Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  itgcoscmulx Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgcoscmulx 45924
Description: Exercise: the integral of 𝑥 ↦ cos𝑎𝑥 on an open interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
itgcoscmulx.a (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
itgcoscmulx.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
itgcoscmulx.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
itgcoscmulx.blec (𝜑𝐵𝐶)
itgcoscmulx.an0 (𝜑𝐴 ≠ 0)
Assertion
Ref Expression
itgcoscmulx (𝜑 → ∫(𝐵(,)𝐶)(cos‘(𝐴 · 𝑥)) d𝑥 = (((sin‘(𝐴 · 𝐶)) − (sin‘(𝐴 · 𝐵))) / 𝐴))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥

Proof of Theorem itgcoscmulx
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itgcoscmulx.b . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
2 itgcoscmulx.c . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
31, 2iccssred 13470 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵[,]𝐶) ⊆ ℝ)
43resmptd 6059 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)) ↾ (𝐵[,]𝐶)) = (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)))
54eqcomd 2740 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)) = ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)) ↾ (𝐵[,]𝐶)))
65oveq2d 7446 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))) = (ℝ D ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)) ↾ (𝐵[,]𝐶))))
7 ax-resscn 11209 . . . . . . . . 9 ℝ ⊆ ℂ
87a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
98sselda 3994 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℂ)
10 itgcoscmulx.a . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
1110adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
12 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → 𝑦 ∈ ℂ)
1311, 12mulcld 11278 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝑦) ∈ ℂ)
1413sincld 16162 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (sin‘(𝐴 · 𝑦)) ∈ ℂ)
15 itgcoscmulx.an0 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ≠ 0)
1615adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → 𝐴 ≠ 0)
1714, 11, 16divcld 12040 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴) ∈ ℂ)
189, 17syldan 591 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴) ∈ ℂ)
1918fmpttd 7134 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)):ℝ⟶ℂ)
20 ssidd 4018 . . . . . . . 8 (𝜑 → ℝ ⊆ ℝ)
21 eqid 2734 . . . . . . . . 9 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
22 tgioo4 45525 . . . . . . . . 9 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
2321, 22dvres 25960 . . . . . . . 8 (((ℝ ⊆ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)):ℝ⟶ℂ) ∧ (ℝ ⊆ ℝ ∧ (𝐵[,]𝐶) ⊆ ℝ)) → (ℝ D ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)) ↾ (𝐵[,]𝐶))) = ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐵[,]𝐶))))
248, 19, 20, 3, 23syl22anc 839 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ D ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)) ↾ (𝐵[,]𝐶))) = ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐵[,]𝐶))))
25 reelprrecn 11244 . . . . . . . . . . 11 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
2625a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
279, 14syldan 591 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (sin‘(𝐴 · 𝑦)) ∈ ℂ)
2810adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
2928, 9mulcld 11278 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝑦) ∈ ℂ)
3029coscld 16163 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (cos‘(𝐴 · 𝑦)) ∈ ℂ)
3128, 30mulcld 11278 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦))) ∈ ℂ)
328resmptd 6059 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦))) ↾ ℝ) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦))))
3332eqcomd 2740 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦))) = ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦))) ↾ ℝ))
3433oveq2d 7446 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦)))) = (ℝ D ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦))) ↾ ℝ)))
3514fmpttd 7134 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦))):ℂ⟶ℂ)
36 ssidd 4018 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
37 dvsinax 45868 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦)))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦)))))
3810, 37syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦)))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦)))))
3938dmeqd 5918 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦)))) = dom (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦)))))
4013coscld 16163 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (cos‘(𝐴 · 𝑦)) ∈ ℂ)
4111, 40mulcld 11278 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦))) ∈ ℂ)
4241ralrimiva 3143 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℂ (𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦))) ∈ ℂ)
43 dmmptg 6263 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∀𝑦 ∈ ℂ (𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦))) ∈ ℂ → dom (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦)))) = ℂ)
4442, 43syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → dom (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦)))) = ℂ)
4539, 44eqtr2d 2775 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ℂ = dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦)))))
467, 45sseqtrid 4047 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ℝ ⊆ dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦)))))
47 dvres3 25962 . . . . . . . . . . . . 13 (((ℝ ∈ {ℝ, ℂ} ∧ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦))):ℂ⟶ℂ) ∧ (ℂ ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦)))))) → (ℝ D ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦))) ↾ ℝ)) = ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦)))) ↾ ℝ))
4826, 35, 36, 46, 47syl22anc 839 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (ℝ D ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦))) ↾ ℝ)) = ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦)))) ↾ ℝ))
4938reseq1d 5998 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦)))) ↾ ℝ) = ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦)))) ↾ ℝ))
508resmptd 6059 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦)))) ↾ ℝ) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦)))))
5148, 49, 503eqtrd 2778 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℝ D ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦))) ↾ ℝ)) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦)))))
5234, 51eqtrd 2774 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦)))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦)))))
5326, 27, 31, 52, 10, 15dvmptdivc 26017 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦))) / 𝐴)))
54 iccntr 24856 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐵[,]𝐶)) = (𝐵(,)𝐶))
551, 2, 54syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐵[,]𝐶)) = (𝐵(,)𝐶))
5653, 55reseq12d 6000 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐵[,]𝐶))) = ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦))) / 𝐴)) ↾ (𝐵(,)𝐶)))
57 ioossre 13444 . . . . . . . . 9 (𝐵(,)𝐶) ⊆ ℝ
58 resmpt 6056 . . . . . . . . 9 ((𝐵(,)𝐶) ⊆ ℝ → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦))) / 𝐴)) ↾ (𝐵(,)𝐶)) = (𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ ((𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦))) / 𝐴)))
5957, 58mp1i 13 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦))) / 𝐴)) ↾ (𝐵(,)𝐶)) = (𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ ((𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦))) / 𝐴)))
60 elioore 13413 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶) → 𝑦 ∈ ℝ)
6160recnd 11286 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶) → 𝑦 ∈ ℂ)
6261, 40sylan2 593 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶)) → (cos‘(𝐴 · 𝑦)) ∈ ℂ)
6310adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶)) → 𝐴 ∈ ℂ)
6415adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶)) → 𝐴 ≠ 0)
6562, 63, 64divcan3d 12045 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶)) → ((𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦))) / 𝐴) = (cos‘(𝐴 · 𝑦)))
6665mpteq2dva 5247 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ ((𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦))) / 𝐴)) = (𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ (cos‘(𝐴 · 𝑦))))
6756, 59, 663eqtrd 2778 . . . . . . 7 (𝜑 → ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐵[,]𝐶))) = (𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ (cos‘(𝐴 · 𝑦))))
686, 24, 673eqtrd 2778 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))) = (𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ (cos‘(𝐴 · 𝑦))))
6968adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶)) → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))) = (𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ (cos‘(𝐴 · 𝑦))))
70 oveq2 7438 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑥 → (𝐴 · 𝑦) = (𝐴 · 𝑥))
7170fveq2d 6910 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑥 → (cos‘(𝐴 · 𝑦)) = (cos‘(𝐴 · 𝑥)))
7271adantl 481 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶)) ∧ 𝑦 = 𝑥) → (cos‘(𝐴 · 𝑦)) = (cos‘(𝐴 · 𝑥)))
73 simpr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶)) → 𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶))
7410adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶)) → 𝐴 ∈ ℂ)
7557, 8sstrid 4006 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵(,)𝐶) ⊆ ℂ)
7675sselda 3994 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶)) → 𝑥 ∈ ℂ)
7774, 76mulcld 11278 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶)) → (𝐴 · 𝑥) ∈ ℂ)
7877coscld 16163 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶)) → (cos‘(𝐴 · 𝑥)) ∈ ℂ)
7969, 72, 73, 78fvmptd 7022 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶)) → ((ℝ D (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)))‘𝑥) = (cos‘(𝐴 · 𝑥)))
8079eqcomd 2740 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶)) → (cos‘(𝐴 · 𝑥)) = ((ℝ D (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)))‘𝑥))
8180itgeq2dv 25831 . 2 (𝜑 → ∫(𝐵(,)𝐶)(cos‘(𝐴 · 𝑥)) d𝑥 = ∫(𝐵(,)𝐶)((ℝ D (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)))‘𝑥) d𝑥)
82 eqidd 2735 . . . . 5 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)) = (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)))
83 oveq2 7438 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝐶 → (𝐴 · 𝑦) = (𝐴 · 𝐶))
8483fveq2d 6910 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐶 → (sin‘(𝐴 · 𝑦)) = (sin‘(𝐴 · 𝐶)))
8584oveq1d 7445 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐶 → ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴) = ((sin‘(𝐴 · 𝐶)) / 𝐴))
8685adantl 481 . . . . 5 ((𝜑𝑦 = 𝐶) → ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴) = ((sin‘(𝐴 · 𝐶)) / 𝐴))
871rexrd 11308 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
882rexrd 11308 . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
89 itgcoscmulx.blec . . . . . 6 (𝜑𝐵𝐶)
90 ubicc2 13501 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝐵𝐶) → 𝐶 ∈ (𝐵[,]𝐶))
9187, 88, 89, 90syl3anc 1370 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ (𝐵[,]𝐶))
922recnd 11286 . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
9310, 92mulcld 11278 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℂ)
9493sincld 16162 . . . . . 6 (𝜑 → (sin‘(𝐴 · 𝐶)) ∈ ℂ)
9594, 10, 15divcld 12040 . . . . 5 (𝜑 → ((sin‘(𝐴 · 𝐶)) / 𝐴) ∈ ℂ)
9682, 86, 91, 95fvmptd 7022 . . . 4 (𝜑 → ((𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))‘𝐶) = ((sin‘(𝐴 · 𝐶)) / 𝐴))
97 oveq2 7438 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝐵 → (𝐴 · 𝑦) = (𝐴 · 𝐵))
9897fveq2d 6910 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐵 → (sin‘(𝐴 · 𝑦)) = (sin‘(𝐴 · 𝐵)))
9998oveq1d 7445 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐵 → ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴) = ((sin‘(𝐴 · 𝐵)) / 𝐴))
10099adantl 481 . . . . 5 ((𝜑𝑦 = 𝐵) → ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴) = ((sin‘(𝐴 · 𝐵)) / 𝐴))
101 lbicc2 13500 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝐵𝐶) → 𝐵 ∈ (𝐵[,]𝐶))
10287, 88, 89, 101syl3anc 1370 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ (𝐵[,]𝐶))
1031recnd 11286 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
10410, 103mulcld 11278 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
105104sincld 16162 . . . . . 6 (𝜑 → (sin‘(𝐴 · 𝐵)) ∈ ℂ)
106105, 10, 15divcld 12040 . . . . 5 (𝜑 → ((sin‘(𝐴 · 𝐵)) / 𝐴) ∈ ℂ)
10782, 100, 102, 106fvmptd 7022 . . . 4 (𝜑 → ((𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))‘𝐵) = ((sin‘(𝐴 · 𝐵)) / 𝐴))
10896, 107oveq12d 7448 . . 3 (𝜑 → (((𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))‘𝐶) − ((𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))‘𝐵)) = (((sin‘(𝐴 · 𝐶)) / 𝐴) − ((sin‘(𝐴 · 𝐵)) / 𝐴)))
109 coscn 26503 . . . . . . 7 cos ∈ (ℂ–cn→ℂ)
110109a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → cos ∈ (ℂ–cn→ℂ))
11175, 10, 36constcncfg 45827 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ 𝐴) ∈ ((𝐵(,)𝐶)–cn→ℂ))
11275, 36idcncfg 45828 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ 𝑦) ∈ ((𝐵(,)𝐶)–cn→ℂ))
113111, 112mulcncf 25493 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ (𝐴 · 𝑦)) ∈ ((𝐵(,)𝐶)–cn→ℂ))
114110, 113cncfmpt1f 24953 . . . . 5 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ (cos‘(𝐴 · 𝑦))) ∈ ((𝐵(,)𝐶)–cn→ℂ))
11568, 114eqeltrd 2838 . . . 4 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))) ∈ ((𝐵(,)𝐶)–cn→ℂ))
116 ioossicc 13469 . . . . . . 7 (𝐵(,)𝐶) ⊆ (𝐵[,]𝐶)
117116a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵(,)𝐶) ⊆ (𝐵[,]𝐶))
118 ioombl 25613 . . . . . . 7 (𝐵(,)𝐶) ∈ dom vol
119118a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵(,)𝐶) ∈ dom vol)
12010adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶)) → 𝐴 ∈ ℂ)
1213, 7sstrdi 4007 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵[,]𝐶) ⊆ ℂ)
122121sselda 3994 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶)) → 𝑦 ∈ ℂ)
123120, 122mulcld 11278 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶)) → (𝐴 · 𝑦) ∈ ℂ)
124123coscld 16163 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶)) → (cos‘(𝐴 · 𝑦)) ∈ ℂ)
125121, 10, 36constcncfg 45827 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ 𝐴) ∈ ((𝐵[,]𝐶)–cn→ℂ))
126121, 36idcncfg 45828 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ 𝑦) ∈ ((𝐵[,]𝐶)–cn→ℂ))
127125, 126mulcncf 25493 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (𝐴 · 𝑦)) ∈ ((𝐵[,]𝐶)–cn→ℂ))
128110, 127cncfmpt1f 24953 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (cos‘(𝐴 · 𝑦))) ∈ ((𝐵[,]𝐶)–cn→ℂ))
129 cniccibl 25890 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (cos‘(𝐴 · 𝑦))) ∈ ((𝐵[,]𝐶)–cn→ℂ)) → (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (cos‘(𝐴 · 𝑦))) ∈ 𝐿1)
1301, 2, 128, 129syl3anc 1370 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (cos‘(𝐴 · 𝑦))) ∈ 𝐿1)
131117, 119, 124, 130iblss 25854 . . . . 5 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ (cos‘(𝐴 · 𝑦))) ∈ 𝐿1)
13268, 131eqeltrd 2838 . . . 4 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))) ∈ 𝐿1)
133 sincn 26502 . . . . . . 7 sin ∈ (ℂ–cn→ℂ)
134133a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → sin ∈ (ℂ–cn→ℂ))
135134, 127cncfmpt1f 24953 . . . . 5 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦))) ∈ ((𝐵[,]𝐶)–cn→ℂ))
136 neneq 2943 . . . . . . . 8 (𝐴 ≠ 0 → ¬ 𝐴 = 0)
137 elsni 4647 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ {0} → 𝐴 = 0)
138137con3i 154 . . . . . . . 8 𝐴 = 0 → ¬ 𝐴 ∈ {0})
13915, 136, 1383syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ {0})
14010, 139eldifd 3973 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}))
141 difssd 4146 . . . . . 6 (𝜑 → (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ)
142121, 140, 141constcncfg 45827 . . . . 5 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ 𝐴) ∈ ((𝐵[,]𝐶)–cn→(ℂ ∖ {0})))
143135, 142divcncf 25495 . . . 4 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)) ∈ ((𝐵[,]𝐶)–cn→ℂ))
1441, 2, 89, 115, 132, 143ftc2 26099 . . 3 (𝜑 → ∫(𝐵(,)𝐶)((ℝ D (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)))‘𝑥) d𝑥 = (((𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))‘𝐶) − ((𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))‘𝐵)))
14594, 105, 10, 15divsubdird 12079 . . 3 (𝜑 → (((sin‘(𝐴 · 𝐶)) − (sin‘(𝐴 · 𝐵))) / 𝐴) = (((sin‘(𝐴 · 𝐶)) / 𝐴) − ((sin‘(𝐴 · 𝐵)) / 𝐴)))
146108, 144, 1453eqtr4d 2784 . 2 (𝜑 → ∫(𝐵(,)𝐶)((ℝ D (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)))‘𝑥) d𝑥 = (((sin‘(𝐴 · 𝐶)) − (sin‘(𝐴 · 𝐵))) / 𝐴))
14781, 146eqtrd 2774 1 (𝜑 → ∫(𝐵(,)𝐶)(cos‘(𝐴 · 𝑥)) d𝑥 = (((sin‘(𝐴 · 𝐶)) − (sin‘(𝐴 · 𝐵))) / 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105  wne 2937  wral 3058  cdif 3959  wss 3962  {csn 4630  {cpr 4632   class class class wbr 5147  cmpt 5230  dom cdm 5688  ran crn 5689  cres 5690  wf 6558  cfv 6562  (class class class)co 7430  cc 11150  cr 11151  0cc0 11152   · cmul 11157  *cxr 11291  cle 11293  cmin 11489   / cdiv 11917  (,)cioo 13383  [,]cicc 13386  sincsin 16095  cosccos 16096  TopOpenctopn 17467  topGenctg 17483  fldccnfld 21381  intcnt 23040  cnccncf 24915  volcvol 25511  𝐿1cibl 25665  citg 25666   D cdv 25912
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cc 10472  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230  ax-addf 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-symdif 4258  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-iin 4998  df-disj 5115  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-ofr 7697  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-supp 8184  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-oadd 8508  df-omul 8509  df-er 8743  df-map 8866  df-pm 8867  df-ixp 8936  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fsupp 9399  df-fi 9448  df-sup 9479  df-inf 9480  df-oi 9547  df-dju 9938  df-card 9976  df-acn 9979  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-xneg 13151  df-xadd 13152  df-xmul 13153  df-ioo 13387  df-ioc 13388  df-ico 13389  df-icc 13390  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-fl 13828  df-mod 13906  df-seq 14039  df-exp 14099  df-fac 14309  df-bc 14338  df-hash 14366  df-shft 15102  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-limsup 15503  df-clim 15520  df-rlim 15521  df-sum 15719  df-ef 16099  df-sin 16101  df-cos 16102  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17468  df-topn 17469  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-topgen 17489  df-pt 17490  df-prds 17493  df-xrs 17548  df-qtop 17553  df-imas 17554  df-xps 17556  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-submnd 18809  df-mulg 19098  df-cntz 19347  df-cmn 19814  df-psmet 21373  df-xmet 21374  df-met 21375  df-bl 21376  df-mopn 21377  df-fbas 21378  df-fg 21379  df-cnfld 21382  df-top 22915  df-topon 22932  df-topsp 22954  df-bases 22968  df-cld 23042  df-ntr 23043  df-cls 23044  df-nei 23121  df-lp 23159  df-perf 23160  df-cn 23250  df-cnp 23251  df-haus 23338  df-cmp 23410  df-tx 23585  df-hmeo 23778  df-fil 23869  df-fm 23961  df-flim 23962  df-flf 23963  df-xms 24345  df-ms 24346  df-tms 24347  df-cncf 24917  df-ovol 25512  df-vol 25513  df-mbf 25667  df-itg1 25668  df-itg2 25669  df-ibl 25670  df-itg 25671  df-0p 25718  df-limc 25915  df-dv 25916
This theorem is referenced by:  sqwvfoura  46183
  Copyright terms: Public domain W3C validator