Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  climmulf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climmulf 43852
Description: A version of climmul 15516 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
climmulf.1 โ„ฒ๐‘˜๐œ‘
climmulf.2 โ„ฒ๐‘˜๐น
climmulf.3 โ„ฒ๐‘˜๐บ
climmulf.4 โ„ฒ๐‘˜๐ป
climmulf.5 ๐‘ = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)
climmulf.6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
climmulf.7 (๐œ‘ โ†’ ๐น โ‡ ๐ด)
climmulf.8 (๐œ‘ โ†’ ๐ป โˆˆ ๐‘‹)
climmulf.9 (๐œ‘ โ†’ ๐บ โ‡ ๐ต)
climmulf.10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
climmulf.11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐บโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
climmulf.12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐ปโ€˜๐‘˜) = ((๐นโ€˜๐‘˜) ยท (๐บโ€˜๐‘˜)))
Assertion
Ref Expression
climmulf (๐œ‘ โ†’ ๐ป โ‡ (๐ด ยท ๐ต))
Distinct variable group:   ๐‘˜,๐‘
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘˜)   ๐ด(๐‘˜)   ๐ต(๐‘˜)   ๐น(๐‘˜)   ๐บ(๐‘˜)   ๐ป(๐‘˜)   ๐‘€(๐‘˜)   ๐‘‹(๐‘˜)

Proof of Theorem climmulf
Dummy variable ๐‘— is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climmulf.5 . 2 ๐‘ = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)
2 climmulf.6 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
3 climmulf.7 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐น โ‡ ๐ด)
4 climmulf.8 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐ป โˆˆ ๐‘‹)
5 climmulf.9 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐บ โ‡ ๐ต)
6 climmulf.1 . . . . 5 โ„ฒ๐‘˜๐œ‘
7 nfcv 2908 . . . . . 6 โ„ฒ๐‘˜๐‘—
87nfel1 2924 . . . . 5 โ„ฒ๐‘˜ ๐‘— โˆˆ ๐‘
96, 8nfan 1903 . . . 4 โ„ฒ๐‘˜(๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)
10 climmulf.2 . . . . . 6 โ„ฒ๐‘˜๐น
1110, 7nffv 6853 . . . . 5 โ„ฒ๐‘˜(๐นโ€˜๐‘—)
1211nfel1 2924 . . . 4 โ„ฒ๐‘˜(๐นโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚
139, 12nfim 1900 . . 3 โ„ฒ๐‘˜((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐นโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚)
14 eleq1w 2821 . . . . 5 (๐‘˜ = ๐‘— โ†’ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†” ๐‘— โˆˆ ๐‘))
1514anbi2d 630 . . . 4 (๐‘˜ = ๐‘— โ†’ ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†” (๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)))
16 fveq2 6843 . . . . 5 (๐‘˜ = ๐‘— โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) = (๐นโ€˜๐‘—))
1716eleq1d 2823 . . . 4 (๐‘˜ = ๐‘— โ†’ ((๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚ โ†” (๐นโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚))
1815, 17imbi12d 345 . . 3 (๐‘˜ = ๐‘— โ†’ (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚) โ†” ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐นโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚)))
19 climmulf.10 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
2013, 18, 19chvarfv 2234 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐นโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚)
21 climmulf.3 . . . . . 6 โ„ฒ๐‘˜๐บ
2221, 7nffv 6853 . . . . 5 โ„ฒ๐‘˜(๐บโ€˜๐‘—)
2322nfel1 2924 . . . 4 โ„ฒ๐‘˜(๐บโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚
249, 23nfim 1900 . . 3 โ„ฒ๐‘˜((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐บโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚)
25 fveq2 6843 . . . . 5 (๐‘˜ = ๐‘— โ†’ (๐บโ€˜๐‘˜) = (๐บโ€˜๐‘—))
2625eleq1d 2823 . . . 4 (๐‘˜ = ๐‘— โ†’ ((๐บโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚ โ†” (๐บโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚))
2715, 26imbi12d 345 . . 3 (๐‘˜ = ๐‘— โ†’ (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐บโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚) โ†” ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐บโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚)))
28 climmulf.11 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐บโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
2924, 27, 28chvarfv 2234 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐บโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚)
30 climmulf.4 . . . . . 6 โ„ฒ๐‘˜๐ป
3130, 7nffv 6853 . . . . 5 โ„ฒ๐‘˜(๐ปโ€˜๐‘—)
32 nfcv 2908 . . . . . 6 โ„ฒ๐‘˜ ยท
3311, 32, 22nfov 7388 . . . . 5 โ„ฒ๐‘˜((๐นโ€˜๐‘—) ยท (๐บโ€˜๐‘—))
3431, 33nfeq 2921 . . . 4 โ„ฒ๐‘˜(๐ปโ€˜๐‘—) = ((๐นโ€˜๐‘—) ยท (๐บโ€˜๐‘—))
359, 34nfim 1900 . . 3 โ„ฒ๐‘˜((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐ปโ€˜๐‘—) = ((๐นโ€˜๐‘—) ยท (๐บโ€˜๐‘—)))
36 fveq2 6843 . . . . 5 (๐‘˜ = ๐‘— โ†’ (๐ปโ€˜๐‘˜) = (๐ปโ€˜๐‘—))
3716, 25oveq12d 7376 . . . . 5 (๐‘˜ = ๐‘— โ†’ ((๐นโ€˜๐‘˜) ยท (๐บโ€˜๐‘˜)) = ((๐นโ€˜๐‘—) ยท (๐บโ€˜๐‘—)))
3836, 37eqeq12d 2753 . . . 4 (๐‘˜ = ๐‘— โ†’ ((๐ปโ€˜๐‘˜) = ((๐นโ€˜๐‘˜) ยท (๐บโ€˜๐‘˜)) โ†” (๐ปโ€˜๐‘—) = ((๐นโ€˜๐‘—) ยท (๐บโ€˜๐‘—))))
3915, 38imbi12d 345 . . 3 (๐‘˜ = ๐‘— โ†’ (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐ปโ€˜๐‘˜) = ((๐นโ€˜๐‘˜) ยท (๐บโ€˜๐‘˜))) โ†” ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐ปโ€˜๐‘—) = ((๐นโ€˜๐‘—) ยท (๐บโ€˜๐‘—)))))
40 climmulf.12 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐ปโ€˜๐‘˜) = ((๐นโ€˜๐‘˜) ยท (๐บโ€˜๐‘˜)))
4135, 39, 40chvarfv 2234 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐ปโ€˜๐‘—) = ((๐นโ€˜๐‘—) ยท (๐บโ€˜๐‘—)))
421, 2, 3, 4, 5, 20, 29, 41climmul 15516 1 (๐œ‘ โ†’ ๐ป โ‡ (๐ด ยท ๐ต))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542  โ„ฒwnf 1786   โˆˆ wcel 2107  โ„ฒwnfc 2888   class class class wbr 5106  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  โ„‚cc 11050   ยท cmul 11057  โ„คcz 12500  โ„คโ‰ฅcuz 12764   โ‡ cli 15367
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129  ax-pre-sup 11130
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-sup 9379  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-div 11814  df-nn 12155  df-2 12217  df-3 12218  df-n0 12415  df-z 12501  df-uz 12765  df-rp 12917  df-seq 13908  df-exp 13969  df-cj 14985  df-re 14986  df-im 14987  df-sqrt 15121  df-abs 15122  df-clim 15371
This theorem is referenced by:  climneg  43858  climdivf  43860  stirlinglem15  44336  etransclem48  44530
  Copyright terms: Public domain W3C validator