![]() |
Mathbox for Glauco Siliprandi |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > climmulf | Structured version Visualization version GIF version |
Description: A version of climmul 15617 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.) |
Ref | Expression |
---|---|
climmulf.1 | โข โฒ๐๐ |
climmulf.2 | โข โฒ๐๐น |
climmulf.3 | โข โฒ๐๐บ |
climmulf.4 | โข โฒ๐๐ป |
climmulf.5 | โข ๐ = (โคโฅโ๐) |
climmulf.6 | โข (๐ โ ๐ โ โค) |
climmulf.7 | โข (๐ โ ๐น โ ๐ด) |
climmulf.8 | โข (๐ โ ๐ป โ ๐) |
climmulf.9 | โข (๐ โ ๐บ โ ๐ต) |
climmulf.10 | โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ (๐นโ๐) โ โ) |
climmulf.11 | โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ (๐บโ๐) โ โ) |
climmulf.12 | โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ (๐ปโ๐) = ((๐นโ๐) ยท (๐บโ๐))) |
Ref | Expression |
---|---|
climmulf | โข (๐ โ ๐ป โ (๐ด ยท ๐ต)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | climmulf.5 | . 2 โข ๐ = (โคโฅโ๐) | |
2 | climmulf.6 | . 2 โข (๐ โ ๐ โ โค) | |
3 | climmulf.7 | . 2 โข (๐ โ ๐น โ ๐ด) | |
4 | climmulf.8 | . 2 โข (๐ โ ๐ป โ ๐) | |
5 | climmulf.9 | . 2 โข (๐ โ ๐บ โ ๐ต) | |
6 | climmulf.1 | . . . . 5 โข โฒ๐๐ | |
7 | nfcv 2899 | . . . . . 6 โข โฒ๐๐ | |
8 | 7 | nfel1 2916 | . . . . 5 โข โฒ๐ ๐ โ ๐ |
9 | 6, 8 | nfan 1894 | . . . 4 โข โฒ๐(๐ โง ๐ โ ๐) |
10 | climmulf.2 | . . . . . 6 โข โฒ๐๐น | |
11 | 10, 7 | nffv 6912 | . . . . 5 โข โฒ๐(๐นโ๐) |
12 | 11 | nfel1 2916 | . . . 4 โข โฒ๐(๐นโ๐) โ โ |
13 | 9, 12 | nfim 1891 | . . 3 โข โฒ๐((๐ โง ๐ โ ๐) โ (๐นโ๐) โ โ) |
14 | eleq1w 2812 | . . . . 5 โข (๐ = ๐ โ (๐ โ ๐ โ ๐ โ ๐)) | |
15 | 14 | anbi2d 628 | . . . 4 โข (๐ = ๐ โ ((๐ โง ๐ โ ๐) โ (๐ โง ๐ โ ๐))) |
16 | fveq2 6902 | . . . . 5 โข (๐ = ๐ โ (๐นโ๐) = (๐นโ๐)) | |
17 | 16 | eleq1d 2814 | . . . 4 โข (๐ = ๐ โ ((๐นโ๐) โ โ โ (๐นโ๐) โ โ)) |
18 | 15, 17 | imbi12d 343 | . . 3 โข (๐ = ๐ โ (((๐ โง ๐ โ ๐) โ (๐นโ๐) โ โ) โ ((๐ โง ๐ โ ๐) โ (๐นโ๐) โ โ))) |
19 | climmulf.10 | . . 3 โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ (๐นโ๐) โ โ) | |
20 | 13, 18, 19 | chvarfv 2228 | . 2 โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ (๐นโ๐) โ โ) |
21 | climmulf.3 | . . . . . 6 โข โฒ๐๐บ | |
22 | 21, 7 | nffv 6912 | . . . . 5 โข โฒ๐(๐บโ๐) |
23 | 22 | nfel1 2916 | . . . 4 โข โฒ๐(๐บโ๐) โ โ |
24 | 9, 23 | nfim 1891 | . . 3 โข โฒ๐((๐ โง ๐ โ ๐) โ (๐บโ๐) โ โ) |
25 | fveq2 6902 | . . . . 5 โข (๐ = ๐ โ (๐บโ๐) = (๐บโ๐)) | |
26 | 25 | eleq1d 2814 | . . . 4 โข (๐ = ๐ โ ((๐บโ๐) โ โ โ (๐บโ๐) โ โ)) |
27 | 15, 26 | imbi12d 343 | . . 3 โข (๐ = ๐ โ (((๐ โง ๐ โ ๐) โ (๐บโ๐) โ โ) โ ((๐ โง ๐ โ ๐) โ (๐บโ๐) โ โ))) |
28 | climmulf.11 | . . 3 โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ (๐บโ๐) โ โ) | |
29 | 24, 27, 28 | chvarfv 2228 | . 2 โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ (๐บโ๐) โ โ) |
30 | climmulf.4 | . . . . . 6 โข โฒ๐๐ป | |
31 | 30, 7 | nffv 6912 | . . . . 5 โข โฒ๐(๐ปโ๐) |
32 | nfcv 2899 | . . . . . 6 โข โฒ๐ ยท | |
33 | 11, 32, 22 | nfov 7456 | . . . . 5 โข โฒ๐((๐นโ๐) ยท (๐บโ๐)) |
34 | 31, 33 | nfeq 2913 | . . . 4 โข โฒ๐(๐ปโ๐) = ((๐นโ๐) ยท (๐บโ๐)) |
35 | 9, 34 | nfim 1891 | . . 3 โข โฒ๐((๐ โง ๐ โ ๐) โ (๐ปโ๐) = ((๐นโ๐) ยท (๐บโ๐))) |
36 | fveq2 6902 | . . . . 5 โข (๐ = ๐ โ (๐ปโ๐) = (๐ปโ๐)) | |
37 | 16, 25 | oveq12d 7444 | . . . . 5 โข (๐ = ๐ โ ((๐นโ๐) ยท (๐บโ๐)) = ((๐นโ๐) ยท (๐บโ๐))) |
38 | 36, 37 | eqeq12d 2744 | . . . 4 โข (๐ = ๐ โ ((๐ปโ๐) = ((๐นโ๐) ยท (๐บโ๐)) โ (๐ปโ๐) = ((๐นโ๐) ยท (๐บโ๐)))) |
39 | 15, 38 | imbi12d 343 | . . 3 โข (๐ = ๐ โ (((๐ โง ๐ โ ๐) โ (๐ปโ๐) = ((๐นโ๐) ยท (๐บโ๐))) โ ((๐ โง ๐ โ ๐) โ (๐ปโ๐) = ((๐นโ๐) ยท (๐บโ๐))))) |
40 | climmulf.12 | . . 3 โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ (๐ปโ๐) = ((๐นโ๐) ยท (๐บโ๐))) | |
41 | 35, 39, 40 | chvarfv 2228 | . 2 โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ (๐ปโ๐) = ((๐นโ๐) ยท (๐บโ๐))) |
42 | 1, 2, 3, 4, 5, 20, 29, 41 | climmul 15617 | 1 โข (๐ โ ๐ป โ (๐ด ยท ๐ต)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 394 = wceq 1533 โฒwnf 1777 โ wcel 2098 โฒwnfc 2879 class class class wbr 5152 โcfv 6553 (class class class)co 7426 โcc 11144 ยท cmul 11151 โคcz 12596 โคโฅcuz 12860 โ cli 15468 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2166 ax-ext 2699 ax-sep 5303 ax-nul 5310 ax-pow 5369 ax-pr 5433 ax-un 7746 ax-cnex 11202 ax-resscn 11203 ax-1cn 11204 ax-icn 11205 ax-addcl 11206 ax-addrcl 11207 ax-mulcl 11208 ax-mulrcl 11209 ax-mulcom 11210 ax-addass 11211 ax-mulass 11212 ax-distr 11213 ax-i2m1 11214 ax-1ne0 11215 ax-1rid 11216 ax-rnegex 11217 ax-rrecex 11218 ax-cnre 11219 ax-pre-lttri 11220 ax-pre-lttrn 11221 ax-pre-ltadd 11222 ax-pre-mulgt0 11223 ax-pre-sup 11224 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 395 df-or 846 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2529 df-eu 2558 df-clab 2706 df-cleq 2720 df-clel 2806 df-nfc 2881 df-ne 2938 df-nel 3044 df-ral 3059 df-rex 3068 df-rmo 3374 df-reu 3375 df-rab 3431 df-v 3475 df-sbc 3779 df-csb 3895 df-dif 3952 df-un 3954 df-in 3956 df-ss 3966 df-pss 3968 df-nul 4327 df-if 4533 df-pw 4608 df-sn 4633 df-pr 4635 df-op 4639 df-uni 4913 df-iun 5002 df-br 5153 df-opab 5215 df-mpt 5236 df-tr 5270 df-id 5580 df-eprel 5586 df-po 5594 df-so 5595 df-fr 5637 df-we 5639 df-xp 5688 df-rel 5689 df-cnv 5690 df-co 5691 df-dm 5692 df-rn 5693 df-res 5694 df-ima 5695 df-pred 6310 df-ord 6377 df-on 6378 df-lim 6379 df-suc 6380 df-iota 6505 df-fun 6555 df-fn 6556 df-f 6557 df-f1 6558 df-fo 6559 df-f1o 6560 df-fv 6561 df-riota 7382 df-ov 7429 df-oprab 7430 df-mpo 7431 df-om 7877 df-2nd 8000 df-frecs 8293 df-wrecs 8324 df-recs 8398 df-rdg 8437 df-er 8731 df-en 8971 df-dom 8972 df-sdom 8973 df-sup 9473 df-pnf 11288 df-mnf 11289 df-xr 11290 df-ltxr 11291 df-le 11292 df-sub 11484 df-neg 11485 df-div 11910 df-nn 12251 df-2 12313 df-3 12314 df-n0 12511 df-z 12597 df-uz 12861 df-rp 13015 df-seq 14007 df-exp 14067 df-cj 15086 df-re 15087 df-im 15088 df-sqrt 15222 df-abs 15223 df-clim 15472 |
This theorem is referenced by: climneg 45027 climdivf 45029 stirlinglem15 45505 etransclem48 45699 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |