Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  itgsincmulx Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgsincmulx 40759
Description: Exercise: the integral of 𝑥 ↦ sin𝑎𝑥 on an open interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
itgsincmulx.a (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
itgsincmulx.an0 (𝜑𝐴 ≠ 0)
itgsincmulx.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
itgsincmulx.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
itgsincmulx.blec (𝜑𝐵𝐶)
Assertion
Ref Expression
itgsincmulx (𝜑 → ∫(𝐵(,)𝐶)(sin‘(𝐴 · 𝑥)) d𝑥 = (((cos‘(𝐴 · 𝐵)) − (cos‘(𝐴 · 𝐶))) / 𝐴))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥

Proof of Theorem itgsincmulx
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2765 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℂ ↦ (-(cos‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (-(cos‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))
2 itgsincmulx.a . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
32adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
4 simpr 477 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → 𝑦 ∈ ℂ)
53, 4mulcld 10314 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝑦) ∈ ℂ)
65coscld 15145 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (cos‘(𝐴 · 𝑦)) ∈ ℂ)
76negcld 10633 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → -(cos‘(𝐴 · 𝑦)) ∈ ℂ)
8 itgsincmulx.an0 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ≠ 0)
98adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → 𝐴 ≠ 0)
107, 3, 9divcld 11055 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (-(cos‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴) ∈ ℂ)
11 cnelprrecn 10282 . . . . . . . . . 10 ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
1211a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
135sincld 15144 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (sin‘(𝐴 · 𝑦)) ∈ ℂ)
1413negcld 10633 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → -(sin‘(𝐴 · 𝑦)) ∈ ℂ)
153, 14mulcld 10314 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (𝐴 · -(sin‘(𝐴 · 𝑦))) ∈ ℂ)
1615negcld 10633 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → -(𝐴 · -(sin‘(𝐴 · 𝑦))) ∈ ℂ)
17 dvcosax 40711 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (cos‘(𝐴 · 𝑦)))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · -(sin‘(𝐴 · 𝑦)))))
182, 17syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (cos‘(𝐴 · 𝑦)))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · -(sin‘(𝐴 · 𝑦)))))
1912, 6, 15, 18dvmptneg 24020 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ -(cos‘(𝐴 · 𝑦)))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ -(𝐴 · -(sin‘(𝐴 · 𝑦)))))
2012, 7, 16, 19, 2, 8dvmptdivc 24019 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (-(cos‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (-(𝐴 · -(sin‘(𝐴 · 𝑦))) / 𝐴)))
2115, 3, 9divnegd 11068 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → -((𝐴 · -(sin‘(𝐴 · 𝑦))) / 𝐴) = (-(𝐴 · -(sin‘(𝐴 · 𝑦))) / 𝐴))
2221eqcomd 2771 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (-(𝐴 · -(sin‘(𝐴 · 𝑦))) / 𝐴) = -((𝐴 · -(sin‘(𝐴 · 𝑦))) / 𝐴))
2314, 3, 9divcan3d 11060 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → ((𝐴 · -(sin‘(𝐴 · 𝑦))) / 𝐴) = -(sin‘(𝐴 · 𝑦)))
2423negeqd 10529 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → -((𝐴 · -(sin‘(𝐴 · 𝑦))) / 𝐴) = --(sin‘(𝐴 · 𝑦)))
2513negnegd 10637 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → --(sin‘(𝐴 · 𝑦)) = (sin‘(𝐴 · 𝑦)))
2622, 24, 253eqtrd 2803 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (-(𝐴 · -(sin‘(𝐴 · 𝑦))) / 𝐴) = (sin‘(𝐴 · 𝑦)))
2726mpteq2dva 4903 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (-(𝐴 · -(sin‘(𝐴 · 𝑦))) / 𝐴)) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦))))
2820, 27eqtrd 2799 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (-(cos‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦))))
29 itgsincmulx.b . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
30 itgsincmulx.c . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
311, 10, 28, 13, 29, 30dvmptresicc 40704 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (-(cos‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))) = (𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦))))
3231fveq1d 6377 . . . . 5 (𝜑 → ((ℝ D (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (-(cos‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)))‘𝑥) = ((𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦)))‘𝑥))
3332adantr 472 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶)) → ((ℝ D (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (-(cos‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)))‘𝑥) = ((𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦)))‘𝑥))
34 eqidd 2766 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶)) → (𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦))) = (𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦))))
35 oveq2 6850 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑥 → (𝐴 · 𝑦) = (𝐴 · 𝑥))
3635fveq2d 6379 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑥 → (sin‘(𝐴 · 𝑦)) = (sin‘(𝐴 · 𝑥)))
3736adantl 473 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶)) ∧ 𝑦 = 𝑥) → (sin‘(𝐴 · 𝑦)) = (sin‘(𝐴 · 𝑥)))
38 simpr 477 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶)) → 𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶))
392adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶)) → 𝐴 ∈ ℂ)
40 ioosscn 40290 . . . . . . . 8 (𝐵(,)𝐶) ⊆ ℂ
4140, 38sseldi 3759 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶)) → 𝑥 ∈ ℂ)
4239, 41mulcld 10314 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶)) → (𝐴 · 𝑥) ∈ ℂ)
4342sincld 15144 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶)) → (sin‘(𝐴 · 𝑥)) ∈ ℂ)
4434, 37, 38, 43fvmptd 6477 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶)) → ((𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦)))‘𝑥) = (sin‘(𝐴 · 𝑥)))
4533, 44eqtr2d 2800 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶)) → (sin‘(𝐴 · 𝑥)) = ((ℝ D (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (-(cos‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)))‘𝑥))
4645itgeq2dv 23839 . 2 (𝜑 → ∫(𝐵(,)𝐶)(sin‘(𝐴 · 𝑥)) d𝑥 = ∫(𝐵(,)𝐶)((ℝ D (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (-(cos‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)))‘𝑥) d𝑥)
47 itgsincmulx.blec . . 3 (𝜑𝐵𝐶)
48 sincn 24489 . . . . . 6 sin ∈ (ℂ–cn→ℂ)
4948a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → sin ∈ (ℂ–cn→ℂ))
5040a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵(,)𝐶) ⊆ ℂ)
51 ssid 3783 . . . . . . . 8 ℂ ⊆ ℂ
5251a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
5350, 2, 52constcncfg 40654 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ 𝐴) ∈ ((𝐵(,)𝐶)–cn→ℂ))
5450, 52idcncfg 40655 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ 𝑦) ∈ ((𝐵(,)𝐶)–cn→ℂ))
5553, 54mulcncf 23504 . . . . 5 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ (𝐴 · 𝑦)) ∈ ((𝐵(,)𝐶)–cn→ℂ))
5649, 55cncfmpt1f 22995 . . . 4 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦))) ∈ ((𝐵(,)𝐶)–cn→ℂ))
5731, 56eqeltrd 2844 . . 3 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (-(cos‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))) ∈ ((𝐵(,)𝐶)–cn→ℂ))
58 ioossicc 12461 . . . . . 6 (𝐵(,)𝐶) ⊆ (𝐵[,]𝐶)
5958a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵(,)𝐶) ⊆ (𝐵[,]𝐶))
60 ioombl 23623 . . . . . 6 (𝐵(,)𝐶) ∈ dom vol
6160a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵(,)𝐶) ∈ dom vol)
622adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶)) → 𝐴 ∈ ℂ)
6329, 30iccssred 40301 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵[,]𝐶) ⊆ ℝ)
64 ax-resscn 10246 . . . . . . . . 9 ℝ ⊆ ℂ
6563, 64syl6ss 3773 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵[,]𝐶) ⊆ ℂ)
6665sselda 3761 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶)) → 𝑦 ∈ ℂ)
6762, 66mulcld 10314 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶)) → (𝐴 · 𝑦) ∈ ℂ)
6867sincld 15144 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶)) → (sin‘(𝐴 · 𝑦)) ∈ ℂ)
6965, 2, 52constcncfg 40654 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ 𝐴) ∈ ((𝐵[,]𝐶)–cn→ℂ))
7065, 52idcncfg 40655 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ 𝑦) ∈ ((𝐵[,]𝐶)–cn→ℂ))
7169, 70mulcncf 23504 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (𝐴 · 𝑦)) ∈ ((𝐵[,]𝐶)–cn→ℂ))
7249, 71cncfmpt1f 22995 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦))) ∈ ((𝐵[,]𝐶)–cn→ℂ))
73 cniccibl 23898 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦))) ∈ ((𝐵[,]𝐶)–cn→ℂ)) → (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦))) ∈ 𝐿1)
7429, 30, 72, 73syl3anc 1490 . . . . 5 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦))) ∈ 𝐿1)
7559, 61, 68, 74iblss 23862 . . . 4 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦))) ∈ 𝐿1)
7631, 75eqeltrd 2844 . . 3 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (-(cos‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))) ∈ 𝐿1)
77 coscn 24490 . . . . . . 7 cos ∈ (ℂ–cn→ℂ)
7877a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → cos ∈ (ℂ–cn→ℂ))
7978, 71cncfmpt1f 22995 . . . . 5 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (cos‘(𝐴 · 𝑦))) ∈ ((𝐵[,]𝐶)–cn→ℂ))
8079negcncfg 40664 . . . 4 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ -(cos‘(𝐴 · 𝑦))) ∈ ((𝐵[,]𝐶)–cn→ℂ))
818neneqd 2942 . . . . . . 7 (𝜑 → ¬ 𝐴 = 0)
82 elsng 4348 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ∈ {0} ↔ 𝐴 = 0))
832, 82syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 ∈ {0} ↔ 𝐴 = 0))
8481, 83mtbird 316 . . . . . 6 (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ {0})
852, 84eldifd 3743 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}))
86 difssd 3900 . . . . 5 (𝜑 → (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ)
8765, 85, 86constcncfg 40654 . . . 4 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ 𝐴) ∈ ((𝐵[,]𝐶)–cn→(ℂ ∖ {0})))
8880, 87divcncf 23505 . . 3 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (-(cos‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)) ∈ ((𝐵[,]𝐶)–cn→ℂ))
8929, 30, 47, 57, 76, 88ftc2 24098 . 2 (𝜑 → ∫(𝐵(,)𝐶)((ℝ D (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (-(cos‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)))‘𝑥) d𝑥 = (((𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (-(cos‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))‘𝐶) − ((𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (-(cos‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))‘𝐵)))
90 eqidd 2766 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (-(cos‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)) = (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (-(cos‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)))
91 oveq2 6850 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝐶 → (𝐴 · 𝑦) = (𝐴 · 𝐶))
9291fveq2d 6379 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝐶 → (cos‘(𝐴 · 𝑦)) = (cos‘(𝐴 · 𝐶)))
9392negeqd 10529 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝐶 → -(cos‘(𝐴 · 𝑦)) = -(cos‘(𝐴 · 𝐶)))
9493oveq1d 6857 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐶 → (-(cos‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴) = (-(cos‘(𝐴 · 𝐶)) / 𝐴))
9594adantl 473 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 = 𝐶) → (-(cos‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴) = (-(cos‘(𝐴 · 𝐶)) / 𝐴))
9629rexrd 10343 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
9730rexrd 10343 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
98 ubicc2 12493 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝐵𝐶) → 𝐶 ∈ (𝐵[,]𝐶))
9996, 97, 47, 98syl3anc 1490 . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ (𝐵[,]𝐶))
100 ovexd 6876 . . . . . 6 (𝜑 → (-(cos‘(𝐴 · 𝐶)) / 𝐴) ∈ V)
10190, 95, 99, 100fvmptd 6477 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (-(cos‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))‘𝐶) = (-(cos‘(𝐴 · 𝐶)) / 𝐴))
102 oveq2 6850 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝐵 → (𝐴 · 𝑦) = (𝐴 · 𝐵))
103102fveq2d 6379 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝐵 → (cos‘(𝐴 · 𝑦)) = (cos‘(𝐴 · 𝐵)))
104103negeqd 10529 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝐵 → -(cos‘(𝐴 · 𝑦)) = -(cos‘(𝐴 · 𝐵)))
105104oveq1d 6857 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐵 → (-(cos‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴) = (-(cos‘(𝐴 · 𝐵)) / 𝐴))
106105adantl 473 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 = 𝐵) → (-(cos‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴) = (-(cos‘(𝐴 · 𝐵)) / 𝐴))
107 lbicc2 12492 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝐵𝐶) → 𝐵 ∈ (𝐵[,]𝐶))
10896, 97, 47, 107syl3anc 1490 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ (𝐵[,]𝐶))
109 ovexd 6876 . . . . . 6 (𝜑 → (-(cos‘(𝐴 · 𝐵)) / 𝐴) ∈ V)
11090, 106, 108, 109fvmptd 6477 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (-(cos‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))‘𝐵) = (-(cos‘(𝐴 · 𝐵)) / 𝐴))
111101, 110oveq12d 6860 . . . 4 (𝜑 → (((𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (-(cos‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))‘𝐶) − ((𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (-(cos‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))‘𝐵)) = ((-(cos‘(𝐴 · 𝐶)) / 𝐴) − (-(cos‘(𝐴 · 𝐵)) / 𝐴)))
11229recnd 10322 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
1132, 112mulcld 10314 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
114113coscld 15145 . . . . . . 7 (𝜑 → (cos‘(𝐴 · 𝐵)) ∈ ℂ)
115114, 2, 8divnegd 11068 . . . . . 6 (𝜑 → -((cos‘(𝐴 · 𝐵)) / 𝐴) = (-(cos‘(𝐴 · 𝐵)) / 𝐴))
116115eqcomd 2771 . . . . 5 (𝜑 → (-(cos‘(𝐴 · 𝐵)) / 𝐴) = -((cos‘(𝐴 · 𝐵)) / 𝐴))
117116oveq2d 6858 . . . 4 (𝜑 → ((-(cos‘(𝐴 · 𝐶)) / 𝐴) − (-(cos‘(𝐴 · 𝐵)) / 𝐴)) = ((-(cos‘(𝐴 · 𝐶)) / 𝐴) − -((cos‘(𝐴 · 𝐵)) / 𝐴)))
11830recnd 10322 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
1192, 118mulcld 10314 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℂ)
120119coscld 15145 . . . . . . 7 (𝜑 → (cos‘(𝐴 · 𝐶)) ∈ ℂ)
121120negcld 10633 . . . . . 6 (𝜑 → -(cos‘(𝐴 · 𝐶)) ∈ ℂ)
122121, 2, 8divcld 11055 . . . . 5 (𝜑 → (-(cos‘(𝐴 · 𝐶)) / 𝐴) ∈ ℂ)
123114, 2, 8divcld 11055 . . . . 5 (𝜑 → ((cos‘(𝐴 · 𝐵)) / 𝐴) ∈ ℂ)
124122, 123subnegd 10653 . . . 4 (𝜑 → ((-(cos‘(𝐴 · 𝐶)) / 𝐴) − -((cos‘(𝐴 · 𝐵)) / 𝐴)) = ((-(cos‘(𝐴 · 𝐶)) / 𝐴) + ((cos‘(𝐴 · 𝐵)) / 𝐴)))
125111, 117, 1243eqtrd 2803 . . 3 (𝜑 → (((𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (-(cos‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))‘𝐶) − ((𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (-(cos‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))‘𝐵)) = ((-(cos‘(𝐴 · 𝐶)) / 𝐴) + ((cos‘(𝐴 · 𝐵)) / 𝐴)))
126122, 123addcomd 10492 . . 3 (𝜑 → ((-(cos‘(𝐴 · 𝐶)) / 𝐴) + ((cos‘(𝐴 · 𝐵)) / 𝐴)) = (((cos‘(𝐴 · 𝐵)) / 𝐴) + (-(cos‘(𝐴 · 𝐶)) / 𝐴)))
127120, 2, 8divnegd 11068 . . . . . 6 (𝜑 → -((cos‘(𝐴 · 𝐶)) / 𝐴) = (-(cos‘(𝐴 · 𝐶)) / 𝐴))
128127eqcomd 2771 . . . . 5 (𝜑 → (-(cos‘(𝐴 · 𝐶)) / 𝐴) = -((cos‘(𝐴 · 𝐶)) / 𝐴))
129128oveq2d 6858 . . . 4 (𝜑 → (((cos‘(𝐴 · 𝐵)) / 𝐴) + (-(cos‘(𝐴 · 𝐶)) / 𝐴)) = (((cos‘(𝐴 · 𝐵)) / 𝐴) + -((cos‘(𝐴 · 𝐶)) / 𝐴)))
130120, 2, 8divcld 11055 . . . . 5 (𝜑 → ((cos‘(𝐴 · 𝐶)) / 𝐴) ∈ ℂ)
131123, 130negsubd 10652 . . . 4 (𝜑 → (((cos‘(𝐴 · 𝐵)) / 𝐴) + -((cos‘(𝐴 · 𝐶)) / 𝐴)) = (((cos‘(𝐴 · 𝐵)) / 𝐴) − ((cos‘(𝐴 · 𝐶)) / 𝐴)))
132114, 120, 2, 8divsubdird 11094 . . . . 5 (𝜑 → (((cos‘(𝐴 · 𝐵)) − (cos‘(𝐴 · 𝐶))) / 𝐴) = (((cos‘(𝐴 · 𝐵)) / 𝐴) − ((cos‘(𝐴 · 𝐶)) / 𝐴)))
133132eqcomd 2771 . . . 4 (𝜑 → (((cos‘(𝐴 · 𝐵)) / 𝐴) − ((cos‘(𝐴 · 𝐶)) / 𝐴)) = (((cos‘(𝐴 · 𝐵)) − (cos‘(𝐴 · 𝐶))) / 𝐴))
134129, 131, 1333eqtrd 2803 . . 3 (𝜑 → (((cos‘(𝐴 · 𝐵)) / 𝐴) + (-(cos‘(𝐴 · 𝐶)) / 𝐴)) = (((cos‘(𝐴 · 𝐵)) − (cos‘(𝐴 · 𝐶))) / 𝐴))
135125, 126, 1343eqtrd 2803 . 2 (𝜑 → (((𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (-(cos‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))‘𝐶) − ((𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (-(cos‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))‘𝐵)) = (((cos‘(𝐴 · 𝐵)) − (cos‘(𝐴 · 𝐶))) / 𝐴))
13646, 89, 1353eqtrd 2803 1 (𝜑 → ∫(𝐵(,)𝐶)(sin‘(𝐴 · 𝑥)) d𝑥 = (((cos‘(𝐴 · 𝐵)) − (cos‘(𝐴 · 𝐶))) / 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937  Vcvv 3350  cdif 3729  wss 3732  {csn 4334  {cpr 4336   class class class wbr 4809  cmpt 4888  dom cdm 5277  cfv 6068  (class class class)co 6842  cc 10187  cr 10188  0cc0 10189   + caddc 10192   · cmul 10194  *cxr 10327  cle 10329  cmin 10520  -cneg 10521   / cdiv 10938  (,)cioo 12377  [,]cicc 12380  sincsin 15078  cosccos 15079  cnccncf 22958  volcvol 23521  𝐿1cibl 23675  citg 23676   D cdv 23918
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-inf2 8753  ax-cc 9510  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267  ax-addf 10268  ax-mulf 10269
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-symdif 4005  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-iin 4679  df-disj 4778  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-se 5237  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-isom 6077  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-of 7095  df-ofr 7096  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-supp 7498  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-2o 7765  df-oadd 7768  df-omul 7769  df-er 7947  df-map 8062  df-pm 8063  df-ixp 8114  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-fsupp 8483  df-fi 8524  df-sup 8555  df-inf 8556  df-oi 8622  df-card 9016  df-acn 9019  df-cda 9243  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-4 11337  df-5 11338  df-6 11339  df-7 11340  df-8 11341  df-9 11342  df-n0 11539  df-z 11625  df-dec 11741  df-uz 11887  df-q 11990  df-rp 12029  df-xneg 12146  df-xadd 12147  df-xmul 12148  df-ioo 12381  df-ioc 12382  df-ico 12383  df-icc 12384  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-mod 12877  df-seq 13009  df-exp 13068  df-fac 13265  df-bc 13294  df-hash 13322  df-shft 14094  df-cj 14126  df-re 14127  df-im 14128  df-sqrt 14262  df-abs 14263  df-limsup 14489  df-clim 14506  df-rlim 14507  df-sum 14704  df-ef 15082  df-sin 15084  df-cos 15085  df-struct 16134  df-ndx 16135  df-slot 16136  df-base 16138  df-sets 16139  df-ress 16140  df-plusg 16229  df-mulr 16230  df-starv 16231  df-sca 16232  df-vsca 16233  df-ip 16234  df-tset 16235  df-ple 16236  df-ds 16238  df-unif 16239  df-hom 16240  df-cco 16241  df-rest 16351  df-topn 16352  df-0g 16370  df-gsum 16371  df-topgen 16372  df-pt 16373  df-prds 16376  df-xrs 16430  df-qtop 16435  df-imas 16436  df-xps 16438  df-mre 16514  df-mrc 16515  df-acs 16517  df-mgm 17510  df-sgrp 17552  df-mnd 17563  df-submnd 17604  df-mulg 17810  df-cntz 18015  df-cmn 18461  df-psmet 20011  df-xmet 20012  df-met 20013  df-bl 20014  df-mopn 20015  df-fbas 20016  df-fg 20017  df-cnfld 20020  df-top 20978  df-topon 20995  df-topsp 21017  df-bases 21030  df-cld 21103  df-ntr 21104  df-cls 21105  df-nei 21182  df-lp 21220  df-perf 21221  df-cn 21311  df-cnp 21312  df-haus 21399  df-cmp 21470  df-tx 21645  df-hmeo 21838  df-fil 21929  df-fm 22021  df-flim 22022  df-flf 22023  df-xms 22404  df-ms 22405  df-tms 22406  df-cncf 22960  df-ovol 23522  df-vol 23523  df-mbf 23677  df-itg1 23678  df-itg2 23679  df-ibl 23680  df-itg 23681  df-0p 23728  df-limc 23921  df-dv 23922
This theorem is referenced by:  sqwvfourb  41015
  Copyright terms: Public domain W3C validator