Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  itgsincmulx Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgsincmulx 44677
Description: Exercise: the integral of π‘₯ ↦ sinπ‘Žπ‘₯ on an open interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
itgsincmulx.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
itgsincmulx.an0 (πœ‘ β†’ 𝐴 β‰  0)
itgsincmulx.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
itgsincmulx.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
itgsincmulx.blec (πœ‘ β†’ 𝐡 ≀ 𝐢)
Assertion
Ref Expression
itgsincmulx (πœ‘ β†’ ∫(𝐡(,)𝐢)(sinβ€˜(𝐴 Β· π‘₯)) dπ‘₯ = (((cosβ€˜(𝐴 Β· 𝐡)) βˆ’ (cosβ€˜(𝐴 Β· 𝐢))) / 𝐴))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝐢   πœ‘,π‘₯

Proof of Theorem itgsincmulx
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (-(cosβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) / 𝐴)) = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (-(cosβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) / 𝐴))
2 itgsincmulx.a . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
32adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
4 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
53, 4mulcld 11231 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (𝐴 Β· 𝑦) ∈ β„‚)
65coscld 16071 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (cosβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) ∈ β„‚)
76negcld 11555 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ -(cosβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) ∈ β„‚)
8 itgsincmulx.an0 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐴 β‰  0)
98adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ 𝐴 β‰  0)
107, 3, 9divcld 11987 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (-(cosβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) / 𝐴) ∈ β„‚)
11 cnelprrecn 11200 . . . . . . . . . 10 β„‚ ∈ {ℝ, β„‚}
1211a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ β„‚ ∈ {ℝ, β„‚})
135sincld 16070 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) ∈ β„‚)
1413negcld 11555 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ -(sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) ∈ β„‚)
153, 14mulcld 11231 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (𝐴 Β· -(sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦))) ∈ β„‚)
1615negcld 11555 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ -(𝐴 Β· -(sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦))) ∈ β„‚)
17 dvcosax 44629 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (cosβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)))) = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· -(sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)))))
182, 17syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (cosβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)))) = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· -(sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)))))
1912, 6, 15, 18dvmptneg 25475 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ -(cosβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)))) = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ -(𝐴 Β· -(sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)))))
2012, 7, 16, 19, 2, 8dvmptdivc 25474 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (-(cosβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) / 𝐴))) = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (-(𝐴 Β· -(sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦))) / 𝐴)))
2115, 3, 9divnegd 12000 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ -((𝐴 Β· -(sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦))) / 𝐴) = (-(𝐴 Β· -(sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦))) / 𝐴))
2221eqcomd 2739 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (-(𝐴 Β· -(sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦))) / 𝐴) = -((𝐴 Β· -(sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦))) / 𝐴))
2314, 3, 9divcan3d 11992 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ ((𝐴 Β· -(sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦))) / 𝐴) = -(sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)))
2423negeqd 11451 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ -((𝐴 Β· -(sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦))) / 𝐴) = --(sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)))
2513negnegd 11559 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ --(sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) = (sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)))
2622, 24, 253eqtrd 2777 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (-(𝐴 Β· -(sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦))) / 𝐴) = (sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)))
2726mpteq2dva 5248 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (-(𝐴 Β· -(sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦))) / 𝐴)) = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦))))
2820, 27eqtrd 2773 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (-(cosβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) / 𝐴))) = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦))))
29 itgsincmulx.b . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
30 itgsincmulx.c . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
311, 10, 28, 13, 29, 30dvmptresicc 25425 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑦 ∈ (𝐡[,]𝐢) ↦ (-(cosβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) / 𝐴))) = (𝑦 ∈ (𝐡(,)𝐢) ↦ (sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦))))
3231fveq1d 6891 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((ℝ D (𝑦 ∈ (𝐡[,]𝐢) ↦ (-(cosβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) / 𝐴)))β€˜π‘₯) = ((𝑦 ∈ (𝐡(,)𝐢) ↦ (sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)))β€˜π‘₯))
3332adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡(,)𝐢)) β†’ ((ℝ D (𝑦 ∈ (𝐡[,]𝐢) ↦ (-(cosβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) / 𝐴)))β€˜π‘₯) = ((𝑦 ∈ (𝐡(,)𝐢) ↦ (sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)))β€˜π‘₯))
34 eqidd 2734 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡(,)𝐢)) β†’ (𝑦 ∈ (𝐡(,)𝐢) ↦ (sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦))) = (𝑦 ∈ (𝐡(,)𝐢) ↦ (sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦))))
35 oveq2 7414 . . . . . . 7 (𝑦 = π‘₯ β†’ (𝐴 Β· 𝑦) = (𝐴 Β· π‘₯))
3635fveq2d 6893 . . . . . 6 (𝑦 = π‘₯ β†’ (sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) = (sinβ€˜(𝐴 Β· π‘₯)))
3736adantl 483 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡(,)𝐢)) ∧ 𝑦 = π‘₯) β†’ (sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) = (sinβ€˜(𝐴 Β· π‘₯)))
38 simpr 486 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡(,)𝐢)) β†’ π‘₯ ∈ (𝐡(,)𝐢))
392adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡(,)𝐢)) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
40 ioosscn 13383 . . . . . . . 8 (𝐡(,)𝐢) βŠ† β„‚
4140, 38sselid 3980 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡(,)𝐢)) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
4239, 41mulcld 11231 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡(,)𝐢)) β†’ (𝐴 Β· π‘₯) ∈ β„‚)
4342sincld 16070 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡(,)𝐢)) β†’ (sinβ€˜(𝐴 Β· π‘₯)) ∈ β„‚)
4434, 37, 38, 43fvmptd 7003 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡(,)𝐢)) β†’ ((𝑦 ∈ (𝐡(,)𝐢) ↦ (sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)))β€˜π‘₯) = (sinβ€˜(𝐴 Β· π‘₯)))
4533, 44eqtr2d 2774 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡(,)𝐢)) β†’ (sinβ€˜(𝐴 Β· π‘₯)) = ((ℝ D (𝑦 ∈ (𝐡[,]𝐢) ↦ (-(cosβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) / 𝐴)))β€˜π‘₯))
4645itgeq2dv 25291 . 2 (πœ‘ β†’ ∫(𝐡(,)𝐢)(sinβ€˜(𝐴 Β· π‘₯)) dπ‘₯ = ∫(𝐡(,)𝐢)((ℝ D (𝑦 ∈ (𝐡[,]𝐢) ↦ (-(cosβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) / 𝐴)))β€˜π‘₯) dπ‘₯)
47 itgsincmulx.blec . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐡 ≀ 𝐢)
48 sincn 25948 . . . . . 6 sin ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚)
4948a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ sin ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚))
5040a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐡(,)𝐢) βŠ† β„‚)
51 ssid 4004 . . . . . . . 8 β„‚ βŠ† β„‚
5251a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ β„‚ βŠ† β„‚)
5350, 2, 52constcncfg 44575 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (𝐡(,)𝐢) ↦ 𝐴) ∈ ((𝐡(,)𝐢)–cnβ†’β„‚))
5450, 52idcncfg 44576 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (𝐡(,)𝐢) ↦ 𝑦) ∈ ((𝐡(,)𝐢)–cnβ†’β„‚))
5553, 54mulcncf 24955 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (𝐡(,)𝐢) ↦ (𝐴 Β· 𝑦)) ∈ ((𝐡(,)𝐢)–cnβ†’β„‚))
5649, 55cncfmpt1f 24422 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (𝐡(,)𝐢) ↦ (sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦))) ∈ ((𝐡(,)𝐢)–cnβ†’β„‚))
5731, 56eqeltrd 2834 . . 3 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑦 ∈ (𝐡[,]𝐢) ↦ (-(cosβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) / 𝐴))) ∈ ((𝐡(,)𝐢)–cnβ†’β„‚))
58 ioossicc 13407 . . . . . 6 (𝐡(,)𝐢) βŠ† (𝐡[,]𝐢)
5958a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐡(,)𝐢) βŠ† (𝐡[,]𝐢))
60 ioombl 25074 . . . . . 6 (𝐡(,)𝐢) ∈ dom vol
6160a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐡(,)𝐢) ∈ dom vol)
622adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐡[,]𝐢)) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
6329, 30iccssred 13408 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐡[,]𝐢) βŠ† ℝ)
64 ax-resscn 11164 . . . . . . . . 9 ℝ βŠ† β„‚
6563, 64sstrdi 3994 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐡[,]𝐢) βŠ† β„‚)
6665sselda 3982 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐡[,]𝐢)) β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
6762, 66mulcld 11231 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐡[,]𝐢)) β†’ (𝐴 Β· 𝑦) ∈ β„‚)
6867sincld 16070 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐡[,]𝐢)) β†’ (sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) ∈ β„‚)
6965, 2, 52constcncfg 44575 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (𝐡[,]𝐢) ↦ 𝐴) ∈ ((𝐡[,]𝐢)–cnβ†’β„‚))
7065, 52idcncfg 44576 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (𝐡[,]𝐢) ↦ 𝑦) ∈ ((𝐡[,]𝐢)–cnβ†’β„‚))
7169, 70mulcncf 24955 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (𝐡[,]𝐢) ↦ (𝐴 Β· 𝑦)) ∈ ((𝐡[,]𝐢)–cnβ†’β„‚))
7249, 71cncfmpt1f 24422 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (𝐡[,]𝐢) ↦ (sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦))) ∈ ((𝐡[,]𝐢)–cnβ†’β„‚))
73 cniccibl 25350 . . . . . 6 ((𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐢 ∈ ℝ ∧ (𝑦 ∈ (𝐡[,]𝐢) ↦ (sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦))) ∈ ((𝐡[,]𝐢)–cnβ†’β„‚)) β†’ (𝑦 ∈ (𝐡[,]𝐢) ↦ (sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦))) ∈ 𝐿1)
7429, 30, 72, 73syl3anc 1372 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (𝐡[,]𝐢) ↦ (sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦))) ∈ 𝐿1)
7559, 61, 68, 74iblss 25314 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (𝐡(,)𝐢) ↦ (sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦))) ∈ 𝐿1)
7631, 75eqeltrd 2834 . . 3 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑦 ∈ (𝐡[,]𝐢) ↦ (-(cosβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) / 𝐴))) ∈ 𝐿1)
77 coscn 25949 . . . . . . 7 cos ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚)
7877a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ cos ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚))
7978, 71cncfmpt1f 24422 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (𝐡[,]𝐢) ↦ (cosβ€˜(𝐴 Β· 𝑦))) ∈ ((𝐡[,]𝐢)–cnβ†’β„‚))
8079negcncfg 44584 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (𝐡[,]𝐢) ↦ -(cosβ€˜(𝐴 Β· 𝑦))) ∈ ((𝐡[,]𝐢)–cnβ†’β„‚))
818neneqd 2946 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝐴 = 0)
82 elsng 4642 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (𝐴 ∈ {0} ↔ 𝐴 = 0))
832, 82syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∈ {0} ↔ 𝐴 = 0))
8481, 83mtbird 325 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝐴 ∈ {0})
852, 84eldifd 3959 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (β„‚ βˆ– {0}))
86 difssd 4132 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (β„‚ βˆ– {0}) βŠ† β„‚)
8765, 85, 86constcncfg 44575 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (𝐡[,]𝐢) ↦ 𝐴) ∈ ((𝐡[,]𝐢)–cnβ†’(β„‚ βˆ– {0})))
8880, 87divcncf 24956 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (𝐡[,]𝐢) ↦ (-(cosβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) / 𝐴)) ∈ ((𝐡[,]𝐢)–cnβ†’β„‚))
8929, 30, 47, 57, 76, 88ftc2 25553 . 2 (πœ‘ β†’ ∫(𝐡(,)𝐢)((ℝ D (𝑦 ∈ (𝐡[,]𝐢) ↦ (-(cosβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) / 𝐴)))β€˜π‘₯) dπ‘₯ = (((𝑦 ∈ (𝐡[,]𝐢) ↦ (-(cosβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) / 𝐴))β€˜πΆ) βˆ’ ((𝑦 ∈ (𝐡[,]𝐢) ↦ (-(cosβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) / 𝐴))β€˜π΅)))
90 eqidd 2734 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (𝐡[,]𝐢) ↦ (-(cosβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) / 𝐴)) = (𝑦 ∈ (𝐡[,]𝐢) ↦ (-(cosβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) / 𝐴)))
91 oveq2 7414 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝐢 β†’ (𝐴 Β· 𝑦) = (𝐴 Β· 𝐢))
9291fveq2d 6893 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝐢 β†’ (cosβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) = (cosβ€˜(𝐴 Β· 𝐢)))
9392negeqd 11451 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝐢 β†’ -(cosβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) = -(cosβ€˜(𝐴 Β· 𝐢)))
9493oveq1d 7421 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐢 β†’ (-(cosβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) / 𝐴) = (-(cosβ€˜(𝐴 Β· 𝐢)) / 𝐴))
9594adantl 483 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 = 𝐢) β†’ (-(cosβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) / 𝐴) = (-(cosβ€˜(𝐴 Β· 𝐢)) / 𝐴))
9629rexrd 11261 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
9730rexrd 11261 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ*)
98 ubicc2 13439 . . . . . . 7 ((𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐢 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ≀ 𝐢) β†’ 𝐢 ∈ (𝐡[,]𝐢))
9996, 97, 47, 98syl3anc 1372 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (𝐡[,]𝐢))
100 ovexd 7441 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (-(cosβ€˜(𝐴 Β· 𝐢)) / 𝐴) ∈ V)
10190, 95, 99, 100fvmptd 7003 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑦 ∈ (𝐡[,]𝐢) ↦ (-(cosβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) / 𝐴))β€˜πΆ) = (-(cosβ€˜(𝐴 Β· 𝐢)) / 𝐴))
102 oveq2 7414 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝐡 β†’ (𝐴 Β· 𝑦) = (𝐴 Β· 𝐡))
103102fveq2d 6893 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝐡 β†’ (cosβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) = (cosβ€˜(𝐴 Β· 𝐡)))
104103negeqd 11451 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝐡 β†’ -(cosβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) = -(cosβ€˜(𝐴 Β· 𝐡)))
105104oveq1d 7421 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐡 β†’ (-(cosβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) / 𝐴) = (-(cosβ€˜(𝐴 Β· 𝐡)) / 𝐴))
106105adantl 483 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 = 𝐡) β†’ (-(cosβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) / 𝐴) = (-(cosβ€˜(𝐴 Β· 𝐡)) / 𝐴))
107 lbicc2 13438 . . . . . . 7 ((𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐢 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ≀ 𝐢) β†’ 𝐡 ∈ (𝐡[,]𝐢))
10896, 97, 47, 107syl3anc 1372 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (𝐡[,]𝐢))
109 ovexd 7441 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (-(cosβ€˜(𝐴 Β· 𝐡)) / 𝐴) ∈ V)
11090, 106, 108, 109fvmptd 7003 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑦 ∈ (𝐡[,]𝐢) ↦ (-(cosβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) / 𝐴))β€˜π΅) = (-(cosβ€˜(𝐴 Β· 𝐡)) / 𝐴))
111101, 110oveq12d 7424 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((𝑦 ∈ (𝐡[,]𝐢) ↦ (-(cosβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) / 𝐴))β€˜πΆ) βˆ’ ((𝑦 ∈ (𝐡[,]𝐢) ↦ (-(cosβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) / 𝐴))β€˜π΅)) = ((-(cosβ€˜(𝐴 Β· 𝐢)) / 𝐴) βˆ’ (-(cosβ€˜(𝐴 Β· 𝐡)) / 𝐴)))
11229recnd 11239 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
1132, 112mulcld 11231 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐴 Β· 𝐡) ∈ β„‚)
114113coscld 16071 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (cosβ€˜(𝐴 Β· 𝐡)) ∈ β„‚)
115114, 2, 8divnegd 12000 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ -((cosβ€˜(𝐴 Β· 𝐡)) / 𝐴) = (-(cosβ€˜(𝐴 Β· 𝐡)) / 𝐴))
116115eqcomd 2739 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (-(cosβ€˜(𝐴 Β· 𝐡)) / 𝐴) = -((cosβ€˜(𝐴 Β· 𝐡)) / 𝐴))
117116oveq2d 7422 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((-(cosβ€˜(𝐴 Β· 𝐢)) / 𝐴) βˆ’ (-(cosβ€˜(𝐴 Β· 𝐡)) / 𝐴)) = ((-(cosβ€˜(𝐴 Β· 𝐢)) / 𝐴) βˆ’ -((cosβ€˜(𝐴 Β· 𝐡)) / 𝐴)))
11830recnd 11239 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
1192, 118mulcld 11231 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐴 Β· 𝐢) ∈ β„‚)
120119coscld 16071 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (cosβ€˜(𝐴 Β· 𝐢)) ∈ β„‚)
121120negcld 11555 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ -(cosβ€˜(𝐴 Β· 𝐢)) ∈ β„‚)
122121, 2, 8divcld 11987 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (-(cosβ€˜(𝐴 Β· 𝐢)) / 𝐴) ∈ β„‚)
123114, 2, 8divcld 11987 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((cosβ€˜(𝐴 Β· 𝐡)) / 𝐴) ∈ β„‚)
124122, 123subnegd 11575 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((-(cosβ€˜(𝐴 Β· 𝐢)) / 𝐴) βˆ’ -((cosβ€˜(𝐴 Β· 𝐡)) / 𝐴)) = ((-(cosβ€˜(𝐴 Β· 𝐢)) / 𝐴) + ((cosβ€˜(𝐴 Β· 𝐡)) / 𝐴)))
125111, 117, 1243eqtrd 2777 . . 3 (πœ‘ β†’ (((𝑦 ∈ (𝐡[,]𝐢) ↦ (-(cosβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) / 𝐴))β€˜πΆ) βˆ’ ((𝑦 ∈ (𝐡[,]𝐢) ↦ (-(cosβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) / 𝐴))β€˜π΅)) = ((-(cosβ€˜(𝐴 Β· 𝐢)) / 𝐴) + ((cosβ€˜(𝐴 Β· 𝐡)) / 𝐴)))
126122, 123addcomd 11413 . . 3 (πœ‘ β†’ ((-(cosβ€˜(𝐴 Β· 𝐢)) / 𝐴) + ((cosβ€˜(𝐴 Β· 𝐡)) / 𝐴)) = (((cosβ€˜(𝐴 Β· 𝐡)) / 𝐴) + (-(cosβ€˜(𝐴 Β· 𝐢)) / 𝐴)))
127120, 2, 8divnegd 12000 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ -((cosβ€˜(𝐴 Β· 𝐢)) / 𝐴) = (-(cosβ€˜(𝐴 Β· 𝐢)) / 𝐴))
128127eqcomd 2739 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (-(cosβ€˜(𝐴 Β· 𝐢)) / 𝐴) = -((cosβ€˜(𝐴 Β· 𝐢)) / 𝐴))
129128oveq2d 7422 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((cosβ€˜(𝐴 Β· 𝐡)) / 𝐴) + (-(cosβ€˜(𝐴 Β· 𝐢)) / 𝐴)) = (((cosβ€˜(𝐴 Β· 𝐡)) / 𝐴) + -((cosβ€˜(𝐴 Β· 𝐢)) / 𝐴)))
130120, 2, 8divcld 11987 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((cosβ€˜(𝐴 Β· 𝐢)) / 𝐴) ∈ β„‚)
131123, 130negsubd 11574 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((cosβ€˜(𝐴 Β· 𝐡)) / 𝐴) + -((cosβ€˜(𝐴 Β· 𝐢)) / 𝐴)) = (((cosβ€˜(𝐴 Β· 𝐡)) / 𝐴) βˆ’ ((cosβ€˜(𝐴 Β· 𝐢)) / 𝐴)))
132114, 120, 2, 8divsubdird 12026 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((cosβ€˜(𝐴 Β· 𝐡)) βˆ’ (cosβ€˜(𝐴 Β· 𝐢))) / 𝐴) = (((cosβ€˜(𝐴 Β· 𝐡)) / 𝐴) βˆ’ ((cosβ€˜(𝐴 Β· 𝐢)) / 𝐴)))
133132eqcomd 2739 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((cosβ€˜(𝐴 Β· 𝐡)) / 𝐴) βˆ’ ((cosβ€˜(𝐴 Β· 𝐢)) / 𝐴)) = (((cosβ€˜(𝐴 Β· 𝐡)) βˆ’ (cosβ€˜(𝐴 Β· 𝐢))) / 𝐴))
134129, 131, 1333eqtrd 2777 . . 3 (πœ‘ β†’ (((cosβ€˜(𝐴 Β· 𝐡)) / 𝐴) + (-(cosβ€˜(𝐴 Β· 𝐢)) / 𝐴)) = (((cosβ€˜(𝐴 Β· 𝐡)) βˆ’ (cosβ€˜(𝐴 Β· 𝐢))) / 𝐴))
135125, 126, 1343eqtrd 2777 . 2 (πœ‘ β†’ (((𝑦 ∈ (𝐡[,]𝐢) ↦ (-(cosβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) / 𝐴))β€˜πΆ) βˆ’ ((𝑦 ∈ (𝐡[,]𝐢) ↦ (-(cosβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) / 𝐴))β€˜π΅)) = (((cosβ€˜(𝐴 Β· 𝐡)) βˆ’ (cosβ€˜(𝐴 Β· 𝐢))) / 𝐴))
13646, 89, 1353eqtrd 2777 1 (πœ‘ β†’ ∫(𝐡(,)𝐢)(sinβ€˜(𝐴 Β· π‘₯)) dπ‘₯ = (((cosβ€˜(𝐴 Β· 𝐡)) βˆ’ (cosβ€˜(𝐴 Β· 𝐢))) / 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  Vcvv 3475   βˆ– cdif 3945   βŠ† wss 3948  {csn 4628  {cpr 4630   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  dom cdm 5676  β€˜cfv 6541  (class class class)co 7406  β„‚cc 11105  β„cr 11106  0cc0 11107   + caddc 11110   Β· cmul 11112  β„*cxr 11244   ≀ cle 11246   βˆ’ cmin 11441  -cneg 11442   / cdiv 11868  (,)cioo 13321  [,]cicc 13324  sincsin 16004  cosccos 16005  β€“cnβ†’ccncf 24384  volcvol 24972  πΏ1cibl 25126  βˆ«citg 25127   D cdv 25372
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-inf2 9633  ax-cc 10427  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185  ax-addf 11186  ax-mulf 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-symdif 4242  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-disj 5114  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-of 7667  df-ofr 7668  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-supp 8144  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-2o 8464  df-oadd 8467  df-omul 8468  df-er 8700  df-map 8819  df-pm 8820  df-ixp 8889  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fsupp 9359  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9502  df-dju 9893  df-card 9931  df-acn 9934  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-q 12930  df-rp 12972  df-xneg 13089  df-xadd 13090  df-xmul 13091  df-ioo 13325  df-ioc 13326  df-ico 13327  df-icc 13328  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-fl 13754  df-mod 13832  df-seq 13964  df-exp 14025  df-fac 14231  df-bc 14260  df-hash 14288  df-shft 15011  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-limsup 15412  df-clim 15429  df-rlim 15430  df-sum 15630  df-ef 16008  df-sin 16010  df-cos 16011  df-struct 17077  df-sets 17094  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17142  df-ress 17171  df-plusg 17207  df-mulr 17208  df-starv 17209  df-sca 17210  df-vsca 17211  df-ip 17212  df-tset 17213  df-ple 17214  df-ds 17216  df-unif 17217  df-hom 17218  df-cco 17219  df-rest 17365  df-topn 17366  df-0g 17384  df-gsum 17385  df-topgen 17386  df-pt 17387  df-prds 17390  df-xrs 17445  df-qtop 17450  df-imas 17451  df-xps 17453  df-mre 17527  df-mrc 17528  df-acs 17530  df-mgm 18558  df-sgrp 18607  df-mnd 18623  df-submnd 18669  df-mulg 18946  df-cntz 19176  df-cmn 19645  df-psmet 20929  df-xmet 20930  df-met 20931  df-bl 20932  df-mopn 20933  df-fbas 20934  df-fg 20935  df-cnfld 20938  df-top 22388  df-topon 22405  df-topsp 22427  df-bases 22441  df-cld 22515  df-ntr 22516  df-cls 22517  df-nei 22594  df-lp 22632  df-perf 22633  df-cn 22723  df-cnp 22724  df-haus 22811  df-cmp 22883  df-tx 23058  df-hmeo 23251  df-fil 23342  df-fm 23434  df-flim 23435  df-flf 23436  df-xms 23818  df-ms 23819  df-tms 23820  df-cncf 24386  df-ovol 24973  df-vol 24974  df-mbf 25128  df-itg1 25129  df-itg2 25130  df-ibl 25131  df-itg 25132  df-0p 25179  df-limc 25375  df-dv 25376
This theorem is referenced by:  sqwvfourb  44932
  Copyright terms: Public domain W3C validator