![]() |
Mathbox for Glauco Siliprandi |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > climmulf | Structured version Visualization version GIF version |
Description: A version of climmul 15516 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.) |
Ref | Expression |
---|---|
climmulf.1 | โข โฒ๐๐ |
climmulf.2 | โข โฒ๐๐น |
climmulf.3 | โข โฒ๐๐บ |
climmulf.4 | โข โฒ๐๐ป |
climmulf.5 | โข ๐ = (โคโฅโ๐) |
climmulf.6 | โข (๐ โ ๐ โ โค) |
climmulf.7 | โข (๐ โ ๐น โ ๐ด) |
climmulf.8 | โข (๐ โ ๐ป โ ๐) |
climmulf.9 | โข (๐ โ ๐บ โ ๐ต) |
climmulf.10 | โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ (๐นโ๐) โ โ) |
climmulf.11 | โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ (๐บโ๐) โ โ) |
climmulf.12 | โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ (๐ปโ๐) = ((๐นโ๐) ยท (๐บโ๐))) |
Ref | Expression |
---|---|
climmulf | โข (๐ โ ๐ป โ (๐ด ยท ๐ต)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | climmulf.5 | . 2 โข ๐ = (โคโฅโ๐) | |
2 | climmulf.6 | . 2 โข (๐ โ ๐ โ โค) | |
3 | climmulf.7 | . 2 โข (๐ โ ๐น โ ๐ด) | |
4 | climmulf.8 | . 2 โข (๐ โ ๐ป โ ๐) | |
5 | climmulf.9 | . 2 โข (๐ โ ๐บ โ ๐ต) | |
6 | climmulf.1 | . . . . 5 โข โฒ๐๐ | |
7 | nfcv 2908 | . . . . . 6 โข โฒ๐๐ | |
8 | 7 | nfel1 2924 | . . . . 5 โข โฒ๐ ๐ โ ๐ |
9 | 6, 8 | nfan 1903 | . . . 4 โข โฒ๐(๐ โง ๐ โ ๐) |
10 | climmulf.2 | . . . . . 6 โข โฒ๐๐น | |
11 | 10, 7 | nffv 6853 | . . . . 5 โข โฒ๐(๐นโ๐) |
12 | 11 | nfel1 2924 | . . . 4 โข โฒ๐(๐นโ๐) โ โ |
13 | 9, 12 | nfim 1900 | . . 3 โข โฒ๐((๐ โง ๐ โ ๐) โ (๐นโ๐) โ โ) |
14 | eleq1w 2821 | . . . . 5 โข (๐ = ๐ โ (๐ โ ๐ โ ๐ โ ๐)) | |
15 | 14 | anbi2d 630 | . . . 4 โข (๐ = ๐ โ ((๐ โง ๐ โ ๐) โ (๐ โง ๐ โ ๐))) |
16 | fveq2 6843 | . . . . 5 โข (๐ = ๐ โ (๐นโ๐) = (๐นโ๐)) | |
17 | 16 | eleq1d 2823 | . . . 4 โข (๐ = ๐ โ ((๐นโ๐) โ โ โ (๐นโ๐) โ โ)) |
18 | 15, 17 | imbi12d 345 | . . 3 โข (๐ = ๐ โ (((๐ โง ๐ โ ๐) โ (๐นโ๐) โ โ) โ ((๐ โง ๐ โ ๐) โ (๐นโ๐) โ โ))) |
19 | climmulf.10 | . . 3 โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ (๐นโ๐) โ โ) | |
20 | 13, 18, 19 | chvarfv 2234 | . 2 โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ (๐นโ๐) โ โ) |
21 | climmulf.3 | . . . . . 6 โข โฒ๐๐บ | |
22 | 21, 7 | nffv 6853 | . . . . 5 โข โฒ๐(๐บโ๐) |
23 | 22 | nfel1 2924 | . . . 4 โข โฒ๐(๐บโ๐) โ โ |
24 | 9, 23 | nfim 1900 | . . 3 โข โฒ๐((๐ โง ๐ โ ๐) โ (๐บโ๐) โ โ) |
25 | fveq2 6843 | . . . . 5 โข (๐ = ๐ โ (๐บโ๐) = (๐บโ๐)) | |
26 | 25 | eleq1d 2823 | . . . 4 โข (๐ = ๐ โ ((๐บโ๐) โ โ โ (๐บโ๐) โ โ)) |
27 | 15, 26 | imbi12d 345 | . . 3 โข (๐ = ๐ โ (((๐ โง ๐ โ ๐) โ (๐บโ๐) โ โ) โ ((๐ โง ๐ โ ๐) โ (๐บโ๐) โ โ))) |
28 | climmulf.11 | . . 3 โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ (๐บโ๐) โ โ) | |
29 | 24, 27, 28 | chvarfv 2234 | . 2 โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ (๐บโ๐) โ โ) |
30 | climmulf.4 | . . . . . 6 โข โฒ๐๐ป | |
31 | 30, 7 | nffv 6853 | . . . . 5 โข โฒ๐(๐ปโ๐) |
32 | nfcv 2908 | . . . . . 6 โข โฒ๐ ยท | |
33 | 11, 32, 22 | nfov 7388 | . . . . 5 โข โฒ๐((๐นโ๐) ยท (๐บโ๐)) |
34 | 31, 33 | nfeq 2921 | . . . 4 โข โฒ๐(๐ปโ๐) = ((๐นโ๐) ยท (๐บโ๐)) |
35 | 9, 34 | nfim 1900 | . . 3 โข โฒ๐((๐ โง ๐ โ ๐) โ (๐ปโ๐) = ((๐นโ๐) ยท (๐บโ๐))) |
36 | fveq2 6843 | . . . . 5 โข (๐ = ๐ โ (๐ปโ๐) = (๐ปโ๐)) | |
37 | 16, 25 | oveq12d 7376 | . . . . 5 โข (๐ = ๐ โ ((๐นโ๐) ยท (๐บโ๐)) = ((๐นโ๐) ยท (๐บโ๐))) |
38 | 36, 37 | eqeq12d 2753 | . . . 4 โข (๐ = ๐ โ ((๐ปโ๐) = ((๐นโ๐) ยท (๐บโ๐)) โ (๐ปโ๐) = ((๐นโ๐) ยท (๐บโ๐)))) |
39 | 15, 38 | imbi12d 345 | . . 3 โข (๐ = ๐ โ (((๐ โง ๐ โ ๐) โ (๐ปโ๐) = ((๐นโ๐) ยท (๐บโ๐))) โ ((๐ โง ๐ โ ๐) โ (๐ปโ๐) = ((๐นโ๐) ยท (๐บโ๐))))) |
40 | climmulf.12 | . . 3 โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ (๐ปโ๐) = ((๐นโ๐) ยท (๐บโ๐))) | |
41 | 35, 39, 40 | chvarfv 2234 | . 2 โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ (๐ปโ๐) = ((๐นโ๐) ยท (๐บโ๐))) |
42 | 1, 2, 3, 4, 5, 20, 29, 41 | climmul 15516 | 1 โข (๐ โ ๐ป โ (๐ด ยท ๐ต)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 397 = wceq 1542 โฒwnf 1786 โ wcel 2107 โฒwnfc 2888 class class class wbr 5106 โcfv 6497 (class class class)co 7358 โcc 11050 ยท cmul 11057 โคcz 12500 โคโฅcuz 12764 โ cli 15367 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2708 ax-sep 5257 ax-nul 5264 ax-pow 5321 ax-pr 5385 ax-un 7673 ax-cnex 11108 ax-resscn 11109 ax-1cn 11110 ax-icn 11111 ax-addcl 11112 ax-addrcl 11113 ax-mulcl 11114 ax-mulrcl 11115 ax-mulcom 11116 ax-addass 11117 ax-mulass 11118 ax-distr 11119 ax-i2m1 11120 ax-1ne0 11121 ax-1rid 11122 ax-rnegex 11123 ax-rrecex 11124 ax-cnre 11125 ax-pre-lttri 11126 ax-pre-lttrn 11127 ax-pre-ltadd 11128 ax-pre-mulgt0 11129 ax-pre-sup 11130 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3or 1089 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2539 df-eu 2568 df-clab 2715 df-cleq 2729 df-clel 2815 df-nfc 2890 df-ne 2945 df-nel 3051 df-ral 3066 df-rex 3075 df-rmo 3354 df-reu 3355 df-rab 3409 df-v 3448 df-sbc 3741 df-csb 3857 df-dif 3914 df-un 3916 df-in 3918 df-ss 3928 df-pss 3930 df-nul 4284 df-if 4488 df-pw 4563 df-sn 4588 df-pr 4590 df-op 4594 df-uni 4867 df-iun 4957 df-br 5107 df-opab 5169 df-mpt 5190 df-tr 5224 df-id 5532 df-eprel 5538 df-po 5546 df-so 5547 df-fr 5589 df-we 5591 df-xp 5640 df-rel 5641 df-cnv 5642 df-co 5643 df-dm 5644 df-rn 5645 df-res 5646 df-ima 5647 df-pred 6254 df-ord 6321 df-on 6322 df-lim 6323 df-suc 6324 df-iota 6449 df-fun 6499 df-fn 6500 df-f 6501 df-f1 6502 df-fo 6503 df-f1o 6504 df-fv 6505 df-riota 7314 df-ov 7361 df-oprab 7362 df-mpo 7363 df-om 7804 df-2nd 7923 df-frecs 8213 df-wrecs 8244 df-recs 8318 df-rdg 8357 df-er 8649 df-en 8885 df-dom 8886 df-sdom 8887 df-sup 9379 df-pnf 11192 df-mnf 11193 df-xr 11194 df-ltxr 11195 df-le 11196 df-sub 11388 df-neg 11389 df-div 11814 df-nn 12155 df-2 12217 df-3 12218 df-n0 12415 df-z 12501 df-uz 12765 df-rp 12917 df-seq 13908 df-exp 13969 df-cj 14985 df-re 14986 df-im 14987 df-sqrt 15121 df-abs 15122 df-clim 15371 |
This theorem is referenced by: climneg 43858 climdivf 43860 stirlinglem15 44336 etransclem48 44530 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |