Theorem clmsscn 25092

Description: The scalar ring of a subcomplex module is a subset of the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
clm0.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
clmsub.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
clmsscn	⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 𝐾 ⊆ ℂ)

Proof of Theorem clmsscn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clm0.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
2		clmsub.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
3	1, 2	clmsubrg 25079	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld))
4		cnfldbas 21341	. . 3 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
5	4	subrgss 20550	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld) → 𝐾 ⊆ ℂ)
6	3, 5	syl 17	1 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 𝐾 ⊆ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ⊆ wss 3947  ‘cfv 6544  ℂcc 11145  Basecbs 17206  Scalarcsca 17262  SubRingcsubrg 20545  ℂ_fldccnfld 21337  ℂModcclm 25075

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7736  ax-cnex 11203  ax-resscn 11204  ax-1cn 11205  ax-icn 11206  ax-addcl 11207  ax-addrcl 11208  ax-mulcl 11209  ax-mulrcl 11210  ax-mulcom 11211  ax-addass 11212  ax-mulass 11213  ax-distr 11214  ax-i2m1 11215  ax-1ne0 11216  ax-1rid 11217  ax-rnegex 11218  ax-rrecex 11219  ax-cnre 11220  ax-pre-lttri 11221  ax-pre-lttrn 11222  ax-pre-ltadd 11223  ax-pre-mulgt0 11224

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3366  df-rab 3421  df-v 3465  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4324  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4907  df-iun 4996  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6303  df-ord 6369  df-on 6370  df-lim 6371  df-suc 6372  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-1o 8486  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-pnf 11289  df-mnf 11290  df-xr 11291  df-ltxr 11292  df-le 11293  df-sub 11485  df-neg 11486  df-nn 12257  df-2 12319  df-3 12320  df-4 12321  df-5 12322  df-6 12323  df-7 12324  df-8 12325  df-9 12326  df-n0 12517  df-z 12603  df-dec 12722  df-uz 12867  df-fz 13531  df-struct 17142  df-slot 17177  df-ndx 17189  df-base 17207  df-plusg 17272  df-mulr 17273  df-starv 17274  df-tset 17278  df-ple 17279  df-ds 17281  df-unif 17282  df-subrg 20547  df-cnfld 21338  df-clm 25076

This theorem is referenced by:  clmneg  25094  clmvscom  25103  cvsi  25143  cvsmuleqdivd  25147  cvsdiveqd  25148  cphassr  25226  cph2ass  25227  tcphcphlem3  25247  ipcau2  25248  tcphcphlem1  25249  tcphcphlem2  25250  nmparlem  25253  ipcn  25260