Theorem fourierdlem21 42770

Description: The coefficients of the fourier series are integrable and reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem21.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
fourierdlem21.c	⊢ 𝐶 = (-π(,)π)
fourierdlem21.fibl	⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐶) ∈ 𝐿1)
fourierdlem21.b	⊢ 𝐵 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫𝐶((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
fourierdlem21.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem21	⊢ (𝜑 → (((𝐵‘𝑁) ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥)))) ∈ 𝐿1) ∧ ∫𝐶((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℝ))

Distinct variable groups:   𝐶,𝑛,𝑥   𝑛,𝐹,𝑥   𝑛,𝑁,𝑥   𝜑,𝑛,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem fourierdlem21

Dummy variables 𝑏 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnnn0 11892	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ0)
2		fourierdlem21.f	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
3	2	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
4		ioossre 12786	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (-π(,)π) ⊆ ℝ
5		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐶 → 𝑥 ∈ 𝐶)
6		fourierdlem21.c	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐶 = (-π(,)π)
7	5, 6	eleqtrdi 2900	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐶 → 𝑥 ∈ (-π(,)π))
8	4, 7	sseldi 3913	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐶 → 𝑥 ∈ ℝ)
9	8	adantl 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝑥 ∈ ℝ)
10	3, 9	ffvelrnd 6829	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
11	10	adantlr 714	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
12		nn0re 11894	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 𝑛 ∈ ℝ)
13	12	adantr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝑛 ∈ ℝ)
14	8	adantl 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝑥 ∈ ℝ)
15	13, 14	remulcld 10660	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (𝑛 · 𝑥) ∈ ℝ)
16	15	resincld 15488	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (sin‘(𝑛 · 𝑥)) ∈ ℝ)
17	16	adantll 713	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (sin‘(𝑛 · 𝑥)) ∈ ℝ)
18	11, 17	remulcld 10660	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) ∈ ℝ)
19		ioombl 24169	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (-π(,)π) ∈ dom vol
20	6, 19	eqeltri 2886	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐶 ∈ dom vol
21	20	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ dom vol)
22		eqidd 2799	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥))))
23		eqidd 2799	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (𝐹‘𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (𝐹‘𝑥)))
24	21, 17, 11, 22, 23	offval2 7406	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥))) ∘f · (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (𝐹‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ ((sin‘(𝑛 · 𝑥)) · (𝐹‘𝑥))))
25	17	recnd 10658	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (sin‘(𝑛 · 𝑥)) ∈ ℂ)
26	11	recnd 10658	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
27	25, 26	mulcomd 10651	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → ((sin‘(𝑛 · 𝑥)) · (𝐹‘𝑥)) = ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))))
28	27	mpteq2dva 5125	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ ((sin‘(𝑛 · 𝑥)) · (𝐹‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥)))))
29	24, 28	eqtr2d 2834	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥)))) = ((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥))) ∘f · (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (𝐹‘𝑥))))
30		sincn 25039	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ sin ∈ (ℂ–cn→ℂ)
31	30	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → sin ∈ (ℂ–cn→ℂ))
32	6, 4	eqsstri 3949	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐶 ⊆ ℝ
33		ax-resscn 10583	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
34	32, 33	sstri 3924	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐶 ⊆ ℂ
35	34	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 𝐶 ⊆ ℂ)
36	12	recnd 10658	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 𝑛 ∈ ℂ)
37		ssid 3937	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
38	37	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ℂ ⊆ ℂ)
39	35, 36, 38	constcncfg 42514	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ 𝑛) ∈ (𝐶–cn→ℂ))
40	35, 38	idcncfg 42515	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ 𝑥) ∈ (𝐶–cn→ℂ))
41	39, 40	mulcncf 24050	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (𝑛 · 𝑥)) ∈ (𝐶–cn→ℂ))
42	41	adantl 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (𝑛 · 𝑥)) ∈ (𝐶–cn→ℂ))
43	31, 42	cncfmpt1f 23519	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥))) ∈ (𝐶–cn→ℂ))
44		cnmbf 24263	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 ∈ dom vol ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥))) ∈ (𝐶–cn→ℂ)) → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥))) ∈ MblFn)
45	20, 43, 44	sylancr 590	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥))) ∈ MblFn)
46	2	feqmptd 6708	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑥)))
47	46	reseq1d 5817	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐶) = ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑥)) ↾ 𝐶))
48		resmpt 5872	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐶 ⊆ ℝ → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑥)) ↾ 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (𝐹‘𝑥)))
49	32, 48	mp1i 13	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑥)) ↾ 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (𝐹‘𝑥)))
50	47, 49	eqtr2d 2834	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (𝐹‘𝑥)) = (𝐹 ↾ 𝐶))
51		fourierdlem21.fibl	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐶) ∈ 𝐿1)
52	50, 51	eqeltrd 2890	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (𝐹‘𝑥)) ∈ 𝐿1)
53	52	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (𝐹‘𝑥)) ∈ 𝐿1)
54		1re 10630	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℝ
55		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))) → 𝑦 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥))))
56		nfv 1915	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑛 ∈ ℕ0
57		nfmpt1 5128	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))
58	57	nfdm 5787	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑥dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))
59	58	nfcri 2943	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑦 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))
60	56, 59	nfan 1900	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥))))
61	16	ex 416	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑥 ∈ 𝐶 → (sin‘(𝑛 · 𝑥)) ∈ ℝ))
62	61	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))) → (𝑥 ∈ 𝐶 → (sin‘(𝑛 · 𝑥)) ∈ ℝ))
63	60, 62	ralrimi 3180	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))) → ∀𝑥 ∈ 𝐶 (sin‘(𝑛 · 𝑥)) ∈ ℝ)
64		dmmptg 6063	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐶 (sin‘(𝑛 · 𝑥)) ∈ ℝ → dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥))) = 𝐶)
65	63, 64	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))) → dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥))) = 𝐶)
66	55, 65	eleqtrd 2892	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))) → 𝑦 ∈ 𝐶)
67		eqidd 2799	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥))))
68		oveq2 7143	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑛 · 𝑥) = (𝑛 · 𝑦))
69	68	fveq2d 6649	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (sin‘(𝑛 · 𝑥)) = (sin‘(𝑛 · 𝑦)))
70	69	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) ∧ 𝑥 = 𝑦) → (sin‘(𝑛 · 𝑥)) = (sin‘(𝑛 · 𝑦)))
71		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → 𝑦 ∈ 𝐶)
72	12	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → 𝑛 ∈ ℝ)
73	32, 71	sseldi 3913	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → 𝑦 ∈ ℝ)
74	72, 73	remulcld 10660	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → (𝑛 · 𝑦) ∈ ℝ)
75	74	resincld 15488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → (sin‘(𝑛 · 𝑦)) ∈ ℝ)
76	67, 70, 71, 75	fvmptd 6752	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → ((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦) = (sin‘(𝑛 · 𝑦)))
77	76	fveq2d 6649	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → (abs‘((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) = (abs‘(sin‘(𝑛 · 𝑦))))
78		abssinbd 41927	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑛 · 𝑦) ∈ ℝ → (abs‘(sin‘(𝑛 · 𝑦))) ≤ 1)
79	74, 78	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → (abs‘(sin‘(𝑛 · 𝑦))) ≤ 1)
80	77, 79	eqbrtrd 5052	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → (abs‘((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 1)
81	66, 80	syldan 594	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))) → (abs‘((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 1)
82	81	ralrimiva 3149	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ∀𝑦 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))(abs‘((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 1)
83		breq2 5034	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 = 1 → ((abs‘((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 𝑏 ↔ (abs‘((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 1))
84	83	ralbidv 3162	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 = 1 → (∀𝑦 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))(abs‘((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 𝑏 ↔ ∀𝑦 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))(abs‘((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 1))
85	84	rspcev 3571	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))(abs‘((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 1) → ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))(abs‘((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 𝑏)
86	54, 82, 85	sylancr 590	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))(abs‘((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 𝑏)
87	86	adantl 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))(abs‘((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 𝑏)
88		bddmulibl 24442	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥))) ∈ MblFn ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (𝐹‘𝑥)) ∈ 𝐿1 ∧ ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))(abs‘((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 𝑏) → ((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥))) ∘f · (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (𝐹‘𝑥))) ∈ 𝐿1)
89	45, 53, 87, 88	syl3anc 1368	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥))) ∘f · (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (𝐹‘𝑥))) ∈ 𝐿1)
90	29, 89	eqeltrd 2890	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥)))) ∈ 𝐿1)
91	18, 90	itgrecl 24401	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ∫𝐶((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℝ)
92	1, 91	sylan2 595	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∫𝐶((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℝ)
93		pire 25051	. . . . . 6 ⊢ π ∈ ℝ
94	93	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → π ∈ ℝ)
95		0re 10632	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
96		pipos 25053	. . . . . . 7 ⊢ 0 < π
97	95, 96	gtneii 10741	. . . . . 6 ⊢ π ≠ 0
98	97	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → π ≠ 0)
99	92, 94, 98	redivcld 11457	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (∫𝐶((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π) ∈ ℝ)
100		fourierdlem21.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫𝐶((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
101	99, 100	fmptd 6855	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵:ℕ⟶ℝ)
102		fourierdlem21.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
103	101, 102	ffvelrnd 6829	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵‘𝑁) ∈ ℝ)
104	102	nnnn0d 11943	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
105		eleq1 2877	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↔ 𝑁 ∈ ℕ0))
106	105	anbi2d 631	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ↔ (𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)))
107		simpl 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝑛 = 𝑁)
108	107	oveq1d 7150	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (𝑛 · 𝑥) = (𝑁 · 𝑥))
109	108	fveq2d 6649	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (sin‘(𝑛 · 𝑥)) = (sin‘(𝑁 · 𝑥)))
110	109	oveq2d 7151	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) = ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))))
111	110	mpteq2dva 5125	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥)))) = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥)))))
112	111	eleq1d 2874	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥)))) ∈ 𝐿1 ↔ (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥)))) ∈ 𝐿1))
113	106, 112	imbi12d 348	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥)))) ∈ 𝐿1) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥)))) ∈ 𝐿1)))
114	113, 90	vtoclg 3515	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥)))) ∈ 𝐿1))
115	114	anabsi7 670	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥)))) ∈ 𝐿1)
116	104, 115	mpdan 686	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥)))) ∈ 𝐿1)
117	102	ancli 552	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ))
118		eleq1 2877	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑛 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ ℕ))
119	118	anbi2d 631	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ↔ (𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ)))
120	110	itgeq2dv 24385	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ∫𝐶((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 = ∫𝐶((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥)
121	120	eleq1d 2874	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (∫𝐶((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℝ ↔ ∫𝐶((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℝ))
122	119, 121	imbi12d 348	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∫𝐶((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℝ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ∫𝐶((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℝ)))
123	122, 92	vtoclg 3515	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ∫𝐶((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℝ))
124	102, 117, 123	sylc 65	. 2 ⊢ (𝜑 → ∫𝐶((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℝ)
125	103, 116, 124	jca31 518	1 ⊢ (𝜑 → (((𝐵‘𝑁) ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥)))) ∈ 𝐿1) ∧ ∫𝐶((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℝ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  ∀wral 3106  ∃wrex 3107   ⊆ wss 3881   class class class wbr 5030   ↦ cmpt 5110  dom cdm 5519   ↾ cres 5521  ⟶wf 6320  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135   ∘_f cof 7387  ℂcc 10524  ℝcr 10525  0cc0 10526  1c1 10527   · cmul 10531   ≤ cle 10665  -cneg 10860   / cdiv 11286  ℕcn 11625  ℕ₀cn0 11885  (,)cioo 12726  abscabs 14585  sincsin 15409  πcpi 15412  –cn→ccncf 23481  volcvol 24067  MblFncmbf 24218  𝐿¹cibl 24221  ∫citg 24222

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-inf2 9088  ax-cc 9846  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-addf 10605  ax-mulf 10606

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-iin 4884  df-disj 4996  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-of 7389  df-ofr 7390  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-supp 7814  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-2o 8086  df-oadd 8089  df-omul 8090  df-er 8272  df-map 8391  df-pm 8392  df-ixp 8445  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-fsupp 8818  df-fi 8859  df-sup 8890  df-inf 8891  df-oi 8958  df-dju 9314  df-card 9352  df-acn 9355  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ioo 12730  df-ioc 12731  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-fl 13157  df-mod 13233  df-seq 13365  df-exp 13426  df-fac 13630  df-bc 13659  df-hash 13687  df-shft 14418  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-limsup 14820  df-clim 14837  df-rlim 14838  df-sum 15035  df-ef 15413  df-sin 15415  df-cos 15416  df-pi 15418  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-ip 16575  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-hom 16581  df-cco 16582  df-rest 16688  df-topn 16689  df-0g 16707  df-gsum 16708  df-topgen 16709  df-pt 16710  df-prds 16713  df-xrs 16767  df-qtop 16772  df-imas 16773  df-xps 16775  df-mre 16849  df-mrc 16850  df-acs 16852  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-submnd 17949  df-mulg 18217  df-cntz 18439  df-cmn 18900  df-psmet 20083  df-xmet 20084  df-met 20085  df-bl 20086  df-mopn 20087  df-fbas 20088  df-fg 20089  df-cnfld 20092  df-top 21499  df-topon 21516  df-topsp 21538  df-bases 21551  df-cld 21624  df-ntr 21625  df-cls 21626  df-nei 21703  df-lp 21741  df-perf 21742  df-cn 21832  df-cnp 21833  df-haus 21920  df-cmp 21992  df-tx 22167  df-hmeo 22360  df-fil 22451  df-fm 22543  df-flim 22544  df-flf 22545  df-xms 22927  df-ms 22928  df-tms 22929  df-cncf 23483  df-ovol 24068  df-vol 24069  df-mbf 24223  df-itg1 24224  df-itg2 24225  df-ibl 24226  df-itg 24227  df-0p 24274  df-limc 24469  df-dv 24470

This theorem is referenced by:  fourierdlem83  42831  fourierdlem112  42860