Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  climmulf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climmulf 42605
 Description: A version of climmul 15030 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
climmulf.1 𝑘𝜑
climmulf.2 𝑘𝐹
climmulf.3 𝑘𝐺
climmulf.4 𝑘𝐻
climmulf.5 𝑍 = (ℤ𝑀)
climmulf.6 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
climmulf.7 (𝜑𝐹𝐴)
climmulf.8 (𝜑𝐻𝑋)
climmulf.9 (𝜑𝐺𝐵)
climmulf.10 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
climmulf.11 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ)
climmulf.12 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐻𝑘) = ((𝐹𝑘) · (𝐺𝑘)))
Assertion
Ref Expression
climmulf (𝜑𝐻 ⇝ (𝐴 · 𝐵))
Distinct variable group:   𝑘,𝑍
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐹(𝑘)   𝐺(𝑘)   𝐻(𝑘)   𝑀(𝑘)   𝑋(𝑘)

Proof of Theorem climmulf
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climmulf.5 . 2 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 climmulf.6 . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 climmulf.7 . 2 (𝜑𝐹𝐴)
4 climmulf.8 . 2 (𝜑𝐻𝑋)
5 climmulf.9 . 2 (𝜑𝐺𝐵)
6 climmulf.1 . . . . 5 𝑘𝜑
7 nfcv 2920 . . . . . 6 𝑘𝑗
87nfel1 2936 . . . . 5 𝑘 𝑗𝑍
96, 8nfan 1901 . . . 4 𝑘(𝜑𝑗𝑍)
10 climmulf.2 . . . . . 6 𝑘𝐹
1110, 7nffv 6669 . . . . 5 𝑘(𝐹𝑗)
1211nfel1 2936 . . . 4 𝑘(𝐹𝑗) ∈ ℂ
139, 12nfim 1898 . . 3 𝑘((𝜑𝑗𝑍) → (𝐹𝑗) ∈ ℂ)
14 eleq1w 2835 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗 → (𝑘𝑍𝑗𝑍))
1514anbi2d 632 . . . 4 (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑𝑘𝑍) ↔ (𝜑𝑗𝑍)))
16 fveq2 6659 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑗))
1716eleq1d 2837 . . . 4 (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐹𝑗) ∈ ℂ))
1815, 17imbi12d 349 . . 3 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ) ↔ ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐹𝑗) ∈ ℂ)))
19 climmulf.10 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
2013, 18, 19chvarfv 2241 . 2 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐹𝑗) ∈ ℂ)
21 climmulf.3 . . . . . 6 𝑘𝐺
2221, 7nffv 6669 . . . . 5 𝑘(𝐺𝑗)
2322nfel1 2936 . . . 4 𝑘(𝐺𝑗) ∈ ℂ
249, 23nfim 1898 . . 3 𝑘((𝜑𝑗𝑍) → (𝐺𝑗) ∈ ℂ)
25 fveq2 6659 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗 → (𝐺𝑘) = (𝐺𝑗))
2625eleq1d 2837 . . . 4 (𝑘 = 𝑗 → ((𝐺𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐺𝑗) ∈ ℂ))
2715, 26imbi12d 349 . . 3 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ) ↔ ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐺𝑗) ∈ ℂ)))
28 climmulf.11 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ)
2924, 27, 28chvarfv 2241 . 2 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐺𝑗) ∈ ℂ)
30 climmulf.4 . . . . . 6 𝑘𝐻
3130, 7nffv 6669 . . . . 5 𝑘(𝐻𝑗)
32 nfcv 2920 . . . . . 6 𝑘 ·
3311, 32, 22nfov 7181 . . . . 5 𝑘((𝐹𝑗) · (𝐺𝑗))
3431, 33nfeq 2933 . . . 4 𝑘(𝐻𝑗) = ((𝐹𝑗) · (𝐺𝑗))
359, 34nfim 1898 . . 3 𝑘((𝜑𝑗𝑍) → (𝐻𝑗) = ((𝐹𝑗) · (𝐺𝑗)))
36 fveq2 6659 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗 → (𝐻𝑘) = (𝐻𝑗))
3716, 25oveq12d 7169 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹𝑘) · (𝐺𝑘)) = ((𝐹𝑗) · (𝐺𝑗)))
3836, 37eqeq12d 2775 . . . 4 (𝑘 = 𝑗 → ((𝐻𝑘) = ((𝐹𝑘) · (𝐺𝑘)) ↔ (𝐻𝑗) = ((𝐹𝑗) · (𝐺𝑗))))
3915, 38imbi12d 349 . . 3 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑𝑘𝑍) → (𝐻𝑘) = ((𝐹𝑘) · (𝐺𝑘))) ↔ ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐻𝑗) = ((𝐹𝑗) · (𝐺𝑗)))))
40 climmulf.12 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐻𝑘) = ((𝐹𝑘) · (𝐺𝑘)))
4135, 39, 40chvarfv 2241 . 2 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐻𝑗) = ((𝐹𝑗) · (𝐺𝑗)))
421, 2, 3, 4, 5, 20, 29, 41climmul 15030 1 (𝜑𝐻 ⇝ (𝐴 · 𝐵))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1539  Ⅎwnf 1786   ∈ wcel 2112  Ⅎwnfc 2900   class class class wbr 5033  ‘cfv 6336  (class class class)co 7151  ℂcc 10566   · cmul 10573  ℤcz 12013  ℤ≥cuz 12275   ⇝ cli 14882 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7460  ax-cnex 10624  ax-resscn 10625  ax-1cn 10626  ax-icn 10627  ax-addcl 10628  ax-addrcl 10629  ax-mulcl 10630  ax-mulrcl 10631  ax-mulcom 10632  ax-addass 10633  ax-mulass 10634  ax-distr 10635  ax-i2m1 10636  ax-1ne0 10637  ax-1rid 10638  ax-rnegex 10639  ax-rrecex 10640  ax-cnre 10641  ax-pre-lttri 10642  ax-pre-lttrn 10643  ax-pre-ltadd 10644  ax-pre-mulgt0 10645  ax-pre-sup 10646 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rmo 3079  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3698  df-csb 3807  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4227  df-if 4422  df-pw 4497  df-sn 4524  df-pr 4526  df-tp 4528  df-op 4530  df-uni 4800  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5431  df-eprel 5436  df-po 5444  df-so 5445  df-fr 5484  df-we 5486  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6127  df-ord 6173  df-on 6174  df-lim 6175  df-suc 6176  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7581  df-2nd 7695  df-wrecs 7958  df-recs 8019  df-rdg 8057  df-er 8300  df-en 8529  df-dom 8530  df-sdom 8531  df-sup 8932  df-pnf 10708  df-mnf 10709  df-xr 10710  df-ltxr 10711  df-le 10712  df-sub 10903  df-neg 10904  df-div 11329  df-nn 11668  df-2 11730  df-3 11731  df-n0 11928  df-z 12014  df-uz 12276  df-rp 12424  df-seq 13412  df-exp 13473  df-cj 14499  df-re 14500  df-im 14501  df-sqrt 14635  df-abs 14636  df-clim 14886 This theorem is referenced by:  climneg  42611  climdivf  42613  stirlinglem15  43089  etransclem48  43283
 Copyright terms: Public domain W3C validator