeqmpt.k . . . . . 6 𝑘𝜑
8 nfv 1911 . . . . . 6 𝑘 𝑗𝑍
97, 8nfan 1896 . . . . 5 𝑘(𝜑𝑗𝑍)
10 nfcsb1v 3906 . . . . . 6 𝑘𝑗 / 𝑘𝐵
11 nfcv 2977 . . . . . . 7 𝑘𝑗
1211nfcsb1 3905 . . . . . 6 𝑘𝑗 / 𝑘𝐷
1310, 12nfeq 2991 . . . . 5 𝑘𝑗 / 𝑘𝐵 = 𝑗 / 𝑘𝐷
149, 13nfim 1893 . . . 4 𝑘((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗 / 𝑘𝐵 = 𝑗 / 𝑘𝐷)
15 eleq1w 2895 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑗 → (𝑘𝑍𝑗𝑍))
1615anbi2d 630 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑𝑘𝑍) ↔ (𝜑𝑗𝑍)))
17 csbeq1a 3896 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑗𝐵 = 𝑗 / 𝑘𝐵)
18 csbeq1a 3896 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑗𝐷 = 𝑗 / 𝑘𝐷)
1917, 18eqeq12d 2837 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗 → (𝐵 = 𝐷𝑗 / 𝑘𝐵 = 𝑗 / 𝑘𝐷))
2016, 19imbi12d 347 . . . 4 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 = 𝐷) ↔ ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗 / 𝑘𝐵 = 𝑗 / 𝑘𝐷)))
21 climeldmeqmpt.e . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 = 𝐷)
2214, 20, 21chvarfv 2238 . . 3 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗 / 𝑘𝐵 = 𝑗 / 𝑘𝐷)
23 climeldmeqmpt.i . . . . 5 (𝜑𝑍𝐴)
2423sselda 3966 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗𝐴)
25 nfv 1911 . . . . . . . 8 𝑘 𝑗𝐴
267, 25nfan 1896 . . . . . . 7 𝑘(𝜑𝑗𝐴)
27 nfcv 2977 . . . . . . . 8 𝑘𝑉
2810, 27nfel 2992 . . . . . . 7 𝑘𝑗 / 𝑘𝐵𝑉
2926, 28nfim 1893 . . . . . 6 𝑘((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗 / 𝑘𝐵𝑉)
30 eleq1w 2895 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑗 → (𝑘𝐴𝑗𝐴))
3130anbi2d 630 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑𝑘𝐴) ↔ (𝜑𝑗𝐴)))
3217eleq1d 2897 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑗 → (𝐵𝑉𝑗 / 𝑘𝐵𝑉))
3331, 32imbi12d 347 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵𝑉) ↔ ((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗 / 𝑘𝐵𝑉)))
34 climeldmeqmpt.b . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵𝑉)
3529, 33, 34chvarfv 2238 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗 / 𝑘𝐵𝑉)
3624, 35syldan 593 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗 / 𝑘𝐵𝑉)
3711nfcsb1 3905 . . . . 5 𝑘𝑗 / 𝑘𝐵
38 eqid 2821 . . . . 5 (𝑘𝐴𝐵) = (𝑘𝐴𝐵)
3911, 37, 17, 38fvmptf 6788 . . . 4 ((𝑗𝐴𝑗 / 𝑘𝐵𝑉) → ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑗) = 𝑗 / 𝑘𝐵)
4024, 36, 39syl2anc 586 . . 3 ((𝜑𝑗𝑍) → ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑗) = 𝑗 / 𝑘𝐵)
41 climeldmeqmpt.l . . . . 5 (𝜑𝑍𝐶)
4241sselda 3966 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗𝐶)
43 nfv 1911 . . . . . . . 8 𝑘 𝑗𝐶
447, 43nfan 1896 . . . . . . 7 𝑘(𝜑𝑗𝐶)
45 nfcv 2977 . . . . . . . 8 𝑘𝑊
4612, 45nfel 2992 . . . . . . 7 𝑘𝑗 / 𝑘𝐷𝑊
4744, 46nfim 1893 . . . . . 6 𝑘((𝜑𝑗𝐶) → 𝑗 / 𝑘𝐷𝑊)
48 eleq1w 2895 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑗 → (𝑘𝐶𝑗𝐶))
4948anbi2d 630 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑𝑘𝐶) ↔ (𝜑𝑗𝐶)))
5018eleq1d 2897 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑗 → (𝐷𝑊𝑗 / 𝑘𝐷𝑊))
5149, 50imbi12d 347 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑𝑘𝐶) → 𝐷𝑊) ↔ ((𝜑𝑗𝐶) → 𝑗 / 𝑘𝐷𝑊)))
52 climeldmeqmpt.c . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐶) → 𝐷𝑊)
5347, 51, 52chvarfv 2238 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝐶) → 𝑗 / 𝑘𝐷𝑊)
5442, 53syldan 593 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗 / 𝑘𝐷𝑊)
55 eqid 2821 . . . . 5 (𝑘𝐶𝐷) = (𝑘𝐶𝐷)
5611, 12, 18, 55fvmptf 6788 . . . 4 ((𝑗𝐶𝑗 / 𝑘𝐷𝑊) → ((𝑘𝐶𝐷)‘𝑗) = 𝑗 / 𝑘𝐷)
5742, 54, 56syl2anc 586 . . 3 ((𝜑𝑗𝑍) → ((𝑘𝐶𝐷)‘𝑗) = 𝑗 / 𝑘𝐷)
5822, 40, 573eqtr4d 2866 . 2 ((𝜑𝑗𝑍) → ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑗) = ((𝑘𝐶𝐷)‘𝑗))
591, 3, 5, 6, 58climeldmeq 41946 1 (𝜑 → ((𝑘𝐴𝐵) ∈ dom ⇝ ↔ (𝑘𝐶𝐷) ∈ dom ⇝ ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 208  wa 398   = wceq 1533  wnf 1780  wcel 2110  Vcvv 3494  csb 3882  wss 3935  cmpt 5145  dom cdm 5554  cfv 6354  cz 11980  cuz 12242  cli 14840
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5189  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613  ax-pre-sup 10614
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-iun 4920  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7580  df-2nd 7689  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-er 8288  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-sup 8905  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-div 11297  df-nn 11638  df-2 11699  df-3 11700  df-n0 11897  df-z 11981  df-uz 12243  df-rp 12389  df-seq 13369  df-exp 13429  df-cj 14457  df-re 14458  df-im 14459  df-sqrt 14593  df-abs 14594  df-clim 14844
This theorem is referenced by:  fnlimfvre  41955  smflimsuplem4  43098
  Copyright terms: Public domain W3C validator