Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  itgcoscmulx Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgcoscmulx 42260
Description: Exercise: the integral of 𝑥 ↦ cos𝑎𝑥 on an open interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
itgcoscmulx.a (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
itgcoscmulx.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
itgcoscmulx.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
itgcoscmulx.blec (𝜑𝐵𝐶)
itgcoscmulx.an0 (𝜑𝐴 ≠ 0)
Assertion
Ref Expression
itgcoscmulx (𝜑 → ∫(𝐵(,)𝐶)(cos‘(𝐴 · 𝑥)) d𝑥 = (((sin‘(𝐴 · 𝐶)) − (sin‘(𝐴 · 𝐵))) / 𝐴))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥

Proof of Theorem itgcoscmulx
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itgcoscmulx.b . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
2 itgcoscmulx.c . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
31, 2iccssred 41786 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵[,]𝐶) ⊆ ℝ)
43resmptd 5911 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)) ↾ (𝐵[,]𝐶)) = (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)))
54eqcomd 2830 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)) = ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)) ↾ (𝐵[,]𝐶)))
65oveq2d 7175 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))) = (ℝ D ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)) ↾ (𝐵[,]𝐶))))
7 ax-resscn 10597 . . . . . . . . 9 ℝ ⊆ ℂ
87a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
98sselda 3970 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℂ)
10 itgcoscmulx.a . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
1110adantr 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
12 simpr 487 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → 𝑦 ∈ ℂ)
1311, 12mulcld 10664 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝑦) ∈ ℂ)
1413sincld 15486 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (sin‘(𝐴 · 𝑦)) ∈ ℂ)
15 itgcoscmulx.an0 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ≠ 0)
1615adantr 483 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → 𝐴 ≠ 0)
1714, 11, 16divcld 11419 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴) ∈ ℂ)
189, 17syldan 593 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴) ∈ ℂ)
1918fmpttd 6882 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)):ℝ⟶ℂ)
20 ssidd 3993 . . . . . . . 8 (𝜑 → ℝ ⊆ ℝ)
21 eqid 2824 . . . . . . . . 9 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
2221tgioo2 23414 . . . . . . . . 9 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
2321, 22dvres 24512 . . . . . . . 8 (((ℝ ⊆ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)):ℝ⟶ℂ) ∧ (ℝ ⊆ ℝ ∧ (𝐵[,]𝐶) ⊆ ℝ)) → (ℝ D ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)) ↾ (𝐵[,]𝐶))) = ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐵[,]𝐶))))
248, 19, 20, 3, 23syl22anc 836 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ D ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)) ↾ (𝐵[,]𝐶))) = ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐵[,]𝐶))))
25 reelprrecn 10632 . . . . . . . . . . 11 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
2625a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
279, 14syldan 593 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (sin‘(𝐴 · 𝑦)) ∈ ℂ)
2810adantr 483 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
2928, 9mulcld 10664 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝑦) ∈ ℂ)
3029coscld 15487 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (cos‘(𝐴 · 𝑦)) ∈ ℂ)
3128, 30mulcld 10664 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦))) ∈ ℂ)
328resmptd 5911 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦))) ↾ ℝ) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦))))
3332eqcomd 2830 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦))) = ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦))) ↾ ℝ))
3433oveq2d 7175 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦)))) = (ℝ D ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦))) ↾ ℝ)))
3514fmpttd 6882 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦))):ℂ⟶ℂ)
36 ssidd 3993 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
37 dvsinax 42203 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦)))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦)))))
3810, 37syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦)))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦)))))
3938dmeqd 5777 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦)))) = dom (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦)))))
4013coscld 15487 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (cos‘(𝐴 · 𝑦)) ∈ ℂ)
4111, 40mulcld 10664 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦))) ∈ ℂ)
4241ralrimiva 3185 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℂ (𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦))) ∈ ℂ)
43 dmmptg 6099 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∀𝑦 ∈ ℂ (𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦))) ∈ ℂ → dom (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦)))) = ℂ)
4442, 43syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → dom (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦)))) = ℂ)
4539, 44eqtr2d 2860 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ℂ = dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦)))))
467, 45sseqtrid 4022 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ℝ ⊆ dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦)))))
47 dvres3 24514 . . . . . . . . . . . . 13 (((ℝ ∈ {ℝ, ℂ} ∧ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦))):ℂ⟶ℂ) ∧ (ℂ ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦)))))) → (ℝ D ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦))) ↾ ℝ)) = ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦)))) ↾ ℝ))
4826, 35, 36, 46, 47syl22anc 836 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (ℝ D ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦))) ↾ ℝ)) = ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦)))) ↾ ℝ))
4938reseq1d 5855 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦)))) ↾ ℝ) = ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦)))) ↾ ℝ))
508resmptd 5911 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦)))) ↾ ℝ) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦)))))
5148, 49, 503eqtrd 2863 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℝ D ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦))) ↾ ℝ)) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦)))))
5234, 51eqtrd 2859 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦)))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦)))))
5326, 27, 31, 52, 10, 15dvmptdivc 24565 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦))) / 𝐴)))
54 iccntr 23432 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐵[,]𝐶)) = (𝐵(,)𝐶))
551, 2, 54syl2anc 586 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐵[,]𝐶)) = (𝐵(,)𝐶))
5653, 55reseq12d 5857 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐵[,]𝐶))) = ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦))) / 𝐴)) ↾ (𝐵(,)𝐶)))
57 ioossre 12801 . . . . . . . . 9 (𝐵(,)𝐶) ⊆ ℝ
58 resmpt 5908 . . . . . . . . 9 ((𝐵(,)𝐶) ⊆ ℝ → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦))) / 𝐴)) ↾ (𝐵(,)𝐶)) = (𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ ((𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦))) / 𝐴)))
5957, 58mp1i 13 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦))) / 𝐴)) ↾ (𝐵(,)𝐶)) = (𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ ((𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦))) / 𝐴)))
60 elioore 12771 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶) → 𝑦 ∈ ℝ)
6160recnd 10672 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶) → 𝑦 ∈ ℂ)
6261, 40sylan2 594 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶)) → (cos‘(𝐴 · 𝑦)) ∈ ℂ)
6310adantr 483 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶)) → 𝐴 ∈ ℂ)
6415adantr 483 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶)) → 𝐴 ≠ 0)
6562, 63, 64divcan3d 11424 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶)) → ((𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦))) / 𝐴) = (cos‘(𝐴 · 𝑦)))
6665mpteq2dva 5164 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ ((𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦))) / 𝐴)) = (𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ (cos‘(𝐴 · 𝑦))))
6756, 59, 663eqtrd 2863 . . . . . . 7 (𝜑 → ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐵[,]𝐶))) = (𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ (cos‘(𝐴 · 𝑦))))
686, 24, 673eqtrd 2863 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))) = (𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ (cos‘(𝐴 · 𝑦))))
6968adantr 483 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶)) → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))) = (𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ (cos‘(𝐴 · 𝑦))))
70 oveq2 7167 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑥 → (𝐴 · 𝑦) = (𝐴 · 𝑥))
7170fveq2d 6677 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑥 → (cos‘(𝐴 · 𝑦)) = (cos‘(𝐴 · 𝑥)))
7271adantl 484 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶)) ∧ 𝑦 = 𝑥) → (cos‘(𝐴 · 𝑦)) = (cos‘(𝐴 · 𝑥)))
73 simpr 487 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶)) → 𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶))
7410adantr 483 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶)) → 𝐴 ∈ ℂ)
7557, 8sstrid 3981 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵(,)𝐶) ⊆ ℂ)
7675sselda 3970 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶)) → 𝑥 ∈ ℂ)
7774, 76mulcld 10664 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶)) → (𝐴 · 𝑥) ∈ ℂ)
7877coscld 15487 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶)) → (cos‘(𝐴 · 𝑥)) ∈ ℂ)
7969, 72, 73, 78fvmptd 6778 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶)) → ((ℝ D (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)))‘𝑥) = (cos‘(𝐴 · 𝑥)))
8079eqcomd 2830 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶)) → (cos‘(𝐴 · 𝑥)) = ((ℝ D (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)))‘𝑥))
8180itgeq2dv 24385 . 2 (𝜑 → ∫(𝐵(,)𝐶)(cos‘(𝐴 · 𝑥)) d𝑥 = ∫(𝐵(,)𝐶)((ℝ D (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)))‘𝑥) d𝑥)
82 eqidd 2825 . . . . 5 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)) = (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)))
83 oveq2 7167 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝐶 → (𝐴 · 𝑦) = (𝐴 · 𝐶))
8483fveq2d 6677 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐶 → (sin‘(𝐴 · 𝑦)) = (sin‘(𝐴 · 𝐶)))
8584oveq1d 7174 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐶 → ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴) = ((sin‘(𝐴 · 𝐶)) / 𝐴))
8685adantl 484 . . . . 5 ((𝜑𝑦 = 𝐶) → ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴) = ((sin‘(𝐴 · 𝐶)) / 𝐴))
871rexrd 10694 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
882rexrd 10694 . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
89 itgcoscmulx.blec . . . . . 6 (𝜑𝐵𝐶)
90 ubicc2 12856 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝐵𝐶) → 𝐶 ∈ (𝐵[,]𝐶))
9187, 88, 89, 90syl3anc 1367 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ (𝐵[,]𝐶))
922recnd 10672 . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
9310, 92mulcld 10664 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℂ)
9493sincld 15486 . . . . . 6 (𝜑 → (sin‘(𝐴 · 𝐶)) ∈ ℂ)
9594, 10, 15divcld 11419 . . . . 5 (𝜑 → ((sin‘(𝐴 · 𝐶)) / 𝐴) ∈ ℂ)
9682, 86, 91, 95fvmptd 6778 . . . 4 (𝜑 → ((𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))‘𝐶) = ((sin‘(𝐴 · 𝐶)) / 𝐴))
97 oveq2 7167 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝐵 → (𝐴 · 𝑦) = (𝐴 · 𝐵))
9897fveq2d 6677 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐵 → (sin‘(𝐴 · 𝑦)) = (sin‘(𝐴 · 𝐵)))
9998oveq1d 7174 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐵 → ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴) = ((sin‘(𝐴 · 𝐵)) / 𝐴))
10099adantl 484 . . . . 5 ((𝜑𝑦 = 𝐵) → ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴) = ((sin‘(𝐴 · 𝐵)) / 𝐴))
101 lbicc2 12855 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝐵𝐶) → 𝐵 ∈ (𝐵[,]𝐶))
10287, 88, 89, 101syl3anc 1367 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ (𝐵[,]𝐶))
1031recnd 10672 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
10410, 103mulcld 10664 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
105104sincld 15486 . . . . . 6 (𝜑 → (sin‘(𝐴 · 𝐵)) ∈ ℂ)
106105, 10, 15divcld 11419 . . . . 5 (𝜑 → ((sin‘(𝐴 · 𝐵)) / 𝐴) ∈ ℂ)
10782, 100, 102, 106fvmptd 6778 . . . 4 (𝜑 → ((𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))‘𝐵) = ((sin‘(𝐴 · 𝐵)) / 𝐴))
10896, 107oveq12d 7177 . . 3 (𝜑 → (((𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))‘𝐶) − ((𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))‘𝐵)) = (((sin‘(𝐴 · 𝐶)) / 𝐴) − ((sin‘(𝐴 · 𝐵)) / 𝐴)))
109 coscn 25036 . . . . . . 7 cos ∈ (ℂ–cn→ℂ)
110109a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → cos ∈ (ℂ–cn→ℂ))
11175, 10, 36constcncfg 42160 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ 𝐴) ∈ ((𝐵(,)𝐶)–cn→ℂ))
11275, 36idcncfg 42161 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ 𝑦) ∈ ((𝐵(,)𝐶)–cn→ℂ))
113111, 112mulcncf 24050 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ (𝐴 · 𝑦)) ∈ ((𝐵(,)𝐶)–cn→ℂ))
114110, 113cncfmpt1f 23524 . . . . 5 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ (cos‘(𝐴 · 𝑦))) ∈ ((𝐵(,)𝐶)–cn→ℂ))
11568, 114eqeltrd 2916 . . . 4 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))) ∈ ((𝐵(,)𝐶)–cn→ℂ))
116 ioossicc 12825 . . . . . . 7 (𝐵(,)𝐶) ⊆ (𝐵[,]𝐶)
117116a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵(,)𝐶) ⊆ (𝐵[,]𝐶))
118 ioombl 24169 . . . . . . 7 (𝐵(,)𝐶) ∈ dom vol
119118a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵(,)𝐶) ∈ dom vol)
12010adantr 483 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶)) → 𝐴 ∈ ℂ)
1213, 7sstrdi 3982 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵[,]𝐶) ⊆ ℂ)
122121sselda 3970 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶)) → 𝑦 ∈ ℂ)
123120, 122mulcld 10664 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶)) → (𝐴 · 𝑦) ∈ ℂ)
124123coscld 15487 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶)) → (cos‘(𝐴 · 𝑦)) ∈ ℂ)
125121, 10, 36constcncfg 42160 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ 𝐴) ∈ ((𝐵[,]𝐶)–cn→ℂ))
126121, 36idcncfg 42161 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ 𝑦) ∈ ((𝐵[,]𝐶)–cn→ℂ))
127125, 126mulcncf 24050 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (𝐴 · 𝑦)) ∈ ((𝐵[,]𝐶)–cn→ℂ))
128110, 127cncfmpt1f 23524 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (cos‘(𝐴 · 𝑦))) ∈ ((𝐵[,]𝐶)–cn→ℂ))
129 cniccibl 24444 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (cos‘(𝐴 · 𝑦))) ∈ ((𝐵[,]𝐶)–cn→ℂ)) → (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (cos‘(𝐴 · 𝑦))) ∈ 𝐿1)
1301, 2, 128, 129syl3anc 1367 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (cos‘(𝐴 · 𝑦))) ∈ 𝐿1)
131117, 119, 124, 130iblss 24408 . . . . 5 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ (cos‘(𝐴 · 𝑦))) ∈ 𝐿1)
13268, 131eqeltrd 2916 . . . 4 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))) ∈ 𝐿1)
133 sincn 25035 . . . . . . 7 sin ∈ (ℂ–cn→ℂ)
134133a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → sin ∈ (ℂ–cn→ℂ))
135134, 127cncfmpt1f 23524 . . . . 5 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦))) ∈ ((𝐵[,]𝐶)–cn→ℂ))
136 neneq 3025 . . . . . . . 8 (𝐴 ≠ 0 → ¬ 𝐴 = 0)
137 elsni 4587 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ {0} → 𝐴 = 0)
138137con3i 157 . . . . . . . 8 𝐴 = 0 → ¬ 𝐴 ∈ {0})
13915, 136, 1383syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ {0})
14010, 139eldifd 3950 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}))
141 difssd 4112 . . . . . 6 (𝜑 → (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ)
142121, 140, 141constcncfg 42160 . . . . 5 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ 𝐴) ∈ ((𝐵[,]𝐶)–cn→(ℂ ∖ {0})))
143135, 142divcncf 24051 . . . 4 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)) ∈ ((𝐵[,]𝐶)–cn→ℂ))
1441, 2, 89, 115, 132, 143ftc2 24644 . . 3 (𝜑 → ∫(𝐵(,)𝐶)((ℝ D (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)))‘𝑥) d𝑥 = (((𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))‘𝐶) − ((𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))‘𝐵)))
14594, 105, 10, 15divsubdird 11458 . . 3 (𝜑 → (((sin‘(𝐴 · 𝐶)) − (sin‘(𝐴 · 𝐵))) / 𝐴) = (((sin‘(𝐴 · 𝐶)) / 𝐴) − ((sin‘(𝐴 · 𝐵)) / 𝐴)))
146108, 144, 1453eqtr4d 2869 . 2 (𝜑 → ∫(𝐵(,)𝐶)((ℝ D (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)))‘𝑥) d𝑥 = (((sin‘(𝐴 · 𝐶)) − (sin‘(𝐴 · 𝐵))) / 𝐴))
14781, 146eqtrd 2859 1 (𝜑 → ∫(𝐵(,)𝐶)(cos‘(𝐴 · 𝑥)) d𝑥 = (((sin‘(𝐴 · 𝐶)) − (sin‘(𝐴 · 𝐵))) / 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 398   = wceq 1536  wcel 2113  wne 3019  wral 3141  cdif 3936  wss 3939  {csn 4570  {cpr 4572   class class class wbr 5069  cmpt 5149  dom cdm 5558  ran crn 5559  cres 5560  wf 6354  cfv 6358  (class class class)co 7159  cc 10538  cr 10539  0cc0 10540   · cmul 10545  *cxr 10677  cle 10679  cmin 10873   / cdiv 11300  (,)cioo 12741  [,]cicc 12744  sincsin 15420  cosccos 15421  TopOpenctopn 16698  topGenctg 16714  fldccnfld 20548  intcnt 21628  cnccncf 23487  volcvol 24067  𝐿1cibl 24221  citg 24222   D cdv 24464
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-rep 5193  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-inf2 9107  ax-cc 9860  ax-cnex 10596  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616  ax-pre-mulgt0 10617  ax-pre-sup 10618  ax-addf 10619  ax-mulf 10620
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rmo 3149  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-symdif 4222  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-int 4880  df-iun 4924  df-iin 4925  df-disj 5035  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-se 5518  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-isom 6367  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-of 7412  df-ofr 7413  df-om 7584  df-1st 7692  df-2nd 7693  df-supp 7834  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-1o 8105  df-2o 8106  df-oadd 8109  df-omul 8110  df-er 8292  df-map 8411  df-pm 8412  df-ixp 8465  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-fin 8516  df-fsupp 8837  df-fi 8878  df-sup 8909  df-inf 8910  df-oi 8977  df-dju 9333  df-card 9371  df-acn 9374  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-sub 10875  df-neg 10876  df-div 11301  df-nn 11642  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-7 11708  df-8 11709  df-9 11710  df-n0 11901  df-z 11985  df-dec 12102  df-uz 12247  df-q 12352  df-rp 12393  df-xneg 12510  df-xadd 12511  df-xmul 12512  df-ioo 12745  df-ioc 12746  df-ico 12747  df-icc 12748  df-fz 12896  df-fzo 13037  df-fl 13165  df-mod 13241  df-seq 13373  df-exp 13433  df-fac 13637  df-bc 13666  df-hash 13694  df-shft 14429  df-cj 14461  df-re 14462  df-im 14463  df-sqrt 14597  df-abs 14598  df-limsup 14831  df-clim 14848  df-rlim 14849  df-sum 15046  df-ef 15424  df-sin 15426  df-cos 15427  df-struct 16488  df-ndx 16489  df-slot 16490  df-base 16492  df-sets 16493  df-ress 16494  df-plusg 16581  df-mulr 16582  df-starv 16583  df-sca 16584  df-vsca 16585  df-ip 16586  df-tset 16587  df-ple 16588  df-ds 16590  df-unif 16591  df-hom 16592  df-cco 16593  df-rest 16699  df-topn 16700  df-0g 16718  df-gsum 16719  df-topgen 16720  df-pt 16721  df-prds 16724  df-xrs 16778  df-qtop 16783  df-imas 16784  df-xps 16786  df-mre 16860  df-mrc 16861  df-acs 16863  df-mgm 17855  df-sgrp 17904  df-mnd 17915  df-submnd 17960  df-mulg 18228  df-cntz 18450  df-cmn 18911  df-psmet 20540  df-xmet 20541  df-met 20542  df-bl 20543  df-mopn 20544  df-fbas 20545  df-fg 20546  df-cnfld 20549  df-top 21505  df-topon 21522  df-topsp 21544  df-bases 21557  df-cld 21630  df-ntr 21631  df-cls 21632  df-nei 21709  df-lp 21747  df-perf 21748  df-cn 21838  df-cnp 21839  df-haus 21926  df-cmp 21998  df-tx 22173  df-hmeo 22366  df-fil 22457  df-fm 22549  df-flim 22550  df-flf 22551  df-xms 22933  df-ms 22934  df-tms 22935  df-cncf 23489  df-ovol 24068  df-vol 24069  df-mbf 24223  df-itg1 24224  df-itg2 24225  df-ibl 24226  df-itg 24227  df-0p 24274  df-limc 24467  df-dv 24468
This theorem is referenced by:  sqwvfoura  42520
  Copyright terms: Public domain W3C validator