Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  climmulf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climmulf 44874
Description: A version of climmul 15580 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
climmulf.1 โ„ฒ๐‘˜๐œ‘
climmulf.2 โ„ฒ๐‘˜๐น
climmulf.3 โ„ฒ๐‘˜๐บ
climmulf.4 โ„ฒ๐‘˜๐ป
climmulf.5 ๐‘ = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)
climmulf.6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
climmulf.7 (๐œ‘ โ†’ ๐น โ‡ ๐ด)
climmulf.8 (๐œ‘ โ†’ ๐ป โˆˆ ๐‘‹)
climmulf.9 (๐œ‘ โ†’ ๐บ โ‡ ๐ต)
climmulf.10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
climmulf.11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐บโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
climmulf.12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐ปโ€˜๐‘˜) = ((๐นโ€˜๐‘˜) ยท (๐บโ€˜๐‘˜)))
Assertion
Ref Expression
climmulf (๐œ‘ โ†’ ๐ป โ‡ (๐ด ยท ๐ต))
Distinct variable group:   ๐‘˜,๐‘
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘˜)   ๐ด(๐‘˜)   ๐ต(๐‘˜)   ๐น(๐‘˜)   ๐บ(๐‘˜)   ๐ป(๐‘˜)   ๐‘€(๐‘˜)   ๐‘‹(๐‘˜)

Proof of Theorem climmulf
Dummy variable ๐‘— is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climmulf.5 . 2 ๐‘ = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)
2 climmulf.6 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
3 climmulf.7 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐น โ‡ ๐ด)
4 climmulf.8 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐ป โˆˆ ๐‘‹)
5 climmulf.9 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐บ โ‡ ๐ต)
6 climmulf.1 . . . . 5 โ„ฒ๐‘˜๐œ‘
7 nfcv 2897 . . . . . 6 โ„ฒ๐‘˜๐‘—
87nfel1 2913 . . . . 5 โ„ฒ๐‘˜ ๐‘— โˆˆ ๐‘
96, 8nfan 1894 . . . 4 โ„ฒ๐‘˜(๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)
10 climmulf.2 . . . . . 6 โ„ฒ๐‘˜๐น
1110, 7nffv 6894 . . . . 5 โ„ฒ๐‘˜(๐นโ€˜๐‘—)
1211nfel1 2913 . . . 4 โ„ฒ๐‘˜(๐นโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚
139, 12nfim 1891 . . 3 โ„ฒ๐‘˜((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐นโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚)
14 eleq1w 2810 . . . . 5 (๐‘˜ = ๐‘— โ†’ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†” ๐‘— โˆˆ ๐‘))
1514anbi2d 628 . . . 4 (๐‘˜ = ๐‘— โ†’ ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†” (๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)))
16 fveq2 6884 . . . . 5 (๐‘˜ = ๐‘— โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) = (๐นโ€˜๐‘—))
1716eleq1d 2812 . . . 4 (๐‘˜ = ๐‘— โ†’ ((๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚ โ†” (๐นโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚))
1815, 17imbi12d 344 . . 3 (๐‘˜ = ๐‘— โ†’ (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚) โ†” ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐นโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚)))
19 climmulf.10 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
2013, 18, 19chvarfv 2225 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐นโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚)
21 climmulf.3 . . . . . 6 โ„ฒ๐‘˜๐บ
2221, 7nffv 6894 . . . . 5 โ„ฒ๐‘˜(๐บโ€˜๐‘—)
2322nfel1 2913 . . . 4 โ„ฒ๐‘˜(๐บโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚
249, 23nfim 1891 . . 3 โ„ฒ๐‘˜((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐บโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚)
25 fveq2 6884 . . . . 5 (๐‘˜ = ๐‘— โ†’ (๐บโ€˜๐‘˜) = (๐บโ€˜๐‘—))
2625eleq1d 2812 . . . 4 (๐‘˜ = ๐‘— โ†’ ((๐บโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚ โ†” (๐บโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚))
2715, 26imbi12d 344 . . 3 (๐‘˜ = ๐‘— โ†’ (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐บโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚) โ†” ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐บโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚)))
28 climmulf.11 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐บโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
2924, 27, 28chvarfv 2225 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐บโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚)
30 climmulf.4 . . . . . 6 โ„ฒ๐‘˜๐ป
3130, 7nffv 6894 . . . . 5 โ„ฒ๐‘˜(๐ปโ€˜๐‘—)
32 nfcv 2897 . . . . . 6 โ„ฒ๐‘˜ ยท
3311, 32, 22nfov 7434 . . . . 5 โ„ฒ๐‘˜((๐นโ€˜๐‘—) ยท (๐บโ€˜๐‘—))
3431, 33nfeq 2910 . . . 4 โ„ฒ๐‘˜(๐ปโ€˜๐‘—) = ((๐นโ€˜๐‘—) ยท (๐บโ€˜๐‘—))
359, 34nfim 1891 . . 3 โ„ฒ๐‘˜((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐ปโ€˜๐‘—) = ((๐นโ€˜๐‘—) ยท (๐บโ€˜๐‘—)))
36 fveq2 6884 . . . . 5 (๐‘˜ = ๐‘— โ†’ (๐ปโ€˜๐‘˜) = (๐ปโ€˜๐‘—))
3716, 25oveq12d 7422 . . . . 5 (๐‘˜ = ๐‘— โ†’ ((๐นโ€˜๐‘˜) ยท (๐บโ€˜๐‘˜)) = ((๐นโ€˜๐‘—) ยท (๐บโ€˜๐‘—)))
3836, 37eqeq12d 2742 . . . 4 (๐‘˜ = ๐‘— โ†’ ((๐ปโ€˜๐‘˜) = ((๐นโ€˜๐‘˜) ยท (๐บโ€˜๐‘˜)) โ†” (๐ปโ€˜๐‘—) = ((๐นโ€˜๐‘—) ยท (๐บโ€˜๐‘—))))
3915, 38imbi12d 344 . . 3 (๐‘˜ = ๐‘— โ†’ (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐ปโ€˜๐‘˜) = ((๐นโ€˜๐‘˜) ยท (๐บโ€˜๐‘˜))) โ†” ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐ปโ€˜๐‘—) = ((๐นโ€˜๐‘—) ยท (๐บโ€˜๐‘—)))))
40 climmulf.12 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐ปโ€˜๐‘˜) = ((๐นโ€˜๐‘˜) ยท (๐บโ€˜๐‘˜)))
4135, 39, 40chvarfv 2225 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐ปโ€˜๐‘—) = ((๐นโ€˜๐‘—) ยท (๐บโ€˜๐‘—)))
421, 2, 3, 4, 5, 20, 29, 41climmul 15580 1 (๐œ‘ โ†’ ๐ป โ‡ (๐ด ยท ๐ต))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1533  โ„ฒwnf 1777   โˆˆ wcel 2098  โ„ฒwnfc 2877   class class class wbr 5141  โ€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  โ„‚cc 11107   ยท cmul 11114  โ„คcz 12559  โ„คโ‰ฅcuz 12823   โ‡ cli 15431
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-sup 9436  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-rp 12978  df-seq 13970  df-exp 14030  df-cj 15049  df-re 15050  df-im 15051  df-sqrt 15185  df-abs 15186  df-clim 15435
This theorem is referenced by:  climneg  44880  climdivf  44882  stirlinglem15  45358  etransclem48  45552
  Copyright terms: Public domain W3C validator