itgcoscmulx - Mathbox for Glauco Siliprandi

	Mathbox for Glauco Siliprandi		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > itgcoscmulx		Structured version Visualization version GIF version

Theorem itgcoscmulx 47194

Description: Exercise: the integral of 𝑥 ↦ cos𝑎𝑥 on an open interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
itgcoscmulx.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
itgcoscmulx.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
itgcoscmulx.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
itgcoscmulx.blec	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)
itgcoscmulx.an0	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

**Assertion**
Ref	Expression
itgcoscmulx	⊢ (𝜑 → ∫(𝐵(,)𝐶)(cos‘(𝐴 · 𝑥)) d𝑥 = (((sin‘(𝐴 · 𝐶)) − (sin‘(𝐴 · 𝐵))) / 𝐴))

Distinct variable groups: 𝑥,𝐴 𝑥,𝐵 𝑥,𝐶 𝜑,𝑥

Proof of Theorem itgcoscmulx Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itgcoscmulx.b	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
2		itgcoscmulx.c	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
3	1, 2	iccssred 13595	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐵[,]𝐶) ⊆ ℝ)
4	3	resmptd 6045	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)) ↾ (𝐵[,]𝐶)) = (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)))
5	4	eqcomd 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)) = ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)) ↾ (𝐵[,]𝐶)))
6	5	oveq2d 7462	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))) = (ℝ D ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)) ↾ (𝐵[,]𝐶))))
7		ax-resscn 11287	. . . . . . . . 9 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
8	7	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
9	8	sselda 3913	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℂ)
10		itgcoscmulx.a	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
11	10	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
12		simpr 490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 𝑦 ∈ ℂ)
13	11, 12	mulcld 11359	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝑦) ∈ ℂ)
14	13	sincld 16330	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (sin‘(𝐴 · 𝑦)) ∈ ℂ)
15		itgcoscmulx.an0	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
16	15	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 𝐴 ≠ 0)
17	14, 11, 16	divcld 12123	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴) ∈ ℂ)
18	9, 17	syldan 603	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴) ∈ ℂ)
19	18	fmpttd 7142	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)):ℝ⟶ℂ)
20		ssidd 3936	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℝ)
21		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (TopOpen‘ℂ_fld) = (TopOpen‘ℂ_fld)
22		tgioo4 25157	. . . . . . . . 9 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t ℝ)
23	21, 22	dvres 26264	. . . . . . . 8 ⊢ (((ℝ ⊆ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)):ℝ⟶ℂ) ∧ (ℝ ⊆ ℝ ∧ (𝐵[,]𝐶) ⊆ ℝ)) → (ℝ D ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)) ↾ (𝐵[,]𝐶))) = ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐵[,]𝐶))))
24	8, 19, 20, 3, 23	syl22anc 852	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℝ D ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)) ↾ (𝐵[,]𝐶))) = ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐵[,]𝐶))))
25		reelprrecn 11322	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
26	25	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
27	9, 14	syldan 603	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (sin‘(𝐴 · 𝑦)) ∈ ℂ)
28	10	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
29	28, 9	mulcld 11359	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝑦) ∈ ℂ)
30	29	coscld 16331	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (cos‘(𝐴 · 𝑦)) ∈ ℂ)
31	28, 30	mulcld 11359	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦))) ∈ ℂ)
32	8	resmptd 6045	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦))) ↾ ℝ) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦))))
33	32	eqcomd 2769	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦))) = ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦))) ↾ ℝ))
34	33	oveq2d 7462	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦)))) = (ℝ D ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦))) ↾ ℝ)))
35	14	fmpttd 7142	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦))):ℂ⟶ℂ)
36		ssidd 3936	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
37		dvsinax 47138	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦)))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦)))))
38	10, 37	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦)))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦)))))
39	38	dmeqd 5895	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦)))) = dom (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦)))))
40	13	coscld 16331	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (cos‘(𝐴 · 𝑦)) ∈ ℂ)
41	11, 40	mulcld 11359	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦))) ∈ ℂ)
42	41	ralrimiva 3158	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℂ (𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦))) ∈ ℂ)
43		dmmptg 6257	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∀𝑦 ∈ ℂ (𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦))) ∈ ℂ → dom (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦)))) = ℂ)
44	42, 43	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → dom (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦)))) = ℂ)
45	39, 44	eqtr2d 2799	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ℂ = dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦)))))
46	7, 45	sseqtrid 3955	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦)))))
47		dvres3 26266	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((ℝ ∈ {ℝ, ℂ} ∧ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦))):ℂ⟶ℂ) ∧ (ℂ ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦)))))) → (ℝ D ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦))) ↾ ℝ)) = ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦)))) ↾ ℝ))
48	26, 35, 36, 46, 47	syl22anc 852	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (ℝ D ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦))) ↾ ℝ)) = ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦)))) ↾ ℝ))
49	38	reseq1d 5981	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦)))) ↾ ℝ) = ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦)))) ↾ ℝ))
50	8	resmptd 6045	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦)))) ↾ ℝ) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦)))))
51	48, 49, 50	3eqtrd 2802	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (ℝ D ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦))) ↾ ℝ)) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦)))))
52	34, 51	eqtrd 2798	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦)))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦)))))
53	26, 27, 31, 52, 10, 15	dvmptdivc 26318	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦))) / 𝐴)))
54		iccntr 25174	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐵[,]𝐶)) = (𝐵(,)𝐶))
55	1, 2, 54	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐵[,]𝐶)) = (𝐵(,)𝐶))
56	53, 55	reseq12d 5983	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐵[,]𝐶))) = ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦))) / 𝐴)) ↾ (𝐵(,)𝐶)))
57		ioossre 13568	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵(,)𝐶) ⊆ ℝ
58		resmpt 6042	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵(,)𝐶) ⊆ ℝ → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦))) / 𝐴)) ↾ (𝐵(,)𝐶)) = (𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ ((𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦))) / 𝐴)))
59	57, 58	mp1i 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦))) / 𝐴)) ↾ (𝐵(,)𝐶)) = (𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ ((𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦))) / 𝐴)))
60		elioore 13536	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶) → 𝑦 ∈ ℝ)
61	60	recnd 11367	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶) → 𝑦 ∈ ℂ)
62	61, 40	sylan2 605	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶)) → (cos‘(𝐴 · 𝑦)) ∈ ℂ)
63	10	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶)) → 𝐴 ∈ ℂ)
64	15	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶)) → 𝐴 ≠ 0)
65	62, 63, 64	divcan3d 12128	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶)) → ((𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦))) / 𝐴) = (cos‘(𝐴 · 𝑦)))
66	65	mpteq2dva 5202	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ ((𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦))) / 𝐴)) = (𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ (cos‘(𝐴 · 𝑦))))
67	56, 59, 66	3eqtrd 2802	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐵[,]𝐶))) = (𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ (cos‘(𝐴 · 𝑦))))
68	6, 24, 67	3eqtrd 2802	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))) = (𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ (cos‘(𝐴 · 𝑦))))
69	68	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶)) → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))) = (𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ (cos‘(𝐴 · 𝑦))))
70		oveq2 7454	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝐴 · 𝑦) = (𝐴 · 𝑥))
71	70	fveq2d 6915	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (cos‘(𝐴 · 𝑦)) = (cos‘(𝐴 · 𝑥)))
72	71	adantl 487	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶)) ∧ 𝑦 = 𝑥) → (cos‘(𝐴 · 𝑦)) = (cos‘(𝐴 · 𝑥)))
73		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶)) → 𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶))
74	10	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶)) → 𝐴 ∈ ℂ)
75	57, 8	sstrid 3924	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵(,)𝐶) ⊆ ℂ)
76	75	sselda 3913	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶)) → 𝑥 ∈ ℂ)
77	74, 76	mulcld 11359	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶)) → (𝐴 · 𝑥) ∈ ℂ)
78	77	coscld 16331	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶)) → (cos‘(𝐴 · 𝑥)) ∈ ℂ)
79	69, 72, 73, 78	fvmptd 7027	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶)) → ((ℝ D (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)))‘𝑥) = (cos‘(𝐴 · 𝑥)))
80	79	eqcomd 2769	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶)) → (cos‘(𝐴 · 𝑥)) = ((ℝ D (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)))‘𝑥))
81	80	itgeq2dv 26135	. 2 ⊢ (𝜑 → ∫(𝐵(,)𝐶)(cos‘(𝐴 · 𝑥)) d𝑥 = ∫(𝐵(,)𝐶)((ℝ D (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)))‘𝑥) d𝑥)
82		eqidd 2764	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)) = (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)))
83		oveq2 7454	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝐶 → (𝐴 · 𝑦) = (𝐴 · 𝐶))
84	83	fveq2d 6915	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝐶 → (sin‘(𝐴 · 𝑦)) = (sin‘(𝐴 · 𝐶)))
85	84	oveq1d 7461	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝐶 → ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴) = ((sin‘(𝐴 · 𝐶)) / 𝐴))
86	85	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = 𝐶) → ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴) = ((sin‘(𝐴 · 𝐶)) / 𝐴))
87	1	rexrd 11389	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ^*)
88	2	rexrd 11389	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ^*)
89		itgcoscmulx.blec	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)
90		ubicc2 13626	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐶 ∈ (𝐵[,]𝐶))
91	87, 88, 89, 90	syl3anc 1399	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐵[,]𝐶))
92	2	recnd 11367	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
93	10, 92	mulcld 11359	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℂ)
94	93	sincld 16330	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (sin‘(𝐴 · 𝐶)) ∈ ℂ)
95	94, 10, 15	divcld 12123	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((sin‘(𝐴 · 𝐶)) / 𝐴) ∈ ℂ)
96	82, 86, 91, 95	fvmptd 7027	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))‘𝐶) = ((sin‘(𝐴 · 𝐶)) / 𝐴))
97		oveq2 7454	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝐴 · 𝑦) = (𝐴 · 𝐵))
98	97	fveq2d 6915	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (sin‘(𝐴 · 𝑦)) = (sin‘(𝐴 · 𝐵)))
99	98	oveq1d 7461	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴) = ((sin‘(𝐴 · 𝐵)) / 𝐴))
100	99	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = 𝐵) → ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴) = ((sin‘(𝐴 · 𝐵)) / 𝐴))
101		lbicc2 13625	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐵 ∈ (𝐵[,]𝐶))
102	87, 88, 89, 101	syl3anc 1399	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐵[,]𝐶))
103	1	recnd 11367	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
104	10, 103	mulcld 11359	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
105	104	sincld 16330	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (sin‘(𝐴 · 𝐵)) ∈ ℂ)
106	105, 10, 15	divcld 12123	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((sin‘(𝐴 · 𝐵)) / 𝐴) ∈ ℂ)
107	82, 100, 102, 106	fvmptd 7027	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))‘𝐵) = ((sin‘(𝐴 · 𝐵)) / 𝐴))
108	96, 107	oveq12d 7464	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))‘𝐶) − ((𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))‘𝐵)) = (((sin‘(𝐴 · 𝐶)) / 𝐴) − ((sin‘(𝐴 · 𝐵)) / 𝐴)))
109		coscn 26805	. . . . . . 7 ⊢ cos ∈ (ℂ–cn→ℂ)
110	109	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → cos ∈ (ℂ–cn→ℂ))
111	75, 10, 36	constcncfg 47097	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ 𝐴) ∈ ((𝐵(,)𝐶)–cn→ℂ))
112	75, 36	idcncfg 47098	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ 𝑦) ∈ ((𝐵(,)𝐶)–cn→ℂ))
113	111, 112	mulcncf 25800	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ (𝐴 · 𝑦)) ∈ ((𝐵(,)𝐶)–cn→ℂ))
114	110, 113	cncfmpt1f 25268	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ (cos‘(𝐴 · 𝑦))) ∈ ((𝐵(,)𝐶)–cn→ℂ))
115	68, 114	eqeltrd 2864	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))) ∈ ((𝐵(,)𝐶)–cn→ℂ))
116		ioossicc 13594	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵(,)𝐶) ⊆ (𝐵[,]𝐶)
117	116	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵(,)𝐶) ⊆ (𝐵[,]𝐶))
118		ioombl 25919	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵(,)𝐶) ∈ dom vol
119	118	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵(,)𝐶) ∈ dom vol)
120	10	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶)) → 𝐴 ∈ ℂ)
121	3, 7	sstrdi 3925	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵[,]𝐶) ⊆ ℂ)
122	121	sselda 3913	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶)) → 𝑦 ∈ ℂ)
123	120, 122	mulcld 11359	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶)) → (𝐴 · 𝑦) ∈ ℂ)
124	123	coscld 16331	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶)) → (cos‘(𝐴 · 𝑦)) ∈ ℂ)
125	121, 10, 36	constcncfg 47097	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ 𝐴) ∈ ((𝐵[,]𝐶)–cn→ℂ))
126	121, 36	idcncfg 47098	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ 𝑦) ∈ ((𝐵[,]𝐶)–cn→ℂ))
127	125, 126	mulcncf 25800	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (𝐴 · 𝑦)) ∈ ((𝐵[,]𝐶)–cn→ℂ))
128	110, 127	cncfmpt1f 25268	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (cos‘(𝐴 · 𝑦))) ∈ ((𝐵[,]𝐶)–cn→ℂ))
129		cniccibl 26194	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (cos‘(𝐴 · 𝑦))) ∈ ((𝐵[,]𝐶)–cn→ℂ)) → (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (cos‘(𝐴 · 𝑦))) ∈ 𝐿¹)
130	1, 2, 128, 129	syl3anc 1399	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (cos‘(𝐴 · 𝑦))) ∈ 𝐿¹)
131	117, 119, 124, 130	iblss 26158	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ (cos‘(𝐴 · 𝑦))) ∈ 𝐿¹)
132	68, 131	eqeltrd 2864	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))) ∈ 𝐿¹)
133		sincn 26804	. . . . . . 7 ⊢ sin ∈ (ℂ–cn→ℂ)
134	133	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → sin ∈ (ℂ–cn→ℂ))
135	134, 127	cncfmpt1f 25268	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦))) ∈ ((𝐵[,]𝐶)–cn→ℂ))
136		neneq 2965	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ≠ 0 → ¬ 𝐴 = 0)
137		elsni 4601	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ {0} → 𝐴 = 0)
138	137	con3i 155	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝐴 = 0 → ¬ 𝐴 ∈ {0})
139	15, 136, 138	3syl 19	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ {0})
140	10, 139	eldifd 4053	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}))
141		difssd 4076	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ)
142	121, 140, 141	constcncfg 47097	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ 𝐴) ∈ ((𝐵[,]𝐶)–cn→(ℂ ∖ {0})))
143	135, 142	divcncf 25801	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)) ∈ ((𝐵[,]𝐶)–cn→ℂ))
144	1, 2, 89, 115, 132, 143	ftc2 26397	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∫(𝐵(,)𝐶)((ℝ D (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)))‘𝑥) d𝑥 = (((𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))‘𝐶) − ((𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))‘𝐵)))
145	94, 105, 10, 15	divsubdird 12162	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((sin‘(𝐴 · 𝐶)) − (sin‘(𝐴 · 𝐵))) / 𝐴) = (((sin‘(𝐴 · 𝐶)) / 𝐴) − ((sin‘(𝐴 · 𝐵)) / 𝐴)))
146	108, 144, 145	3eqtr4d 2808	. 2 ⊢ (𝜑 → ∫(𝐵(,)𝐶)((ℝ D (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)))‘𝑥) d𝑥 = (((sin‘(𝐴 · 𝐶)) − (sin‘(𝐴 · 𝐵))) / 𝐴))
147	81, 146	eqtrd 2798	1 ⊢ (𝜑 → ∫(𝐵(,)𝐶)(cos‘(𝐴 · 𝑥)) d𝑥 = (((sin‘(𝐴 · 𝐶)) − (sin‘(𝐴 · 𝐵))) / 𝐴))

Colors of variables: wff setvar class

This proof depends on syntax axioms: ¬ wn 3 → wi 4 ∧ wa 401 = wceq 1570 ∈ wcel 2147 ≠ wne 2959 ∀wral 3080 ⊆ wss 3900 ∖ cdif 4048 {csn 4588 {cpr 4590 class class class wbr 5106 ↦ cmpt 5190 dom cdm 5656 ran crn 5657 ↾ cres 5658 ⟶wf 6557 ‘cfv 6561 (class class class)co 7446 ℂcc 11228 ℝcr 11229 0cc0 11230 · cmul 11235 ℝ^*cxr 11372 ≤ cle 11374 − cmin 11571 / cdiv 12003 (,)cioo 13506 [,]cicc 13509 sincsin 16261 cosccos 16262 TopOpenctopn 17624 topGenctg 17640 ℂ_fldccnfld 21711 intcnt 23368 –cn→ccncf 25230 volcvol 25817 𝐿¹cibl 25971 ∫citg 25972 D cdv 26216

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1828 ax-4 1842 ax-5 1945 ax-6 2002 ax-7 2043 ax-8 2149 ax-9 2157 ax-10 2180 ax-11 2197 ax-12 2216 ax-ext 2735 ax-rep 5236 ax-sep 5253 ax-nul 5264 ax-pow 5332 ax-pr 5396 ax-un 7778 ax-inf2 9672 ax-cc 10543 ax-cnex 11286 ax-resscn 11287 ax-1cn 11288 ax-icn 11289 ax-addcl 11290 ax-addrcl 11291 ax-mulcl 11292 ax-mulrcl 11293 ax-mulcom 11294 ax-addass 11295 ax-mulass 11296 ax-distr 11297 ax-i2m1 11298 ax-1ne0 11299 ax-1rid 11300 ax-rnegex 11301 ax-rrecex 11302 ax-cnre 11303 ax-pre-lttri 11304 ax-pre-lttrn 11305 ax-pre-ltadd 11306 ax-pre-mulgt0 11307 ax-pre-sup 11308 ax-addf 11309

This proof depends on definitions: df-bi 210 df-an 402 df-or 862 df-3or 1104 df-3an 1105 df-tru 1573 df-fal 1583 df-ex 1813 df-nf 1817 df-sb 2102 df-mo 2567 df-eu 2597 df-clab 2742 df-cleq 2755 df-clel 2839 df-nfc 2913 df-ne 2960 df-nel 3066 df-ral 3081 df-rex 3091 df-rmo 3369 df-reu 3370 df-rab 3417 df-v 3456 df-sbc 3743 df-csb 3852 df-ss 3901 df-pss 4017 df-dif 4050 df-in 4094 df-un 4154 df-symdif 4201 df-nul 4282 df-if 4486 df-pw 4562 df-sn 4589 df-pr 4591 df-tp 4593 df-op 4839 df-uni 4871 df-int 4911 df-iun 4956 df-iin 4957 df-disj 5074 df-br 5107 df-opab 5172 df-mpt 5191 df-tr 5217 df-id 5551 df-eprel 5556 df-po 5564 df-so 5565 df-fr 5609 df-se 5610 df-we 5611 df-xp 5662 df-rel 5663 df-cnv 5664 df-co 5665 df-dm 5666 df-rn 5667 df-res 5668 df-ima 5669 df-pred 6325 df-ord 6386 df-on 6387 df-lim 6388 df-suc 6389 df-iota 6515 df-fun 6563 df-fn 6564 df-f 6565 df-f1 6566 df-fo 6567 df-f1o 6568 df-fv 6569 df-isom 6570 df-riota 7403 df-ov 7449 df-oprab 7450 df-mpo 7451 df-of 7720 df-ofr 7721 df-om 7905 df-1st 8028 df-2nd 8029 df-supp 8208 df-frecs 8330 df-wrecs 8361 df-recs 8410 df-rdg 8449 df-1o 8507 df-2o 8508 df-oadd 8511 df-omul 8512 df-er 8748 df-map 8880 df-pm 8881 df-ixp 8957 df-en 9005 df-dom 9006 df-sdom 9007 df-fin 9008 df-fsupp 9385 df-fi 9433 df-sup 9464 df-inf 9465 df-oi 9534 df-dju 10012 df-card 10050 df-acn 10053 df-pnf 11375 df-mnf 11376 df-xr 11377 df-ltxr 11378 df-le 11379 df-sub 11573 df-neg 11574 df-div 12004 df-nn 12366 df-2 12435 df-3 12436 df-4 12437 df-5 12438 df-6 12439 df-7 12440 df-8 12441 df-9 12442 df-n0 12637 df-z 12724 df-dec 12845 df-uz 12996 df-q 13106 df-rp 13151 df-xneg 13271 df-xadd 13272 df-xmul 13273 df-ioo 13510 df-ioc 13511 df-ico 13512 df-icc 13513 df-fz 13670 df-fzo 13819 df-fl 13962 df-mod 14040 df-seq 14175 df-exp 14235 df-fac 14448 df-bc 14477 df-hash 14505 df-shft 15252 df-cj 15298 df-re 15299 df-im 15300 df-sqrt 15434 df-abs 15435 df-limsup 15670 df-clim 15687 df-rlim 15688 df-sum 15886 df-ef 16265 df-sin 16267 df-cos 16268 df-struct 17357 df-sets 17374 df-slot 17392 df-ndx 17404 df-base 17420 df-ress 17441 df-plusg 17473 df-mulr 17474 df-starv 17475 df-sca 17476 df-vsca 17477 df-ip 17478 df-tset 17479 df-ple 17480 df-ds 17482 df-unif 17483 df-hom 17484 df-cco 17485 df-rest 17625 df-topn 17626 df-0g 17644 df-gsum 17645 df-topgen 17646 df-pt 17647 df-prds 17650 df-xrs 17706 df-qtop 17711 df-imas 17712 df-xps 17714 df-mre 17788 df-mrc 17789 df-acs 17791 df-mgm 18848 df-sgrp 18940 df-mnd 18956 df-submnd 19011 df-mulg 19310 df-cntz 19564 df-cmn 20029 df-psmet 21703 df-xmet 21704 df-met 21705 df-bl 21706 df-mopn 21707 df-fbas 21708 df-fg 21709 df-cnfld 21712 df-top 23245 df-topon 23262 df-topsp 23284 df-bases 23297 df-cld 23370 df-ntr 23371 df-cls 23372 df-nei 23449 df-lp 23487 df-perf 23488 df-cn 23578 df-cnp 23579 df-haus 23666 df-cmp 23738 df-tx 23914 df-hmeo 24107 df-fil 24198 df-fm 24290 df-flim 24291 df-flf 24292 df-xms 24672 df-ms 24673 df-tms 24674 df-cncf 25232 df-ovol 25818 df-vol 25819 df-mbf 25973 df-itg1 25974 df-itg2 25975 df-ibl 25976 df-itg 25977 df-0p 26024 df-limc 26219 df-dv 26220

This theorem is used by: sqwvfoura 47453

W3C validator