Theorem fourierdlem21 47245

Description: The coefficients of the fourier series are integrable and reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem21.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
fourierdlem21.c	⊢ 𝐶 = ( -π(,)π)
fourierdlem21.fibl	⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐶) ∈ 𝐿1)
fourierdlem21.b	⊢ 𝐵 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫𝐶((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
fourierdlem21.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem21	⊢ (𝜑 → (((𝐵‘𝑁) ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥)))) ∈ 𝐿1) ∧ ∫𝐶((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℝ))

Distinct variable groups:   𝐶,𝑛,𝑥   𝑛,𝐹,𝑥   𝑛,𝑁,𝑥   𝜑,𝑛,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥, 𝑛)

Proof of Theorem fourierdlem21

Dummy variables 𝑏 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnnn0 12618	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ0)
2		fourierdlem21.f	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
3	2	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
4		ioossre 13543	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ( -π(,)π) ⊆ ℝ
5		id 23	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐶 → 𝑥 ∈ 𝐶)
6		fourierdlem21.c	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐶 = ( -π(,)π)
7	5, 6	eleqtrdi 2870	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐶 → 𝑥 ∈ ( -π(,)π))
8	4, 7	sselid 3907	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐶 → 𝑥 ∈ ℝ)
9	8	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝑥 ∈ ℝ)
10	3, 9	ffvelcdmd 7088	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
11	10	adantlr 728	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
12		nn0re 12620	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 𝑛 ∈ ℝ)
13	12	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝑛 ∈ ℝ)
14	8	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝑥 ∈ ℝ)
15	13, 14	remulcld 11344	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (𝑛 · 𝑥) ∈ ℝ)
16	15	resincld 16318	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (sin‘(𝑛 · 𝑥)) ∈ ℝ)
17	16	adantll 727	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (sin‘(𝑛 · 𝑥)) ∈ ℝ)
18	11, 17	remulcld 11344	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) ∈ ℝ)
19		ioombl 25893	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ( -π(,)π) ∈ dom vol
20	6, 19	eqeltri 2856	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐶 ∈ dom vol
21	20	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ dom vol)
22		eqidd 2761	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥))))
23		eqidd 2761	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (𝐹‘𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (𝐹‘𝑥)))
24	21, 17, 11, 22, 23	offval2 7715	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥))) ∘f · (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (𝐹‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ ((sin‘(𝑛 · 𝑥)) · (𝐹‘𝑥))))
25	17	recnd 11342	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (sin‘(𝑛 · 𝑥)) ∈ ℂ)
26	11	recnd 11342	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
27	25, 26	mulcomd 11335	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → ((sin‘(𝑛 · 𝑥)) · (𝐹‘𝑥)) = ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))))
28	27	mpteq2dva 5197	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ ((sin‘(𝑛 · 𝑥)) · (𝐹‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥)))))
29	24, 28	eqtr2d 2796	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥)))) = ((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥))) ∘f · (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (𝐹‘𝑥))))
30		sincn 26778	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ sin ∈ (ℂ–cn→ℂ)
31	30	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → sin ∈ (ℂ–cn→ℂ))
32	6, 4	eqsstri 3955	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐶 ⊆ ℝ
33		ax-resscn 11262	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
34	32, 33	sstri 3918	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐶 ⊆ ℂ
35	34	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 𝐶 ⊆ ℂ)
36	12	recnd 11342	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 𝑛 ∈ ℂ)
37		ssid 3931	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
38	37	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ℂ ⊆ ℂ)
39	35, 36, 38	constcncfg 46989	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ 𝑛) ∈ (𝐶–cn→ℂ))
40	35, 38	idcncfg 46990	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ 𝑥) ∈ (𝐶–cn→ℂ))
41	39, 40	mulcncf 25774	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (𝑛 · 𝑥)) ∈ (𝐶–cn→ℂ))
42	41	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (𝑛 · 𝑥)) ∈ (𝐶–cn→ℂ))
43	31, 42	cncfmpt1f 25242	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥))) ∈ (𝐶–cn→ℂ))
44		cnmbf 25987	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 ∈ dom vol ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥))) ∈ (𝐶–cn→ℂ)) → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥))) ∈ MblFn)
45	20, 43, 44	sylancr 599	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥))) ∈ MblFn)
46	2	feqmptd 6956	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑥)))
47	46	reseq1d 5969	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐶) = ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑥)) ↾ 𝐶))
48		resmpt 6030	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐶 ⊆ ℝ → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑥)) ↾ 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (𝐹‘𝑥)))
49	32, 48	mp1i 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑥)) ↾ 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (𝐹‘𝑥)))
50	47, 49	eqtr2d 2796	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (𝐹‘𝑥)) = (𝐹 ↾ 𝐶))
51		fourierdlem21.fibl	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐶) ∈ 𝐿1)
52	50, 51	eqeltrd 2860	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (𝐹‘𝑥)) ∈ 𝐿1)
53	52	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (𝐹‘𝑥)) ∈ 𝐿1)
54		1re 11313	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℝ
55		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))) → 𝑦 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥))))
56		nfv 1946	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑛 ∈ ℕ0
57		nfmpt1 5203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))
58	57	nfdm 5933	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑥dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))
59	58	nfcri 2914	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑦 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))
60	56, 59	nfan 1931	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥))))
61	16	ex 418	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑥 ∈ 𝐶 → (sin‘(𝑛 · 𝑥)) ∈ ℝ))
62	61	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))) → (𝑥 ∈ 𝐶 → (sin‘(𝑛 · 𝑥)) ∈ ℝ))
63	60, 62	ralrimi 3260	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))) → ∀𝑥 ∈ 𝐶 (sin‘(𝑛 · 𝑥)) ∈ ℝ)
64		dmmptg 6245	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐶 (sin‘(𝑛 · 𝑥)) ∈ ℝ → dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥))) = 𝐶)
65	63, 64	syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))) → dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥))) = 𝐶)
66	55, 65	eleqtrd 2862	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))) → 𝑦 ∈ 𝐶)
67		eqidd 2761	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥))))
68		oveq2 7430	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑛 · 𝑥) = (𝑛 · 𝑦))
69	68	fveq2d 6892	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (sin‘(𝑛 · 𝑥)) = (sin‘(𝑛 · 𝑦)))
70	69	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) ∧ 𝑥 = 𝑦) → (sin‘(𝑛 · 𝑥)) = (sin‘(𝑛 · 𝑦)))
71		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → 𝑦 ∈ 𝐶)
72	12	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → 𝑛 ∈ ℝ)
73	32, 71	sselid 3907	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → 𝑦 ∈ ℝ)
74	72, 73	remulcld 11344	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → (𝑛 · 𝑦) ∈ ℝ)
75	74	resincld 16318	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → (sin‘(𝑛 · 𝑦)) ∈ ℝ)
76	67, 70, 71, 75	fvmptd 7004	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → ((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦) = (sin‘(𝑛 · 𝑦)))
77	76	fveq2d 6892	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → (abs‘((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) = (abs‘(sin‘(𝑛 · 𝑦))))
78		abssinbd 46418	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑛 · 𝑦) ∈ ℝ → (abs‘(sin‘(𝑛 · 𝑦))) ≤ 1)
79	74, 78	syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → (abs‘(sin‘(𝑛 · 𝑦))) ≤ 1)
80	77, 79	eqbrtrd 5126	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → (abs‘((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 1)
81	66, 80	syldan 603	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))) → (abs‘((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 1)
82	81	ralrimiva 3154	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ∀𝑦 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))(abs‘((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 1)
83		breq2 5106	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 = 1 → ((abs‘((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 𝑏 ↔ (abs‘((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 1))
84	83	ralbidv 3185	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 = 1 → (∀𝑦 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))(abs‘((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 𝑏 ↔ ∀𝑦 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))(abs‘((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 1))
85	84	rspcev 3576	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))(abs‘((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 1) → ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))(abs‘((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 𝑏)
86	54, 82, 85	sylancr 599	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))(abs‘((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 𝑏)
87	86	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))(abs‘((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 𝑏)
88		bddmulibl 26166	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥))) ∈ MblFn ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (𝐹‘𝑥)) ∈ 𝐿1 ∧ ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))(abs‘((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 𝑏) → ((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥))) ∘f · (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (𝐹‘𝑥))) ∈ 𝐿1)
89	45, 53, 87, 88	syl3anc 1398	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥))) ∘f · (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (𝐹‘𝑥))) ∈ 𝐿1)
90	29, 89	eqeltrd 2860	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥)))) ∈ 𝐿1)
91	18, 90	itgrecl 26125	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ∫𝐶((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℝ)
92	1, 91	sylan2 605	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∫𝐶((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℝ)
93		pire 26790	. . . . . 6 ⊢ π ∈ ℝ
94	93	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → π ∈ ℝ)
95		0re 11315	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
96		pipos 26794	. . . . . . 7 ⊢ 0 < π
97	95, 96	gtneii 11427	. . . . . 6 ⊢ π ≠ 0
98	97	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → π ≠ 0)
99	92, 94, 98	redivcld 12150	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (∫𝐶((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π) ∈ ℝ)
100		fourierdlem21.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫𝐶((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
101	99, 100	fmptd 7117	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵:ℕ⟶ℝ)
102		fourierdlem21.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
103	101, 102	ffvelcdmd 7088	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵‘𝑁) ∈ ℝ)
104	102	nnnn0d 12672	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
105		eleq1 2848	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↔ 𝑁 ∈ ℕ0))
106	105	anbi2d 642	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ↔ (𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)))
107		simpl 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝑛 = 𝑁)
108	107	oveq1d 7437	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (𝑛 · 𝑥) = (𝑁 · 𝑥))
109	108	fveq2d 6892	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (sin‘(𝑛 · 𝑥)) = (sin‘(𝑁 · 𝑥)))
110	109	oveq2d 7438	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) = ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))))
111	110	mpteq2dva 5197	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥)))) = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥)))))
112	111	eleq1d 2845	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥)))) ∈ 𝐿1 ↔ (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥)))) ∈ 𝐿1))
113	106, 112	imbi12d 347	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥)))) ∈ 𝐿1) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥)))) ∈ 𝐿1)))
114	113, 90	vtoclg 3517	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥)))) ∈ 𝐿1))
115	114	anabsi7 684	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥)))) ∈ 𝐿1)
116	104, 115	mpdan 700	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥)))) ∈ 𝐿1)
117	102	ancli 558	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ))
118		eleq1 2848	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑛 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ ℕ))
119	118	anbi2d 642	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ↔ (𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ)))
120	110	itgeq2dv 26109	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ∫𝐶((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 = ∫𝐶((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥)
121	120	eleq1d 2845	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (∫𝐶((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℝ ↔ ∫𝐶((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℝ))
122	119, 121	imbi12d 347	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∫𝐶((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℝ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ∫𝐶((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℝ)))
123	122, 92	vtoclg 3517	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ∫𝐶((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℝ))
124	102, 117, 123	sylc 66	. 2 ⊢ (𝜑 → ∫𝐶((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℝ)
125	103, 116, 124	jca31 524	1 ⊢ (𝜑 → (((𝐵‘𝑁) ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥)))) ∈ 𝐿1) ∧ ∫𝐶((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℝ))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  ∃wrex 3086   ⊆ wss 3896   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5185  dom cdm 5650   ↾ cres 5652  ⟶wf 6537  ‘cfv 6541  (class class class)co 7422   ∘_f cof 7693  ℂcc 11203  ℝcr 11204  0cc0 11205  1c1 11206   · cmul 11210   ≤ cle 11349   -cneg 11547   / cdiv 11978  ℕcn 12340  ℕ₀cn0 12611  (,)cioo 13481  abscabs 15408  sincsin 16236  πcpi 16239  –cn→ccncf 25204  volcvol 25791  MblFncmbf 25942  𝐿¹cibl 25945  ∫citg 25946

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7753  ax-inf2 9647  ax-cc 10518  ax-cnex 11261  ax-resscn 11262  ax-1cn 11263  ax-icn 11264  ax-addcl 11265  ax-addrcl 11266  ax-mulcl 11267  ax-mulrcl 11268  ax-mulcom 11269  ax-addass 11270  ax-mulass 11271  ax-distr 11272  ax-i2m1 11273  ax-1ne0 11274  ax-1rid 11275  ax-rnegex 11276  ax-rrecex 11277  ax-cnre 11278  ax-pre-lttri 11279  ax-pre-lttrn 11280  ax-pre-ltadd 11281  ax-pre-mulgt0 11282  ax-pre-sup 11283  ax-addf 11284

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-disj 5070  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7379  df-ov 7425  df-oprab 7426  df-mpo 7427  df-of 7695  df-ofr 7696  df-om 7880  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-supp 8182  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8384  df-rdg 8423  df-1o 8481  df-2o 8482  df-oadd 8485  df-omul 8486  df-er 8722  df-map 8854  df-pm 8855  df-ixp 8931  df-en 8979  df-dom 8980  df-sdom 8981  df-fin 8982  df-fsupp 9359  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9509  df-dju 9987  df-card 10025  df-acn 10028  df-pnf 11350  df-mnf 11351  df-xr 11352  df-ltxr 11353  df-le 11354  df-sub 11548  df-neg 11549  df-div 11979  df-nn 12341  df-2 12410  df-3 12411  df-4 12412  df-5 12413  df-6 12414  df-7 12415  df-8 12416  df-9 12417  df-n0 12612  df-z 12699  df-dec 12820  df-uz 12971  df-q 13081  df-rp 13126  df-xneg 13246  df-xadd 13247  df-xmul 13248  df-ioo 13485  df-ioc 13486  df-ico 13487  df-icc 13488  df-fz 13645  df-fzo 13794  df-fl 13937  df-mod 14015  df-seq 14150  df-exp 14210  df-fac 14423  df-bc 14452  df-hash 14480  df-shft 15227  df-cj 15273  df-re 15274  df-im 15275  df-sqrt 15409  df-abs 15410  df-limsup 15645  df-clim 15662  df-rlim 15663  df-sum 15861  df-ef 16240  df-sin 16242  df-cos 16243  df-pi 16245  df-struct 17332  df-sets 17349  df-slot 17367  df-ndx 17379  df-base 17395  df-ress 17416  df-plusg 17448  df-mulr 17449  df-starv 17450  df-sca 17451  df-vsca 17452  df-ip 17453  df-tset 17454  df-ple 17455  df-ds 17457  df-unif 17458  df-hom 17459  df-cco 17460  df-rest 17600  df-topn 17601  df-0g 17619  df-gsum 17620  df-topgen 17621  df-pt 17622  df-prds 17625  df-xrs 17681  df-qtop 17686  df-imas 17687  df-xps 17689  df-mre 17763  df-mrc 17764  df-acs 17766  df-mgm 18823  df-sgrp 18915  df-mnd 18931  df-submnd 18986  df-mulg 19285  df-cntz 19538  df-cmn 20003  df-psmet 21677  df-xmet 21678  df-met 21679  df-bl 21680  df-mopn 21681  df-fbas 21682  df-fg 21683  df-cnfld 21686  df-top 23219  df-topon 23236  df-topsp 23258  df-bases 23271  df-cld 23344  df-ntr 23345  df-cls 23346  df-nei 23423  df-lp 23461  df-perf 23462  df-cn 23552  df-cnp 23553  df-haus 23640  df-cmp 23712  df-tx 23888  df-hmeo 24081  df-fil 24172  df-fm 24264  df-flim 24265  df-flf 24266  df-xms 24646  df-ms 24647  df-tms 24648  df-cncf 25206  df-ovol 25792  df-vol 25793  df-mbf 25947  df-itg1 25948  df-itg2 25949  df-ibl 25950  df-itg 25951  df-0p 25998  df-limc 26193  df-dv 26194

This theorem is used by:  fourierdlem83  47306  fourierdlem112  47335