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Theorem fourierdlem21 44455
Description: The coefficients of the fourier series are integrable and reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem21.f (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
fourierdlem21.c 𝐢 = (-Ο€(,)Ο€)
fourierdlem21.fibl (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐢) ∈ 𝐿1)
fourierdlem21.b 𝐡 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫𝐢((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯))) dπ‘₯ / Ο€))
fourierdlem21.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
Assertion
Ref Expression
fourierdlem21 (πœ‘ β†’ (((π΅β€˜π‘) ∈ ℝ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯)))) ∈ 𝐿1) ∧ ∫𝐢((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))) dπ‘₯ ∈ ℝ))
Distinct variable groups:   𝐢,𝑛,π‘₯   𝑛,𝐹,π‘₯   𝑛,𝑁,π‘₯   πœ‘,𝑛,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘₯,𝑛)

Proof of Theorem fourierdlem21
Dummy variables 𝑏 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnnn0 12425 . . . . . 6 (𝑛 ∈ β„• β†’ 𝑛 ∈ β„•0)
2 fourierdlem21.f . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
32adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
4 ioossre 13331 . . . . . . . . . . . 12 (-Ο€(,)Ο€) βŠ† ℝ
5 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ 𝐢 β†’ π‘₯ ∈ 𝐢)
6 fourierdlem21.c . . . . . . . . . . . . 13 𝐢 = (-Ο€(,)Ο€)
75, 6eleqtrdi 2844 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ 𝐢 β†’ π‘₯ ∈ (-Ο€(,)Ο€))
84, 7sselid 3943 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ 𝐢 β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
98adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
103, 9ffvelcdmd 7037 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
1110adantlr 714 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
12 nn0re 12427 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ 𝑛 ∈ ℝ)
1312adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ 𝑛 ∈ ℝ)
148adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
1513, 14remulcld 11190 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ (𝑛 Β· π‘₯) ∈ ℝ)
1615resincld 16030 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)) ∈ ℝ)
1716adantll 713 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)) ∈ ℝ)
1811, 17remulcld 11190 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯))) ∈ ℝ)
19 ioombl 24945 . . . . . . . . . . . 12 (-Ο€(,)Ο€) ∈ dom vol
206, 19eqeltri 2830 . . . . . . . . . . 11 𝐢 ∈ dom vol
2120a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ 𝐢 ∈ dom vol)
22 eqidd 2734 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯))) = (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯))))
23 eqidd 2734 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) = (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (πΉβ€˜π‘₯)))
2421, 17, 11, 22, 23offval2 7638 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯))) ∘f Β· (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (πΉβ€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ ((sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)) Β· (πΉβ€˜π‘₯))))
2517recnd 11188 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)) ∈ β„‚)
2611recnd 11188 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
2725, 26mulcomd 11181 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ ((sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)) Β· (πΉβ€˜π‘₯)) = ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯))))
2827mpteq2dva 5206 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ ((sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)) Β· (πΉβ€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)))))
2924, 28eqtr2d 2774 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)))) = ((π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯))) ∘f Β· (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (πΉβ€˜π‘₯))))
30 sincn 25819 . . . . . . . . . . . 12 sin ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚)
3130a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ sin ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚))
326, 4eqsstri 3979 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐢 βŠ† ℝ
33 ax-resscn 11113 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ℝ βŠ† β„‚
3432, 33sstri 3954 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐢 βŠ† β„‚
3534a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ 𝐢 βŠ† β„‚)
3612recnd 11188 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ 𝑛 ∈ β„‚)
37 ssid 3967 . . . . . . . . . . . . . . 15 β„‚ βŠ† β„‚
3837a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ β„‚ βŠ† β„‚)
3935, 36, 38constcncfg 44199 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ 𝑛) ∈ (𝐢–cnβ†’β„‚))
4035, 38idcncfg 44200 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ π‘₯) ∈ (𝐢–cnβ†’β„‚))
4139, 40mulcncf 24826 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (𝑛 Β· π‘₯)) ∈ (𝐢–cnβ†’β„‚))
4241adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (𝑛 Β· π‘₯)) ∈ (𝐢–cnβ†’β„‚))
4331, 42cncfmpt1f 24293 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯))) ∈ (𝐢–cnβ†’β„‚))
44 cnmbf 25039 . . . . . . . . . 10 ((𝐢 ∈ dom vol ∧ (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯))) ∈ (𝐢–cnβ†’β„‚)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯))) ∈ MblFn)
4520, 43, 44sylancr 588 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯))) ∈ MblFn)
462feqmptd 6911 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (πΉβ€˜π‘₯)))
4746reseq1d 5937 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐢) = ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) β†Ύ 𝐢))
48 resmpt 5992 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐢 βŠ† ℝ β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) β†Ύ 𝐢) = (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (πΉβ€˜π‘₯)))
4932, 48mp1i 13 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) β†Ύ 𝐢) = (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (πΉβ€˜π‘₯)))
5047, 49eqtr2d 2774 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) = (𝐹 β†Ύ 𝐢))
51 fourierdlem21.fibl . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐢) ∈ 𝐿1)
5250, 51eqeltrd 2834 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) ∈ 𝐿1)
5352adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) ∈ 𝐿1)
54 1re 11160 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ
55 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ 𝑦 ∈ dom (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)))) β†’ 𝑦 ∈ dom (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯))))
56 nfv 1918 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 β„²π‘₯ 𝑛 ∈ β„•0
57 nfmpt1 5214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 β„²π‘₯(π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)))
5857nfdm 5907 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 β„²π‘₯dom (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)))
5958nfcri 2891 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 β„²π‘₯ 𝑦 ∈ dom (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)))
6056, 59nfan 1903 . . . . . . . . . . . . . . . 16 β„²π‘₯(𝑛 ∈ β„•0 ∧ 𝑦 ∈ dom (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯))))
6116ex 414 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ (π‘₯ ∈ 𝐢 β†’ (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)) ∈ ℝ))
6261adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ 𝑦 ∈ dom (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)))) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐢 β†’ (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)) ∈ ℝ))
6360, 62ralrimi 3239 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ 𝑦 ∈ dom (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)))) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐢 (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)) ∈ ℝ)
64 dmmptg 6195 . . . . . . . . . . . . . . 15 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐢 (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)) ∈ ℝ β†’ dom (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯))) = 𝐢)
6563, 64syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ 𝑦 ∈ dom (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)))) β†’ dom (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯))) = 𝐢)
6655, 65eleqtrd 2836 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ 𝑦 ∈ dom (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)))) β†’ 𝑦 ∈ 𝐢)
67 eqidd 2734 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ 𝑦 ∈ 𝐢) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯))) = (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯))))
68 oveq2 7366 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (𝑛 Β· π‘₯) = (𝑛 Β· 𝑦))
6968fveq2d 6847 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)) = (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑦)))
7069adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑛 ∈ β„•0 ∧ 𝑦 ∈ 𝐢) ∧ π‘₯ = 𝑦) β†’ (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)) = (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑦)))
71 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ 𝑦 ∈ 𝐢) β†’ 𝑦 ∈ 𝐢)
7212adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ 𝑦 ∈ 𝐢) β†’ 𝑛 ∈ ℝ)
7332, 71sselid 3943 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ 𝑦 ∈ 𝐢) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
7472, 73remulcld 11190 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ 𝑦 ∈ 𝐢) β†’ (𝑛 Β· 𝑦) ∈ ℝ)
7574resincld 16030 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ 𝑦 ∈ 𝐢) β†’ (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑦)) ∈ ℝ)
7667, 70, 71, 75fvmptd 6956 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ 𝑦 ∈ 𝐢) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)))β€˜π‘¦) = (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑦)))
7776fveq2d 6847 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ 𝑦 ∈ 𝐢) β†’ (absβ€˜((π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)))β€˜π‘¦)) = (absβ€˜(sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑦))))
78 abssinbd 43616 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛 Β· 𝑦) ∈ ℝ β†’ (absβ€˜(sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑦))) ≀ 1)
7974, 78syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ 𝑦 ∈ 𝐢) β†’ (absβ€˜(sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑦))) ≀ 1)
8077, 79eqbrtrd 5128 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ 𝑦 ∈ 𝐢) β†’ (absβ€˜((π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)))β€˜π‘¦)) ≀ 1)
8166, 80syldan 592 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ 𝑦 ∈ dom (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)))) β†’ (absβ€˜((π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)))β€˜π‘¦)) ≀ 1)
8281ralrimiva 3140 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ βˆ€π‘¦ ∈ dom (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)))(absβ€˜((π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)))β€˜π‘¦)) ≀ 1)
83 breq2 5110 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 = 1 β†’ ((absβ€˜((π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)))β€˜π‘¦)) ≀ 𝑏 ↔ (absβ€˜((π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)))β€˜π‘¦)) ≀ 1))
8483ralbidv 3171 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 = 1 β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ dom (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)))(absβ€˜((π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)))β€˜π‘¦)) ≀ 𝑏 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ dom (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)))(absβ€˜((π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)))β€˜π‘¦)) ≀ 1))
8584rspcev 3580 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)))(absβ€˜((π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)))β€˜π‘¦)) ≀ 1) β†’ βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ dom (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)))(absβ€˜((π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)))β€˜π‘¦)) ≀ 𝑏)
8654, 82, 85sylancr 588 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ dom (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)))(absβ€˜((π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)))β€˜π‘¦)) ≀ 𝑏)
8786adantl 483 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ dom (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)))(absβ€˜((π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)))β€˜π‘¦)) ≀ 𝑏)
88 bddmulibl 25219 . . . . . . . . 9 (((π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯))) ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) ∈ 𝐿1 ∧ βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ dom (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)))(absβ€˜((π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)))β€˜π‘¦)) ≀ 𝑏) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯))) ∘f Β· (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (πΉβ€˜π‘₯))) ∈ 𝐿1)
8945, 53, 87, 88syl3anc 1372 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯))) ∘f Β· (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (πΉβ€˜π‘₯))) ∈ 𝐿1)
9029, 89eqeltrd 2834 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)))) ∈ 𝐿1)
9118, 90itgrecl 25178 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ∫𝐢((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯))) dπ‘₯ ∈ ℝ)
921, 91sylan2 594 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ∫𝐢((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯))) dπ‘₯ ∈ ℝ)
93 pire 25831 . . . . . 6 Ο€ ∈ ℝ
9493a1i 11 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ Ο€ ∈ ℝ)
95 0re 11162 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
96 pipos 25833 . . . . . . 7 0 < Ο€
9795, 96gtneii 11272 . . . . . 6 Ο€ β‰  0
9897a1i 11 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ Ο€ β‰  0)
9992, 94, 98redivcld 11988 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (∫𝐢((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯))) dπ‘₯ / Ο€) ∈ ℝ)
100 fourierdlem21.b . . . 4 𝐡 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫𝐢((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯))) dπ‘₯ / Ο€))
10199, 100fmptd 7063 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐡:β„•βŸΆβ„)
102 fourierdlem21.n . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
103101, 102ffvelcdmd 7037 . 2 (πœ‘ β†’ (π΅β€˜π‘) ∈ ℝ)
104102nnnn0d 12478 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
105 eleq1 2822 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑁 β†’ (𝑛 ∈ β„•0 ↔ 𝑁 ∈ β„•0))
106105anbi2d 630 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑁 β†’ ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ↔ (πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•0)))
107 simpl 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 = 𝑁 ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ 𝑛 = 𝑁)
108107oveq1d 7373 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 = 𝑁 ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ (𝑛 Β· π‘₯) = (𝑁 Β· π‘₯))
109108fveq2d 6847 . . . . . . . . 9 ((𝑛 = 𝑁 ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)) = (sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯)))
110109oveq2d 7374 . . . . . . . 8 ((𝑛 = 𝑁 ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯))) = ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))))
111110mpteq2dva 5206 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑁 β†’ (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯)))))
112111eleq1d 2819 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑁 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)))) ∈ 𝐿1 ↔ (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯)))) ∈ 𝐿1))
113106, 112imbi12d 345 . . . . 5 (𝑛 = 𝑁 β†’ (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)))) ∈ 𝐿1) ↔ ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯)))) ∈ 𝐿1)))
114113, 90vtoclg 3524 . . . 4 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯)))) ∈ 𝐿1))
115114anabsi7 670 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯)))) ∈ 𝐿1)
116104, 115mpdan 686 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯)))) ∈ 𝐿1)
117102ancli 550 . . 3 (πœ‘ β†’ (πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•))
118 eleq1 2822 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑁 β†’ (𝑛 ∈ β„• ↔ 𝑁 ∈ β„•))
119118anbi2d 630 . . . . 5 (𝑛 = 𝑁 β†’ ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ↔ (πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•)))
120110itgeq2dv 25162 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑁 β†’ ∫𝐢((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯))) dπ‘₯ = ∫𝐢((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))) dπ‘₯)
121120eleq1d 2819 . . . . 5 (𝑛 = 𝑁 β†’ (∫𝐢((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯))) dπ‘₯ ∈ ℝ ↔ ∫𝐢((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))) dπ‘₯ ∈ ℝ))
122119, 121imbi12d 345 . . . 4 (𝑛 = 𝑁 β†’ (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ∫𝐢((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯))) dπ‘₯ ∈ ℝ) ↔ ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ ∫𝐢((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))) dπ‘₯ ∈ ℝ)))
123122, 92vtoclg 3524 . . 3 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ ∫𝐢((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))) dπ‘₯ ∈ ℝ))
124102, 117, 123sylc 65 . 2 (πœ‘ β†’ ∫𝐢((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))) dπ‘₯ ∈ ℝ)
125103, 116, 124jca31 516 1 (πœ‘ β†’ (((π΅β€˜π‘) ∈ ℝ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯)))) ∈ 𝐿1) ∧ ∫𝐢((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))) dπ‘₯ ∈ ℝ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   βŠ† wss 3911   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189  dom cdm 5634   β†Ύ cres 5636  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358   ∘f cof 7616  β„‚cc 11054  β„cr 11055  0cc0 11056  1c1 11057   Β· cmul 11061   ≀ cle 11195  -cneg 11391   / cdiv 11817  β„•cn 12158  β„•0cn0 12418  (,)cioo 13270  abscabs 15125  sincsin 15951  Ο€cpi 15954  β€“cnβ†’ccncf 24255  volcvol 24843  MblFncmbf 24994  πΏ1cibl 24997  βˆ«citg 24998
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cc 10376  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134  ax-addf 11135  ax-mulf 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-disj 5072  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-ofr 7619  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-oadd 8417  df-omul 8418  df-er 8651  df-map 8770  df-pm 8771  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9309  df-fi 9352  df-sup 9383  df-inf 9384  df-oi 9451  df-dju 9842  df-card 9880  df-acn 9883  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-q 12879  df-rp 12921  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-ioo 13274  df-ioc 13275  df-ico 13276  df-icc 13277  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-fl 13703  df-mod 13781  df-seq 13913  df-exp 13974  df-fac 14180  df-bc 14209  df-hash 14237  df-shft 14958  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-limsup 15359  df-clim 15376  df-rlim 15377  df-sum 15577  df-ef 15955  df-sin 15957  df-cos 15958  df-pi 15960  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-starv 17153  df-sca 17154  df-vsca 17155  df-ip 17156  df-tset 17157  df-ple 17158  df-ds 17160  df-unif 17161  df-hom 17162  df-cco 17163  df-rest 17309  df-topn 17310  df-0g 17328  df-gsum 17329  df-topgen 17330  df-pt 17331  df-prds 17334  df-xrs 17389  df-qtop 17394  df-imas 17395  df-xps 17397  df-mre 17471  df-mrc 17472  df-acs 17474  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-submnd 18607  df-mulg 18878  df-cntz 19102  df-cmn 19569  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-lp 22503  df-perf 22504  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-haus 22682  df-cmp 22754  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cncf 24257  df-ovol 24844  df-vol 24845  df-mbf 24999  df-itg1 25000  df-itg2 25001  df-ibl 25002  df-itg 25003  df-0p 25050  df-limc 25246  df-dv 25247
This theorem is referenced by:  fourierdlem83  44516  fourierdlem112  44545
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