Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  climmulf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climmulf 45021
Description: A version of climmul 15617 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
climmulf.1 โ„ฒ๐‘˜๐œ‘
climmulf.2 โ„ฒ๐‘˜๐น
climmulf.3 โ„ฒ๐‘˜๐บ
climmulf.4 โ„ฒ๐‘˜๐ป
climmulf.5 ๐‘ = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)
climmulf.6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
climmulf.7 (๐œ‘ โ†’ ๐น โ‡ ๐ด)
climmulf.8 (๐œ‘ โ†’ ๐ป โˆˆ ๐‘‹)
climmulf.9 (๐œ‘ โ†’ ๐บ โ‡ ๐ต)
climmulf.10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
climmulf.11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐บโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
climmulf.12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐ปโ€˜๐‘˜) = ((๐นโ€˜๐‘˜) ยท (๐บโ€˜๐‘˜)))
Assertion
Ref Expression
climmulf (๐œ‘ โ†’ ๐ป โ‡ (๐ด ยท ๐ต))
Distinct variable group:   ๐‘˜,๐‘
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘˜)   ๐ด(๐‘˜)   ๐ต(๐‘˜)   ๐น(๐‘˜)   ๐บ(๐‘˜)   ๐ป(๐‘˜)   ๐‘€(๐‘˜)   ๐‘‹(๐‘˜)

Proof of Theorem climmulf
Dummy variable ๐‘— is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climmulf.5 . 2 ๐‘ = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)
2 climmulf.6 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
3 climmulf.7 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐น โ‡ ๐ด)
4 climmulf.8 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐ป โˆˆ ๐‘‹)
5 climmulf.9 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐บ โ‡ ๐ต)
6 climmulf.1 . . . . 5 โ„ฒ๐‘˜๐œ‘
7 nfcv 2899 . . . . . 6 โ„ฒ๐‘˜๐‘—
87nfel1 2916 . . . . 5 โ„ฒ๐‘˜ ๐‘— โˆˆ ๐‘
96, 8nfan 1894 . . . 4 โ„ฒ๐‘˜(๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)
10 climmulf.2 . . . . . 6 โ„ฒ๐‘˜๐น
1110, 7nffv 6912 . . . . 5 โ„ฒ๐‘˜(๐นโ€˜๐‘—)
1211nfel1 2916 . . . 4 โ„ฒ๐‘˜(๐นโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚
139, 12nfim 1891 . . 3 โ„ฒ๐‘˜((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐นโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚)
14 eleq1w 2812 . . . . 5 (๐‘˜ = ๐‘— โ†’ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†” ๐‘— โˆˆ ๐‘))
1514anbi2d 628 . . . 4 (๐‘˜ = ๐‘— โ†’ ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†” (๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)))
16 fveq2 6902 . . . . 5 (๐‘˜ = ๐‘— โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) = (๐นโ€˜๐‘—))
1716eleq1d 2814 . . . 4 (๐‘˜ = ๐‘— โ†’ ((๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚ โ†” (๐นโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚))
1815, 17imbi12d 343 . . 3 (๐‘˜ = ๐‘— โ†’ (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚) โ†” ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐นโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚)))
19 climmulf.10 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
2013, 18, 19chvarfv 2228 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐นโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚)
21 climmulf.3 . . . . . 6 โ„ฒ๐‘˜๐บ
2221, 7nffv 6912 . . . . 5 โ„ฒ๐‘˜(๐บโ€˜๐‘—)
2322nfel1 2916 . . . 4 โ„ฒ๐‘˜(๐บโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚
249, 23nfim 1891 . . 3 โ„ฒ๐‘˜((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐บโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚)
25 fveq2 6902 . . . . 5 (๐‘˜ = ๐‘— โ†’ (๐บโ€˜๐‘˜) = (๐บโ€˜๐‘—))
2625eleq1d 2814 . . . 4 (๐‘˜ = ๐‘— โ†’ ((๐บโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚ โ†” (๐บโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚))
2715, 26imbi12d 343 . . 3 (๐‘˜ = ๐‘— โ†’ (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐บโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚) โ†” ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐บโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚)))
28 climmulf.11 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐บโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
2924, 27, 28chvarfv 2228 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐บโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚)
30 climmulf.4 . . . . . 6 โ„ฒ๐‘˜๐ป
3130, 7nffv 6912 . . . . 5 โ„ฒ๐‘˜(๐ปโ€˜๐‘—)
32 nfcv 2899 . . . . . 6 โ„ฒ๐‘˜ ยท
3311, 32, 22nfov 7456 . . . . 5 โ„ฒ๐‘˜((๐นโ€˜๐‘—) ยท (๐บโ€˜๐‘—))
3431, 33nfeq 2913 . . . 4 โ„ฒ๐‘˜(๐ปโ€˜๐‘—) = ((๐นโ€˜๐‘—) ยท (๐บโ€˜๐‘—))
359, 34nfim 1891 . . 3 โ„ฒ๐‘˜((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐ปโ€˜๐‘—) = ((๐นโ€˜๐‘—) ยท (๐บโ€˜๐‘—)))
36 fveq2 6902 . . . . 5 (๐‘˜ = ๐‘— โ†’ (๐ปโ€˜๐‘˜) = (๐ปโ€˜๐‘—))
3716, 25oveq12d 7444 . . . . 5 (๐‘˜ = ๐‘— โ†’ ((๐นโ€˜๐‘˜) ยท (๐บโ€˜๐‘˜)) = ((๐นโ€˜๐‘—) ยท (๐บโ€˜๐‘—)))
3836, 37eqeq12d 2744 . . . 4 (๐‘˜ = ๐‘— โ†’ ((๐ปโ€˜๐‘˜) = ((๐นโ€˜๐‘˜) ยท (๐บโ€˜๐‘˜)) โ†” (๐ปโ€˜๐‘—) = ((๐นโ€˜๐‘—) ยท (๐บโ€˜๐‘—))))
3915, 38imbi12d 343 . . 3 (๐‘˜ = ๐‘— โ†’ (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐ปโ€˜๐‘˜) = ((๐นโ€˜๐‘˜) ยท (๐บโ€˜๐‘˜))) โ†” ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐ปโ€˜๐‘—) = ((๐นโ€˜๐‘—) ยท (๐บโ€˜๐‘—)))))
40 climmulf.12 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐ปโ€˜๐‘˜) = ((๐นโ€˜๐‘˜) ยท (๐บโ€˜๐‘˜)))
4135, 39, 40chvarfv 2228 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐ปโ€˜๐‘—) = ((๐นโ€˜๐‘—) ยท (๐บโ€˜๐‘—)))
421, 2, 3, 4, 5, 20, 29, 41climmul 15617 1 (๐œ‘ โ†’ ๐ป โ‡ (๐ด ยท ๐ต))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   = wceq 1533  โ„ฒwnf 1777   โˆˆ wcel 2098  โ„ฒwnfc 2879   class class class wbr 5152  โ€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  โ„‚cc 11144   ยท cmul 11151  โ„คcz 12596  โ„คโ‰ฅcuz 12860   โ‡ cli 15468
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-sup 9473  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-rp 13015  df-seq 14007  df-exp 14067  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-clim 15472
This theorem is referenced by:  climneg  45027  climdivf  45029  stirlinglem15  45505  etransclem48  45699
  Copyright terms: Public domain W3C validator