Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  itgsincmulx Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgsincmulx 45994
Description: Exercise: the integral of 𝑥 ↦ sin𝑎𝑥 on an open interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
itgsincmulx.a (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
itgsincmulx.an0 (𝜑𝐴 ≠ 0)
itgsincmulx.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
itgsincmulx.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
itgsincmulx.blec (𝜑𝐵𝐶)
Assertion
Ref Expression
itgsincmulx (𝜑 → ∫(𝐵(,)𝐶)(sin‘(𝐴 · 𝑥)) d𝑥 = (((cos‘(𝐴 · 𝐵)) − (cos‘(𝐴 · 𝐶))) / 𝐴))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥

Proof of Theorem itgsincmulx
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2736 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℂ ↦ (-(cos‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (-(cos‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))
2 itgsincmulx.a . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
32adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
4 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → 𝑦 ∈ ℂ)
53, 4mulcld 11282 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝑦) ∈ ℂ)
65coscld 16168 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (cos‘(𝐴 · 𝑦)) ∈ ℂ)
76negcld 11608 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → -(cos‘(𝐴 · 𝑦)) ∈ ℂ)
8 itgsincmulx.an0 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ≠ 0)
98adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → 𝐴 ≠ 0)
107, 3, 9divcld 12044 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (-(cos‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴) ∈ ℂ)
11 cnelprrecn 11249 . . . . . . . . . 10 ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
1211a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
135sincld 16167 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (sin‘(𝐴 · 𝑦)) ∈ ℂ)
1413negcld 11608 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → -(sin‘(𝐴 · 𝑦)) ∈ ℂ)
153, 14mulcld 11282 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (𝐴 · -(sin‘(𝐴 · 𝑦))) ∈ ℂ)
1615negcld 11608 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → -(𝐴 · -(sin‘(𝐴 · 𝑦))) ∈ ℂ)
17 dvcosax 45946 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (cos‘(𝐴 · 𝑦)))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · -(sin‘(𝐴 · 𝑦)))))
182, 17syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (cos‘(𝐴 · 𝑦)))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · -(sin‘(𝐴 · 𝑦)))))
1912, 6, 15, 18dvmptneg 26005 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ -(cos‘(𝐴 · 𝑦)))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ -(𝐴 · -(sin‘(𝐴 · 𝑦)))))
2012, 7, 16, 19, 2, 8dvmptdivc 26004 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (-(cos‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (-(𝐴 · -(sin‘(𝐴 · 𝑦))) / 𝐴)))
2115, 3, 9divnegd 12057 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → -((𝐴 · -(sin‘(𝐴 · 𝑦))) / 𝐴) = (-(𝐴 · -(sin‘(𝐴 · 𝑦))) / 𝐴))
2221eqcomd 2742 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (-(𝐴 · -(sin‘(𝐴 · 𝑦))) / 𝐴) = -((𝐴 · -(sin‘(𝐴 · 𝑦))) / 𝐴))
2314, 3, 9divcan3d 12049 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → ((𝐴 · -(sin‘(𝐴 · 𝑦))) / 𝐴) = -(sin‘(𝐴 · 𝑦)))
2423negeqd 11503 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → -((𝐴 · -(sin‘(𝐴 · 𝑦))) / 𝐴) = --(sin‘(𝐴 · 𝑦)))
2513negnegd 11612 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → --(sin‘(𝐴 · 𝑦)) = (sin‘(𝐴 · 𝑦)))
2622, 24, 253eqtrd 2780 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (-(𝐴 · -(sin‘(𝐴 · 𝑦))) / 𝐴) = (sin‘(𝐴 · 𝑦)))
2726mpteq2dva 5241 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (-(𝐴 · -(sin‘(𝐴 · 𝑦))) / 𝐴)) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦))))
2820, 27eqtrd 2776 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (-(cos‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦))))
29 itgsincmulx.b . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
30 itgsincmulx.c . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
311, 10, 28, 13, 29, 30dvmptresicc 25952 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (-(cos‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))) = (𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦))))
3231fveq1d 6907 . . . . 5 (𝜑 → ((ℝ D (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (-(cos‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)))‘𝑥) = ((𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦)))‘𝑥))
3332adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶)) → ((ℝ D (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (-(cos‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)))‘𝑥) = ((𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦)))‘𝑥))
34 eqidd 2737 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶)) → (𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦))) = (𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦))))
35 oveq2 7440 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑥 → (𝐴 · 𝑦) = (𝐴 · 𝑥))
3635fveq2d 6909 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑥 → (sin‘(𝐴 · 𝑦)) = (sin‘(𝐴 · 𝑥)))
3736adantl 481 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶)) ∧ 𝑦 = 𝑥) → (sin‘(𝐴 · 𝑦)) = (sin‘(𝐴 · 𝑥)))
38 simpr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶)) → 𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶))
392adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶)) → 𝐴 ∈ ℂ)
40 ioosscn 13450 . . . . . . . 8 (𝐵(,)𝐶) ⊆ ℂ
4140, 38sselid 3980 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶)) → 𝑥 ∈ ℂ)
4239, 41mulcld 11282 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶)) → (𝐴 · 𝑥) ∈ ℂ)
4342sincld 16167 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶)) → (sin‘(𝐴 · 𝑥)) ∈ ℂ)
4434, 37, 38, 43fvmptd 7022 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶)) → ((𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦)))‘𝑥) = (sin‘(𝐴 · 𝑥)))
4533, 44eqtr2d 2777 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶)) → (sin‘(𝐴 · 𝑥)) = ((ℝ D (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (-(cos‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)))‘𝑥))
4645itgeq2dv 25818 . 2 (𝜑 → ∫(𝐵(,)𝐶)(sin‘(𝐴 · 𝑥)) d𝑥 = ∫(𝐵(,)𝐶)((ℝ D (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (-(cos‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)))‘𝑥) d𝑥)
47 itgsincmulx.blec . . 3 (𝜑𝐵𝐶)
48 sincn 26489 . . . . . 6 sin ∈ (ℂ–cn→ℂ)
4948a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → sin ∈ (ℂ–cn→ℂ))
5040a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵(,)𝐶) ⊆ ℂ)
51 ssid 4005 . . . . . . . 8 ℂ ⊆ ℂ
5251a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
5350, 2, 52constcncfg 45892 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ 𝐴) ∈ ((𝐵(,)𝐶)–cn→ℂ))
5450, 52idcncfg 45893 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ 𝑦) ∈ ((𝐵(,)𝐶)–cn→ℂ))
5553, 54mulcncf 25481 . . . . 5 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ (𝐴 · 𝑦)) ∈ ((𝐵(,)𝐶)–cn→ℂ))
5649, 55cncfmpt1f 24941 . . . 4 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦))) ∈ ((𝐵(,)𝐶)–cn→ℂ))
5731, 56eqeltrd 2840 . . 3 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (-(cos‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))) ∈ ((𝐵(,)𝐶)–cn→ℂ))
58 ioossicc 13474 . . . . . 6 (𝐵(,)𝐶) ⊆ (𝐵[,]𝐶)
5958a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵(,)𝐶) ⊆ (𝐵[,]𝐶))
60 ioombl 25601 . . . . . 6 (𝐵(,)𝐶) ∈ dom vol
6160a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵(,)𝐶) ∈ dom vol)
622adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶)) → 𝐴 ∈ ℂ)
6329, 30iccssred 13475 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵[,]𝐶) ⊆ ℝ)
64 ax-resscn 11213 . . . . . . . . 9 ℝ ⊆ ℂ
6563, 64sstrdi 3995 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵[,]𝐶) ⊆ ℂ)
6665sselda 3982 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶)) → 𝑦 ∈ ℂ)
6762, 66mulcld 11282 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶)) → (𝐴 · 𝑦) ∈ ℂ)
6867sincld 16167 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶)) → (sin‘(𝐴 · 𝑦)) ∈ ℂ)
6965, 2, 52constcncfg 45892 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ 𝐴) ∈ ((𝐵[,]𝐶)–cn→ℂ))
7065, 52idcncfg 45893 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ 𝑦) ∈ ((𝐵[,]𝐶)–cn→ℂ))
7169, 70mulcncf 25481 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (𝐴 · 𝑦)) ∈ ((𝐵[,]𝐶)–cn→ℂ))
7249, 71cncfmpt1f 24941 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦))) ∈ ((𝐵[,]𝐶)–cn→ℂ))
73 cniccibl 25877 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦))) ∈ ((𝐵[,]𝐶)–cn→ℂ)) → (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦))) ∈ 𝐿1)
7429, 30, 72, 73syl3anc 1372 . . . . 5 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦))) ∈ 𝐿1)
7559, 61, 68, 74iblss 25841 . . . 4 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦))) ∈ 𝐿1)
7631, 75eqeltrd 2840 . . 3 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (-(cos‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))) ∈ 𝐿1)
77 coscn 26490 . . . . . . 7 cos ∈ (ℂ–cn→ℂ)
7877a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → cos ∈ (ℂ–cn→ℂ))
7978, 71cncfmpt1f 24941 . . . . 5 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (cos‘(𝐴 · 𝑦))) ∈ ((𝐵[,]𝐶)–cn→ℂ))
8079negcncfg 45901 . . . 4 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ -(cos‘(𝐴 · 𝑦))) ∈ ((𝐵[,]𝐶)–cn→ℂ))
818neneqd 2944 . . . . . . 7 (𝜑 → ¬ 𝐴 = 0)
82 elsng 4639 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ∈ {0} ↔ 𝐴 = 0))
832, 82syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 ∈ {0} ↔ 𝐴 = 0))
8481, 83mtbird 325 . . . . . 6 (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ {0})
852, 84eldifd 3961 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}))
86 difssd 4136 . . . . 5 (𝜑 → (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ)
8765, 85, 86constcncfg 45892 . . . 4 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ 𝐴) ∈ ((𝐵[,]𝐶)–cn→(ℂ ∖ {0})))
8880, 87divcncf 25483 . . 3 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (-(cos‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)) ∈ ((𝐵[,]𝐶)–cn→ℂ))
8929, 30, 47, 57, 76, 88ftc2 26086 . 2 (𝜑 → ∫(𝐵(,)𝐶)((ℝ D (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (-(cos‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)))‘𝑥) d𝑥 = (((𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (-(cos‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))‘𝐶) − ((𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (-(cos‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))‘𝐵)))
90 eqidd 2737 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (-(cos‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)) = (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (-(cos‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)))
91 oveq2 7440 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝐶 → (𝐴 · 𝑦) = (𝐴 · 𝐶))
9291fveq2d 6909 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝐶 → (cos‘(𝐴 · 𝑦)) = (cos‘(𝐴 · 𝐶)))
9392negeqd 11503 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝐶 → -(cos‘(𝐴 · 𝑦)) = -(cos‘(𝐴 · 𝐶)))
9493oveq1d 7447 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐶 → (-(cos‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴) = (-(cos‘(𝐴 · 𝐶)) / 𝐴))
9594adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 = 𝐶) → (-(cos‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴) = (-(cos‘(𝐴 · 𝐶)) / 𝐴))
9629rexrd 11312 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
9730rexrd 11312 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
98 ubicc2 13506 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝐵𝐶) → 𝐶 ∈ (𝐵[,]𝐶))
9996, 97, 47, 98syl3anc 1372 . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ (𝐵[,]𝐶))
100 ovexd 7467 . . . . . 6 (𝜑 → (-(cos‘(𝐴 · 𝐶)) / 𝐴) ∈ V)
10190, 95, 99, 100fvmptd 7022 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (-(cos‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))‘𝐶) = (-(cos‘(𝐴 · 𝐶)) / 𝐴))
102 oveq2 7440 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝐵 → (𝐴 · 𝑦) = (𝐴 · 𝐵))
103102fveq2d 6909 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝐵 → (cos‘(𝐴 · 𝑦)) = (cos‘(𝐴 · 𝐵)))
104103negeqd 11503 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝐵 → -(cos‘(𝐴 · 𝑦)) = -(cos‘(𝐴 · 𝐵)))
105104oveq1d 7447 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐵 → (-(cos‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴) = (-(cos‘(𝐴 · 𝐵)) / 𝐴))
106105adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 = 𝐵) → (-(cos‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴) = (-(cos‘(𝐴 · 𝐵)) / 𝐴))
107 lbicc2 13505 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝐵𝐶) → 𝐵 ∈ (𝐵[,]𝐶))
10896, 97, 47, 107syl3anc 1372 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ (𝐵[,]𝐶))
109 ovexd 7467 . . . . . 6 (𝜑 → (-(cos‘(𝐴 · 𝐵)) / 𝐴) ∈ V)
11090, 106, 108, 109fvmptd 7022 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (-(cos‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))‘𝐵) = (-(cos‘(𝐴 · 𝐵)) / 𝐴))
111101, 110oveq12d 7450 . . . 4 (𝜑 → (((𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (-(cos‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))‘𝐶) − ((𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (-(cos‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))‘𝐵)) = ((-(cos‘(𝐴 · 𝐶)) / 𝐴) − (-(cos‘(𝐴 · 𝐵)) / 𝐴)))
11229recnd 11290 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
1132, 112mulcld 11282 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
114113coscld 16168 . . . . . . 7 (𝜑 → (cos‘(𝐴 · 𝐵)) ∈ ℂ)
115114, 2, 8divnegd 12057 . . . . . 6 (𝜑 → -((cos‘(𝐴 · 𝐵)) / 𝐴) = (-(cos‘(𝐴 · 𝐵)) / 𝐴))
116115eqcomd 2742 . . . . 5 (𝜑 → (-(cos‘(𝐴 · 𝐵)) / 𝐴) = -((cos‘(𝐴 · 𝐵)) / 𝐴))
117116oveq2d 7448 . . . 4 (𝜑 → ((-(cos‘(𝐴 · 𝐶)) / 𝐴) − (-(cos‘(𝐴 · 𝐵)) / 𝐴)) = ((-(cos‘(𝐴 · 𝐶)) / 𝐴) − -((cos‘(𝐴 · 𝐵)) / 𝐴)))
11830recnd 11290 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
1192, 118mulcld 11282 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℂ)
120119coscld 16168 . . . . . . 7 (𝜑 → (cos‘(𝐴 · 𝐶)) ∈ ℂ)
121120negcld 11608 . . . . . 6 (𝜑 → -(cos‘(𝐴 · 𝐶)) ∈ ℂ)
122121, 2, 8divcld 12044 . . . . 5 (𝜑 → (-(cos‘(𝐴 · 𝐶)) / 𝐴) ∈ ℂ)
123114, 2, 8divcld 12044 . . . . 5 (𝜑 → ((cos‘(𝐴 · 𝐵)) / 𝐴) ∈ ℂ)
124122, 123subnegd 11628 . . . 4 (𝜑 → ((-(cos‘(𝐴 · 𝐶)) / 𝐴) − -((cos‘(𝐴 · 𝐵)) / 𝐴)) = ((-(cos‘(𝐴 · 𝐶)) / 𝐴) + ((cos‘(𝐴 · 𝐵)) / 𝐴)))
125111, 117, 1243eqtrd 2780 . . 3 (𝜑 → (((𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (-(cos‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))‘𝐶) − ((𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (-(cos‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))‘𝐵)) = ((-(cos‘(𝐴 · 𝐶)) / 𝐴) + ((cos‘(𝐴 · 𝐵)) / 𝐴)))
126122, 123addcomd 11464 . . 3 (𝜑 → ((-(cos‘(𝐴 · 𝐶)) / 𝐴) + ((cos‘(𝐴 · 𝐵)) / 𝐴)) = (((cos‘(𝐴 · 𝐵)) / 𝐴) + (-(cos‘(𝐴 · 𝐶)) / 𝐴)))
127120, 2, 8divnegd 12057 . . . . . 6 (𝜑 → -((cos‘(𝐴 · 𝐶)) / 𝐴) = (-(cos‘(𝐴 · 𝐶)) / 𝐴))
128127eqcomd 2742 . . . . 5 (𝜑 → (-(cos‘(𝐴 · 𝐶)) / 𝐴) = -((cos‘(𝐴 · 𝐶)) / 𝐴))
129128oveq2d 7448 . . . 4 (𝜑 → (((cos‘(𝐴 · 𝐵)) / 𝐴) + (-(cos‘(𝐴 · 𝐶)) / 𝐴)) = (((cos‘(𝐴 · 𝐵)) / 𝐴) + -((cos‘(𝐴 · 𝐶)) / 𝐴)))
130120, 2, 8divcld 12044 . . . . 5 (𝜑 → ((cos‘(𝐴 · 𝐶)) / 𝐴) ∈ ℂ)
131123, 130negsubd 11627 . . . 4 (𝜑 → (((cos‘(𝐴 · 𝐵)) / 𝐴) + -((cos‘(𝐴 · 𝐶)) / 𝐴)) = (((cos‘(𝐴 · 𝐵)) / 𝐴) − ((cos‘(𝐴 · 𝐶)) / 𝐴)))
132114, 120, 2, 8divsubdird 12083 . . . . 5 (𝜑 → (((cos‘(𝐴 · 𝐵)) − (cos‘(𝐴 · 𝐶))) / 𝐴) = (((cos‘(𝐴 · 𝐵)) / 𝐴) − ((cos‘(𝐴 · 𝐶)) / 𝐴)))
133132eqcomd 2742 . . . 4 (𝜑 → (((cos‘(𝐴 · 𝐵)) / 𝐴) − ((cos‘(𝐴 · 𝐶)) / 𝐴)) = (((cos‘(𝐴 · 𝐵)) − (cos‘(𝐴 · 𝐶))) / 𝐴))
134129, 131, 1333eqtrd 2780 . . 3 (𝜑 → (((cos‘(𝐴 · 𝐵)) / 𝐴) + (-(cos‘(𝐴 · 𝐶)) / 𝐴)) = (((cos‘(𝐴 · 𝐵)) − (cos‘(𝐴 · 𝐶))) / 𝐴))
135125, 126, 1343eqtrd 2780 . 2 (𝜑 → (((𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (-(cos‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))‘𝐶) − ((𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (-(cos‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))‘𝐵)) = (((cos‘(𝐴 · 𝐵)) − (cos‘(𝐴 · 𝐶))) / 𝐴))
13646, 89, 1353eqtrd 2780 1 (𝜑 → ∫(𝐵(,)𝐶)(sin‘(𝐴 · 𝑥)) d𝑥 = (((cos‘(𝐴 · 𝐵)) − (cos‘(𝐴 · 𝐶))) / 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1539  wcel 2107  wne 2939  Vcvv 3479  cdif 3947  wss 3950  {csn 4625  {cpr 4627   class class class wbr 5142  cmpt 5224  dom cdm 5684  cfv 6560  (class class class)co 7432  cc 11154  cr 11155  0cc0 11156   + caddc 11159   · cmul 11161  *cxr 11295  cle 11297  cmin 11493  -cneg 11494   / cdiv 11921  (,)cioo 13388  [,]cicc 13391  sincsin 16100  cosccos 16101  cnccncf 24903  volcvol 25499  𝐿1cibl 25653  citg 25654   D cdv 25899
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-inf2 9682  ax-cc 10476  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234  ax-addf 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-symdif 4252  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-iin 4993  df-disj 5110  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-of 7698  df-ofr 7699  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-supp 8187  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-2o 8508  df-oadd 8511  df-omul 8512  df-er 8746  df-map 8869  df-pm 8870  df-ixp 8939  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-fsupp 9403  df-fi 9452  df-sup 9483  df-inf 9484  df-oi 9551  df-dju 9942  df-card 9980  df-acn 9983  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12736  df-uz 12880  df-q 12992  df-rp 13036  df-xneg 13155  df-xadd 13156  df-xmul 13157  df-ioo 13392  df-ioc 13393  df-ico 13394  df-icc 13395  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-fl 13833  df-mod 13911  df-seq 14044  df-exp 14104  df-fac 14314  df-bc 14343  df-hash 14371  df-shft 15107  df-cj 15139  df-re 15140  df-im 15141  df-sqrt 15275  df-abs 15276  df-limsup 15508  df-clim 15525  df-rlim 15526  df-sum 15724  df-ef 16104  df-sin 16106  df-cos 16107  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ress 17276  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17468  df-topn 17469  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-topgen 17489  df-pt 17490  df-prds 17493  df-xrs 17548  df-qtop 17553  df-imas 17554  df-xps 17556  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-submnd 18798  df-mulg 19087  df-cntz 19336  df-cmn 19801  df-psmet 21357  df-xmet 21358  df-met 21359  df-bl 21360  df-mopn 21361  df-fbas 21362  df-fg 21363  df-cnfld 21366  df-top 22901  df-topon 22918  df-topsp 22940  df-bases 22954  df-cld 23028  df-ntr 23029  df-cls 23030  df-nei 23107  df-lp 23145  df-perf 23146  df-cn 23236  df-cnp 23237  df-haus 23324  df-cmp 23396  df-tx 23571  df-hmeo 23764  df-fil 23855  df-fm 23947  df-flim 23948  df-flf 23949  df-xms 24331  df-ms 24332  df-tms 24333  df-cncf 24905  df-ovol 25500  df-vol 25501  df-mbf 25655  df-itg1 25656  df-itg2 25657  df-ibl 25658  df-itg 25659  df-0p 25706  df-limc 25902  df-dv 25903
This theorem is referenced by:  sqwvfourb  46249
  Copyright terms: Public domain W3C validator