itgsincmulx - Mathbox for Glauco Siliprandi

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Theorem itgsincmulx 46729

Description: Exercise: the integral of 𝑥 ↦ sin𝑎𝑥 on an open interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
itgsincmulx.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
itgsincmulx.an0	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
itgsincmulx.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
itgsincmulx.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
itgsincmulx.blec	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)

**Assertion**
Ref	Expression
itgsincmulx	⊢ (𝜑 → ∫(𝐵(,)𝐶)(sin‘(𝐴 · 𝑥)) d𝑥 = (((cos‘(𝐴 · 𝐵)) − (cos‘(𝐴 · 𝐶))) / 𝐴))

Distinct variable groups: 𝑥,𝐴 𝑥,𝐵 𝑥,𝐶 𝜑,𝑥

Proof of Theorem itgsincmulx Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2766	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (-(cos‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (-(cos‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))
2		itgsincmulx.a	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3	2	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
4		simpr 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 𝑦 ∈ ℂ)
5	3, 4	mulcld 11247	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝑦) ∈ ℂ)
6	5	coscld 16212	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (cos‘(𝐴 · 𝑦)) ∈ ℂ)
7	6	negcld 11574	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → -(cos‘(𝐴 · 𝑦)) ∈ ℂ)
8		itgsincmulx.an0	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
9	8	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 𝐴 ≠ 0)
10	7, 3, 9	divcld 12009	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (-(cos‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴) ∈ ℂ)
11		cnelprrecn 11211	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
12	11	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
13	5	sincld 16211	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (sin‘(𝐴 · 𝑦)) ∈ ℂ)
14	13	negcld 11574	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → -(sin‘(𝐴 · 𝑦)) ∈ ℂ)
15	3, 14	mulcld 11247	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝐴 · -(sin‘(𝐴 · 𝑦))) ∈ ℂ)
16	15	negcld 11574	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → -(𝐴 · -(sin‘(𝐴 · 𝑦))) ∈ ℂ)
17		dvcosax 46681	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (cos‘(𝐴 · 𝑦)))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · -(sin‘(𝐴 · 𝑦)))))
18	2, 17	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (cos‘(𝐴 · 𝑦)))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · -(sin‘(𝐴 · 𝑦)))))
19	12, 6, 15, 18	dvmptneg 26162	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ -(cos‘(𝐴 · 𝑦)))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ -(𝐴 · -(sin‘(𝐴 · 𝑦)))))
20	12, 7, 16, 19, 2, 8	dvmptdivc 26161	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (-(cos‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (-(𝐴 · -(sin‘(𝐴 · 𝑦))) / 𝐴)))
21	15, 3, 9	divnegd 12022	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → -((𝐴 · -(sin‘(𝐴 · 𝑦))) / 𝐴) = (-(𝐴 · -(sin‘(𝐴 · 𝑦))) / 𝐴))
22	21	eqcomd 2772	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (-(𝐴 · -(sin‘(𝐴 · 𝑦))) / 𝐴) = -((𝐴 · -(sin‘(𝐴 · 𝑦))) / 𝐴))
23	14, 3, 9	divcan3d 12014	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝐴 · -(sin‘(𝐴 · 𝑦))) / 𝐴) = -(sin‘(𝐴 · 𝑦)))
24	23	negeqd 11469	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → -((𝐴 · -(sin‘(𝐴 · 𝑦))) / 𝐴) = --(sin‘(𝐴 · 𝑦)))
25	13	negnegd 11578	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → --(sin‘(𝐴 · 𝑦)) = (sin‘(𝐴 · 𝑦)))
26	22, 24, 25	3eqtrd 2805	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (-(𝐴 · -(sin‘(𝐴 · 𝑦))) / 𝐴) = (sin‘(𝐴 · 𝑦)))
27	26	mpteq2dva 5209	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (-(𝐴 · -(sin‘(𝐴 · 𝑦))) / 𝐴)) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦))))
28	20, 27	eqtrd 2801	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (-(cos‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦))))
29		itgsincmulx.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
30		itgsincmulx.c	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
31	1, 10, 28, 13, 29, 30	dvmptresicc 26112	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (-(cos‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))) = (𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦))))
32	31	fveq1d 6890	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (-(cos‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)))‘𝑥) = ((𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦)))‘𝑥))
33	32	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶)) → ((ℝ D (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (-(cos‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)))‘𝑥) = ((𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦)))‘𝑥))
34		eqidd 2767	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶)) → (𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦))) = (𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦))))
35		oveq2 7431	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝐴 · 𝑦) = (𝐴 · 𝑥))
36	35	fveq2d 6892	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (sin‘(𝐴 · 𝑦)) = (sin‘(𝐴 · 𝑥)))
37	36	adantl 487	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶)) ∧ 𝑦 = 𝑥) → (sin‘(𝐴 · 𝑦)) = (sin‘(𝐴 · 𝑥)))
38		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶)) → 𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶))
39	2	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶)) → 𝐴 ∈ ℂ)
40		ioosscn 13453	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵(,)𝐶) ⊆ ℂ
41	40, 38	sselid 3938	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶)) → 𝑥 ∈ ℂ)
42	39, 41	mulcld 11247	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶)) → (𝐴 · 𝑥) ∈ ℂ)
43	42	sincld 16211	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶)) → (sin‘(𝐴 · 𝑥)) ∈ ℂ)
44	34, 37, 38, 43	fvmptd 7004	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶)) → ((𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦)))‘𝑥) = (sin‘(𝐴 · 𝑥)))
45	33, 44	eqtr2d 2802	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶)) → (sin‘(𝐴 · 𝑥)) = ((ℝ D (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (-(cos‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)))‘𝑥))
46	45	itgeq2dv 25978	. 2 ⊢ (𝜑 → ∫(𝐵(,)𝐶)(sin‘(𝐴 · 𝑥)) d𝑥 = ∫(𝐵(,)𝐶)((ℝ D (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (-(cos‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)))‘𝑥) d𝑥)
47		itgsincmulx.blec	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)
48		sincn 26644	. . . . . 6 ⊢ sin ∈ (ℂ–cn→ℂ)
49	48	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → sin ∈ (ℂ–cn→ℂ))
50	40	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵(,)𝐶) ⊆ ℂ)
51		ssid 3962	. . . . . . . 8 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
52	51	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
53	50, 2, 52	constcncfg 46627	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ 𝐴) ∈ ((𝐵(,)𝐶)–cn→ℂ))
54	50, 52	idcncfg 46628	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ 𝑦) ∈ ((𝐵(,)𝐶)–cn→ℂ))
55	53, 54	mulcncf 25642	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ (𝐴 · 𝑦)) ∈ ((𝐵(,)𝐶)–cn→ℂ))
56	49, 55	cncfmpt1f 25110	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦))) ∈ ((𝐵(,)𝐶)–cn→ℂ))
57	31, 56	eqeltrd 2866	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (-(cos‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))) ∈ ((𝐵(,)𝐶)–cn→ℂ))
58		ioossicc 13478	. . . . . 6 ⊢ (𝐵(,)𝐶) ⊆ (𝐵[,]𝐶)
59	58	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵(,)𝐶) ⊆ (𝐵[,]𝐶))
60		ioombl 25761	. . . . . 6 ⊢ (𝐵(,)𝐶) ∈ dom vol
61	60	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵(,)𝐶) ∈ dom vol)
62	2	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶)) → 𝐴 ∈ ℂ)
63	29, 30	iccssred 13479	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵[,]𝐶) ⊆ ℝ)
64		ax-resscn 11175	. . . . . . . . 9 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
65	63, 64	sstrdi 3952	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵[,]𝐶) ⊆ ℂ)
66	65	sselda 3940	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶)) → 𝑦 ∈ ℂ)
67	62, 66	mulcld 11247	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶)) → (𝐴 · 𝑦) ∈ ℂ)
68	67	sincld 16211	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶)) → (sin‘(𝐴 · 𝑦)) ∈ ℂ)
69	65, 2, 52	constcncfg 46627	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ 𝐴) ∈ ((𝐵[,]𝐶)–cn→ℂ))
70	65, 52	idcncfg 46628	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ 𝑦) ∈ ((𝐵[,]𝐶)–cn→ℂ))
71	69, 70	mulcncf 25642	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (𝐴 · 𝑦)) ∈ ((𝐵[,]𝐶)–cn→ℂ))
72	49, 71	cncfmpt1f 25110	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦))) ∈ ((𝐵[,]𝐶)–cn→ℂ))
73		cniccibl 26037	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦))) ∈ ((𝐵[,]𝐶)–cn→ℂ)) → (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦))) ∈ 𝐿¹)
74	29, 30, 72, 73	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦))) ∈ 𝐿¹)
75	59, 61, 68, 74	iblss 26001	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦))) ∈ 𝐿¹)
76	31, 75	eqeltrd 2866	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (-(cos‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))) ∈ 𝐿¹)
77		coscn 26645	. . . . . . 7 ⊢ cos ∈ (ℂ–cn→ℂ)
78	77	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → cos ∈ (ℂ–cn→ℂ))
79	78, 71	cncfmpt1f 25110	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (cos‘(𝐴 · 𝑦))) ∈ ((𝐵[,]𝐶)–cn→ℂ))
80	79	negcncfg 46636	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ -(cos‘(𝐴 · 𝑦))) ∈ ((𝐵[,]𝐶)–cn→ℂ))
81	8	neneqd 2966	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 = 0)
82		elsng 4608	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ∈ {0} ↔ 𝐴 = 0))
83	2, 82	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ {0} ↔ 𝐴 = 0))
84	81, 83	mtbird 328	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ {0})
85	2, 84	eldifd 3919	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}))
86		difssd 4094	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ)
87	65, 85, 86	constcncfg 46627	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ 𝐴) ∈ ((𝐵[,]𝐶)–cn→(ℂ ∖ {0})))
88	80, 87	divcncf 25643	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (-(cos‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)) ∈ ((𝐵[,]𝐶)–cn→ℂ))
89	29, 30, 47, 57, 76, 88	ftc2 26240	. 2 ⊢ (𝜑 → ∫(𝐵(,)𝐶)((ℝ D (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (-(cos‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)))‘𝑥) d𝑥 = (((𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (-(cos‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))‘𝐶) − ((𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (-(cos‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))‘𝐵)))
90		eqidd 2767	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (-(cos‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)) = (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (-(cos‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)))
91		oveq2 7431	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝐶 → (𝐴 · 𝑦) = (𝐴 · 𝐶))
92	91	fveq2d 6892	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝐶 → (cos‘(𝐴 · 𝑦)) = (cos‘(𝐴 · 𝐶)))
93	92	negeqd 11469	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝐶 → -(cos‘(𝐴 · 𝑦)) = -(cos‘(𝐴 · 𝐶)))
94	93	oveq1d 7438	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝐶 → (-(cos‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴) = (-(cos‘(𝐴 · 𝐶)) / 𝐴))
95	94	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = 𝐶) → (-(cos‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴) = (-(cos‘(𝐴 · 𝐶)) / 𝐴))
96	29	rexrd 11277	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ^*)
97	30	rexrd 11277	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ^*)
98		ubicc2 13510	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐶 ∈ (𝐵[,]𝐶))
99	96, 97, 47, 98	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐵[,]𝐶))
100		ovexd 7458	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (-(cos‘(𝐴 · 𝐶)) / 𝐴) ∈ V)
101	90, 95, 99, 100	fvmptd 7004	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (-(cos‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))‘𝐶) = (-(cos‘(𝐴 · 𝐶)) / 𝐴))
102		oveq2 7431	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝐴 · 𝑦) = (𝐴 · 𝐵))
103	102	fveq2d 6892	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (cos‘(𝐴 · 𝑦)) = (cos‘(𝐴 · 𝐵)))
104	103	negeqd 11469	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → -(cos‘(𝐴 · 𝑦)) = -(cos‘(𝐴 · 𝐵)))
105	104	oveq1d 7438	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (-(cos‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴) = (-(cos‘(𝐴 · 𝐵)) / 𝐴))
106	105	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = 𝐵) → (-(cos‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴) = (-(cos‘(𝐴 · 𝐵)) / 𝐴))
107		lbicc2 13509	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐵 ∈ (𝐵[,]𝐶))
108	96, 97, 47, 107	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐵[,]𝐶))
109		ovexd 7458	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (-(cos‘(𝐴 · 𝐵)) / 𝐴) ∈ V)
110	90, 106, 108, 109	fvmptd 7004	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (-(cos‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))‘𝐵) = (-(cos‘(𝐴 · 𝐵)) / 𝐴))
111	101, 110	oveq12d 7441	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (-(cos‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))‘𝐶) − ((𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (-(cos‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))‘𝐵)) = ((-(cos‘(𝐴 · 𝐶)) / 𝐴) − (-(cos‘(𝐴 · 𝐵)) / 𝐴)))
112	29	recnd 11255	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
113	2, 112	mulcld 11247	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
114	113	coscld 16212	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (cos‘(𝐴 · 𝐵)) ∈ ℂ)
115	114, 2, 8	divnegd 12022	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → -((cos‘(𝐴 · 𝐵)) / 𝐴) = (-(cos‘(𝐴 · 𝐵)) / 𝐴))
116	115	eqcomd 2772	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (-(cos‘(𝐴 · 𝐵)) / 𝐴) = -((cos‘(𝐴 · 𝐵)) / 𝐴))
117	116	oveq2d 7439	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((-(cos‘(𝐴 · 𝐶)) / 𝐴) − (-(cos‘(𝐴 · 𝐵)) / 𝐴)) = ((-(cos‘(𝐴 · 𝐶)) / 𝐴) − -((cos‘(𝐴 · 𝐵)) / 𝐴)))
118	30	recnd 11255	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
119	2, 118	mulcld 11247	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℂ)
120	119	coscld 16212	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (cos‘(𝐴 · 𝐶)) ∈ ℂ)
121	120	negcld 11574	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → -(cos‘(𝐴 · 𝐶)) ∈ ℂ)
122	121, 2, 8	divcld 12009	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (-(cos‘(𝐴 · 𝐶)) / 𝐴) ∈ ℂ)
123	114, 2, 8	divcld 12009	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((cos‘(𝐴 · 𝐵)) / 𝐴) ∈ ℂ)
124	122, 123	subnegd 11594	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((-(cos‘(𝐴 · 𝐶)) / 𝐴) − -((cos‘(𝐴 · 𝐵)) / 𝐴)) = ((-(cos‘(𝐴 · 𝐶)) / 𝐴) + ((cos‘(𝐴 · 𝐵)) / 𝐴)))
125	111, 117, 124	3eqtrd 2805	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (-(cos‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))‘𝐶) − ((𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (-(cos‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))‘𝐵)) = ((-(cos‘(𝐴 · 𝐶)) / 𝐴) + ((cos‘(𝐴 · 𝐵)) / 𝐴)))
126	122, 123	addcomd 11430	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((-(cos‘(𝐴 · 𝐶)) / 𝐴) + ((cos‘(𝐴 · 𝐵)) / 𝐴)) = (((cos‘(𝐴 · 𝐵)) / 𝐴) + (-(cos‘(𝐴 · 𝐶)) / 𝐴)))
127	120, 2, 8	divnegd 12022	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → -((cos‘(𝐴 · 𝐶)) / 𝐴) = (-(cos‘(𝐴 · 𝐶)) / 𝐴))
128	127	eqcomd 2772	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (-(cos‘(𝐴 · 𝐶)) / 𝐴) = -((cos‘(𝐴 · 𝐶)) / 𝐴))
129	128	oveq2d 7439	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((cos‘(𝐴 · 𝐵)) / 𝐴) + (-(cos‘(𝐴 · 𝐶)) / 𝐴)) = (((cos‘(𝐴 · 𝐵)) / 𝐴) + -((cos‘(𝐴 · 𝐶)) / 𝐴)))
130	120, 2, 8	divcld 12009	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((cos‘(𝐴 · 𝐶)) / 𝐴) ∈ ℂ)
131	123, 130	negsubd 11593	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((cos‘(𝐴 · 𝐵)) / 𝐴) + -((cos‘(𝐴 · 𝐶)) / 𝐴)) = (((cos‘(𝐴 · 𝐵)) / 𝐴) − ((cos‘(𝐴 · 𝐶)) / 𝐴)))
132	114, 120, 2, 8	divsubdird 12048	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((cos‘(𝐴 · 𝐵)) − (cos‘(𝐴 · 𝐶))) / 𝐴) = (((cos‘(𝐴 · 𝐵)) / 𝐴) − ((cos‘(𝐴 · 𝐶)) / 𝐴)))
133	132	eqcomd 2772	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((cos‘(𝐴 · 𝐵)) / 𝐴) − ((cos‘(𝐴 · 𝐶)) / 𝐴)) = (((cos‘(𝐴 · 𝐵)) − (cos‘(𝐴 · 𝐶))) / 𝐴))
134	129, 131, 133	3eqtrd 2805	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((cos‘(𝐴 · 𝐵)) / 𝐴) + (-(cos‘(𝐴 · 𝐶)) / 𝐴)) = (((cos‘(𝐴 · 𝐵)) − (cos‘(𝐴 · 𝐶))) / 𝐴))
135	125, 126, 134	3eqtrd 2805	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (-(cos‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))‘𝐶) − ((𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (-(cos‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))‘𝐵)) = (((cos‘(𝐴 · 𝐵)) − (cos‘(𝐴 · 𝐶))) / 𝐴))
136	46, 89, 135	3eqtrd 2805	1 ⊢ (𝜑 → ∫(𝐵(,)𝐶)(sin‘(𝐴 · 𝑥)) d𝑥 = (((cos‘(𝐴 · 𝐵)) − (cos‘(𝐴 · 𝐶))) / 𝐴))

Colors of variables: wff setvar class

This proof depends on syntax axioms: → wi 4 ↔ wb 209 ∧ wa 401 = wceq 1570 ∈ wcel 2146 ≠ wne 2961 Vcvv 3458 ∖ cdif 3905 ⊆ wss 3908 {csn 4594 {cpr 4596 class class class wbr 5114 ↦ cmpt 5197 dom cdm 5666 ‘cfv 6543 (class class class)co 7423 ℂcc 11116 ℝcr 11117 0cc0 11118 + caddc 11121 · cmul 11123 ℝ^*cxr 11260 ≤ cle 11262 − cmin 11459 -cneg 11460 / cdiv 11889 (,)cioo 13390 [,]cicc 13393 sincsin 16142 cosccos 16143 –cn→ccncf 25072 volcvol 25659 𝐿¹cibl 25813 ∫citg 25814 D cdv 26059

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1828 ax-4 1842 ax-5 1943 ax-6 2000 ax-7 2041 ax-8 2148 ax-9 2156 ax-10 2179 ax-11 2195 ax-12 2216 ax-ext 2738 ax-rep 5243 ax-sep 5262 ax-nul 5274 ax-pow 5341 ax-pr 5409 ax-un 7745 ax-inf2 9620 ax-cc 10437 ax-cnex 11174 ax-resscn 11175 ax-1cn 11176 ax-icn 11177 ax-addcl 11178 ax-addrcl 11179 ax-mulcl 11180 ax-mulrcl 11181 ax-mulcom 11182 ax-addass 11183 ax-mulass 11184 ax-distr 11185 ax-i2m1 11186 ax-1ne0 11187 ax-1rid 11188 ax-rnegex 11189 ax-rrecex 11190 ax-cnre 11191 ax-pre-lttri 11192 ax-pre-lttrn 11193 ax-pre-ltadd 11194 ax-pre-mulgt0 11195 ax-pre-sup 11196 ax-addf 11197

This proof depends on definitions: df-bi 210 df-an 402 df-or 862 df-3or 1104 df-3an 1105 df-tru 1573 df-fal 1583 df-ex 1813 df-nf 1817 df-sb 2100 df-mo 2570 df-eu 2600 df-clab 2745 df-cleq 2758 df-clel 2841 df-nfc 2915 df-ne 2962 df-nel 3068 df-ral 3083 df-rex 3093 df-rmo 3372 df-reu 3373 df-rab 3420 df-v 3460 df-sbc 3748 df-csb 3857 df-dif 3911 df-un 3913 df-in 3915 df-ss 3925 df-pss 3928 df-symdif 4209 df-nul 4290 df-if 4493 df-pw 4569 df-sn 4595 df-pr 4597 df-tp 4599 df-op 4601 df-uni 4878 df-int 4918 df-iun 4963 df-iin 4964 df-disj 5082 df-br 5115 df-opab 5179 df-mpt 5198 df-tr 5224 df-id 5561 df-eprel 5566 df-po 5574 df-so 5575 df-fr 5619 df-se 5620 df-we 5621 df-xp 5672 df-rel 5673 df-cnv 5674 df-co 5675 df-dm 5676 df-rn 5677 df-res 5678 df-ima 5679 df-pred 6309 df-ord 6370 df-on 6371 df-lim 6372 df-suc 6373 df-iota 6499 df-fun 6545 df-fn 6546 df-f 6547 df-f1 6548 df-fo 6549 df-f1o 6550 df-fv 6551 df-isom 6552 df-riota 7380 df-ov 7426 df-oprab 7427 df-mpo 7428 df-of 7687 df-ofr 7688 df-om 7872 df-1st 7995 df-2nd 7996 df-supp 8166 df-frecs 8287 df-wrecs 8318 df-recs 8367 df-rdg 8406 df-1o 8462 df-2o 8463 df-oadd 8466 df-omul 8467 df-er 8703 df-map 8835 df-pm 8836 df-ixp 8905 df-en 8953 df-dom 8954 df-sdom 8955 df-fin 8956 df-fsupp 9332 df-fi 9381 df-sup 9412 df-inf 9413 df-oi 9482 df-dju 9906 df-card 9944 df-acn 9947 df-pnf 11263 df-mnf 11264 df-xr 11265 df-ltxr 11266 df-le 11267 df-sub 11461 df-neg 11462 df-div 11890 df-nn 12252 df-2 12321 df-3 12322 df-4 12323 df-5 12324 df-6 12325 df-7 12326 df-8 12327 df-9 12328 df-n0 12523 df-z 12610 df-dec 12730 df-uz 12881 df-q 12991 df-rp 13035 df-xneg 13155 df-xadd 13156 df-xmul 13157 df-ioo 13394 df-ioc 13395 df-ico 13396 df-icc 13397 df-fz 13554 df-fzo 13702 df-fl 13845 df-mod 13923 df-seq 14058 df-exp 14118 df-fac 14330 df-bc 14359 df-hash 14387 df-shft 15130 df-cj 15176 df-re 15177 df-im 15178 df-sqrt 15312 df-abs 15313 df-limsup 15548 df-clim 15565 df-rlim 15566 df-sum 15764 df-ef 16146 df-sin 16148 df-cos 16149 df-struct 17232 df-sets 17249 df-slot 17267 df-ndx 17279 df-base 17295 df-ress 17316 df-plusg 17348 df-mulr 17349 df-starv 17350 df-sca 17351 df-vsca 17352 df-ip 17353 df-tset 17354 df-ple 17355 df-ds 17357 df-unif 17358 df-hom 17359 df-cco 17360 df-rest 17500 df-topn 17501 df-0g 17519 df-gsum 17520 df-topgen 17521 df-pt 17522 df-prds 17525 df-xrs 17581 df-qtop 17586 df-imas 17587 df-xps 17589 df-mre 17663 df-mrc 17664 df-acs 17666 df-mgm 18723 df-sgrp 18806 df-mnd 18822 df-submnd 18873 df-mulg 19165 df-cntz 19418 df-cmn 19883 df-psmet 21551 df-xmet 21552 df-met 21553 df-bl 21554 df-mopn 21555 df-fbas 21556 df-fg 21557 df-cnfld 21560 df-top 23088 df-topon 23105 df-topsp 23127 df-bases 23140 df-cld 23213 df-ntr 23214 df-cls 23215 df-nei 23292 df-lp 23330 df-perf 23331 df-cn 23421 df-cnp 23422 df-haus 23509 df-cmp 23581 df-tx 23756 df-hmeo 23949 df-fil 24040 df-fm 24132 df-flim 24133 df-flf 24134 df-xms 24514 df-ms 24515 df-tms 24516 df-cncf 25074 df-ovol 25660 df-vol 25661 df-mbf 25815 df-itg1 25816 df-itg2 25817 df-ibl 25818 df-itg 25819 df-0p 25866 df-limc 26062 df-dv 26063

This theorem is used by: sqwvfourb 46984

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