Theorem climmulf 46831

Description: A version of climmul 15832 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
climmulf.1	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
climmulf.2	⊢ Ⅎ𝑘𝐹
climmulf.3	⊢ Ⅎ𝑘𝐺
climmulf.4	⊢ Ⅎ𝑘𝐻
climmulf.5	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climmulf.6	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climmulf.7	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 𝐴)
climmulf.8	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑋)
climmulf.9	⊢ (𝜑 → 𝐺 ⇝ 𝐵)
climmulf.10	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
climmulf.11	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
climmulf.12	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐻‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) · (𝐺‘𝑘)))

Assertion

Ref	Expression
climmulf	⊢ (𝜑 → 𝐻 ⇝ (𝐴 · 𝐵))

Distinct variable group:   𝑘,𝑍

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐹(𝑘)   𝐺(𝑘)   𝐻(𝑘)   𝑀(𝑘)   𝑋(𝑘)

Proof of Theorem climmulf

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climmulf.5	. 2 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		climmulf.6	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		climmulf.7	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 𝐴)
4		climmulf.8	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑋)
5		climmulf.9	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ⇝ 𝐵)
6		climmulf.1	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
7		nfcv 2926	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝑗
8	7	nfel1 2942	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑗 ∈ 𝑍
9	6, 8	nfan 1934	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍)
10		climmulf.2	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝐹
11	10, 7	nffv 6921	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐹‘𝑗)
12	11	nfel1 2942	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐹‘𝑗) ∈ ℂ
13	9, 12	nfim 1931	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ)
14		eleq1w 2847	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↔ 𝑗 ∈ 𝑍))
15	14	anbi2d 642	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ↔ (𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍)))
16		fveq2 6911	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑗))
17	16	eleq1d 2849	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ))
18	15, 17	imbi12d 347	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ)))
19		climmulf.10	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
20	13, 18, 19	chvarfv 2280	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ)
21		climmulf.3	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝐺
22	21, 7	nffv 6921	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐺‘𝑗)
23	22	nfel1 2942	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐺‘𝑗) ∈ ℂ
24	9, 23	nfim 1931	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑗) ∈ ℂ)
25		fveq2 6911	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐺‘𝑘) = (𝐺‘𝑗))
26	25	eleq1d 2849	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝐺‘𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐺‘𝑗) ∈ ℂ))
27	15, 26	imbi12d 347	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑗) ∈ ℂ)))
28		climmulf.11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
29	24, 27, 28	chvarfv 2280	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑗) ∈ ℂ)
30		climmulf.4	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝐻
31	30, 7	nffv 6921	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐻‘𝑗)
32		nfcv 2926	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘 ·
33	11, 32, 22	nfov 7476	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘((𝐹‘𝑗) · (𝐺‘𝑗))
34	31, 33	nfeq 2939	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐻‘𝑗) = ((𝐹‘𝑗) · (𝐺‘𝑗))
35	9, 34	nfim 1931	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐻‘𝑗) = ((𝐹‘𝑗) · (𝐺‘𝑗)))
36		fveq2 6911	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐻‘𝑘) = (𝐻‘𝑗))
37	16, 25	oveq12d 7464	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹‘𝑘) · (𝐺‘𝑘)) = ((𝐹‘𝑗) · (𝐺‘𝑗)))
38	36, 37	eqeq12d 2779	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝐻‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) · (𝐺‘𝑘)) ↔ (𝐻‘𝑗) = ((𝐹‘𝑗) · (𝐺‘𝑗))))
39	15, 38	imbi12d 347	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐻‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) · (𝐺‘𝑘))) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐻‘𝑗) = ((𝐹‘𝑗) · (𝐺‘𝑗)))))
40		climmulf.12	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐻‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) · (𝐺‘𝑘)))
41	35, 39, 40	chvarfv 2280	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐻‘𝑗) = ((𝐹‘𝑗) · (𝐺‘𝑗)))
42	1, 2, 3, 4, 5, 20, 29, 41	climmul 15832	1 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ⇝ (𝐴 · 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570  Ⅎwnf 1816   ∈ wcel 2147  Ⅎwnfc 2911   class class class wbr 5106  ‘cfv 6561  (class class class)co 7446  ℂcc 11228   · cmul 11235  ℤcz 12723  ℤ_≥cuz 12995   ⇝ cli 15683

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307  ax-pre-sup 11308

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-om 7905  df-2nd 8029  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8748  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-sup 9464  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-div 12004  df-nn 12366  df-2 12435  df-3 12436  df-n0 12637  df-z 12724  df-uz 12996  df-rp 13151  df-seq 14175  df-exp 14235  df-cj 15298  df-re 15299  df-im 15300  df-sqrt 15434  df-abs 15435  df-clim 15687

This theorem is used by:  climneg  46837  climdivf  46839  stirlinglem15  47313  etransclem48  47507