itgsincmulx - Mathbox for Glauco Siliprandi

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Theorem itgsincmulx 45175

Description: Exercise: the integral of 𝑥 ↦ sin𝑎𝑥 on an open interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
itgsincmulx.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
itgsincmulx.an0	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
itgsincmulx.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
itgsincmulx.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
itgsincmulx.blec	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)

**Assertion**
Ref	Expression
itgsincmulx	⊢ (𝜑 → ∫(𝐵(,)𝐶)(sin‘(𝐴 · 𝑥)) d𝑥 = (((cos‘(𝐴 · 𝐵)) − (cos‘(𝐴 · 𝐶))) / 𝐴))

Distinct variable groups: 𝑥,𝐴 𝑥,𝐵 𝑥,𝐶 𝜑,𝑥

Proof of Theorem itgsincmulx Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2724	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (-(cos‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (-(cos‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))
2		itgsincmulx.a	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3	2	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
4		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 𝑦 ∈ ℂ)
5	3, 4	mulcld 11231	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝑦) ∈ ℂ)
6	5	coscld 16071	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (cos‘(𝐴 · 𝑦)) ∈ ℂ)
7	6	negcld 11555	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → -(cos‘(𝐴 · 𝑦)) ∈ ℂ)
8		itgsincmulx.an0	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
9	8	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 𝐴 ≠ 0)
10	7, 3, 9	divcld 11987	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (-(cos‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴) ∈ ℂ)
11		cnelprrecn 11199	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
12	11	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
13	5	sincld 16070	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (sin‘(𝐴 · 𝑦)) ∈ ℂ)
14	13	negcld 11555	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → -(sin‘(𝐴 · 𝑦)) ∈ ℂ)
15	3, 14	mulcld 11231	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝐴 · -(sin‘(𝐴 · 𝑦))) ∈ ℂ)
16	15	negcld 11555	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → -(𝐴 · -(sin‘(𝐴 · 𝑦))) ∈ ℂ)
17		dvcosax 45127	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (cos‘(𝐴 · 𝑦)))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · -(sin‘(𝐴 · 𝑦)))))
18	2, 17	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (cos‘(𝐴 · 𝑦)))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · -(sin‘(𝐴 · 𝑦)))))
19	12, 6, 15, 18	dvmptneg 25820	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ -(cos‘(𝐴 · 𝑦)))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ -(𝐴 · -(sin‘(𝐴 · 𝑦)))))
20	12, 7, 16, 19, 2, 8	dvmptdivc 25819	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (-(cos‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (-(𝐴 · -(sin‘(𝐴 · 𝑦))) / 𝐴)))
21	15, 3, 9	divnegd 12000	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → -((𝐴 · -(sin‘(𝐴 · 𝑦))) / 𝐴) = (-(𝐴 · -(sin‘(𝐴 · 𝑦))) / 𝐴))
22	21	eqcomd 2730	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (-(𝐴 · -(sin‘(𝐴 · 𝑦))) / 𝐴) = -((𝐴 · -(sin‘(𝐴 · 𝑦))) / 𝐴))
23	14, 3, 9	divcan3d 11992	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝐴 · -(sin‘(𝐴 · 𝑦))) / 𝐴) = -(sin‘(𝐴 · 𝑦)))
24	23	negeqd 11451	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → -((𝐴 · -(sin‘(𝐴 · 𝑦))) / 𝐴) = --(sin‘(𝐴 · 𝑦)))
25	13	negnegd 11559	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → --(sin‘(𝐴 · 𝑦)) = (sin‘(𝐴 · 𝑦)))
26	22, 24, 25	3eqtrd 2768	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (-(𝐴 · -(sin‘(𝐴 · 𝑦))) / 𝐴) = (sin‘(𝐴 · 𝑦)))
27	26	mpteq2dva 5238	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (-(𝐴 · -(sin‘(𝐴 · 𝑦))) / 𝐴)) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦))))
28	20, 27	eqtrd 2764	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (-(cos‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦))))
29		itgsincmulx.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
30		itgsincmulx.c	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
31	1, 10, 28, 13, 29, 30	dvmptresicc 25767	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (-(cos‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))) = (𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦))))
32	31	fveq1d 6883	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (-(cos‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)))‘𝑥) = ((𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦)))‘𝑥))
33	32	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶)) → ((ℝ D (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (-(cos‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)))‘𝑥) = ((𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦)))‘𝑥))
34		eqidd 2725	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶)) → (𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦))) = (𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦))))
35		oveq2 7409	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝐴 · 𝑦) = (𝐴 · 𝑥))
36	35	fveq2d 6885	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (sin‘(𝐴 · 𝑦)) = (sin‘(𝐴 · 𝑥)))
37	36	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶)) ∧ 𝑦 = 𝑥) → (sin‘(𝐴 · 𝑦)) = (sin‘(𝐴 · 𝑥)))
38		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶)) → 𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶))
39	2	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶)) → 𝐴 ∈ ℂ)
40		ioosscn 13383	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵(,)𝐶) ⊆ ℂ
41	40, 38	sselid 3972	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶)) → 𝑥 ∈ ℂ)
42	39, 41	mulcld 11231	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶)) → (𝐴 · 𝑥) ∈ ℂ)
43	42	sincld 16070	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶)) → (sin‘(𝐴 · 𝑥)) ∈ ℂ)
44	34, 37, 38, 43	fvmptd 6995	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶)) → ((𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦)))‘𝑥) = (sin‘(𝐴 · 𝑥)))
45	33, 44	eqtr2d 2765	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶)) → (sin‘(𝐴 · 𝑥)) = ((ℝ D (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (-(cos‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)))‘𝑥))
46	45	itgeq2dv 25633	. 2 ⊢ (𝜑 → ∫(𝐵(,)𝐶)(sin‘(𝐴 · 𝑥)) d𝑥 = ∫(𝐵(,)𝐶)((ℝ D (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (-(cos‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)))‘𝑥) d𝑥)
47		itgsincmulx.blec	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)
48		sincn 26298	. . . . . 6 ⊢ sin ∈ (ℂ–cn→ℂ)
49	48	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → sin ∈ (ℂ–cn→ℂ))
50	40	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵(,)𝐶) ⊆ ℂ)
51		ssid 3996	. . . . . . . 8 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
52	51	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
53	50, 2, 52	constcncfg 45073	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ 𝐴) ∈ ((𝐵(,)𝐶)–cn→ℂ))
54	50, 52	idcncfg 45074	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ 𝑦) ∈ ((𝐵(,)𝐶)–cn→ℂ))
55	53, 54	mulcncf 25296	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ (𝐴 · 𝑦)) ∈ ((𝐵(,)𝐶)–cn→ℂ))
56	49, 55	cncfmpt1f 24756	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦))) ∈ ((𝐵(,)𝐶)–cn→ℂ))
57	31, 56	eqeltrd 2825	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (-(cos‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))) ∈ ((𝐵(,)𝐶)–cn→ℂ))
58		ioossicc 13407	. . . . . 6 ⊢ (𝐵(,)𝐶) ⊆ (𝐵[,]𝐶)
59	58	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵(,)𝐶) ⊆ (𝐵[,]𝐶))
60		ioombl 25416	. . . . . 6 ⊢ (𝐵(,)𝐶) ∈ dom vol
61	60	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵(,)𝐶) ∈ dom vol)
62	2	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶)) → 𝐴 ∈ ℂ)
63	29, 30	iccssred 13408	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵[,]𝐶) ⊆ ℝ)
64		ax-resscn 11163	. . . . . . . . 9 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
65	63, 64	sstrdi 3986	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵[,]𝐶) ⊆ ℂ)
66	65	sselda 3974	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶)) → 𝑦 ∈ ℂ)
67	62, 66	mulcld 11231	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶)) → (𝐴 · 𝑦) ∈ ℂ)
68	67	sincld 16070	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶)) → (sin‘(𝐴 · 𝑦)) ∈ ℂ)
69	65, 2, 52	constcncfg 45073	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ 𝐴) ∈ ((𝐵[,]𝐶)–cn→ℂ))
70	65, 52	idcncfg 45074	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ 𝑦) ∈ ((𝐵[,]𝐶)–cn→ℂ))
71	69, 70	mulcncf 25296	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (𝐴 · 𝑦)) ∈ ((𝐵[,]𝐶)–cn→ℂ))
72	49, 71	cncfmpt1f 24756	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦))) ∈ ((𝐵[,]𝐶)–cn→ℂ))
73		cniccibl 25692	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦))) ∈ ((𝐵[,]𝐶)–cn→ℂ)) → (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦))) ∈ 𝐿¹)
74	29, 30, 72, 73	syl3anc 1368	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦))) ∈ 𝐿¹)
75	59, 61, 68, 74	iblss 25656	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦))) ∈ 𝐿¹)
76	31, 75	eqeltrd 2825	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (-(cos‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))) ∈ 𝐿¹)
77		coscn 26299	. . . . . . 7 ⊢ cos ∈ (ℂ–cn→ℂ)
78	77	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → cos ∈ (ℂ–cn→ℂ))
79	78, 71	cncfmpt1f 24756	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (cos‘(𝐴 · 𝑦))) ∈ ((𝐵[,]𝐶)–cn→ℂ))
80	79	negcncfg 45082	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ -(cos‘(𝐴 · 𝑦))) ∈ ((𝐵[,]𝐶)–cn→ℂ))
81	8	neneqd 2937	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 = 0)
82		elsng 4634	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ∈ {0} ↔ 𝐴 = 0))
83	2, 82	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ {0} ↔ 𝐴 = 0))
84	81, 83	mtbird 325	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ {0})
85	2, 84	eldifd 3951	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}))
86		difssd 4124	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ)
87	65, 85, 86	constcncfg 45073	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ 𝐴) ∈ ((𝐵[,]𝐶)–cn→(ℂ ∖ {0})))
88	80, 87	divcncf 25298	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (-(cos‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)) ∈ ((𝐵[,]𝐶)–cn→ℂ))
89	29, 30, 47, 57, 76, 88	ftc2 25901	. 2 ⊢ (𝜑 → ∫(𝐵(,)𝐶)((ℝ D (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (-(cos‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)))‘𝑥) d𝑥 = (((𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (-(cos‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))‘𝐶) − ((𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (-(cos‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))‘𝐵)))
90		eqidd 2725	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (-(cos‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)) = (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (-(cos‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)))
91		oveq2 7409	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝐶 → (𝐴 · 𝑦) = (𝐴 · 𝐶))
92	91	fveq2d 6885	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝐶 → (cos‘(𝐴 · 𝑦)) = (cos‘(𝐴 · 𝐶)))
93	92	negeqd 11451	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝐶 → -(cos‘(𝐴 · 𝑦)) = -(cos‘(𝐴 · 𝐶)))
94	93	oveq1d 7416	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝐶 → (-(cos‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴) = (-(cos‘(𝐴 · 𝐶)) / 𝐴))
95	94	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = 𝐶) → (-(cos‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴) = (-(cos‘(𝐴 · 𝐶)) / 𝐴))
96	29	rexrd 11261	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ^*)
97	30	rexrd 11261	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ^*)
98		ubicc2 13439	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐶 ∈ (𝐵[,]𝐶))
99	96, 97, 47, 98	syl3anc 1368	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐵[,]𝐶))
100		ovexd 7436	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (-(cos‘(𝐴 · 𝐶)) / 𝐴) ∈ V)
101	90, 95, 99, 100	fvmptd 6995	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (-(cos‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))‘𝐶) = (-(cos‘(𝐴 · 𝐶)) / 𝐴))
102		oveq2 7409	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝐴 · 𝑦) = (𝐴 · 𝐵))
103	102	fveq2d 6885	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (cos‘(𝐴 · 𝑦)) = (cos‘(𝐴 · 𝐵)))
104	103	negeqd 11451	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → -(cos‘(𝐴 · 𝑦)) = -(cos‘(𝐴 · 𝐵)))
105	104	oveq1d 7416	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (-(cos‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴) = (-(cos‘(𝐴 · 𝐵)) / 𝐴))
106	105	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = 𝐵) → (-(cos‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴) = (-(cos‘(𝐴 · 𝐵)) / 𝐴))
107		lbicc2 13438	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐵 ∈ (𝐵[,]𝐶))
108	96, 97, 47, 107	syl3anc 1368	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐵[,]𝐶))
109		ovexd 7436	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (-(cos‘(𝐴 · 𝐵)) / 𝐴) ∈ V)
110	90, 106, 108, 109	fvmptd 6995	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (-(cos‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))‘𝐵) = (-(cos‘(𝐴 · 𝐵)) / 𝐴))
111	101, 110	oveq12d 7419	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (-(cos‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))‘𝐶) − ((𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (-(cos‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))‘𝐵)) = ((-(cos‘(𝐴 · 𝐶)) / 𝐴) − (-(cos‘(𝐴 · 𝐵)) / 𝐴)))
112	29	recnd 11239	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
113	2, 112	mulcld 11231	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
114	113	coscld 16071	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (cos‘(𝐴 · 𝐵)) ∈ ℂ)
115	114, 2, 8	divnegd 12000	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → -((cos‘(𝐴 · 𝐵)) / 𝐴) = (-(cos‘(𝐴 · 𝐵)) / 𝐴))
116	115	eqcomd 2730	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (-(cos‘(𝐴 · 𝐵)) / 𝐴) = -((cos‘(𝐴 · 𝐵)) / 𝐴))
117	116	oveq2d 7417	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((-(cos‘(𝐴 · 𝐶)) / 𝐴) − (-(cos‘(𝐴 · 𝐵)) / 𝐴)) = ((-(cos‘(𝐴 · 𝐶)) / 𝐴) − -((cos‘(𝐴 · 𝐵)) / 𝐴)))
118	30	recnd 11239	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
119	2, 118	mulcld 11231	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℂ)
120	119	coscld 16071	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (cos‘(𝐴 · 𝐶)) ∈ ℂ)
121	120	negcld 11555	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → -(cos‘(𝐴 · 𝐶)) ∈ ℂ)
122	121, 2, 8	divcld 11987	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (-(cos‘(𝐴 · 𝐶)) / 𝐴) ∈ ℂ)
123	114, 2, 8	divcld 11987	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((cos‘(𝐴 · 𝐵)) / 𝐴) ∈ ℂ)
124	122, 123	subnegd 11575	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((-(cos‘(𝐴 · 𝐶)) / 𝐴) − -((cos‘(𝐴 · 𝐵)) / 𝐴)) = ((-(cos‘(𝐴 · 𝐶)) / 𝐴) + ((cos‘(𝐴 · 𝐵)) / 𝐴)))
125	111, 117, 124	3eqtrd 2768	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (-(cos‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))‘𝐶) − ((𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (-(cos‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))‘𝐵)) = ((-(cos‘(𝐴 · 𝐶)) / 𝐴) + ((cos‘(𝐴 · 𝐵)) / 𝐴)))
126	122, 123	addcomd 11413	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((-(cos‘(𝐴 · 𝐶)) / 𝐴) + ((cos‘(𝐴 · 𝐵)) / 𝐴)) = (((cos‘(𝐴 · 𝐵)) / 𝐴) + (-(cos‘(𝐴 · 𝐶)) / 𝐴)))
127	120, 2, 8	divnegd 12000	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → -((cos‘(𝐴 · 𝐶)) / 𝐴) = (-(cos‘(𝐴 · 𝐶)) / 𝐴))
128	127	eqcomd 2730	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (-(cos‘(𝐴 · 𝐶)) / 𝐴) = -((cos‘(𝐴 · 𝐶)) / 𝐴))
129	128	oveq2d 7417	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((cos‘(𝐴 · 𝐵)) / 𝐴) + (-(cos‘(𝐴 · 𝐶)) / 𝐴)) = (((cos‘(𝐴 · 𝐵)) / 𝐴) + -((cos‘(𝐴 · 𝐶)) / 𝐴)))
130	120, 2, 8	divcld 11987	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((cos‘(𝐴 · 𝐶)) / 𝐴) ∈ ℂ)
131	123, 130	negsubd 11574	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((cos‘(𝐴 · 𝐵)) / 𝐴) + -((cos‘(𝐴 · 𝐶)) / 𝐴)) = (((cos‘(𝐴 · 𝐵)) / 𝐴) − ((cos‘(𝐴 · 𝐶)) / 𝐴)))
132	114, 120, 2, 8	divsubdird 12026	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((cos‘(𝐴 · 𝐵)) − (cos‘(𝐴 · 𝐶))) / 𝐴) = (((cos‘(𝐴 · 𝐵)) / 𝐴) − ((cos‘(𝐴 · 𝐶)) / 𝐴)))
133	132	eqcomd 2730	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((cos‘(𝐴 · 𝐵)) / 𝐴) − ((cos‘(𝐴 · 𝐶)) / 𝐴)) = (((cos‘(𝐴 · 𝐵)) − (cos‘(𝐴 · 𝐶))) / 𝐴))
134	129, 131, 133	3eqtrd 2768	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((cos‘(𝐴 · 𝐵)) / 𝐴) + (-(cos‘(𝐴 · 𝐶)) / 𝐴)) = (((cos‘(𝐴 · 𝐵)) − (cos‘(𝐴 · 𝐶))) / 𝐴))
135	125, 126, 134	3eqtrd 2768	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (-(cos‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))‘𝐶) − ((𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (-(cos‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))‘𝐵)) = (((cos‘(𝐴 · 𝐵)) − (cos‘(𝐴 · 𝐶))) / 𝐴))
136	46, 89, 135	3eqtrd 2768	1 ⊢ (𝜑 → ∫(𝐵(,)𝐶)(sin‘(𝐴 · 𝑥)) d𝑥 = (((cos‘(𝐴 · 𝐵)) − (cos‘(𝐴 · 𝐶))) / 𝐴))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 205 ∧ wa 395 = wceq 1533 ∈ wcel 2098 ≠ wne 2932 Vcvv 3466 ∖ cdif 3937 ⊆ wss 3940 {csn 4620 {cpr 4622 class class class wbr 5138 ↦ cmpt 5221 dom cdm 5666 ‘cfv 6533 (class class class)co 7401 ℂcc 11104 ℝcr 11105 0cc0 11106 + caddc 11109 · cmul 11111 ℝ^*cxr 11244 ≤ cle 11246 − cmin 11441 -cneg 11442 / cdiv 11868 (,)cioo 13321 [,]cicc 13324 sincsin 16004 cosccos 16005 –cn→ccncf 24718 volcvol 25314 𝐿¹cibl 25468 ∫citg 25469 D cdv 25714

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2163 ax-ext 2695 ax-rep 5275 ax-sep 5289 ax-nul 5296 ax-pow 5353 ax-pr 5417 ax-un 7718 ax-inf2 9632 ax-cc 10426 ax-cnex 11162 ax-resscn 11163 ax-1cn 11164 ax-icn 11165 ax-addcl 11166 ax-addrcl 11167 ax-mulcl 11168 ax-mulrcl 11169 ax-mulcom 11170 ax-addass 11171 ax-mulass 11172 ax-distr 11173 ax-i2m1 11174 ax-1ne0 11175 ax-1rid 11176 ax-rnegex 11177 ax-rrecex 11178 ax-cnre 11179 ax-pre-lttri 11180 ax-pre-lttrn 11181 ax-pre-ltadd 11182 ax-pre-mulgt0 11183 ax-pre-sup 11184 ax-addf 11185

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2526 df-eu 2555 df-clab 2702 df-cleq 2716 df-clel 2802 df-nfc 2877 df-ne 2933 df-nel 3039 df-ral 3054 df-rex 3063 df-rmo 3368 df-reu 3369 df-rab 3425 df-v 3468 df-sbc 3770 df-csb 3886 df-dif 3943 df-un 3945 df-in 3947 df-ss 3957 df-pss 3959 df-symdif 4234 df-nul 4315 df-if 4521 df-pw 4596 df-sn 4621 df-pr 4623 df-tp 4625 df-op 4627 df-uni 4900 df-int 4941 df-iun 4989 df-iin 4990 df-disj 5104 df-br 5139 df-opab 5201 df-mpt 5222 df-tr 5256 df-id 5564 df-eprel 5570 df-po 5578 df-so 5579 df-fr 5621 df-se 5622 df-we 5623 df-xp 5672 df-rel 5673 df-cnv 5674 df-co 5675 df-dm 5676 df-rn 5677 df-res 5678 df-ima 5679 df-pred 6290 df-ord 6357 df-on 6358 df-lim 6359 df-suc 6360 df-iota 6485 df-fun 6535 df-fn 6536 df-f 6537 df-f1 6538 df-fo 6539 df-f1o 6540 df-fv 6541 df-isom 6542 df-riota 7357 df-ov 7404 df-oprab 7405 df-mpo 7406 df-of 7663 df-ofr 7664 df-om 7849 df-1st 7968 df-2nd 7969 df-supp 8141 df-frecs 8261 df-wrecs 8292 df-recs 8366 df-rdg 8405 df-1o 8461 df-2o 8462 df-oadd 8465 df-omul 8466 df-er 8699 df-map 8818 df-pm 8819 df-ixp 8888 df-en 8936 df-dom 8937 df-sdom 8938 df-fin 8939 df-fsupp 9358 df-fi 9402 df-sup 9433 df-inf 9434 df-oi 9501 df-dju 9892 df-card 9930 df-acn 9933 df-pnf 11247 df-mnf 11248 df-xr 11249 df-ltxr 11250 df-le 11251 df-sub 11443 df-neg 11444 df-div 11869 df-nn 12210 df-2 12272 df-3 12273 df-4 12274 df-5 12275 df-6 12276 df-7 12277 df-8 12278 df-9 12279 df-n0 12470 df-z 12556 df-dec 12675 df-uz 12820 df-q 12930 df-rp 12972 df-xneg 13089 df-xadd 13090 df-xmul 13091 df-ioo 13325 df-ioc 13326 df-ico 13327 df-icc 13328 df-fz 13482 df-fzo 13625 df-fl 13754 df-mod 13832 df-seq 13964 df-exp 14025 df-fac 14231 df-bc 14260 df-hash 14288 df-shft 15011 df-cj 15043 df-re 15044 df-im 15045 df-sqrt 15179 df-abs 15180 df-limsup 15412 df-clim 15429 df-rlim 15430 df-sum 15630 df-ef 16008 df-sin 16010 df-cos 16011 df-struct 17079 df-sets 17096 df-slot 17114 df-ndx 17126 df-base 17144 df-ress 17173 df-plusg 17209 df-mulr 17210 df-starv 17211 df-sca 17212 df-vsca 17213 df-ip 17214 df-tset 17215 df-ple 17216 df-ds 17218 df-unif 17219 df-hom 17220 df-cco 17221 df-rest 17367 df-topn 17368 df-0g 17386 df-gsum 17387 df-topgen 17388 df-pt 17389 df-prds 17392 df-xrs 17447 df-qtop 17452 df-imas 17453 df-xps 17455 df-mre 17529 df-mrc 17530 df-acs 17532 df-mgm 18563 df-sgrp 18642 df-mnd 18658 df-submnd 18704 df-mulg 18986 df-cntz 19223 df-cmn 19692 df-psmet 21220 df-xmet 21221 df-met 21222 df-bl 21223 df-mopn 21224 df-fbas 21225 df-fg 21226 df-cnfld 21229 df-top 22718 df-topon 22735 df-topsp 22757 df-bases 22771 df-cld 22845 df-ntr 22846 df-cls 22847 df-nei 22924 df-lp 22962 df-perf 22963 df-cn 23053 df-cnp 23054 df-haus 23141 df-cmp 23213 df-tx 23388 df-hmeo 23581 df-fil 23672 df-fm 23764 df-flim 23765 df-flf 23766 df-xms 24148 df-ms 24149 df-tms 24150 df-cncf 24720 df-ovol 25315 df-vol 25316 df-mbf 25470 df-itg1 25471 df-itg2 25472 df-ibl 25473 df-itg 25474 df-0p 25521 df-limc 25717 df-dv 25718

This theorem is referenced by: sqwvfourb 45430

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