Theorem climmulf 45958

Description: A version of climmul 15568 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
climmulf.1	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
climmulf.2	⊢ Ⅎ𝑘𝐹
climmulf.3	⊢ Ⅎ𝑘𝐺
climmulf.4	⊢ Ⅎ𝑘𝐻
climmulf.5	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climmulf.6	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climmulf.7	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 𝐴)
climmulf.8	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑋)
climmulf.9	⊢ (𝜑 → 𝐺 ⇝ 𝐵)
climmulf.10	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
climmulf.11	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
climmulf.12	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐻‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) · (𝐺‘𝑘)))

Assertion

Ref	Expression
climmulf	⊢ (𝜑 → 𝐻 ⇝ (𝐴 · 𝐵))

Distinct variable group:   𝑘,𝑍

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐹(𝑘)   𝐺(𝑘)   𝐻(𝑘)   𝑀(𝑘)   𝑋(𝑘)

Proof of Theorem climmulf

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climmulf.5	. 2 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		climmulf.6	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		climmulf.7	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 𝐴)
4		climmulf.8	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑋)
5		climmulf.9	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ⇝ 𝐵)
6		climmulf.1	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
7		nfcv 2899	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝑗
8	7	nfel1 2916	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑗 ∈ 𝑍
9	6, 8	nfan 1901	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍)
10		climmulf.2	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝐹
11	10, 7	nffv 6852	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐹‘𝑗)
12	11	nfel1 2916	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐹‘𝑗) ∈ ℂ
13	9, 12	nfim 1898	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ)
14		eleq1w 2820	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↔ 𝑗 ∈ 𝑍))
15	14	anbi2d 631	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ↔ (𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍)))
16		fveq2 6842	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑗))
17	16	eleq1d 2822	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ))
18	15, 17	imbi12d 344	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ)))
19		climmulf.10	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
20	13, 18, 19	chvarfv 2248	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ)
21		climmulf.3	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝐺
22	21, 7	nffv 6852	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐺‘𝑗)
23	22	nfel1 2916	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐺‘𝑗) ∈ ℂ
24	9, 23	nfim 1898	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑗) ∈ ℂ)
25		fveq2 6842	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐺‘𝑘) = (𝐺‘𝑗))
26	25	eleq1d 2822	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝐺‘𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐺‘𝑗) ∈ ℂ))
27	15, 26	imbi12d 344	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑗) ∈ ℂ)))
28		climmulf.11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
29	24, 27, 28	chvarfv 2248	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑗) ∈ ℂ)
30		climmulf.4	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝐻
31	30, 7	nffv 6852	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐻‘𝑗)
32		nfcv 2899	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘 ·
33	11, 32, 22	nfov 7398	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘((𝐹‘𝑗) · (𝐺‘𝑗))
34	31, 33	nfeq 2913	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐻‘𝑗) = ((𝐹‘𝑗) · (𝐺‘𝑗))
35	9, 34	nfim 1898	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐻‘𝑗) = ((𝐹‘𝑗) · (𝐺‘𝑗)))
36		fveq2 6842	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐻‘𝑘) = (𝐻‘𝑗))
37	16, 25	oveq12d 7386	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹‘𝑘) · (𝐺‘𝑘)) = ((𝐹‘𝑗) · (𝐺‘𝑗)))
38	36, 37	eqeq12d 2753	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝐻‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) · (𝐺‘𝑘)) ↔ (𝐻‘𝑗) = ((𝐹‘𝑗) · (𝐺‘𝑗))))
39	15, 38	imbi12d 344	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐻‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) · (𝐺‘𝑘))) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐻‘𝑗) = ((𝐹‘𝑗) · (𝐺‘𝑗)))))
40		climmulf.12	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐻‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) · (𝐺‘𝑘)))
41	35, 39, 40	chvarfv 2248	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐻‘𝑗) = ((𝐹‘𝑗) · (𝐺‘𝑗)))
42	1, 2, 3, 4, 5, 20, 29, 41	climmul 15568	1 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ⇝ (𝐴 · 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542  Ⅎwnf 1785   ∈ wcel 2114  Ⅎwnfc 2884   class class class wbr 5100  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  ℂcc 11036   · cmul 11043  ℤcz 12500  ℤ_≥cuz 12763   ⇝ cli 15419

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-sup 9357  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-rp 12918  df-seq 13937  df-exp 13997  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-clim 15423

This theorem is referenced by:  climneg  45964  climdivf  45966  stirlinglem15  46440  etransclem48  46634