Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  itgsincmulx Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgsincmulx 45930
Description: Exercise: the integral of 𝑥 ↦ sin𝑎𝑥 on an open interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
itgsincmulx.a (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
itgsincmulx.an0 (𝜑𝐴 ≠ 0)
itgsincmulx.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
itgsincmulx.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
itgsincmulx.blec (𝜑𝐵𝐶)
Assertion
Ref Expression
itgsincmulx (𝜑 → ∫(𝐵(,)𝐶)(sin‘(𝐴 · 𝑥)) d𝑥 = (((cos‘(𝐴 · 𝐵)) − (cos‘(𝐴 · 𝐶))) / 𝐴))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥

Proof of Theorem itgsincmulx
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2735 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℂ ↦ (-(cos‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (-(cos‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))
2 itgsincmulx.a . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
32adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
4 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → 𝑦 ∈ ℂ)
53, 4mulcld 11279 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝑦) ∈ ℂ)
65coscld 16164 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (cos‘(𝐴 · 𝑦)) ∈ ℂ)
76negcld 11605 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → -(cos‘(𝐴 · 𝑦)) ∈ ℂ)
8 itgsincmulx.an0 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ≠ 0)
98adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → 𝐴 ≠ 0)
107, 3, 9divcld 12041 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (-(cos‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴) ∈ ℂ)
11 cnelprrecn 11246 . . . . . . . . . 10 ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
1211a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
135sincld 16163 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (sin‘(𝐴 · 𝑦)) ∈ ℂ)
1413negcld 11605 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → -(sin‘(𝐴 · 𝑦)) ∈ ℂ)
153, 14mulcld 11279 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (𝐴 · -(sin‘(𝐴 · 𝑦))) ∈ ℂ)
1615negcld 11605 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → -(𝐴 · -(sin‘(𝐴 · 𝑦))) ∈ ℂ)
17 dvcosax 45882 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (cos‘(𝐴 · 𝑦)))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · -(sin‘(𝐴 · 𝑦)))))
182, 17syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (cos‘(𝐴 · 𝑦)))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · -(sin‘(𝐴 · 𝑦)))))
1912, 6, 15, 18dvmptneg 26019 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ -(cos‘(𝐴 · 𝑦)))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ -(𝐴 · -(sin‘(𝐴 · 𝑦)))))
2012, 7, 16, 19, 2, 8dvmptdivc 26018 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (-(cos‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (-(𝐴 · -(sin‘(𝐴 · 𝑦))) / 𝐴)))
2115, 3, 9divnegd 12054 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → -((𝐴 · -(sin‘(𝐴 · 𝑦))) / 𝐴) = (-(𝐴 · -(sin‘(𝐴 · 𝑦))) / 𝐴))
2221eqcomd 2741 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (-(𝐴 · -(sin‘(𝐴 · 𝑦))) / 𝐴) = -((𝐴 · -(sin‘(𝐴 · 𝑦))) / 𝐴))
2314, 3, 9divcan3d 12046 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → ((𝐴 · -(sin‘(𝐴 · 𝑦))) / 𝐴) = -(sin‘(𝐴 · 𝑦)))
2423negeqd 11500 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → -((𝐴 · -(sin‘(𝐴 · 𝑦))) / 𝐴) = --(sin‘(𝐴 · 𝑦)))
2513negnegd 11609 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → --(sin‘(𝐴 · 𝑦)) = (sin‘(𝐴 · 𝑦)))
2622, 24, 253eqtrd 2779 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (-(𝐴 · -(sin‘(𝐴 · 𝑦))) / 𝐴) = (sin‘(𝐴 · 𝑦)))
2726mpteq2dva 5248 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (-(𝐴 · -(sin‘(𝐴 · 𝑦))) / 𝐴)) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦))))
2820, 27eqtrd 2775 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (-(cos‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦))))
29 itgsincmulx.b . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
30 itgsincmulx.c . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
311, 10, 28, 13, 29, 30dvmptresicc 25966 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (-(cos‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))) = (𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦))))
3231fveq1d 6909 . . . . 5 (𝜑 → ((ℝ D (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (-(cos‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)))‘𝑥) = ((𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦)))‘𝑥))
3332adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶)) → ((ℝ D (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (-(cos‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)))‘𝑥) = ((𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦)))‘𝑥))
34 eqidd 2736 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶)) → (𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦))) = (𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦))))
35 oveq2 7439 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑥 → (𝐴 · 𝑦) = (𝐴 · 𝑥))
3635fveq2d 6911 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑥 → (sin‘(𝐴 · 𝑦)) = (sin‘(𝐴 · 𝑥)))
3736adantl 481 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶)) ∧ 𝑦 = 𝑥) → (sin‘(𝐴 · 𝑦)) = (sin‘(𝐴 · 𝑥)))
38 simpr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶)) → 𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶))
392adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶)) → 𝐴 ∈ ℂ)
40 ioosscn 13446 . . . . . . . 8 (𝐵(,)𝐶) ⊆ ℂ
4140, 38sselid 3993 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶)) → 𝑥 ∈ ℂ)
4239, 41mulcld 11279 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶)) → (𝐴 · 𝑥) ∈ ℂ)
4342sincld 16163 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶)) → (sin‘(𝐴 · 𝑥)) ∈ ℂ)
4434, 37, 38, 43fvmptd 7023 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶)) → ((𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦)))‘𝑥) = (sin‘(𝐴 · 𝑥)))
4533, 44eqtr2d 2776 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶)) → (sin‘(𝐴 · 𝑥)) = ((ℝ D (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (-(cos‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)))‘𝑥))
4645itgeq2dv 25832 . 2 (𝜑 → ∫(𝐵(,)𝐶)(sin‘(𝐴 · 𝑥)) d𝑥 = ∫(𝐵(,)𝐶)((ℝ D (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (-(cos‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)))‘𝑥) d𝑥)
47 itgsincmulx.blec . . 3 (𝜑𝐵𝐶)
48 sincn 26503 . . . . . 6 sin ∈ (ℂ–cn→ℂ)
4948a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → sin ∈ (ℂ–cn→ℂ))
5040a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵(,)𝐶) ⊆ ℂ)
51 ssid 4018 . . . . . . . 8 ℂ ⊆ ℂ
5251a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
5350, 2, 52constcncfg 45828 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ 𝐴) ∈ ((𝐵(,)𝐶)–cn→ℂ))
5450, 52idcncfg 45829 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ 𝑦) ∈ ((𝐵(,)𝐶)–cn→ℂ))
5553, 54mulcncf 25494 . . . . 5 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ (𝐴 · 𝑦)) ∈ ((𝐵(,)𝐶)–cn→ℂ))
5649, 55cncfmpt1f 24954 . . . 4 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦))) ∈ ((𝐵(,)𝐶)–cn→ℂ))
5731, 56eqeltrd 2839 . . 3 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (-(cos‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))) ∈ ((𝐵(,)𝐶)–cn→ℂ))
58 ioossicc 13470 . . . . . 6 (𝐵(,)𝐶) ⊆ (𝐵[,]𝐶)
5958a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵(,)𝐶) ⊆ (𝐵[,]𝐶))
60 ioombl 25614 . . . . . 6 (𝐵(,)𝐶) ∈ dom vol
6160a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵(,)𝐶) ∈ dom vol)
622adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶)) → 𝐴 ∈ ℂ)
6329, 30iccssred 13471 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵[,]𝐶) ⊆ ℝ)
64 ax-resscn 11210 . . . . . . . . 9 ℝ ⊆ ℂ
6563, 64sstrdi 4008 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵[,]𝐶) ⊆ ℂ)
6665sselda 3995 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶)) → 𝑦 ∈ ℂ)
6762, 66mulcld 11279 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶)) → (𝐴 · 𝑦) ∈ ℂ)
6867sincld 16163 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶)) → (sin‘(𝐴 · 𝑦)) ∈ ℂ)
6965, 2, 52constcncfg 45828 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ 𝐴) ∈ ((𝐵[,]𝐶)–cn→ℂ))
7065, 52idcncfg 45829 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ 𝑦) ∈ ((𝐵[,]𝐶)–cn→ℂ))
7169, 70mulcncf 25494 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (𝐴 · 𝑦)) ∈ ((𝐵[,]𝐶)–cn→ℂ))
7249, 71cncfmpt1f 24954 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦))) ∈ ((𝐵[,]𝐶)–cn→ℂ))
73 cniccibl 25891 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦))) ∈ ((𝐵[,]𝐶)–cn→ℂ)) → (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦))) ∈ 𝐿1)
7429, 30, 72, 73syl3anc 1370 . . . . 5 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦))) ∈ 𝐿1)
7559, 61, 68, 74iblss 25855 . . . 4 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦))) ∈ 𝐿1)
7631, 75eqeltrd 2839 . . 3 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (-(cos‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))) ∈ 𝐿1)
77 coscn 26504 . . . . . . 7 cos ∈ (ℂ–cn→ℂ)
7877a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → cos ∈ (ℂ–cn→ℂ))
7978, 71cncfmpt1f 24954 . . . . 5 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (cos‘(𝐴 · 𝑦))) ∈ ((𝐵[,]𝐶)–cn→ℂ))
8079negcncfg 45837 . . . 4 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ -(cos‘(𝐴 · 𝑦))) ∈ ((𝐵[,]𝐶)–cn→ℂ))
818neneqd 2943 . . . . . . 7 (𝜑 → ¬ 𝐴 = 0)
82 elsng 4645 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ∈ {0} ↔ 𝐴 = 0))
832, 82syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 ∈ {0} ↔ 𝐴 = 0))
8481, 83mtbird 325 . . . . . 6 (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ {0})
852, 84eldifd 3974 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}))
86 difssd 4147 . . . . 5 (𝜑 → (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ)
8765, 85, 86constcncfg 45828 . . . 4 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ 𝐴) ∈ ((𝐵[,]𝐶)–cn→(ℂ ∖ {0})))
8880, 87divcncf 25496 . . 3 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (-(cos‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)) ∈ ((𝐵[,]𝐶)–cn→ℂ))
8929, 30, 47, 57, 76, 88ftc2 26100 . 2 (𝜑 → ∫(𝐵(,)𝐶)((ℝ D (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (-(cos‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)))‘𝑥) d𝑥 = (((𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (-(cos‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))‘𝐶) − ((𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (-(cos‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))‘𝐵)))
90 eqidd 2736 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (-(cos‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)) = (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (-(cos‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)))
91 oveq2 7439 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝐶 → (𝐴 · 𝑦) = (𝐴 · 𝐶))
9291fveq2d 6911 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝐶 → (cos‘(𝐴 · 𝑦)) = (cos‘(𝐴 · 𝐶)))
9392negeqd 11500 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝐶 → -(cos‘(𝐴 · 𝑦)) = -(cos‘(𝐴 · 𝐶)))
9493oveq1d 7446 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐶 → (-(cos‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴) = (-(cos‘(𝐴 · 𝐶)) / 𝐴))
9594adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 = 𝐶) → (-(cos‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴) = (-(cos‘(𝐴 · 𝐶)) / 𝐴))
9629rexrd 11309 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
9730rexrd 11309 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
98 ubicc2 13502 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝐵𝐶) → 𝐶 ∈ (𝐵[,]𝐶))
9996, 97, 47, 98syl3anc 1370 . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ (𝐵[,]𝐶))
100 ovexd 7466 . . . . . 6 (𝜑 → (-(cos‘(𝐴 · 𝐶)) / 𝐴) ∈ V)
10190, 95, 99, 100fvmptd 7023 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (-(cos‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))‘𝐶) = (-(cos‘(𝐴 · 𝐶)) / 𝐴))
102 oveq2 7439 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝐵 → (𝐴 · 𝑦) = (𝐴 · 𝐵))
103102fveq2d 6911 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝐵 → (cos‘(𝐴 · 𝑦)) = (cos‘(𝐴 · 𝐵)))
104103negeqd 11500 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝐵 → -(cos‘(𝐴 · 𝑦)) = -(cos‘(𝐴 · 𝐵)))
105104oveq1d 7446 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐵 → (-(cos‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴) = (-(cos‘(𝐴 · 𝐵)) / 𝐴))
106105adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 = 𝐵) → (-(cos‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴) = (-(cos‘(𝐴 · 𝐵)) / 𝐴))
107 lbicc2 13501 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝐵𝐶) → 𝐵 ∈ (𝐵[,]𝐶))
10896, 97, 47, 107syl3anc 1370 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ (𝐵[,]𝐶))
109 ovexd 7466 . . . . . 6 (𝜑 → (-(cos‘(𝐴 · 𝐵)) / 𝐴) ∈ V)
11090, 106, 108, 109fvmptd 7023 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (-(cos‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))‘𝐵) = (-(cos‘(𝐴 · 𝐵)) / 𝐴))
111101, 110oveq12d 7449 . . . 4 (𝜑 → (((𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (-(cos‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))‘𝐶) − ((𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (-(cos‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))‘𝐵)) = ((-(cos‘(𝐴 · 𝐶)) / 𝐴) − (-(cos‘(𝐴 · 𝐵)) / 𝐴)))
11229recnd 11287 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
1132, 112mulcld 11279 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
114113coscld 16164 . . . . . . 7 (𝜑 → (cos‘(𝐴 · 𝐵)) ∈ ℂ)
115114, 2, 8divnegd 12054 . . . . . 6 (𝜑 → -((cos‘(𝐴 · 𝐵)) / 𝐴) = (-(cos‘(𝐴 · 𝐵)) / 𝐴))
116115eqcomd 2741 . . . . 5 (𝜑 → (-(cos‘(𝐴 · 𝐵)) / 𝐴) = -((cos‘(𝐴 · 𝐵)) / 𝐴))
117116oveq2d 7447 . . . 4 (𝜑 → ((-(cos‘(𝐴 · 𝐶)) / 𝐴) − (-(cos‘(𝐴 · 𝐵)) / 𝐴)) = ((-(cos‘(𝐴 · 𝐶)) / 𝐴) − -((cos‘(𝐴 · 𝐵)) / 𝐴)))
11830recnd 11287 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
1192, 118mulcld 11279 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℂ)
120119coscld 16164 . . . . . . 7 (𝜑 → (cos‘(𝐴 · 𝐶)) ∈ ℂ)
121120negcld 11605 . . . . . 6 (𝜑 → -(cos‘(𝐴 · 𝐶)) ∈ ℂ)
122121, 2, 8divcld 12041 . . . . 5 (𝜑 → (-(cos‘(𝐴 · 𝐶)) / 𝐴) ∈ ℂ)
123114, 2, 8divcld 12041 . . . . 5 (𝜑 → ((cos‘(𝐴 · 𝐵)) / 𝐴) ∈ ℂ)
124122, 123subnegd 11625 . . . 4 (𝜑 → ((-(cos‘(𝐴 · 𝐶)) / 𝐴) − -((cos‘(𝐴 · 𝐵)) / 𝐴)) = ((-(cos‘(𝐴 · 𝐶)) / 𝐴) + ((cos‘(𝐴 · 𝐵)) / 𝐴)))
125111, 117, 1243eqtrd 2779 . . 3 (𝜑 → (((𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (-(cos‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))‘𝐶) − ((𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (-(cos‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))‘𝐵)) = ((-(cos‘(𝐴 · 𝐶)) / 𝐴) + ((cos‘(𝐴 · 𝐵)) / 𝐴)))
126122, 123addcomd 11461 . . 3 (𝜑 → ((-(cos‘(𝐴 · 𝐶)) / 𝐴) + ((cos‘(𝐴 · 𝐵)) / 𝐴)) = (((cos‘(𝐴 · 𝐵)) / 𝐴) + (-(cos‘(𝐴 · 𝐶)) / 𝐴)))
127120, 2, 8divnegd 12054 . . . . . 6 (𝜑 → -((cos‘(𝐴 · 𝐶)) / 𝐴) = (-(cos‘(𝐴 · 𝐶)) / 𝐴))
128127eqcomd 2741 . . . . 5 (𝜑 → (-(cos‘(𝐴 · 𝐶)) / 𝐴) = -((cos‘(𝐴 · 𝐶)) / 𝐴))
129128oveq2d 7447 . . . 4 (𝜑 → (((cos‘(𝐴 · 𝐵)) / 𝐴) + (-(cos‘(𝐴 · 𝐶)) / 𝐴)) = (((cos‘(𝐴 · 𝐵)) / 𝐴) + -((cos‘(𝐴 · 𝐶)) / 𝐴)))
130120, 2, 8divcld 12041 . . . . 5 (𝜑 → ((cos‘(𝐴 · 𝐶)) / 𝐴) ∈ ℂ)
131123, 130negsubd 11624 . . . 4 (𝜑 → (((cos‘(𝐴 · 𝐵)) / 𝐴) + -((cos‘(𝐴 · 𝐶)) / 𝐴)) = (((cos‘(𝐴 · 𝐵)) / 𝐴) − ((cos‘(𝐴 · 𝐶)) / 𝐴)))
132114, 120, 2, 8divsubdird 12080 . . . . 5 (𝜑 → (((cos‘(𝐴 · 𝐵)) − (cos‘(𝐴 · 𝐶))) / 𝐴) = (((cos‘(𝐴 · 𝐵)) / 𝐴) − ((cos‘(𝐴 · 𝐶)) / 𝐴)))
133132eqcomd 2741 . . . 4 (𝜑 → (((cos‘(𝐴 · 𝐵)) / 𝐴) − ((cos‘(𝐴 · 𝐶)) / 𝐴)) = (((cos‘(𝐴 · 𝐵)) − (cos‘(𝐴 · 𝐶))) / 𝐴))
134129, 131, 1333eqtrd 2779 . . 3 (𝜑 → (((cos‘(𝐴 · 𝐵)) / 𝐴) + (-(cos‘(𝐴 · 𝐶)) / 𝐴)) = (((cos‘(𝐴 · 𝐵)) − (cos‘(𝐴 · 𝐶))) / 𝐴))
135125, 126, 1343eqtrd 2779 . 2 (𝜑 → (((𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (-(cos‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))‘𝐶) − ((𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (-(cos‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))‘𝐵)) = (((cos‘(𝐴 · 𝐵)) − (cos‘(𝐴 · 𝐶))) / 𝐴))
13646, 89, 1353eqtrd 2779 1 (𝜑 → ∫(𝐵(,)𝐶)(sin‘(𝐴 · 𝑥)) d𝑥 = (((cos‘(𝐴 · 𝐵)) − (cos‘(𝐴 · 𝐶))) / 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  Vcvv 3478  cdif 3960  wss 3963  {csn 4631  {cpr 4633   class class class wbr 5148  cmpt 5231  dom cdm 5689  cfv 6563  (class class class)co 7431  cc 11151  cr 11152  0cc0 11153   + caddc 11156   · cmul 11158  *cxr 11292  cle 11294  cmin 11490  -cneg 11491   / cdiv 11918  (,)cioo 13384  [,]cicc 13387  sincsin 16096  cosccos 16097  cnccncf 24916  volcvol 25512  𝐿1cibl 25666  citg 25667   D cdv 25913
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cc 10473  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-symdif 4259  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-disj 5116  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-oadd 8509  df-omul 8510  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-dju 9939  df-card 9977  df-acn 9980  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ioo 13388  df-ioc 13389  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-mod 13907  df-seq 14040  df-exp 14100  df-fac 14310  df-bc 14339  df-hash 14367  df-shft 15103  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-limsup 15504  df-clim 15521  df-rlim 15522  df-sum 15720  df-ef 16100  df-sin 16102  df-cos 16103  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17469  df-topn 17470  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-topgen 17490  df-pt 17491  df-prds 17494  df-xrs 17549  df-qtop 17554  df-imas 17555  df-xps 17557  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-mulg 19099  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-fbas 21379  df-fg 21380  df-cnfld 21383  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-cld 23043  df-ntr 23044  df-cls 23045  df-nei 23122  df-lp 23160  df-perf 23161  df-cn 23251  df-cnp 23252  df-haus 23339  df-cmp 23411  df-tx 23586  df-hmeo 23779  df-fil 23870  df-fm 23962  df-flim 23963  df-flf 23964  df-xms 24346  df-ms 24347  df-tms 24348  df-cncf 24918  df-ovol 25513  df-vol 25514  df-mbf 25668  df-itg1 25669  df-itg2 25670  df-ibl 25671  df-itg 25672  df-0p 25719  df-limc 25916  df-dv 25917
This theorem is referenced by:  sqwvfourb  46185
  Copyright terms: Public domain W3C validator