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Theorem fourierdlem21 42696
Description: The coefficients of the fourier series are integrable and reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem21.f (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
fourierdlem21.c 𝐶 = (-π(,)π)
fourierdlem21.fibl (𝜑 → (𝐹𝐶) ∈ 𝐿1)
fourierdlem21.b 𝐵 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫𝐶((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
fourierdlem21.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
fourierdlem21 (𝜑 → (((𝐵𝑁) ∈ ℝ ∧ (𝑥𝐶 ↦ ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥)))) ∈ 𝐿1) ∧ ∫𝐶((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℝ))
Distinct variable groups:   𝐶,𝑛,𝑥   𝑛,𝐹,𝑥   𝑛,𝑁,𝑥   𝜑,𝑛,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem fourierdlem21
Dummy variables 𝑏 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnnn0 11901 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ0)
2 fourierdlem21.f . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
32adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐶) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
4 ioossre 12795 . . . . . . . . . . . 12 (-π(,)π) ⊆ ℝ
5 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥𝐶𝑥𝐶)
6 fourierdlem21.c . . . . . . . . . . . . 13 𝐶 = (-π(,)π)
75, 6eleqtrdi 2926 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥𝐶𝑥 ∈ (-π(,)π))
84, 7sseldi 3951 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝐶𝑥 ∈ ℝ)
98adantl 485 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐶) → 𝑥 ∈ ℝ)
103, 9ffvelrnd 6843 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐶) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
1110adantlr 714 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝐶) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
12 nn0re 11903 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℝ)
1312adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑥𝐶) → 𝑛 ∈ ℝ)
148adantl 485 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑥𝐶) → 𝑥 ∈ ℝ)
1513, 14remulcld 10669 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑥𝐶) → (𝑛 · 𝑥) ∈ ℝ)
1615resincld 15496 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑥𝐶) → (sin‘(𝑛 · 𝑥)) ∈ ℝ)
1716adantll 713 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝐶) → (sin‘(𝑛 · 𝑥)) ∈ ℝ)
1811, 17remulcld 10669 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝐶) → ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) ∈ ℝ)
19 ioombl 24172 . . . . . . . . . . . 12 (-π(,)π) ∈ dom vol
206, 19eqeltri 2912 . . . . . . . . . . 11 𝐶 ∈ dom vol
2120a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ dom vol)
22 eqidd 2825 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥))) = (𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥))))
23 eqidd 2825 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑥𝐶 ↦ (𝐹𝑥)) = (𝑥𝐶 ↦ (𝐹𝑥)))
2421, 17, 11, 22, 23offval2 7420 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥))) ∘f · (𝑥𝐶 ↦ (𝐹𝑥))) = (𝑥𝐶 ↦ ((sin‘(𝑛 · 𝑥)) · (𝐹𝑥))))
2517recnd 10667 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝐶) → (sin‘(𝑛 · 𝑥)) ∈ ℂ)
2611recnd 10667 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝐶) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
2725, 26mulcomd 10660 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝐶) → ((sin‘(𝑛 · 𝑥)) · (𝐹𝑥)) = ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))))
2827mpteq2dva 5147 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑥𝐶 ↦ ((sin‘(𝑛 · 𝑥)) · (𝐹𝑥))) = (𝑥𝐶 ↦ ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥)))))
2924, 28eqtr2d 2860 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑥𝐶 ↦ ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥)))) = ((𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥))) ∘f · (𝑥𝐶 ↦ (𝐹𝑥))))
30 sincn 25042 . . . . . . . . . . . 12 sin ∈ (ℂ–cn→ℂ)
3130a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → sin ∈ (ℂ–cn→ℂ))
326, 4eqsstri 3987 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐶 ⊆ ℝ
33 ax-resscn 10592 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ℝ ⊆ ℂ
3432, 33sstri 3962 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐶 ⊆ ℂ
3534a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ0𝐶 ⊆ ℂ)
3612recnd 10667 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℂ)
37 ssid 3975 . . . . . . . . . . . . . . 15 ℂ ⊆ ℂ
3837a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ0 → ℂ ⊆ ℂ)
3935, 36, 38constcncfg 42440 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑥𝐶𝑛) ∈ (𝐶cn→ℂ))
4035, 38idcncfg 42441 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑥𝐶𝑥) ∈ (𝐶cn→ℂ))
4139, 40mulcncf 24053 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑥𝐶 ↦ (𝑛 · 𝑥)) ∈ (𝐶cn→ℂ))
4241adantl 485 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑥𝐶 ↦ (𝑛 · 𝑥)) ∈ (𝐶cn→ℂ))
4331, 42cncfmpt1f 23522 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥))) ∈ (𝐶cn→ℂ))
44 cnmbf 24266 . . . . . . . . . 10 ((𝐶 ∈ dom vol ∧ (𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥))) ∈ (𝐶cn→ℂ)) → (𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥))) ∈ MblFn)
4520, 43, 44sylancr 590 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥))) ∈ MblFn)
462feqmptd 6724 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹𝑥)))
4746reseq1d 5839 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐹𝐶) = ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹𝑥)) ↾ 𝐶))
48 resmpt 5892 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐶 ⊆ ℝ → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹𝑥)) ↾ 𝐶) = (𝑥𝐶 ↦ (𝐹𝑥)))
4932, 48mp1i 13 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹𝑥)) ↾ 𝐶) = (𝑥𝐶 ↦ (𝐹𝑥)))
5047, 49eqtr2d 2860 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑥𝐶 ↦ (𝐹𝑥)) = (𝐹𝐶))
51 fourierdlem21.fibl . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐹𝐶) ∈ 𝐿1)
5250, 51eqeltrd 2916 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥𝐶 ↦ (𝐹𝑥)) ∈ 𝐿1)
5352adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑥𝐶 ↦ (𝐹𝑥)) ∈ 𝐿1)
54 1re 10639 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ
55 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑦 ∈ dom (𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))) → 𝑦 ∈ dom (𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥))))
56 nfv 1916 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑥 𝑛 ∈ ℕ0
57 nfmpt1 5150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑥(𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))
5857nfdm 5810 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑥dom (𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))
5958nfcri 2969 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑥 𝑦 ∈ dom (𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))
6056, 59nfan 1901 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑥(𝑛 ∈ ℕ0𝑦 ∈ dom (𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥))))
6116ex 416 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑥𝐶 → (sin‘(𝑛 · 𝑥)) ∈ ℝ))
6261adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑦 ∈ dom (𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))) → (𝑥𝐶 → (sin‘(𝑛 · 𝑥)) ∈ ℝ))
6360, 62ralrimi 3210 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑦 ∈ dom (𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))) → ∀𝑥𝐶 (sin‘(𝑛 · 𝑥)) ∈ ℝ)
64 dmmptg 6083 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∀𝑥𝐶 (sin‘(𝑛 · 𝑥)) ∈ ℝ → dom (𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥))) = 𝐶)
6563, 64syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑦 ∈ dom (𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))) → dom (𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥))) = 𝐶)
6655, 65eleqtrd 2918 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑦 ∈ dom (𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))) → 𝑦𝐶)
67 eqidd 2825 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑦𝐶) → (𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥))) = (𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥))))
68 oveq2 7157 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑦 → (𝑛 · 𝑥) = (𝑛 · 𝑦))
6968fveq2d 6665 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑦 → (sin‘(𝑛 · 𝑥)) = (sin‘(𝑛 · 𝑦)))
7069adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑛 ∈ ℕ0𝑦𝐶) ∧ 𝑥 = 𝑦) → (sin‘(𝑛 · 𝑥)) = (sin‘(𝑛 · 𝑦)))
71 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑦𝐶) → 𝑦𝐶)
7212adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑦𝐶) → 𝑛 ∈ ℝ)
7332, 71sseldi 3951 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑦𝐶) → 𝑦 ∈ ℝ)
7472, 73remulcld 10669 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑦𝐶) → (𝑛 · 𝑦) ∈ ℝ)
7574resincld 15496 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑦𝐶) → (sin‘(𝑛 · 𝑦)) ∈ ℝ)
7667, 70, 71, 75fvmptd 6766 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑦𝐶) → ((𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦) = (sin‘(𝑛 · 𝑦)))
7776fveq2d 6665 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑦𝐶) → (abs‘((𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) = (abs‘(sin‘(𝑛 · 𝑦))))
78 abssinbd 41853 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛 · 𝑦) ∈ ℝ → (abs‘(sin‘(𝑛 · 𝑦))) ≤ 1)
7974, 78syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑦𝐶) → (abs‘(sin‘(𝑛 · 𝑦))) ≤ 1)
8077, 79eqbrtrd 5074 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑦𝐶) → (abs‘((𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 1)
8166, 80syldan 594 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑦 ∈ dom (𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))) → (abs‘((𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 1)
8281ralrimiva 3177 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ0 → ∀𝑦 ∈ dom (𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))(abs‘((𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 1)
83 breq2 5056 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 = 1 → ((abs‘((𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 𝑏 ↔ (abs‘((𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 1))
8483ralbidv 3192 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 = 1 → (∀𝑦 ∈ dom (𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))(abs‘((𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 𝑏 ↔ ∀𝑦 ∈ dom (𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))(abs‘((𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 1))
8584rspcev 3609 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom (𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))(abs‘((𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 1) → ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ dom (𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))(abs‘((𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 𝑏)
8654, 82, 85sylancr 590 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ0 → ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ dom (𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))(abs‘((𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 𝑏)
8786adantl 485 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ dom (𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))(abs‘((𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 𝑏)
88 bddmulibl 24445 . . . . . . . . 9 (((𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥))) ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐶 ↦ (𝐹𝑥)) ∈ 𝐿1 ∧ ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ dom (𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))(abs‘((𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 𝑏) → ((𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥))) ∘f · (𝑥𝐶 ↦ (𝐹𝑥))) ∈ 𝐿1)
8945, 53, 87, 88syl3anc 1368 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥))) ∘f · (𝑥𝐶 ↦ (𝐹𝑥))) ∈ 𝐿1)
9029, 89eqeltrd 2916 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑥𝐶 ↦ ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥)))) ∈ 𝐿1)
9118, 90itgrecl 24404 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → ∫𝐶((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℝ)
921, 91sylan2 595 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∫𝐶((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℝ)
93 pire 25054 . . . . . 6 π ∈ ℝ
9493a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → π ∈ ℝ)
95 0re 10641 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
96 pipos 25056 . . . . . . 7 0 < π
9795, 96gtneii 10750 . . . . . 6 π ≠ 0
9897a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → π ≠ 0)
9992, 94, 98redivcld 11466 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (∫𝐶((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π) ∈ ℝ)
100 fourierdlem21.b . . . 4 𝐵 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫𝐶((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
10199, 100fmptd 6869 . . 3 (𝜑𝐵:ℕ⟶ℝ)
102 fourierdlem21.n . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
103101, 102ffvelrnd 6843 . 2 (𝜑 → (𝐵𝑁) ∈ ℝ)
104102nnnn0d 11952 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
105 eleq1 2903 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑁 → (𝑛 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))
106105anbi2d 631 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑁 → ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ↔ (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)))
107 simpl 486 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 = 𝑁𝑥𝐶) → 𝑛 = 𝑁)
108107oveq1d 7164 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 = 𝑁𝑥𝐶) → (𝑛 · 𝑥) = (𝑁 · 𝑥))
109108fveq2d 6665 . . . . . . . . 9 ((𝑛 = 𝑁𝑥𝐶) → (sin‘(𝑛 · 𝑥)) = (sin‘(𝑁 · 𝑥)))
110109oveq2d 7165 . . . . . . . 8 ((𝑛 = 𝑁𝑥𝐶) → ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) = ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))))
111110mpteq2dva 5147 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑁 → (𝑥𝐶 ↦ ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥)))) = (𝑥𝐶 ↦ ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥)))))
112111eleq1d 2900 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑁 → ((𝑥𝐶 ↦ ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥)))) ∈ 𝐿1 ↔ (𝑥𝐶 ↦ ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥)))) ∈ 𝐿1))
113106, 112imbi12d 348 . . . . 5 (𝑛 = 𝑁 → (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑥𝐶 ↦ ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥)))) ∈ 𝐿1) ↔ ((𝜑𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑥𝐶 ↦ ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥)))) ∈ 𝐿1)))
114113, 90vtoclg 3553 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝜑𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑥𝐶 ↦ ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥)))) ∈ 𝐿1))
115114anabsi7 670 . . 3 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑥𝐶 ↦ ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥)))) ∈ 𝐿1)
116104, 115mpdan 686 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐶 ↦ ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥)))) ∈ 𝐿1)
117102ancli 552 . . 3 (𝜑 → (𝜑𝑁 ∈ ℕ))
118 eleq1 2903 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑁 → (𝑛 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ ℕ))
119118anbi2d 631 . . . . 5 (𝑛 = 𝑁 → ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ↔ (𝜑𝑁 ∈ ℕ)))
120110itgeq2dv 24388 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑁 → ∫𝐶((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 = ∫𝐶((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥)
121120eleq1d 2900 . . . . 5 (𝑛 = 𝑁 → (∫𝐶((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℝ ↔ ∫𝐶((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℝ))
122119, 121imbi12d 348 . . . 4 (𝑛 = 𝑁 → (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∫𝐶((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℝ) ↔ ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ∫𝐶((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℝ)))
123122, 92vtoclg 3553 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ∫𝐶((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℝ))
124102, 117, 123sylc 65 . 2 (𝜑 → ∫𝐶((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℝ)
125103, 116, 124jca31 518 1 (𝜑 → (((𝐵𝑁) ∈ ℝ ∧ (𝑥𝐶 ↦ ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥)))) ∈ 𝐿1) ∧ ∫𝐶((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℝ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  wne 3014  wral 3133  wrex 3134  wss 3919   class class class wbr 5052  cmpt 5132  dom cdm 5542  cres 5544  wf 6339  cfv 6343  (class class class)co 7149  f cof 7401  cc 10533  cr 10534  0cc0 10535  1c1 10536   · cmul 10540  cle 10674  -cneg 10869   / cdiv 11295  cn 11634  0cn0 11894  (,)cioo 12735  abscabs 14593  sincsin 15417  πcpi 15420  cnccncf 23484  volcvol 24070  MblFncmbf 24221  𝐿1cibl 24224  citg 24225
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-inf2 9101  ax-cc 9855  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612  ax-pre-sup 10613  ax-addf 10614  ax-mulf 10615
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-iin 4908  df-disj 5018  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-se 5502  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-isom 6352  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-of 7403  df-ofr 7404  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-supp 7827  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-2o 8099  df-oadd 8102  df-omul 8103  df-er 8285  df-map 8404  df-pm 8405  df-ixp 8458  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-fin 8509  df-fsupp 8831  df-fi 8872  df-sup 8903  df-inf 8904  df-oi 8971  df-dju 9327  df-card 9365  df-acn 9368  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-div 11296  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-4 11699  df-5 11700  df-6 11701  df-7 11702  df-8 11703  df-9 11704  df-n0 11895  df-z 11979  df-dec 12096  df-uz 12241  df-q 12346  df-rp 12387  df-xneg 12504  df-xadd 12505  df-xmul 12506  df-ioo 12739  df-ioc 12740  df-ico 12741  df-icc 12742  df-fz 12895  df-fzo 13038  df-fl 13166  df-mod 13242  df-seq 13374  df-exp 13435  df-fac 13639  df-bc 13668  df-hash 13696  df-shft 14426  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460  df-sqrt 14594  df-abs 14595  df-limsup 14828  df-clim 14845  df-rlim 14846  df-sum 15043  df-ef 15421  df-sin 15423  df-cos 15424  df-pi 15426  df-struct 16485  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-plusg 16578  df-mulr 16579  df-starv 16580  df-sca 16581  df-vsca 16582  df-ip 16583  df-tset 16584  df-ple 16585  df-ds 16587  df-unif 16588  df-hom 16589  df-cco 16590  df-rest 16696  df-topn 16697  df-0g 16715  df-gsum 16716  df-topgen 16717  df-pt 16718  df-prds 16721  df-xrs 16775  df-qtop 16780  df-imas 16781  df-xps 16783  df-mre 16857  df-mrc 16858  df-acs 16860  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-submnd 17957  df-mulg 18225  df-cntz 18447  df-cmn 18908  df-psmet 20537  df-xmet 20538  df-met 20539  df-bl 20540  df-mopn 20541  df-fbas 20542  df-fg 20543  df-cnfld 20546  df-top 21502  df-topon 21519  df-topsp 21541  df-bases 21554  df-cld 21627  df-ntr 21628  df-cls 21629  df-nei 21706  df-lp 21744  df-perf 21745  df-cn 21835  df-cnp 21836  df-haus 21923  df-cmp 21995  df-tx 22170  df-hmeo 22363  df-fil 22454  df-fm 22546  df-flim 22547  df-flf 22548  df-xms 22930  df-ms 22931  df-tms 22932  df-cncf 23486  df-ovol 24071  df-vol 24072  df-mbf 24226  df-itg1 24227  df-itg2 24228  df-ibl 24229  df-itg 24230  df-0p 24277  df-limc 24472  df-dv 24473
This theorem is referenced by:  fourierdlem83  42757  fourierdlem112  42786
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