Theorem climmulf 46710

Description: A version of climmul 15806 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
climmulf.1	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
climmulf.2	⊢ Ⅎ𝑘𝐹
climmulf.3	⊢ Ⅎ𝑘𝐺
climmulf.4	⊢ Ⅎ𝑘𝐻
climmulf.5	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climmulf.6	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climmulf.7	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 𝐴)
climmulf.8	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑋)
climmulf.9	⊢ (𝜑 → 𝐺 ⇝ 𝐵)
climmulf.10	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
climmulf.11	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
climmulf.12	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐻‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) · (𝐺‘𝑘)))

Assertion

Ref	Expression
climmulf	⊢ (𝜑 → 𝐻 ⇝ (𝐴 · 𝐵))

Distinct variable group:   𝑘,𝑍

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐹(𝑘)   𝐺(𝑘)   𝐻(𝑘)   𝑀(𝑘)   𝑋(𝑘)

Proof of Theorem climmulf

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climmulf.5	. 2 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		climmulf.6	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		climmulf.7	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 𝐴)
4		climmulf.8	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑋)
5		climmulf.9	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ⇝ 𝐵)
6		climmulf.1	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
7		nfcv 2922	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝑗
8	7	nfel1 2938	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑗 ∈ 𝑍
9	6, 8	nfan 1931	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍)
10		climmulf.2	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝐹
11	10, 7	nffv 6896	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐹‘𝑗)
12	11	nfel1 2938	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐹‘𝑗) ∈ ℂ
13	9, 12	nfim 1928	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ)
14		eleq1w 2843	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↔ 𝑗 ∈ 𝑍))
15	14	anbi2d 642	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ↔ (𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍)))
16		fveq2 6886	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑗))
17	16	eleq1d 2845	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ))
18	15, 17	imbi12d 347	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ)))
19		climmulf.10	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
20	13, 18, 19	chvarfv 2276	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ)
21		climmulf.3	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝐺
22	21, 7	nffv 6896	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐺‘𝑗)
23	22	nfel1 2938	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐺‘𝑗) ∈ ℂ
24	9, 23	nfim 1928	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑗) ∈ ℂ)
25		fveq2 6886	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐺‘𝑘) = (𝐺‘𝑗))
26	25	eleq1d 2845	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝐺‘𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐺‘𝑗) ∈ ℂ))
27	15, 26	imbi12d 347	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑗) ∈ ℂ)))
28		climmulf.11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
29	24, 27, 28	chvarfv 2276	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑗) ∈ ℂ)
30		climmulf.4	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝐻
31	30, 7	nffv 6896	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐻‘𝑗)
32		nfcv 2922	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘 ·
33	11, 32, 22	nfov 7451	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘((𝐹‘𝑗) · (𝐺‘𝑗))
34	31, 33	nfeq 2935	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐻‘𝑗) = ((𝐹‘𝑗) · (𝐺‘𝑗))
35	9, 34	nfim 1928	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐻‘𝑗) = ((𝐹‘𝑗) · (𝐺‘𝑗)))
36		fveq2 6886	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐻‘𝑘) = (𝐻‘𝑗))
37	16, 25	oveq12d 7439	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹‘𝑘) · (𝐺‘𝑘)) = ((𝐹‘𝑗) · (𝐺‘𝑗)))
38	36, 37	eqeq12d 2776	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝐻‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) · (𝐺‘𝑘)) ↔ (𝐻‘𝑗) = ((𝐹‘𝑗) · (𝐺‘𝑗))))
39	15, 38	imbi12d 347	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐻‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) · (𝐺‘𝑘))) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐻‘𝑗) = ((𝐹‘𝑗) · (𝐺‘𝑗)))))
40		climmulf.12	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐻‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) · (𝐺‘𝑘)))
41	35, 39, 40	chvarfv 2276	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐻‘𝑗) = ((𝐹‘𝑗) · (𝐺‘𝑗)))
42	1, 2, 3, 4, 5, 20, 29, 41	climmul 15806	1 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ⇝ (𝐴 · 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569  Ⅎwnf 1815   ∈ wcel 2144  Ⅎwnfc 2907   class class class wbr 5102  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  ℂcc 11202   · cmul 11209  ℤcz 12697  ℤ_≥cuz 12969   ⇝ cli 15657

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281  ax-pre-sup 11282

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8721  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-sup 9438  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-div 11978  df-nn 12340  df-2 12409  df-3 12410  df-n0 12611  df-z 12698  df-uz 12970  df-rp 13125  df-seq 14149  df-exp 14209  df-cj 15272  df-re 15273  df-im 15274  df-sqrt 15408  df-abs 15409  df-clim 15661

This theorem is used by:  climneg  46716  climdivf  46718  stirlinglem15  47192  etransclem48  47386