itgcoscmulx - Mathbox for Glauco Siliprandi

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Theorem itgcoscmulx 46542

Description: Exercise: the integral of 𝑥 ↦ cos𝑎𝑥 on an open interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
itgcoscmulx.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
itgcoscmulx.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
itgcoscmulx.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
itgcoscmulx.blec	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)
itgcoscmulx.an0	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

**Assertion**
Ref	Expression
itgcoscmulx	⊢ (𝜑 → ∫(𝐵(,)𝐶)(cos‘(𝐴 · 𝑥)) d𝑥 = (((sin‘(𝐴 · 𝐶)) − (sin‘(𝐴 · 𝐵))) / 𝐴))

Distinct variable groups: 𝑥,𝐴 𝑥,𝐵 𝑥,𝐶 𝜑,𝑥

Proof of Theorem itgcoscmulx Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itgcoscmulx.b	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
2		itgcoscmulx.c	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
3	1, 2	iccssred 13449	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐵[,]𝐶) ⊆ ℝ)
4	3	resmptd 6032	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)) ↾ (𝐵[,]𝐶)) = (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)))
5	4	eqcomd 2771	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)) = ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)) ↾ (𝐵[,]𝐶)))
6	5	oveq2d 7416	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))) = (ℝ D ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)) ↾ (𝐵[,]𝐶))))
7		ax-resscn 11145	. . . . . . . . 9 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
8	7	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
9	8	sselda 3939	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℂ)
10		itgcoscmulx.a	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
11	10	adantr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
12		simpr 489	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 𝑦 ∈ ℂ)
13	11, 12	mulcld 11217	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝑦) ∈ ℂ)
14	13	sincld 16174	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (sin‘(𝐴 · 𝑦)) ∈ ℂ)
15		itgcoscmulx.an0	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
16	15	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 𝐴 ≠ 0)
17	14, 11, 16	divcld 11979	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴) ∈ ℂ)
18	9, 17	syldan 602	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴) ∈ ℂ)
19	18	fmpttd 7100	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)):ℝ⟶ℂ)
20		ssidd 3962	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℝ)
21		eqid 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ (TopOpen‘ℂ_fld) = (TopOpen‘ℂ_fld)
22		tgioo4 24919	. . . . . . . . 9 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t ℝ)
23	21, 22	dvres 26027	. . . . . . . 8 ⊢ (((ℝ ⊆ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)):ℝ⟶ℂ) ∧ (ℝ ⊆ ℝ ∧ (𝐵[,]𝐶) ⊆ ℝ)) → (ℝ D ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)) ↾ (𝐵[,]𝐶))) = ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐵[,]𝐶))))
24	8, 19, 20, 3, 23	syl22anc 851	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℝ D ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)) ↾ (𝐵[,]𝐶))) = ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐵[,]𝐶))))
25		reelprrecn 11180	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
26	25	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
27	9, 14	syldan 602	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (sin‘(𝐴 · 𝑦)) ∈ ℂ)
28	10	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
29	28, 9	mulcld 11217	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝑦) ∈ ℂ)
30	29	coscld 16175	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (cos‘(𝐴 · 𝑦)) ∈ ℂ)
31	28, 30	mulcld 11217	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦))) ∈ ℂ)
32	8	resmptd 6032	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦))) ↾ ℝ) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦))))
33	32	eqcomd 2771	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦))) = ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦))) ↾ ℝ))
34	33	oveq2d 7416	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦)))) = (ℝ D ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦))) ↾ ℝ)))
35	14	fmpttd 7100	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦))):ℂ⟶ℂ)
36		ssidd 3962	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
37		dvsinax 46486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦)))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦)))))
38	10, 37	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦)))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦)))))
39	38	dmeqd 5885	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦)))) = dom (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦)))))
40	13	coscld 16175	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (cos‘(𝐴 · 𝑦)) ∈ ℂ)
41	11, 40	mulcld 11217	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦))) ∈ ℂ)
42	41	ralrimiva 3157	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℂ (𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦))) ∈ ℂ)
43		dmmptg 6232	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∀𝑦 ∈ ℂ (𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦))) ∈ ℂ → dom (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦)))) = ℂ)
44	42, 43	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → dom (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦)))) = ℂ)
45	39, 44	eqtr2d 2801	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ℂ = dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦)))))
46	7, 45	sseqtrid 3981	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦)))))
47		dvres3 26029	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((ℝ ∈ {ℝ, ℂ} ∧ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦))):ℂ⟶ℂ) ∧ (ℂ ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦)))))) → (ℝ D ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦))) ↾ ℝ)) = ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦)))) ↾ ℝ))
48	26, 35, 36, 46, 47	syl22anc 851	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (ℝ D ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦))) ↾ ℝ)) = ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦)))) ↾ ℝ))
49	38	reseq1d 5967	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦)))) ↾ ℝ) = ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦)))) ↾ ℝ))
50	8	resmptd 6032	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦)))) ↾ ℝ) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦)))))
51	48, 49, 50	3eqtrd 2804	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (ℝ D ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦))) ↾ ℝ)) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦)))))
52	34, 51	eqtrd 2800	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦)))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦)))))
53	26, 27, 31, 52, 10, 15	dvmptdivc 26081	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦))) / 𝐴)))
54		iccntr 24936	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐵[,]𝐶)) = (𝐵(,)𝐶))
55	1, 2, 54	syl2anc 595	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐵[,]𝐶)) = (𝐵(,)𝐶))
56	53, 55	reseq12d 5969	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐵[,]𝐶))) = ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦))) / 𝐴)) ↾ (𝐵(,)𝐶)))
57		ioossre 13422	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵(,)𝐶) ⊆ ℝ
58		resmpt 6029	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵(,)𝐶) ⊆ ℝ → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦))) / 𝐴)) ↾ (𝐵(,)𝐶)) = (𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ ((𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦))) / 𝐴)))
59	57, 58	mp1i 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦))) / 𝐴)) ↾ (𝐵(,)𝐶)) = (𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ ((𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦))) / 𝐴)))
60		elioore 13390	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶) → 𝑦 ∈ ℝ)
61	60	recnd 11225	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶) → 𝑦 ∈ ℂ)
62	61, 40	sylan2 604	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶)) → (cos‘(𝐴 · 𝑦)) ∈ ℂ)
63	10	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶)) → 𝐴 ∈ ℂ)
64	15	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶)) → 𝐴 ≠ 0)
65	62, 63, 64	divcan3d 11984	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶)) → ((𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦))) / 𝐴) = (cos‘(𝐴 · 𝑦)))
66	65	mpteq2dva 5197	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ ((𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦))) / 𝐴)) = (𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ (cos‘(𝐴 · 𝑦))))
67	56, 59, 66	3eqtrd 2804	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐵[,]𝐶))) = (𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ (cos‘(𝐴 · 𝑦))))
68	6, 24, 67	3eqtrd 2804	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))) = (𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ (cos‘(𝐴 · 𝑦))))
69	68	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶)) → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))) = (𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ (cos‘(𝐴 · 𝑦))))
70		oveq2 7408	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝐴 · 𝑦) = (𝐴 · 𝑥))
71	70	fveq2d 6875	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (cos‘(𝐴 · 𝑦)) = (cos‘(𝐴 · 𝑥)))
72	71	adantl 486	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶)) ∧ 𝑦 = 𝑥) → (cos‘(𝐴 · 𝑦)) = (cos‘(𝐴 · 𝑥)))
73		simpr 489	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶)) → 𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶))
74	10	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶)) → 𝐴 ∈ ℂ)
75	57, 8	sstrid 3950	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵(,)𝐶) ⊆ ℂ)
76	75	sselda 3939	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶)) → 𝑥 ∈ ℂ)
77	74, 76	mulcld 11217	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶)) → (𝐴 · 𝑥) ∈ ℂ)
78	77	coscld 16175	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶)) → (cos‘(𝐴 · 𝑥)) ∈ ℂ)
79	69, 72, 73, 78	fvmptd 6987	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶)) → ((ℝ D (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)))‘𝑥) = (cos‘(𝐴 · 𝑥)))
80	79	eqcomd 2771	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶)) → (cos‘(𝐴 · 𝑥)) = ((ℝ D (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)))‘𝑥))
81	80	itgeq2dv 25898	. 2 ⊢ (𝜑 → ∫(𝐵(,)𝐶)(cos‘(𝐴 · 𝑥)) d𝑥 = ∫(𝐵(,)𝐶)((ℝ D (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)))‘𝑥) d𝑥)
82		eqidd 2766	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)) = (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)))
83		oveq2 7408	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝐶 → (𝐴 · 𝑦) = (𝐴 · 𝐶))
84	83	fveq2d 6875	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝐶 → (sin‘(𝐴 · 𝑦)) = (sin‘(𝐴 · 𝐶)))
85	84	oveq1d 7415	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝐶 → ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴) = ((sin‘(𝐴 · 𝐶)) / 𝐴))
86	85	adantl 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = 𝐶) → ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴) = ((sin‘(𝐴 · 𝐶)) / 𝐴))
87	1	rexrd 11247	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ^*)
88	2	rexrd 11247	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ^*)
89		itgcoscmulx.blec	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)
90		ubicc2 13480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐶 ∈ (𝐵[,]𝐶))
91	87, 88, 89, 90	syl3anc 1394	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐵[,]𝐶))
92	2	recnd 11225	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
93	10, 92	mulcld 11217	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℂ)
94	93	sincld 16174	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (sin‘(𝐴 · 𝐶)) ∈ ℂ)
95	94, 10, 15	divcld 11979	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((sin‘(𝐴 · 𝐶)) / 𝐴) ∈ ℂ)
96	82, 86, 91, 95	fvmptd 6987	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))‘𝐶) = ((sin‘(𝐴 · 𝐶)) / 𝐴))
97		oveq2 7408	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝐴 · 𝑦) = (𝐴 · 𝐵))
98	97	fveq2d 6875	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (sin‘(𝐴 · 𝑦)) = (sin‘(𝐴 · 𝐵)))
99	98	oveq1d 7415	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴) = ((sin‘(𝐴 · 𝐵)) / 𝐴))
100	99	adantl 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = 𝐵) → ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴) = ((sin‘(𝐴 · 𝐵)) / 𝐴))
101		lbicc2 13479	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐵 ∈ (𝐵[,]𝐶))
102	87, 88, 89, 101	syl3anc 1394	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐵[,]𝐶))
103	1	recnd 11225	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
104	10, 103	mulcld 11217	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
105	104	sincld 16174	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (sin‘(𝐴 · 𝐵)) ∈ ℂ)
106	105, 10, 15	divcld 11979	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((sin‘(𝐴 · 𝐵)) / 𝐴) ∈ ℂ)
107	82, 100, 102, 106	fvmptd 6987	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))‘𝐵) = ((sin‘(𝐴 · 𝐵)) / 𝐴))
108	96, 107	oveq12d 7418	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))‘𝐶) − ((𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))‘𝐵)) = (((sin‘(𝐴 · 𝐶)) / 𝐴) − ((sin‘(𝐴 · 𝐵)) / 𝐴)))
109		coscn 26562	. . . . . . 7 ⊢ cos ∈ (ℂ–cn→ℂ)
110	109	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → cos ∈ (ℂ–cn→ℂ))
111	75, 10, 36	constcncfg 46445	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ 𝐴) ∈ ((𝐵(,)𝐶)–cn→ℂ))
112	75, 36	idcncfg 46446	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ 𝑦) ∈ ((𝐵(,)𝐶)–cn→ℂ))
113	111, 112	mulcncf 25562	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ (𝐴 · 𝑦)) ∈ ((𝐵(,)𝐶)–cn→ℂ))
114	110, 113	cncfmpt1f 25030	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ (cos‘(𝐴 · 𝑦))) ∈ ((𝐵(,)𝐶)–cn→ℂ))
115	68, 114	eqeltrd 2865	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))) ∈ ((𝐵(,)𝐶)–cn→ℂ))
116		ioossicc 13448	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵(,)𝐶) ⊆ (𝐵[,]𝐶)
117	116	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵(,)𝐶) ⊆ (𝐵[,]𝐶))
118		ioombl 25681	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵(,)𝐶) ∈ dom vol
119	118	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵(,)𝐶) ∈ dom vol)
120	10	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶)) → 𝐴 ∈ ℂ)
121	3, 7	sstrdi 3951	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵[,]𝐶) ⊆ ℂ)
122	121	sselda 3939	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶)) → 𝑦 ∈ ℂ)
123	120, 122	mulcld 11217	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶)) → (𝐴 · 𝑦) ∈ ℂ)
124	123	coscld 16175	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶)) → (cos‘(𝐴 · 𝑦)) ∈ ℂ)
125	121, 10, 36	constcncfg 46445	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ 𝐴) ∈ ((𝐵[,]𝐶)–cn→ℂ))
126	121, 36	idcncfg 46446	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ 𝑦) ∈ ((𝐵[,]𝐶)–cn→ℂ))
127	125, 126	mulcncf 25562	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (𝐴 · 𝑦)) ∈ ((𝐵[,]𝐶)–cn→ℂ))
128	110, 127	cncfmpt1f 25030	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (cos‘(𝐴 · 𝑦))) ∈ ((𝐵[,]𝐶)–cn→ℂ))
129		cniccibl 25957	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (cos‘(𝐴 · 𝑦))) ∈ ((𝐵[,]𝐶)–cn→ℂ)) → (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (cos‘(𝐴 · 𝑦))) ∈ 𝐿¹)
130	1, 2, 128, 129	syl3anc 1394	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (cos‘(𝐴 · 𝑦))) ∈ 𝐿¹)
131	117, 119, 124, 130	iblss 25921	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ (cos‘(𝐴 · 𝑦))) ∈ 𝐿¹)
132	68, 131	eqeltrd 2865	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))) ∈ 𝐿¹)
133		sincn 26561	. . . . . . 7 ⊢ sin ∈ (ℂ–cn→ℂ)
134	133	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → sin ∈ (ℂ–cn→ℂ))
135	134, 127	cncfmpt1f 25030	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦))) ∈ ((𝐵[,]𝐶)–cn→ℂ))
136		neneq 2966	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ≠ 0 → ¬ 𝐴 = 0)
137		elsni 4602	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ {0} → 𝐴 = 0)
138	137	con3i 155	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝐴 = 0 → ¬ 𝐴 ∈ {0})
139	15, 136, 138	3syl 19	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ {0})
140	10, 139	eldifd 3918	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}))
141		difssd 4093	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ)
142	121, 140, 141	constcncfg 46445	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ 𝐴) ∈ ((𝐵[,]𝐶)–cn→(ℂ ∖ {0})))
143	135, 142	divcncf 25563	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)) ∈ ((𝐵[,]𝐶)–cn→ℂ))
144	1, 2, 89, 115, 132, 143	ftc2 26160	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∫(𝐵(,)𝐶)((ℝ D (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)))‘𝑥) d𝑥 = (((𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))‘𝐶) − ((𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))‘𝐵)))
145	94, 105, 10, 15	divsubdird 12018	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((sin‘(𝐴 · 𝐶)) − (sin‘(𝐴 · 𝐵))) / 𝐴) = (((sin‘(𝐴 · 𝐶)) / 𝐴) − ((sin‘(𝐴 · 𝐵)) / 𝐴)))
146	108, 144, 145	3eqtr4d 2810	. 2 ⊢ (𝜑 → ∫(𝐵(,)𝐶)((ℝ D (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)))‘𝑥) d𝑥 = (((sin‘(𝐴 · 𝐶)) − (sin‘(𝐴 · 𝐵))) / 𝐴))
147	81, 146	eqtrd 2800	1 ⊢ (𝜑 → ∫(𝐵(,)𝐶)(cos‘(𝐴 · 𝑥)) d𝑥 = (((sin‘(𝐴 · 𝐶)) − (sin‘(𝐴 · 𝐵))) / 𝐴))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ∧ wa 400 = wceq 1563 ∈ wcel 2145 ≠ wne 2960 ∀wral 3079 ∖ cdif 3904 ⊆ wss 3907 {csn 4585 {cpr 4587 class class class wbr 5104 ↦ cmpt 5185 dom cdm 5651 ran crn 5652 ↾ cres 5653 ⟶wf 6521 ‘cfv 6525 (class class class)co 7400 ℂcc 11086 ℝcr 11087 0cc0 11088 · cmul 11093 ℝ^*cxr 11230 ≤ cle 11232 − cmin 11429 / cdiv 11859 (,)cioo 13360 [,]cicc 13363 sincsin 16105 cosccos 16106 TopOpenctopn 17462 topGenctg 17478 ℂ_fldccnfld 21479 intcnt 23131 –cn→ccncf 24992 volcvol 25579 𝐿¹cibl 25733 ∫citg 25734 D cdv 25979

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1818 ax-4 1832 ax-5 1933 ax-6 1990 ax-7 2031 ax-8 2147 ax-9 2155 ax-10 2178 ax-11 2194 ax-12 2215 ax-ext 2737 ax-rep 5231 ax-sep 5250 ax-nul 5260 ax-pow 5326 ax-pr 5394 ax-un 7722 ax-inf2 9598 ax-cc 10407 ax-cnex 11144 ax-resscn 11145 ax-1cn 11146 ax-icn 11147 ax-addcl 11148 ax-addrcl 11149 ax-mulcl 11150 ax-mulrcl 11151 ax-mulcom 11152 ax-addass 11153 ax-mulass 11154 ax-distr 11155 ax-i2m1 11156 ax-1ne0 11157 ax-1rid 11158 ax-rnegex 11159 ax-rrecex 11160 ax-cnre 11161 ax-pre-lttri 11162 ax-pre-lttrn 11163 ax-pre-ltadd 11164 ax-pre-mulgt0 11165 ax-pre-sup 11166 ax-addf 11167

This theorem depends on definitions: df-bi 210 df-an 401 df-or 861 df-3or 1102 df-3an 1103 df-tru 1566 df-fal 1576 df-ex 1803 df-nf 1807 df-sb 2094 df-mo 2569 df-eu 2599 df-clab 2744 df-cleq 2757 df-clel 2840 df-nfc 2914 df-ne 2961 df-nel 3065 df-ral 3080 df-rex 3090 df-rmo 3370 df-reu 3371 df-rab 3418 df-v 3459 df-sbc 3748 df-csb 3856 df-dif 3910 df-un 3912 df-in 3914 df-ss 3924 df-pss 3927 df-symdif 4208 df-nul 4289 df-if 4484 df-pw 4560 df-sn 4586 df-pr 4588 df-tp 4590 df-op 4592 df-uni 4868 df-int 4908 df-iun 4953 df-iin 4954 df-disj 5072 df-br 5105 df-opab 5167 df-mpt 5186 df-tr 5212 df-id 5546 df-eprel 5551 df-po 5559 df-so 5560 df-fr 5604 df-se 5605 df-we 5606 df-xp 5657 df-rel 5658 df-cnv 5659 df-co 5660 df-dm 5661 df-rn 5662 df-res 5663 df-ima 5664 df-pred 6291 df-ord 6352 df-on 6353 df-lim 6354 df-suc 6355 df-iota 6481 df-fun 6527 df-fn 6528 df-f 6529 df-f1 6530 df-fo 6531 df-f1o 6532 df-fv 6533 df-isom 6534 df-riota 7357 df-ov 7403 df-oprab 7404 df-mpo 7405 df-of 7664 df-ofr 7665 df-om 7851 df-1st 7974 df-2nd 7975 df-supp 8145 df-frecs 8266 df-wrecs 8297 df-recs 8346 df-rdg 8385 df-1o 8441 df-2o 8442 df-oadd 8445 df-omul 8446 df-er 8682 df-map 8814 df-pm 8815 df-ixp 8884 df-en 8932 df-dom 8933 df-sdom 8934 df-fin 8935 df-fsupp 9310 df-fi 9359 df-sup 9390 df-inf 9391 df-oi 9460 df-dju 9875 df-card 9913 df-acn 9916 df-pnf 11233 df-mnf 11234 df-xr 11235 df-ltxr 11236 df-le 11237 df-sub 11431 df-neg 11432 df-div 11860 df-nn 12222 df-2 12291 df-3 12292 df-4 12293 df-5 12294 df-6 12295 df-7 12296 df-8 12297 df-9 12298 df-n0 12493 df-z 12580 df-dec 12700 df-uz 12851 df-q 12961 df-rp 13005 df-xneg 13125 df-xadd 13126 df-xmul 13127 df-ioo 13364 df-ioc 13365 df-ico 13366 df-icc 13367 df-fz 13524 df-fzo 13671 df-fl 13813 df-mod 13891 df-seq 14026 df-exp 14086 df-fac 14298 df-bc 14327 df-hash 14355 df-shft 15092 df-cj 15138 df-re 15139 df-im 15140 df-sqrt 15274 df-abs 15275 df-limsup 15510 df-clim 15527 df-rlim 15528 df-sum 15726 df-ef 16109 df-sin 16111 df-cos 16112 df-struct 17195 df-sets 17212 df-slot 17230 df-ndx 17242 df-base 17258 df-ress 17279 df-plusg 17311 df-mulr 17312 df-starv 17313 df-sca 17314 df-vsca 17315 df-ip 17316 df-tset 17317 df-ple 17318 df-ds 17320 df-unif 17321 df-hom 17322 df-cco 17323 df-rest 17463 df-topn 17464 df-0g 17482 df-gsum 17483 df-topgen 17484 df-pt 17485 df-prds 17488 df-xrs 17544 df-qtop 17549 df-imas 17550 df-xps 17552 df-mre 17626 df-mrc 17627 df-acs 17629 df-mgm 18686 df-sgrp 18765 df-mnd 18781 df-submnd 18830 df-mulg 19122 df-cntz 19375 df-cmn 19840 df-psmet 21471 df-xmet 21472 df-met 21473 df-bl 21474 df-mopn 21475 df-fbas 21476 df-fg 21477 df-cnfld 21480 df-top 23008 df-topon 23025 df-topsp 23047 df-bases 23060 df-cld 23133 df-ntr 23134 df-cls 23135 df-nei 23212 df-lp 23250 df-perf 23251 df-cn 23341 df-cnp 23342 df-haus 23429 df-cmp 23501 df-tx 23676 df-hmeo 23869 df-fil 23960 df-fm 24052 df-flim 24053 df-flf 24054 df-xms 24434 df-ms 24435 df-tms 24436 df-cncf 24994 df-ovol 25580 df-vol 25581 df-mbf 25735 df-itg1 25736 df-itg2 25737 df-ibl 25738 df-itg 25739 df-0p 25786 df-limc 25982 df-dv 25983

This theorem is referenced by: sqwvfoura 46801

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