Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  climmulf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climmulf 41874
Description: A version of climmul 14981 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
climmulf.1 𝑘𝜑
climmulf.2 𝑘𝐹
climmulf.3 𝑘𝐺
climmulf.4 𝑘𝐻
climmulf.5 𝑍 = (ℤ𝑀)
climmulf.6 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
climmulf.7 (𝜑𝐹𝐴)
climmulf.8 (𝜑𝐻𝑋)
climmulf.9 (𝜑𝐺𝐵)
climmulf.10 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
climmulf.11 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ)
climmulf.12 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐻𝑘) = ((𝐹𝑘) · (𝐺𝑘)))
Assertion
Ref Expression
climmulf (𝜑𝐻 ⇝ (𝐴 · 𝐵))
Distinct variable group:   𝑘,𝑍
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐹(𝑘)   𝐺(𝑘)   𝐻(𝑘)   𝑀(𝑘)   𝑋(𝑘)

Proof of Theorem climmulf
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climmulf.5 . 2 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 climmulf.6 . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 climmulf.7 . 2 (𝜑𝐹𝐴)
4 climmulf.8 . 2 (𝜑𝐻𝑋)
5 climmulf.9 . 2 (𝜑𝐺𝐵)
6 climmulf.1 . . . . 5 𝑘𝜑
7 nfcv 2975 . . . . . 6 𝑘𝑗
87nfel1 2992 . . . . 5 𝑘 𝑗𝑍
96, 8nfan 1894 . . . 4 𝑘(𝜑𝑗𝑍)
10 climmulf.2 . . . . . 6 𝑘𝐹
1110, 7nffv 6673 . . . . 5 𝑘(𝐹𝑗)
1211nfel1 2992 . . . 4 𝑘(𝐹𝑗) ∈ ℂ
139, 12nfim 1891 . . 3 𝑘((𝜑𝑗𝑍) → (𝐹𝑗) ∈ ℂ)
14 eleq1w 2893 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗 → (𝑘𝑍𝑗𝑍))
1514anbi2d 630 . . . 4 (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑𝑘𝑍) ↔ (𝜑𝑗𝑍)))
16 fveq2 6663 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑗))
1716eleq1d 2895 . . . 4 (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐹𝑗) ∈ ℂ))
1815, 17imbi12d 347 . . 3 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ) ↔ ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐹𝑗) ∈ ℂ)))
19 climmulf.10 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
2013, 18, 19chvarfv 2235 . 2 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐹𝑗) ∈ ℂ)
21 climmulf.3 . . . . . 6 𝑘𝐺
2221, 7nffv 6673 . . . . 5 𝑘(𝐺𝑗)
2322nfel1 2992 . . . 4 𝑘(𝐺𝑗) ∈ ℂ
249, 23nfim 1891 . . 3 𝑘((𝜑𝑗𝑍) → (𝐺𝑗) ∈ ℂ)
25 fveq2 6663 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗 → (𝐺𝑘) = (𝐺𝑗))
2625eleq1d 2895 . . . 4 (𝑘 = 𝑗 → ((𝐺𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐺𝑗) ∈ ℂ))
2715, 26imbi12d 347 . . 3 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ) ↔ ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐺𝑗) ∈ ℂ)))
28 climmulf.11 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ)
2924, 27, 28chvarfv 2235 . 2 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐺𝑗) ∈ ℂ)
30 climmulf.4 . . . . . 6 𝑘𝐻
3130, 7nffv 6673 . . . . 5 𝑘(𝐻𝑗)
32 nfcv 2975 . . . . . 6 𝑘 ·
3311, 32, 22nfov 7178 . . . . 5 𝑘((𝐹𝑗) · (𝐺𝑗))
3431, 33nfeq 2989 . . . 4 𝑘(𝐻𝑗) = ((𝐹𝑗) · (𝐺𝑗))
359, 34nfim 1891 . . 3 𝑘((𝜑𝑗𝑍) → (𝐻𝑗) = ((𝐹𝑗) · (𝐺𝑗)))
36 fveq2 6663 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗 → (𝐻𝑘) = (𝐻𝑗))
3716, 25oveq12d 7166 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹𝑘) · (𝐺𝑘)) = ((𝐹𝑗) · (𝐺𝑗)))
3836, 37eqeq12d 2835 . . . 4 (𝑘 = 𝑗 → ((𝐻𝑘) = ((𝐹𝑘) · (𝐺𝑘)) ↔ (𝐻𝑗) = ((𝐹𝑗) · (𝐺𝑗))))
3915, 38imbi12d 347 . . 3 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑𝑘𝑍) → (𝐻𝑘) = ((𝐹𝑘) · (𝐺𝑘))) ↔ ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐻𝑗) = ((𝐹𝑗) · (𝐺𝑗)))))
40 climmulf.12 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐻𝑘) = ((𝐹𝑘) · (𝐺𝑘)))
4135, 39, 40chvarfv 2235 . 2 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐻𝑗) = ((𝐹𝑗) · (𝐺𝑗)))
421, 2, 3, 4, 5, 20, 29, 41climmul 14981 1 (𝜑𝐻 ⇝ (𝐴 · 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398   = wceq 1531  wnf 1778  wcel 2108  wnfc 2959   class class class wbr 5057  cfv 6348  (class class class)co 7148  cc 10527   · cmul 10534  cz 11973  cuz 12235  cli 14833
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1534  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-sup 8898  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12382  df-seq 13362  df-exp 13422  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-clim 14837
This theorem is referenced by:  climneg  41880  climdivf  41882  stirlinglem15  42363  etransclem48  42557
  Copyright terms: Public domain W3C validator