itgcoscmulx - Mathbox for Glauco Siliprandi

	Mathbox for Glauco Siliprandi		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > itgcoscmulx		Structured version Visualization version GIF version

Theorem itgcoscmulx 46094

Description: Exercise: the integral of 𝑥 ↦ cos𝑎𝑥 on an open interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
itgcoscmulx.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
itgcoscmulx.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
itgcoscmulx.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
itgcoscmulx.blec	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)
itgcoscmulx.an0	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

**Assertion**
Ref	Expression
itgcoscmulx	⊢ (𝜑 → ∫(𝐵(,)𝐶)(cos‘(𝐴 · 𝑥)) d𝑥 = (((sin‘(𝐴 · 𝐶)) − (sin‘(𝐴 · 𝐵))) / 𝐴))

Distinct variable groups: 𝑥,𝐴 𝑥,𝐵 𝑥,𝐶 𝜑,𝑥

Proof of Theorem itgcoscmulx Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itgcoscmulx.b	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
2		itgcoscmulx.c	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
3	1, 2	iccssred 13338	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐵[,]𝐶) ⊆ ℝ)
4	3	resmptd 5995	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)) ↾ (𝐵[,]𝐶)) = (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)))
5	4	eqcomd 2739	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)) = ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)) ↾ (𝐵[,]𝐶)))
6	5	oveq2d 7370	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))) = (ℝ D ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)) ↾ (𝐵[,]𝐶))))
7		ax-resscn 11072	. . . . . . . . 9 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
8	7	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
9	8	sselda 3930	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℂ)
10		itgcoscmulx.a	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
11	10	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
12		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 𝑦 ∈ ℂ)
13	11, 12	mulcld 11141	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝑦) ∈ ℂ)
14	13	sincld 16043	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (sin‘(𝐴 · 𝑦)) ∈ ℂ)
15		itgcoscmulx.an0	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
16	15	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 𝐴 ≠ 0)
17	14, 11, 16	divcld 11906	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴) ∈ ℂ)
18	9, 17	syldan 591	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴) ∈ ℂ)
19	18	fmpttd 7056	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)):ℝ⟶ℂ)
20		ssidd 3954	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℝ)
21		eqid 2733	. . . . . . . . 9 ⊢ (TopOpen‘ℂ_fld) = (TopOpen‘ℂ_fld)
22		tgioo4 24723	. . . . . . . . 9 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t ℝ)
23	21, 22	dvres 25842	. . . . . . . 8 ⊢ (((ℝ ⊆ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)):ℝ⟶ℂ) ∧ (ℝ ⊆ ℝ ∧ (𝐵[,]𝐶) ⊆ ℝ)) → (ℝ D ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)) ↾ (𝐵[,]𝐶))) = ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐵[,]𝐶))))
24	8, 19, 20, 3, 23	syl22anc 838	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℝ D ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)) ↾ (𝐵[,]𝐶))) = ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐵[,]𝐶))))
25		reelprrecn 11107	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
26	25	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
27	9, 14	syldan 591	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (sin‘(𝐴 · 𝑦)) ∈ ℂ)
28	10	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
29	28, 9	mulcld 11141	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝑦) ∈ ℂ)
30	29	coscld 16044	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (cos‘(𝐴 · 𝑦)) ∈ ℂ)
31	28, 30	mulcld 11141	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦))) ∈ ℂ)
32	8	resmptd 5995	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦))) ↾ ℝ) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦))))
33	32	eqcomd 2739	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦))) = ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦))) ↾ ℝ))
34	33	oveq2d 7370	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦)))) = (ℝ D ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦))) ↾ ℝ)))
35	14	fmpttd 7056	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦))):ℂ⟶ℂ)
36		ssidd 3954	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
37		dvsinax 46038	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦)))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦)))))
38	10, 37	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦)))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦)))))
39	38	dmeqd 5851	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦)))) = dom (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦)))))
40	13	coscld 16044	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (cos‘(𝐴 · 𝑦)) ∈ ℂ)
41	11, 40	mulcld 11141	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦))) ∈ ℂ)
42	41	ralrimiva 3125	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℂ (𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦))) ∈ ℂ)
43		dmmptg 6196	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∀𝑦 ∈ ℂ (𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦))) ∈ ℂ → dom (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦)))) = ℂ)
44	42, 43	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → dom (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦)))) = ℂ)
45	39, 44	eqtr2d 2769	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ℂ = dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦)))))
46	7, 45	sseqtrid 3973	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦)))))
47		dvres3 25844	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((ℝ ∈ {ℝ, ℂ} ∧ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦))):ℂ⟶ℂ) ∧ (ℂ ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦)))))) → (ℝ D ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦))) ↾ ℝ)) = ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦)))) ↾ ℝ))
48	26, 35, 36, 46, 47	syl22anc 838	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (ℝ D ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦))) ↾ ℝ)) = ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦)))) ↾ ℝ))
49	38	reseq1d 5933	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦)))) ↾ ℝ) = ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦)))) ↾ ℝ))
50	8	resmptd 5995	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦)))) ↾ ℝ) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦)))))
51	48, 49, 50	3eqtrd 2772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (ℝ D ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦))) ↾ ℝ)) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦)))))
52	34, 51	eqtrd 2768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦)))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦)))))
53	26, 27, 31, 52, 10, 15	dvmptdivc 25899	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦))) / 𝐴)))
54		iccntr 24740	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐵[,]𝐶)) = (𝐵(,)𝐶))
55	1, 2, 54	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐵[,]𝐶)) = (𝐵(,)𝐶))
56	53, 55	reseq12d 5935	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐵[,]𝐶))) = ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦))) / 𝐴)) ↾ (𝐵(,)𝐶)))
57		ioossre 13311	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵(,)𝐶) ⊆ ℝ
58		resmpt 5992	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵(,)𝐶) ⊆ ℝ → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦))) / 𝐴)) ↾ (𝐵(,)𝐶)) = (𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ ((𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦))) / 𝐴)))
59	57, 58	mp1i 13	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦))) / 𝐴)) ↾ (𝐵(,)𝐶)) = (𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ ((𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦))) / 𝐴)))
60		elioore 13279	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶) → 𝑦 ∈ ℝ)
61	60	recnd 11149	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶) → 𝑦 ∈ ℂ)
62	61, 40	sylan2 593	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶)) → (cos‘(𝐴 · 𝑦)) ∈ ℂ)
63	10	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶)) → 𝐴 ∈ ℂ)
64	15	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶)) → 𝐴 ≠ 0)
65	62, 63, 64	divcan3d 11911	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶)) → ((𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦))) / 𝐴) = (cos‘(𝐴 · 𝑦)))
66	65	mpteq2dva 5188	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ ((𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦))) / 𝐴)) = (𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ (cos‘(𝐴 · 𝑦))))
67	56, 59, 66	3eqtrd 2772	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐵[,]𝐶))) = (𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ (cos‘(𝐴 · 𝑦))))
68	6, 24, 67	3eqtrd 2772	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))) = (𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ (cos‘(𝐴 · 𝑦))))
69	68	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶)) → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))) = (𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ (cos‘(𝐴 · 𝑦))))
70		oveq2 7362	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝐴 · 𝑦) = (𝐴 · 𝑥))
71	70	fveq2d 6834	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (cos‘(𝐴 · 𝑦)) = (cos‘(𝐴 · 𝑥)))
72	71	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶)) ∧ 𝑦 = 𝑥) → (cos‘(𝐴 · 𝑦)) = (cos‘(𝐴 · 𝑥)))
73		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶)) → 𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶))
74	10	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶)) → 𝐴 ∈ ℂ)
75	57, 8	sstrid 3942	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵(,)𝐶) ⊆ ℂ)
76	75	sselda 3930	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶)) → 𝑥 ∈ ℂ)
77	74, 76	mulcld 11141	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶)) → (𝐴 · 𝑥) ∈ ℂ)
78	77	coscld 16044	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶)) → (cos‘(𝐴 · 𝑥)) ∈ ℂ)
79	69, 72, 73, 78	fvmptd 6944	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶)) → ((ℝ D (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)))‘𝑥) = (cos‘(𝐴 · 𝑥)))
80	79	eqcomd 2739	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶)) → (cos‘(𝐴 · 𝑥)) = ((ℝ D (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)))‘𝑥))
81	80	itgeq2dv 25713	. 2 ⊢ (𝜑 → ∫(𝐵(,)𝐶)(cos‘(𝐴 · 𝑥)) d𝑥 = ∫(𝐵(,)𝐶)((ℝ D (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)))‘𝑥) d𝑥)
82		eqidd 2734	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)) = (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)))
83		oveq2 7362	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝐶 → (𝐴 · 𝑦) = (𝐴 · 𝐶))
84	83	fveq2d 6834	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝐶 → (sin‘(𝐴 · 𝑦)) = (sin‘(𝐴 · 𝐶)))
85	84	oveq1d 7369	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝐶 → ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴) = ((sin‘(𝐴 · 𝐶)) / 𝐴))
86	85	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = 𝐶) → ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴) = ((sin‘(𝐴 · 𝐶)) / 𝐴))
87	1	rexrd 11171	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ^*)
88	2	rexrd 11171	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ^*)
89		itgcoscmulx.blec	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)
90		ubicc2 13369	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐶 ∈ (𝐵[,]𝐶))
91	87, 88, 89, 90	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐵[,]𝐶))
92	2	recnd 11149	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
93	10, 92	mulcld 11141	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℂ)
94	93	sincld 16043	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (sin‘(𝐴 · 𝐶)) ∈ ℂ)
95	94, 10, 15	divcld 11906	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((sin‘(𝐴 · 𝐶)) / 𝐴) ∈ ℂ)
96	82, 86, 91, 95	fvmptd 6944	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))‘𝐶) = ((sin‘(𝐴 · 𝐶)) / 𝐴))
97		oveq2 7362	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝐴 · 𝑦) = (𝐴 · 𝐵))
98	97	fveq2d 6834	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (sin‘(𝐴 · 𝑦)) = (sin‘(𝐴 · 𝐵)))
99	98	oveq1d 7369	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴) = ((sin‘(𝐴 · 𝐵)) / 𝐴))
100	99	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = 𝐵) → ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴) = ((sin‘(𝐴 · 𝐵)) / 𝐴))
101		lbicc2 13368	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐵 ∈ (𝐵[,]𝐶))
102	87, 88, 89, 101	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐵[,]𝐶))
103	1	recnd 11149	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
104	10, 103	mulcld 11141	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
105	104	sincld 16043	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (sin‘(𝐴 · 𝐵)) ∈ ℂ)
106	105, 10, 15	divcld 11906	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((sin‘(𝐴 · 𝐵)) / 𝐴) ∈ ℂ)
107	82, 100, 102, 106	fvmptd 6944	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))‘𝐵) = ((sin‘(𝐴 · 𝐵)) / 𝐴))
108	96, 107	oveq12d 7372	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))‘𝐶) − ((𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))‘𝐵)) = (((sin‘(𝐴 · 𝐶)) / 𝐴) − ((sin‘(𝐴 · 𝐵)) / 𝐴)))
109		coscn 26385	. . . . . . 7 ⊢ cos ∈ (ℂ–cn→ℂ)
110	109	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → cos ∈ (ℂ–cn→ℂ))
111	75, 10, 36	constcncfg 45997	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ 𝐴) ∈ ((𝐵(,)𝐶)–cn→ℂ))
112	75, 36	idcncfg 45998	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ 𝑦) ∈ ((𝐵(,)𝐶)–cn→ℂ))
113	111, 112	mulcncf 25376	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ (𝐴 · 𝑦)) ∈ ((𝐵(,)𝐶)–cn→ℂ))
114	110, 113	cncfmpt1f 24837	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ (cos‘(𝐴 · 𝑦))) ∈ ((𝐵(,)𝐶)–cn→ℂ))
115	68, 114	eqeltrd 2833	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))) ∈ ((𝐵(,)𝐶)–cn→ℂ))
116		ioossicc 13337	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵(,)𝐶) ⊆ (𝐵[,]𝐶)
117	116	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵(,)𝐶) ⊆ (𝐵[,]𝐶))
118		ioombl 25496	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵(,)𝐶) ∈ dom vol
119	118	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵(,)𝐶) ∈ dom vol)
120	10	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶)) → 𝐴 ∈ ℂ)
121	3, 7	sstrdi 3943	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵[,]𝐶) ⊆ ℂ)
122	121	sselda 3930	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶)) → 𝑦 ∈ ℂ)
123	120, 122	mulcld 11141	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶)) → (𝐴 · 𝑦) ∈ ℂ)
124	123	coscld 16044	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶)) → (cos‘(𝐴 · 𝑦)) ∈ ℂ)
125	121, 10, 36	constcncfg 45997	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ 𝐴) ∈ ((𝐵[,]𝐶)–cn→ℂ))
126	121, 36	idcncfg 45998	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ 𝑦) ∈ ((𝐵[,]𝐶)–cn→ℂ))
127	125, 126	mulcncf 25376	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (𝐴 · 𝑦)) ∈ ((𝐵[,]𝐶)–cn→ℂ))
128	110, 127	cncfmpt1f 24837	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (cos‘(𝐴 · 𝑦))) ∈ ((𝐵[,]𝐶)–cn→ℂ))
129		cniccibl 25772	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (cos‘(𝐴 · 𝑦))) ∈ ((𝐵[,]𝐶)–cn→ℂ)) → (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (cos‘(𝐴 · 𝑦))) ∈ 𝐿¹)
130	1, 2, 128, 129	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (cos‘(𝐴 · 𝑦))) ∈ 𝐿¹)
131	117, 119, 124, 130	iblss 25736	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ (cos‘(𝐴 · 𝑦))) ∈ 𝐿¹)
132	68, 131	eqeltrd 2833	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))) ∈ 𝐿¹)
133		sincn 26384	. . . . . . 7 ⊢ sin ∈ (ℂ–cn→ℂ)
134	133	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → sin ∈ (ℂ–cn→ℂ))
135	134, 127	cncfmpt1f 24837	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦))) ∈ ((𝐵[,]𝐶)–cn→ℂ))
136		neneq 2935	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ≠ 0 → ¬ 𝐴 = 0)
137		elsni 4594	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ {0} → 𝐴 = 0)
138	137	con3i 154	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝐴 = 0 → ¬ 𝐴 ∈ {0})
139	15, 136, 138	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ {0})
140	10, 139	eldifd 3909	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}))
141		difssd 4086	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ)
142	121, 140, 141	constcncfg 45997	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ 𝐴) ∈ ((𝐵[,]𝐶)–cn→(ℂ ∖ {0})))
143	135, 142	divcncf 25378	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)) ∈ ((𝐵[,]𝐶)–cn→ℂ))
144	1, 2, 89, 115, 132, 143	ftc2 25981	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∫(𝐵(,)𝐶)((ℝ D (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)))‘𝑥) d𝑥 = (((𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))‘𝐶) − ((𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))‘𝐵)))
145	94, 105, 10, 15	divsubdird 11945	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((sin‘(𝐴 · 𝐶)) − (sin‘(𝐴 · 𝐵))) / 𝐴) = (((sin‘(𝐴 · 𝐶)) / 𝐴) − ((sin‘(𝐴 · 𝐵)) / 𝐴)))
146	108, 144, 145	3eqtr4d 2778	. 2 ⊢ (𝜑 → ∫(𝐵(,)𝐶)((ℝ D (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)))‘𝑥) d𝑥 = (((sin‘(𝐴 · 𝐶)) − (sin‘(𝐴 · 𝐵))) / 𝐴))
147	81, 146	eqtrd 2768	1 ⊢ (𝜑 → ∫(𝐵(,)𝐶)(cos‘(𝐴 · 𝑥)) d𝑥 = (((sin‘(𝐴 · 𝐶)) − (sin‘(𝐴 · 𝐵))) / 𝐴))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ∧ wa 395 = wceq 1541 ∈ wcel 2113 ≠ wne 2929 ∀wral 3048 ∖ cdif 3895 ⊆ wss 3898 {csn 4577 {cpr 4579 class class class wbr 5095 ↦ cmpt 5176 dom cdm 5621 ran crn 5622 ↾ cres 5623 ⟶wf 6484 ‘cfv 6488 (class class class)co 7354 ℂcc 11013 ℝcr 11014 0cc0 11015 · cmul 11020 ℝ^*cxr 11154 ≤ cle 11156 − cmin 11353 / cdiv 11783 (,)cioo 13249 [,]cicc 13252 sincsin 15974 cosccos 15975 TopOpenctopn 17329 topGenctg 17345 ℂ_fldccnfld 21295 intcnt 22935 –cn→ccncf 24799 volcvol 25394 𝐿¹cibl 25548 ∫citg 25549 D cdv 25794

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1796 ax-4 1810 ax-5 1911 ax-6 1968 ax-7 2009 ax-8 2115 ax-9 2123 ax-10 2146 ax-11 2162 ax-12 2182 ax-ext 2705 ax-rep 5221 ax-sep 5238 ax-nul 5248 ax-pow 5307 ax-pr 5374 ax-un 7676 ax-inf2 9540 ax-cc 10335 ax-cnex 11071 ax-resscn 11072 ax-1cn 11073 ax-icn 11074 ax-addcl 11075 ax-addrcl 11076 ax-mulcl 11077 ax-mulrcl 11078 ax-mulcom 11079 ax-addass 11080 ax-mulass 11081 ax-distr 11082 ax-i2m1 11083 ax-1ne0 11084 ax-1rid 11085 ax-rnegex 11086 ax-rrecex 11087 ax-cnre 11088 ax-pre-lttri 11089 ax-pre-lttrn 11090 ax-pre-ltadd 11091 ax-pre-mulgt0 11092 ax-pre-sup 11093 ax-addf 11094

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1781 df-nf 1785 df-sb 2068 df-mo 2537 df-eu 2566 df-clab 2712 df-cleq 2725 df-clel 2808 df-nfc 2882 df-ne 2930 df-nel 3034 df-ral 3049 df-rex 3058 df-rmo 3347 df-reu 3348 df-rab 3397 df-v 3439 df-sbc 3738 df-csb 3847 df-dif 3901 df-un 3903 df-in 3905 df-ss 3915 df-pss 3918 df-symdif 4202 df-nul 4283 df-if 4477 df-pw 4553 df-sn 4578 df-pr 4580 df-tp 4582 df-op 4584 df-uni 4861 df-int 4900 df-iun 4945 df-iin 4946 df-disj 5063 df-br 5096 df-opab 5158 df-mpt 5177 df-tr 5203 df-id 5516 df-eprel 5521 df-po 5529 df-so 5530 df-fr 5574 df-se 5575 df-we 5576 df-xp 5627 df-rel 5628 df-cnv 5629 df-co 5630 df-dm 5631 df-rn 5632 df-res 5633 df-ima 5634 df-pred 6255 df-ord 6316 df-on 6317 df-lim 6318 df-suc 6319 df-iota 6444 df-fun 6490 df-fn 6491 df-f 6492 df-f1 6493 df-fo 6494 df-f1o 6495 df-fv 6496 df-isom 6497 df-riota 7311 df-ov 7357 df-oprab 7358 df-mpo 7359 df-of 7618 df-ofr 7619 df-om 7805 df-1st 7929 df-2nd 7930 df-supp 8099 df-frecs 8219 df-wrecs 8250 df-recs 8299 df-rdg 8337 df-1o 8393 df-2o 8394 df-oadd 8397 df-omul 8398 df-er 8630 df-map 8760 df-pm 8761 df-ixp 8830 df-en 8878 df-dom 8879 df-sdom 8880 df-fin 8881 df-fsupp 9255 df-fi 9304 df-sup 9335 df-inf 9336 df-oi 9405 df-dju 9803 df-card 9841 df-acn 9844 df-pnf 11157 df-mnf 11158 df-xr 11159 df-ltxr 11160 df-le 11161 df-sub 11355 df-neg 11356 df-div 11784 df-nn 12135 df-2 12197 df-3 12198 df-4 12199 df-5 12200 df-6 12201 df-7 12202 df-8 12203 df-9 12204 df-n0 12391 df-z 12478 df-dec 12597 df-uz 12741 df-q 12851 df-rp 12895 df-xneg 13015 df-xadd 13016 df-xmul 13017 df-ioo 13253 df-ioc 13254 df-ico 13255 df-icc 13256 df-fz 13412 df-fzo 13559 df-fl 13700 df-mod 13778 df-seq 13913 df-exp 13973 df-fac 14185 df-bc 14214 df-hash 14242 df-shft 14978 df-cj 15010 df-re 15011 df-im 15012 df-sqrt 15146 df-abs 15147 df-limsup 15382 df-clim 15399 df-rlim 15400 df-sum 15598 df-ef 15978 df-sin 15980 df-cos 15981 df-struct 17062 df-sets 17079 df-slot 17097 df-ndx 17109 df-base 17125 df-ress 17146 df-plusg 17178 df-mulr 17179 df-starv 17180 df-sca 17181 df-vsca 17182 df-ip 17183 df-tset 17184 df-ple 17185 df-ds 17187 df-unif 17188 df-hom 17189 df-cco 17190 df-rest 17330 df-topn 17331 df-0g 17349 df-gsum 17350 df-topgen 17351 df-pt 17352 df-prds 17355 df-xrs 17410 df-qtop 17415 df-imas 17416 df-xps 17418 df-mre 17492 df-mrc 17493 df-acs 17495 df-mgm 18552 df-sgrp 18631 df-mnd 18647 df-submnd 18696 df-mulg 18985 df-cntz 19233 df-cmn 19698 df-psmet 21287 df-xmet 21288 df-met 21289 df-bl 21290 df-mopn 21291 df-fbas 21292 df-fg 21293 df-cnfld 21296 df-top 22812 df-topon 22829 df-topsp 22851 df-bases 22864 df-cld 22937 df-ntr 22938 df-cls 22939 df-nei 23016 df-lp 23054 df-perf 23055 df-cn 23145 df-cnp 23146 df-haus 23233 df-cmp 23305 df-tx 23480 df-hmeo 23673 df-fil 23764 df-fm 23856 df-flim 23857 df-flf 23858 df-xms 24238 df-ms 24239 df-tms 24240 df-cncf 24801 df-ovol 25395 df-vol 25396 df-mbf 25550 df-itg1 25551 df-itg2 25552 df-ibl 25553 df-itg 25554 df-0p 25601 df-limc 25797 df-dv 25798

This theorem is referenced by: sqwvfoura 46353

W3C validator