Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  climmulf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climmulf 40568
Description: A version of climmul 14701 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
climmulf.1 𝑘𝜑
climmulf.2 𝑘𝐹
climmulf.3 𝑘𝐺
climmulf.4 𝑘𝐻
climmulf.5 𝑍 = (ℤ𝑀)
climmulf.6 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
climmulf.7 (𝜑𝐹𝐴)
climmulf.8 (𝜑𝐻𝑋)
climmulf.9 (𝜑𝐺𝐵)
climmulf.10 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
climmulf.11 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ)
climmulf.12 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐻𝑘) = ((𝐹𝑘) · (𝐺𝑘)))
Assertion
Ref Expression
climmulf (𝜑𝐻 ⇝ (𝐴 · 𝐵))
Distinct variable group:   𝑘,𝑍
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐹(𝑘)   𝐺(𝑘)   𝐻(𝑘)   𝑀(𝑘)   𝑋(𝑘)

Proof of Theorem climmulf
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climmulf.5 . 2 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 climmulf.6 . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 climmulf.7 . 2 (𝜑𝐹𝐴)
4 climmulf.8 . 2 (𝜑𝐻𝑋)
5 climmulf.9 . 2 (𝜑𝐺𝐵)
6 climmulf.1 . . . . 5 𝑘𝜑
7 nfcv 2939 . . . . . 6 𝑘𝑗
87nfel1 2954 . . . . 5 𝑘 𝑗𝑍
96, 8nfan 1999 . . . 4 𝑘(𝜑𝑗𝑍)
10 climmulf.2 . . . . . 6 𝑘𝐹
1110, 7nffv 6419 . . . . 5 𝑘(𝐹𝑗)
1211nfel1 2954 . . . 4 𝑘(𝐹𝑗) ∈ ℂ
139, 12nfim 1996 . . 3 𝑘((𝜑𝑗𝑍) → (𝐹𝑗) ∈ ℂ)
14 eleq1w 2859 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗 → (𝑘𝑍𝑗𝑍))
1514anbi2d 623 . . . 4 (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑𝑘𝑍) ↔ (𝜑𝑗𝑍)))
16 fveq2 6409 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑗))
1716eleq1d 2861 . . . 4 (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐹𝑗) ∈ ℂ))
1815, 17imbi12d 336 . . 3 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ) ↔ ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐹𝑗) ∈ ℂ)))
19 climmulf.10 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
2013, 18, 19chvar 2379 . 2 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐹𝑗) ∈ ℂ)
21 climmulf.3 . . . . . 6 𝑘𝐺
2221, 7nffv 6419 . . . . 5 𝑘(𝐺𝑗)
2322nfel1 2954 . . . 4 𝑘(𝐺𝑗) ∈ ℂ
249, 23nfim 1996 . . 3 𝑘((𝜑𝑗𝑍) → (𝐺𝑗) ∈ ℂ)
25 fveq2 6409 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗 → (𝐺𝑘) = (𝐺𝑗))
2625eleq1d 2861 . . . 4 (𝑘 = 𝑗 → ((𝐺𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐺𝑗) ∈ ℂ))
2715, 26imbi12d 336 . . 3 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ) ↔ ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐺𝑗) ∈ ℂ)))
28 climmulf.11 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ)
2924, 27, 28chvar 2379 . 2 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐺𝑗) ∈ ℂ)
30 climmulf.4 . . . . . 6 𝑘𝐻
3130, 7nffv 6419 . . . . 5 𝑘(𝐻𝑗)
32 nfcv 2939 . . . . . 6 𝑘 ·
3311, 32, 22nfov 6906 . . . . 5 𝑘((𝐹𝑗) · (𝐺𝑗))
3431, 33nfeq 2951 . . . 4 𝑘(𝐻𝑗) = ((𝐹𝑗) · (𝐺𝑗))
359, 34nfim 1996 . . 3 𝑘((𝜑𝑗𝑍) → (𝐻𝑗) = ((𝐹𝑗) · (𝐺𝑗)))
36 fveq2 6409 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗 → (𝐻𝑘) = (𝐻𝑗))
3716, 25oveq12d 6894 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹𝑘) · (𝐺𝑘)) = ((𝐹𝑗) · (𝐺𝑗)))
3836, 37eqeq12d 2812 . . . 4 (𝑘 = 𝑗 → ((𝐻𝑘) = ((𝐹𝑘) · (𝐺𝑘)) ↔ (𝐻𝑗) = ((𝐹𝑗) · (𝐺𝑗))))
3915, 38imbi12d 336 . . 3 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑𝑘𝑍) → (𝐻𝑘) = ((𝐹𝑘) · (𝐺𝑘))) ↔ ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐻𝑗) = ((𝐹𝑗) · (𝐺𝑗)))))
40 climmulf.12 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐻𝑘) = ((𝐹𝑘) · (𝐺𝑘)))
4135, 39, 40chvar 2379 . 2 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐻𝑗) = ((𝐹𝑗) · (𝐺𝑗)))
421, 2, 3, 4, 5, 20, 29, 41climmul 14701 1 (𝜑𝐻 ⇝ (𝐴 · 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 385   = wceq 1653  wnf 1879  wcel 2157  wnfc 2926   class class class wbr 4841  cfv 6099  (class class class)co 6876  cc 10220   · cmul 10227  cz 11662  cuz 11926  cli 14553
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2354  ax-ext 2775  ax-sep 4973  ax-nul 4981  ax-pow 5033  ax-pr 5095  ax-un 7181  ax-cnex 10278  ax-resscn 10279  ax-1cn 10280  ax-icn 10281  ax-addcl 10282  ax-addrcl 10283  ax-mulcl 10284  ax-mulrcl 10285  ax-mulcom 10286  ax-addass 10287  ax-mulass 10288  ax-distr 10289  ax-i2m1 10290  ax-1ne0 10291  ax-1rid 10292  ax-rnegex 10293  ax-rrecex 10294  ax-cnre 10295  ax-pre-lttri 10296  ax-pre-lttrn 10297  ax-pre-ltadd 10298  ax-pre-mulgt0 10299  ax-pre-sup 10300
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2590  df-eu 2607  df-clab 2784  df-cleq 2790  df-clel 2793  df-nfc 2928  df-ne 2970  df-nel 3073  df-ral 3092  df-rex 3093  df-reu 3094  df-rmo 3095  df-rab 3096  df-v 3385  df-sbc 3632  df-csb 3727  df-dif 3770  df-un 3772  df-in 3774  df-ss 3781  df-pss 3783  df-nul 4114  df-if 4276  df-pw 4349  df-sn 4367  df-pr 4369  df-tp 4371  df-op 4373  df-uni 4627  df-iun 4710  df-br 4842  df-opab 4904  df-mpt 4921  df-tr 4944  df-id 5218  df-eprel 5223  df-po 5231  df-so 5232  df-fr 5269  df-we 5271  df-xp 5316  df-rel 5317  df-cnv 5318  df-co 5319  df-dm 5320  df-rn 5321  df-res 5322  df-ima 5323  df-pred 5896  df-ord 5942  df-on 5943  df-lim 5944  df-suc 5945  df-iota 6062  df-fun 6101  df-fn 6102  df-f 6103  df-f1 6104  df-fo 6105  df-f1o 6106  df-fv 6107  df-riota 6837  df-ov 6879  df-oprab 6880  df-mpt2 6881  df-om 7298  df-2nd 7400  df-wrecs 7643  df-recs 7705  df-rdg 7743  df-er 7980  df-en 8194  df-dom 8195  df-sdom 8196  df-sup 8588  df-pnf 10363  df-mnf 10364  df-xr 10365  df-ltxr 10366  df-le 10367  df-sub 10556  df-neg 10557  df-div 10975  df-nn 11311  df-2 11372  df-3 11373  df-n0 11577  df-z 11663  df-uz 11927  df-rp 12071  df-seq 13052  df-exp 13111  df-cj 14177  df-re 14178  df-im 14179  df-sqrt 14313  df-abs 14314  df-clim 14557
This theorem is referenced by:  climneg  40574  climdivf  40576  stirlinglem15  41036  etransclem48  41230
  Copyright terms: Public domain W3C validator