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Theorem fourierdlem21 45439
Description: The coefficients of the fourier series are integrable and reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem21.f (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
fourierdlem21.c 𝐢 = (-Ο€(,)Ο€)
fourierdlem21.fibl (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐢) ∈ 𝐿1)
fourierdlem21.b 𝐡 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫𝐢((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯))) dπ‘₯ / Ο€))
fourierdlem21.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
Assertion
Ref Expression
fourierdlem21 (πœ‘ β†’ (((π΅β€˜π‘) ∈ ℝ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯)))) ∈ 𝐿1) ∧ ∫𝐢((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))) dπ‘₯ ∈ ℝ))
Distinct variable groups:   𝐢,𝑛,π‘₯   𝑛,𝐹,π‘₯   𝑛,𝑁,π‘₯   πœ‘,𝑛,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘₯,𝑛)

Proof of Theorem fourierdlem21
Dummy variables 𝑏 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnnn0 12501 . . . . . 6 (𝑛 ∈ β„• β†’ 𝑛 ∈ β„•0)
2 fourierdlem21.f . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
32adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
4 ioossre 13409 . . . . . . . . . . . 12 (-Ο€(,)Ο€) βŠ† ℝ
5 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ 𝐢 β†’ π‘₯ ∈ 𝐢)
6 fourierdlem21.c . . . . . . . . . . . . 13 𝐢 = (-Ο€(,)Ο€)
75, 6eleqtrdi 2838 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ 𝐢 β†’ π‘₯ ∈ (-Ο€(,)Ο€))
84, 7sselid 3976 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ 𝐢 β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
98adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
103, 9ffvelcdmd 7089 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
1110adantlr 714 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
12 nn0re 12503 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ 𝑛 ∈ ℝ)
1312adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ 𝑛 ∈ ℝ)
148adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
1513, 14remulcld 11266 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ (𝑛 Β· π‘₯) ∈ ℝ)
1615resincld 16111 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)) ∈ ℝ)
1716adantll 713 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)) ∈ ℝ)
1811, 17remulcld 11266 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯))) ∈ ℝ)
19 ioombl 25481 . . . . . . . . . . . 12 (-Ο€(,)Ο€) ∈ dom vol
206, 19eqeltri 2824 . . . . . . . . . . 11 𝐢 ∈ dom vol
2120a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ 𝐢 ∈ dom vol)
22 eqidd 2728 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯))) = (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯))))
23 eqidd 2728 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) = (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (πΉβ€˜π‘₯)))
2421, 17, 11, 22, 23offval2 7699 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯))) ∘f Β· (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (πΉβ€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ ((sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)) Β· (πΉβ€˜π‘₯))))
2517recnd 11264 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)) ∈ β„‚)
2611recnd 11264 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
2725, 26mulcomd 11257 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ ((sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)) Β· (πΉβ€˜π‘₯)) = ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯))))
2827mpteq2dva 5242 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ ((sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)) Β· (πΉβ€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)))))
2924, 28eqtr2d 2768 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)))) = ((π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯))) ∘f Β· (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (πΉβ€˜π‘₯))))
30 sincn 26368 . . . . . . . . . . . 12 sin ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚)
3130a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ sin ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚))
326, 4eqsstri 4012 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐢 βŠ† ℝ
33 ax-resscn 11187 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ℝ βŠ† β„‚
3432, 33sstri 3987 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐢 βŠ† β„‚
3534a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ 𝐢 βŠ† β„‚)
3612recnd 11264 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ 𝑛 ∈ β„‚)
37 ssid 4000 . . . . . . . . . . . . . . 15 β„‚ βŠ† β„‚
3837a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ β„‚ βŠ† β„‚)
3935, 36, 38constcncfg 45183 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ 𝑛) ∈ (𝐢–cnβ†’β„‚))
4035, 38idcncfg 45184 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ π‘₯) ∈ (𝐢–cnβ†’β„‚))
4139, 40mulcncf 25361 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (𝑛 Β· π‘₯)) ∈ (𝐢–cnβ†’β„‚))
4241adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (𝑛 Β· π‘₯)) ∈ (𝐢–cnβ†’β„‚))
4331, 42cncfmpt1f 24821 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯))) ∈ (𝐢–cnβ†’β„‚))
44 cnmbf 25575 . . . . . . . . . 10 ((𝐢 ∈ dom vol ∧ (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯))) ∈ (𝐢–cnβ†’β„‚)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯))) ∈ MblFn)
4520, 43, 44sylancr 586 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯))) ∈ MblFn)
462feqmptd 6961 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (πΉβ€˜π‘₯)))
4746reseq1d 5978 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐢) = ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) β†Ύ 𝐢))
48 resmpt 6035 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐢 βŠ† ℝ β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) β†Ύ 𝐢) = (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (πΉβ€˜π‘₯)))
4932, 48mp1i 13 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) β†Ύ 𝐢) = (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (πΉβ€˜π‘₯)))
5047, 49eqtr2d 2768 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) = (𝐹 β†Ύ 𝐢))
51 fourierdlem21.fibl . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐢) ∈ 𝐿1)
5250, 51eqeltrd 2828 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) ∈ 𝐿1)
5352adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) ∈ 𝐿1)
54 1re 11236 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ
55 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ 𝑦 ∈ dom (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)))) β†’ 𝑦 ∈ dom (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯))))
56 nfv 1910 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 β„²π‘₯ 𝑛 ∈ β„•0
57 nfmpt1 5250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 β„²π‘₯(π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)))
5857nfdm 5947 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 β„²π‘₯dom (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)))
5958nfcri 2885 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 β„²π‘₯ 𝑦 ∈ dom (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)))
6056, 59nfan 1895 . . . . . . . . . . . . . . . 16 β„²π‘₯(𝑛 ∈ β„•0 ∧ 𝑦 ∈ dom (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯))))
6116ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ (π‘₯ ∈ 𝐢 β†’ (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)) ∈ ℝ))
6261adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ 𝑦 ∈ dom (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)))) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐢 β†’ (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)) ∈ ℝ))
6360, 62ralrimi 3249 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ 𝑦 ∈ dom (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)))) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐢 (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)) ∈ ℝ)
64 dmmptg 6240 . . . . . . . . . . . . . . 15 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐢 (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)) ∈ ℝ β†’ dom (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯))) = 𝐢)
6563, 64syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ 𝑦 ∈ dom (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)))) β†’ dom (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯))) = 𝐢)
6655, 65eleqtrd 2830 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ 𝑦 ∈ dom (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)))) β†’ 𝑦 ∈ 𝐢)
67 eqidd 2728 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ 𝑦 ∈ 𝐢) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯))) = (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯))))
68 oveq2 7422 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (𝑛 Β· π‘₯) = (𝑛 Β· 𝑦))
6968fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)) = (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑦)))
7069adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑛 ∈ β„•0 ∧ 𝑦 ∈ 𝐢) ∧ π‘₯ = 𝑦) β†’ (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)) = (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑦)))
71 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ 𝑦 ∈ 𝐢) β†’ 𝑦 ∈ 𝐢)
7212adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ 𝑦 ∈ 𝐢) β†’ 𝑛 ∈ ℝ)
7332, 71sselid 3976 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ 𝑦 ∈ 𝐢) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
7472, 73remulcld 11266 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ 𝑦 ∈ 𝐢) β†’ (𝑛 Β· 𝑦) ∈ ℝ)
7574resincld 16111 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ 𝑦 ∈ 𝐢) β†’ (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑦)) ∈ ℝ)
7667, 70, 71, 75fvmptd 7006 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ 𝑦 ∈ 𝐢) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)))β€˜π‘¦) = (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑦)))
7776fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ 𝑦 ∈ 𝐢) β†’ (absβ€˜((π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)))β€˜π‘¦)) = (absβ€˜(sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑦))))
78 abssinbd 44600 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛 Β· 𝑦) ∈ ℝ β†’ (absβ€˜(sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑦))) ≀ 1)
7974, 78syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ 𝑦 ∈ 𝐢) β†’ (absβ€˜(sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑦))) ≀ 1)
8077, 79eqbrtrd 5164 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ 𝑦 ∈ 𝐢) β†’ (absβ€˜((π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)))β€˜π‘¦)) ≀ 1)
8166, 80syldan 590 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ 𝑦 ∈ dom (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)))) β†’ (absβ€˜((π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)))β€˜π‘¦)) ≀ 1)
8281ralrimiva 3141 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ βˆ€π‘¦ ∈ dom (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)))(absβ€˜((π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)))β€˜π‘¦)) ≀ 1)
83 breq2 5146 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 = 1 β†’ ((absβ€˜((π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)))β€˜π‘¦)) ≀ 𝑏 ↔ (absβ€˜((π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)))β€˜π‘¦)) ≀ 1))
8483ralbidv 3172 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 = 1 β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ dom (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)))(absβ€˜((π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)))β€˜π‘¦)) ≀ 𝑏 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ dom (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)))(absβ€˜((π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)))β€˜π‘¦)) ≀ 1))
8584rspcev 3607 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)))(absβ€˜((π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)))β€˜π‘¦)) ≀ 1) β†’ βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ dom (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)))(absβ€˜((π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)))β€˜π‘¦)) ≀ 𝑏)
8654, 82, 85sylancr 586 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ dom (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)))(absβ€˜((π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)))β€˜π‘¦)) ≀ 𝑏)
8786adantl 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ dom (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)))(absβ€˜((π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)))β€˜π‘¦)) ≀ 𝑏)
88 bddmulibl 25755 . . . . . . . . 9 (((π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯))) ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) ∈ 𝐿1 ∧ βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ dom (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)))(absβ€˜((π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)))β€˜π‘¦)) ≀ 𝑏) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯))) ∘f Β· (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (πΉβ€˜π‘₯))) ∈ 𝐿1)
8945, 53, 87, 88syl3anc 1369 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯))) ∘f Β· (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (πΉβ€˜π‘₯))) ∈ 𝐿1)
9029, 89eqeltrd 2828 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)))) ∈ 𝐿1)
9118, 90itgrecl 25714 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ∫𝐢((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯))) dπ‘₯ ∈ ℝ)
921, 91sylan2 592 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ∫𝐢((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯))) dπ‘₯ ∈ ℝ)
93 pire 26380 . . . . . 6 Ο€ ∈ ℝ
9493a1i 11 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ Ο€ ∈ ℝ)
95 0re 11238 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
96 pipos 26382 . . . . . . 7 0 < Ο€
9795, 96gtneii 11348 . . . . . 6 Ο€ β‰  0
9897a1i 11 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ Ο€ β‰  0)
9992, 94, 98redivcld 12064 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (∫𝐢((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯))) dπ‘₯ / Ο€) ∈ ℝ)
100 fourierdlem21.b . . . 4 𝐡 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫𝐢((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯))) dπ‘₯ / Ο€))
10199, 100fmptd 7118 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐡:β„•βŸΆβ„)
102 fourierdlem21.n . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
103101, 102ffvelcdmd 7089 . 2 (πœ‘ β†’ (π΅β€˜π‘) ∈ ℝ)
104102nnnn0d 12554 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
105 eleq1 2816 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑁 β†’ (𝑛 ∈ β„•0 ↔ 𝑁 ∈ β„•0))
106105anbi2d 628 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑁 β†’ ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ↔ (πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•0)))
107 simpl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 = 𝑁 ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ 𝑛 = 𝑁)
108107oveq1d 7429 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 = 𝑁 ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ (𝑛 Β· π‘₯) = (𝑁 Β· π‘₯))
109108fveq2d 6895 . . . . . . . . 9 ((𝑛 = 𝑁 ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)) = (sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯)))
110109oveq2d 7430 . . . . . . . 8 ((𝑛 = 𝑁 ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯))) = ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))))
111110mpteq2dva 5242 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑁 β†’ (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯)))))
112111eleq1d 2813 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑁 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)))) ∈ 𝐿1 ↔ (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯)))) ∈ 𝐿1))
113106, 112imbi12d 344 . . . . 5 (𝑛 = 𝑁 β†’ (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)))) ∈ 𝐿1) ↔ ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯)))) ∈ 𝐿1)))
114113, 90vtoclg 3538 . . . 4 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯)))) ∈ 𝐿1))
115114anabsi7 670 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯)))) ∈ 𝐿1)
116104, 115mpdan 686 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯)))) ∈ 𝐿1)
117102ancli 548 . . 3 (πœ‘ β†’ (πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•))
118 eleq1 2816 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑁 β†’ (𝑛 ∈ β„• ↔ 𝑁 ∈ β„•))
119118anbi2d 628 . . . . 5 (𝑛 = 𝑁 β†’ ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ↔ (πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•)))
120110itgeq2dv 25698 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑁 β†’ ∫𝐢((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯))) dπ‘₯ = ∫𝐢((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))) dπ‘₯)
121120eleq1d 2813 . . . . 5 (𝑛 = 𝑁 β†’ (∫𝐢((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯))) dπ‘₯ ∈ ℝ ↔ ∫𝐢((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))) dπ‘₯ ∈ ℝ))
122119, 121imbi12d 344 . . . 4 (𝑛 = 𝑁 β†’ (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ∫𝐢((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯))) dπ‘₯ ∈ ℝ) ↔ ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ ∫𝐢((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))) dπ‘₯ ∈ ℝ)))
123122, 92vtoclg 3538 . . 3 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ ∫𝐢((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))) dπ‘₯ ∈ ℝ))
124102, 117, 123sylc 65 . 2 (πœ‘ β†’ ∫𝐢((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))) dπ‘₯ ∈ ℝ)
125103, 116, 124jca31 514 1 (πœ‘ β†’ (((π΅β€˜π‘) ∈ ℝ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯)))) ∈ 𝐿1) ∧ ∫𝐢((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))) dπ‘₯ ∈ ℝ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2935  βˆ€wral 3056  βˆƒwrex 3065   βŠ† wss 3944   class class class wbr 5142   ↦ cmpt 5225  dom cdm 5672   β†Ύ cres 5674  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414   ∘f cof 7677  β„‚cc 11128  β„cr 11129  0cc0 11130  1c1 11131   Β· cmul 11135   ≀ cle 11271  -cneg 11467   / cdiv 11893  β„•cn 12234  β„•0cn0 12494  (,)cioo 13348  abscabs 15205  sincsin 16031  Ο€cpi 16034  β€“cnβ†’ccncf 24783  volcvol 25379  MblFncmbf 25530  πΏ1cibl 25533  βˆ«citg 25534
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-inf2 9656  ax-cc 10450  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208  ax-addf 11209
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-disj 5108  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-ofr 7680  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-oadd 8484  df-omul 8485  df-er 8718  df-map 8838  df-pm 8839  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9378  df-fi 9426  df-sup 9457  df-inf 9458  df-oi 9525  df-dju 9916  df-card 9954  df-acn 9957  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-5 12300  df-6 12301  df-7 12302  df-8 12303  df-9 12304  df-n0 12495  df-z 12581  df-dec 12700  df-uz 12845  df-q 12955  df-rp 12999  df-xneg 13116  df-xadd 13117  df-xmul 13118  df-ioo 13352  df-ioc 13353  df-ico 13354  df-icc 13355  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-fl 13781  df-mod 13859  df-seq 13991  df-exp 14051  df-fac 14257  df-bc 14286  df-hash 14314  df-shft 15038  df-cj 15070  df-re 15071  df-im 15072  df-sqrt 15206  df-abs 15207  df-limsup 15439  df-clim 15456  df-rlim 15457  df-sum 15657  df-ef 16035  df-sin 16037  df-cos 16038  df-pi 16040  df-struct 17107  df-sets 17124  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-ress 17201  df-plusg 17237  df-mulr 17238  df-starv 17239  df-sca 17240  df-vsca 17241  df-ip 17242  df-tset 17243  df-ple 17244  df-ds 17246  df-unif 17247  df-hom 17248  df-cco 17249  df-rest 17395  df-topn 17396  df-0g 17414  df-gsum 17415  df-topgen 17416  df-pt 17417  df-prds 17420  df-xrs 17475  df-qtop 17480  df-imas 17481  df-xps 17483  df-mre 17557  df-mrc 17558  df-acs 17560  df-mgm 18591  df-sgrp 18670  df-mnd 18686  df-submnd 18732  df-mulg 19015  df-cntz 19259  df-cmn 19728  df-psmet 21258  df-xmet 21259  df-met 21260  df-bl 21261  df-mopn 21262  df-fbas 21263  df-fg 21264  df-cnfld 21267  df-top 22783  df-topon 22800  df-topsp 22822  df-bases 22836  df-cld 22910  df-ntr 22911  df-cls 22912  df-nei 22989  df-lp 23027  df-perf 23028  df-cn 23118  df-cnp 23119  df-haus 23206  df-cmp 23278  df-tx 23453  df-hmeo 23646  df-fil 23737  df-fm 23829  df-flim 23830  df-flf 23831  df-xms 24213  df-ms 24214  df-tms 24215  df-cncf 24785  df-ovol 25380  df-vol 25381  df-mbf 25535  df-itg1 25536  df-itg2 25537  df-ibl 25538  df-itg 25539  df-0p 25586  df-limc 25782  df-dv 25783
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