Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  itgcoscmulx Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgcoscmulx 44685
Description: Exercise: the integral of π‘₯ ↦ cosπ‘Žπ‘₯ on an open interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
itgcoscmulx.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
itgcoscmulx.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
itgcoscmulx.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
itgcoscmulx.blec (πœ‘ β†’ 𝐡 ≀ 𝐢)
itgcoscmulx.an0 (πœ‘ β†’ 𝐴 β‰  0)
Assertion
Ref Expression
itgcoscmulx (πœ‘ β†’ ∫(𝐡(,)𝐢)(cosβ€˜(𝐴 Β· π‘₯)) dπ‘₯ = (((sinβ€˜(𝐴 Β· 𝐢)) βˆ’ (sinβ€˜(𝐴 Β· 𝐡))) / 𝐴))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝐢   πœ‘,π‘₯

Proof of Theorem itgcoscmulx
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itgcoscmulx.b . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
2 itgcoscmulx.c . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
31, 2iccssred 13411 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐡[,]𝐢) βŠ† ℝ)
43resmptd 6041 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) / 𝐴)) β†Ύ (𝐡[,]𝐢)) = (𝑦 ∈ (𝐡[,]𝐢) ↦ ((sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) / 𝐴)))
54eqcomd 2739 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (𝐡[,]𝐢) ↦ ((sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) / 𝐴)) = ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) / 𝐴)) β†Ύ (𝐡[,]𝐢)))
65oveq2d 7425 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑦 ∈ (𝐡[,]𝐢) ↦ ((sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) / 𝐴))) = (ℝ D ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) / 𝐴)) β†Ύ (𝐡[,]𝐢))))
7 ax-resscn 11167 . . . . . . . . 9 ℝ βŠ† β„‚
87a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ℝ βŠ† β„‚)
98sselda 3983 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
10 itgcoscmulx.a . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
1110adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
12 simpr 486 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
1311, 12mulcld 11234 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (𝐴 Β· 𝑦) ∈ β„‚)
1413sincld 16073 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) ∈ β„‚)
15 itgcoscmulx.an0 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐴 β‰  0)
1615adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ 𝐴 β‰  0)
1714, 11, 16divcld 11990 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ ((sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) / 𝐴) ∈ β„‚)
189, 17syldan 592 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ ((sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) / 𝐴) ∈ β„‚)
1918fmpttd 7115 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) / 𝐴)):β„βŸΆβ„‚)
20 ssidd 4006 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ℝ βŠ† ℝ)
21 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
22 tgioo4 44286 . . . . . . . . 9 (topGenβ€˜ran (,)) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)
2321, 22dvres 25428 . . . . . . . 8 (((ℝ βŠ† β„‚ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) / 𝐴)):β„βŸΆβ„‚) ∧ (ℝ βŠ† ℝ ∧ (𝐡[,]𝐢) βŠ† ℝ)) β†’ (ℝ D ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) / 𝐴)) β†Ύ (𝐡[,]𝐢))) = ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) / 𝐴))) β†Ύ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐡[,]𝐢))))
248, 19, 20, 3, 23syl22anc 838 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (ℝ D ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) / 𝐴)) β†Ύ (𝐡[,]𝐢))) = ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) / 𝐴))) β†Ύ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐡[,]𝐢))))
25 reelprrecn 11202 . . . . . . . . . . 11 ℝ ∈ {ℝ, β„‚}
2625a1i 11 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ℝ ∈ {ℝ, β„‚})
279, 14syldan 592 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) ∈ β„‚)
2810adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
2928, 9mulcld 11234 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (𝐴 Β· 𝑦) ∈ β„‚)
3029coscld 16074 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (cosβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) ∈ β„‚)
3128, 30mulcld 11234 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (𝐴 Β· (cosβ€˜(𝐴 Β· 𝑦))) ∈ β„‚)
328resmptd 6041 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((𝑦 ∈ β„‚ ↦ (sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦))) β†Ύ ℝ) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦))))
3332eqcomd 2739 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ ℝ ↦ (sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦))) = ((𝑦 ∈ β„‚ ↦ (sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦))) β†Ύ ℝ))
3433oveq2d 7425 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)))) = (ℝ D ((𝑦 ∈ β„‚ ↦ (sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦))) β†Ύ ℝ)))
3514fmpttd 7115 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦))):β„‚βŸΆβ„‚)
36 ssidd 4006 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ β„‚ βŠ† β„‚)
37 dvsinax 44629 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)))) = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· (cosβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)))))
3810, 37syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)))) = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· (cosβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)))))
3938dmeqd 5906 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ dom (β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)))) = dom (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· (cosβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)))))
4013coscld 16074 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (cosβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) ∈ β„‚)
4111, 40mulcld 11234 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (𝐴 Β· (cosβ€˜(𝐴 Β· 𝑦))) ∈ β„‚)
4241ralrimiva 3147 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ β„‚ (𝐴 Β· (cosβ€˜(𝐴 Β· 𝑦))) ∈ β„‚)
43 dmmptg 6242 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (βˆ€π‘¦ ∈ β„‚ (𝐴 Β· (cosβ€˜(𝐴 Β· 𝑦))) ∈ β„‚ β†’ dom (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· (cosβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)))) = β„‚)
4442, 43syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ dom (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· (cosβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)))) = β„‚)
4539, 44eqtr2d 2774 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ β„‚ = dom (β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)))))
467, 45sseqtrid 4035 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ℝ βŠ† dom (β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)))))
47 dvres3 25430 . . . . . . . . . . . . 13 (((ℝ ∈ {ℝ, β„‚} ∧ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦))):β„‚βŸΆβ„‚) ∧ (β„‚ βŠ† β„‚ ∧ ℝ βŠ† dom (β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)))))) β†’ (ℝ D ((𝑦 ∈ β„‚ ↦ (sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦))) β†Ύ ℝ)) = ((β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)))) β†Ύ ℝ))
4826, 35, 36, 46, 47syl22anc 838 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (ℝ D ((𝑦 ∈ β„‚ ↦ (sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦))) β†Ύ ℝ)) = ((β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)))) β†Ύ ℝ))
4938reseq1d 5981 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)))) β†Ύ ℝ) = ((𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· (cosβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)))) β†Ύ ℝ))
508resmptd 6041 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· (cosβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)))) β†Ύ ℝ) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝐴 Β· (cosβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)))))
5148, 49, 503eqtrd 2777 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (ℝ D ((𝑦 ∈ β„‚ ↦ (sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦))) β†Ύ ℝ)) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝐴 Β· (cosβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)))))
5234, 51eqtrd 2773 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝐴 Β· (cosβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)))))
5326, 27, 31, 52, 10, 15dvmptdivc 25482 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) / 𝐴))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝐴 Β· (cosβ€˜(𝐴 Β· 𝑦))) / 𝐴)))
54 iccntr 24337 . . . . . . . . . 10 ((𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐢 ∈ ℝ) β†’ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐡[,]𝐢)) = (𝐡(,)𝐢))
551, 2, 54syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐡[,]𝐢)) = (𝐡(,)𝐢))
5653, 55reseq12d 5983 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) / 𝐴))) β†Ύ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐡[,]𝐢))) = ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝐴 Β· (cosβ€˜(𝐴 Β· 𝑦))) / 𝐴)) β†Ύ (𝐡(,)𝐢)))
57 ioossre 13385 . . . . . . . . 9 (𝐡(,)𝐢) βŠ† ℝ
58 resmpt 6038 . . . . . . . . 9 ((𝐡(,)𝐢) βŠ† ℝ β†’ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝐴 Β· (cosβ€˜(𝐴 Β· 𝑦))) / 𝐴)) β†Ύ (𝐡(,)𝐢)) = (𝑦 ∈ (𝐡(,)𝐢) ↦ ((𝐴 Β· (cosβ€˜(𝐴 Β· 𝑦))) / 𝐴)))
5957, 58mp1i 13 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝐴 Β· (cosβ€˜(𝐴 Β· 𝑦))) / 𝐴)) β†Ύ (𝐡(,)𝐢)) = (𝑦 ∈ (𝐡(,)𝐢) ↦ ((𝐴 Β· (cosβ€˜(𝐴 Β· 𝑦))) / 𝐴)))
60 elioore 13354 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ (𝐡(,)𝐢) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
6160recnd 11242 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ (𝐡(,)𝐢) β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
6261, 40sylan2 594 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐡(,)𝐢)) β†’ (cosβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) ∈ β„‚)
6310adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐡(,)𝐢)) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
6415adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐡(,)𝐢)) β†’ 𝐴 β‰  0)
6562, 63, 64divcan3d 11995 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐡(,)𝐢)) β†’ ((𝐴 Β· (cosβ€˜(𝐴 Β· 𝑦))) / 𝐴) = (cosβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)))
6665mpteq2dva 5249 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (𝐡(,)𝐢) ↦ ((𝐴 Β· (cosβ€˜(𝐴 Β· 𝑦))) / 𝐴)) = (𝑦 ∈ (𝐡(,)𝐢) ↦ (cosβ€˜(𝐴 Β· 𝑦))))
6756, 59, 663eqtrd 2777 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) / 𝐴))) β†Ύ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐡[,]𝐢))) = (𝑦 ∈ (𝐡(,)𝐢) ↦ (cosβ€˜(𝐴 Β· 𝑦))))
686, 24, 673eqtrd 2777 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑦 ∈ (𝐡[,]𝐢) ↦ ((sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) / 𝐴))) = (𝑦 ∈ (𝐡(,)𝐢) ↦ (cosβ€˜(𝐴 Β· 𝑦))))
6968adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡(,)𝐢)) β†’ (ℝ D (𝑦 ∈ (𝐡[,]𝐢) ↦ ((sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) / 𝐴))) = (𝑦 ∈ (𝐡(,)𝐢) ↦ (cosβ€˜(𝐴 Β· 𝑦))))
70 oveq2 7417 . . . . . . 7 (𝑦 = π‘₯ β†’ (𝐴 Β· 𝑦) = (𝐴 Β· π‘₯))
7170fveq2d 6896 . . . . . 6 (𝑦 = π‘₯ β†’ (cosβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) = (cosβ€˜(𝐴 Β· π‘₯)))
7271adantl 483 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡(,)𝐢)) ∧ 𝑦 = π‘₯) β†’ (cosβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) = (cosβ€˜(𝐴 Β· π‘₯)))
73 simpr 486 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡(,)𝐢)) β†’ π‘₯ ∈ (𝐡(,)𝐢))
7410adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡(,)𝐢)) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
7557, 8sstrid 3994 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐡(,)𝐢) βŠ† β„‚)
7675sselda 3983 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡(,)𝐢)) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
7774, 76mulcld 11234 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡(,)𝐢)) β†’ (𝐴 Β· π‘₯) ∈ β„‚)
7877coscld 16074 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡(,)𝐢)) β†’ (cosβ€˜(𝐴 Β· π‘₯)) ∈ β„‚)
7969, 72, 73, 78fvmptd 7006 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡(,)𝐢)) β†’ ((ℝ D (𝑦 ∈ (𝐡[,]𝐢) ↦ ((sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) / 𝐴)))β€˜π‘₯) = (cosβ€˜(𝐴 Β· π‘₯)))
8079eqcomd 2739 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡(,)𝐢)) β†’ (cosβ€˜(𝐴 Β· π‘₯)) = ((ℝ D (𝑦 ∈ (𝐡[,]𝐢) ↦ ((sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) / 𝐴)))β€˜π‘₯))
8180itgeq2dv 25299 . 2 (πœ‘ β†’ ∫(𝐡(,)𝐢)(cosβ€˜(𝐴 Β· π‘₯)) dπ‘₯ = ∫(𝐡(,)𝐢)((ℝ D (𝑦 ∈ (𝐡[,]𝐢) ↦ ((sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) / 𝐴)))β€˜π‘₯) dπ‘₯)
82 eqidd 2734 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (𝐡[,]𝐢) ↦ ((sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) / 𝐴)) = (𝑦 ∈ (𝐡[,]𝐢) ↦ ((sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) / 𝐴)))
83 oveq2 7417 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝐢 β†’ (𝐴 Β· 𝑦) = (𝐴 Β· 𝐢))
8483fveq2d 6896 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐢 β†’ (sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) = (sinβ€˜(𝐴 Β· 𝐢)))
8584oveq1d 7424 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐢 β†’ ((sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) / 𝐴) = ((sinβ€˜(𝐴 Β· 𝐢)) / 𝐴))
8685adantl 483 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 = 𝐢) β†’ ((sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) / 𝐴) = ((sinβ€˜(𝐴 Β· 𝐢)) / 𝐴))
871rexrd 11264 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
882rexrd 11264 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ*)
89 itgcoscmulx.blec . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 ≀ 𝐢)
90 ubicc2 13442 . . . . . 6 ((𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐢 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ≀ 𝐢) β†’ 𝐢 ∈ (𝐡[,]𝐢))
9187, 88, 89, 90syl3anc 1372 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (𝐡[,]𝐢))
922recnd 11242 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
9310, 92mulcld 11234 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐴 Β· 𝐢) ∈ β„‚)
9493sincld 16073 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (sinβ€˜(𝐴 Β· 𝐢)) ∈ β„‚)
9594, 10, 15divcld 11990 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((sinβ€˜(𝐴 Β· 𝐢)) / 𝐴) ∈ β„‚)
9682, 86, 91, 95fvmptd 7006 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑦 ∈ (𝐡[,]𝐢) ↦ ((sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) / 𝐴))β€˜πΆ) = ((sinβ€˜(𝐴 Β· 𝐢)) / 𝐴))
97 oveq2 7417 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝐡 β†’ (𝐴 Β· 𝑦) = (𝐴 Β· 𝐡))
9897fveq2d 6896 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐡 β†’ (sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) = (sinβ€˜(𝐴 Β· 𝐡)))
9998oveq1d 7424 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐡 β†’ ((sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) / 𝐴) = ((sinβ€˜(𝐴 Β· 𝐡)) / 𝐴))
10099adantl 483 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 = 𝐡) β†’ ((sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) / 𝐴) = ((sinβ€˜(𝐴 Β· 𝐡)) / 𝐴))
101 lbicc2 13441 . . . . . 6 ((𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐢 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ≀ 𝐢) β†’ 𝐡 ∈ (𝐡[,]𝐢))
10287, 88, 89, 101syl3anc 1372 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (𝐡[,]𝐢))
1031recnd 11242 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
10410, 103mulcld 11234 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐴 Β· 𝐡) ∈ β„‚)
105104sincld 16073 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (sinβ€˜(𝐴 Β· 𝐡)) ∈ β„‚)
106105, 10, 15divcld 11990 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((sinβ€˜(𝐴 Β· 𝐡)) / 𝐴) ∈ β„‚)
10782, 100, 102, 106fvmptd 7006 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑦 ∈ (𝐡[,]𝐢) ↦ ((sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) / 𝐴))β€˜π΅) = ((sinβ€˜(𝐴 Β· 𝐡)) / 𝐴))
10896, 107oveq12d 7427 . . 3 (πœ‘ β†’ (((𝑦 ∈ (𝐡[,]𝐢) ↦ ((sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) / 𝐴))β€˜πΆ) βˆ’ ((𝑦 ∈ (𝐡[,]𝐢) ↦ ((sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) / 𝐴))β€˜π΅)) = (((sinβ€˜(𝐴 Β· 𝐢)) / 𝐴) βˆ’ ((sinβ€˜(𝐴 Β· 𝐡)) / 𝐴)))
109 coscn 25957 . . . . . . 7 cos ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚)
110109a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ cos ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚))
11175, 10, 36constcncfg 44588 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (𝐡(,)𝐢) ↦ 𝐴) ∈ ((𝐡(,)𝐢)–cnβ†’β„‚))
11275, 36idcncfg 44589 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (𝐡(,)𝐢) ↦ 𝑦) ∈ ((𝐡(,)𝐢)–cnβ†’β„‚))
113111, 112mulcncf 24963 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (𝐡(,)𝐢) ↦ (𝐴 Β· 𝑦)) ∈ ((𝐡(,)𝐢)–cnβ†’β„‚))
114110, 113cncfmpt1f 24430 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (𝐡(,)𝐢) ↦ (cosβ€˜(𝐴 Β· 𝑦))) ∈ ((𝐡(,)𝐢)–cnβ†’β„‚))
11568, 114eqeltrd 2834 . . . 4 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑦 ∈ (𝐡[,]𝐢) ↦ ((sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) / 𝐴))) ∈ ((𝐡(,)𝐢)–cnβ†’β„‚))
116 ioossicc 13410 . . . . . . 7 (𝐡(,)𝐢) βŠ† (𝐡[,]𝐢)
117116a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐡(,)𝐢) βŠ† (𝐡[,]𝐢))
118 ioombl 25082 . . . . . . 7 (𝐡(,)𝐢) ∈ dom vol
119118a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐡(,)𝐢) ∈ dom vol)
12010adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐡[,]𝐢)) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
1213, 7sstrdi 3995 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐡[,]𝐢) βŠ† β„‚)
122121sselda 3983 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐡[,]𝐢)) β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
123120, 122mulcld 11234 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐡[,]𝐢)) β†’ (𝐴 Β· 𝑦) ∈ β„‚)
124123coscld 16074 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐡[,]𝐢)) β†’ (cosβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) ∈ β„‚)
125121, 10, 36constcncfg 44588 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (𝐡[,]𝐢) ↦ 𝐴) ∈ ((𝐡[,]𝐢)–cnβ†’β„‚))
126121, 36idcncfg 44589 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (𝐡[,]𝐢) ↦ 𝑦) ∈ ((𝐡[,]𝐢)–cnβ†’β„‚))
127125, 126mulcncf 24963 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (𝐡[,]𝐢) ↦ (𝐴 Β· 𝑦)) ∈ ((𝐡[,]𝐢)–cnβ†’β„‚))
128110, 127cncfmpt1f 24430 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (𝐡[,]𝐢) ↦ (cosβ€˜(𝐴 Β· 𝑦))) ∈ ((𝐡[,]𝐢)–cnβ†’β„‚))
129 cniccibl 25358 . . . . . . 7 ((𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐢 ∈ ℝ ∧ (𝑦 ∈ (𝐡[,]𝐢) ↦ (cosβ€˜(𝐴 Β· 𝑦))) ∈ ((𝐡[,]𝐢)–cnβ†’β„‚)) β†’ (𝑦 ∈ (𝐡[,]𝐢) ↦ (cosβ€˜(𝐴 Β· 𝑦))) ∈ 𝐿1)
1301, 2, 128, 129syl3anc 1372 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (𝐡[,]𝐢) ↦ (cosβ€˜(𝐴 Β· 𝑦))) ∈ 𝐿1)
131117, 119, 124, 130iblss 25322 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (𝐡(,)𝐢) ↦ (cosβ€˜(𝐴 Β· 𝑦))) ∈ 𝐿1)
13268, 131eqeltrd 2834 . . . 4 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑦 ∈ (𝐡[,]𝐢) ↦ ((sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) / 𝐴))) ∈ 𝐿1)
133 sincn 25956 . . . . . . 7 sin ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚)
134133a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ sin ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚))
135134, 127cncfmpt1f 24430 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (𝐡[,]𝐢) ↦ (sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦))) ∈ ((𝐡[,]𝐢)–cnβ†’β„‚))
136 neneq 2947 . . . . . . . 8 (𝐴 β‰  0 β†’ Β¬ 𝐴 = 0)
137 elsni 4646 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ {0} β†’ 𝐴 = 0)
138137con3i 154 . . . . . . . 8 (Β¬ 𝐴 = 0 β†’ Β¬ 𝐴 ∈ {0})
13915, 136, 1383syl 18 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝐴 ∈ {0})
14010, 139eldifd 3960 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (β„‚ βˆ– {0}))
141 difssd 4133 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (β„‚ βˆ– {0}) βŠ† β„‚)
142121, 140, 141constcncfg 44588 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (𝐡[,]𝐢) ↦ 𝐴) ∈ ((𝐡[,]𝐢)–cnβ†’(β„‚ βˆ– {0})))
143135, 142divcncf 24964 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (𝐡[,]𝐢) ↦ ((sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) / 𝐴)) ∈ ((𝐡[,]𝐢)–cnβ†’β„‚))
1441, 2, 89, 115, 132, 143ftc2 25561 . . 3 (πœ‘ β†’ ∫(𝐡(,)𝐢)((ℝ D (𝑦 ∈ (𝐡[,]𝐢) ↦ ((sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) / 𝐴)))β€˜π‘₯) dπ‘₯ = (((𝑦 ∈ (𝐡[,]𝐢) ↦ ((sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) / 𝐴))β€˜πΆ) βˆ’ ((𝑦 ∈ (𝐡[,]𝐢) ↦ ((sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) / 𝐴))β€˜π΅)))
14594, 105, 10, 15divsubdird 12029 . . 3 (πœ‘ β†’ (((sinβ€˜(𝐴 Β· 𝐢)) βˆ’ (sinβ€˜(𝐴 Β· 𝐡))) / 𝐴) = (((sinβ€˜(𝐴 Β· 𝐢)) / 𝐴) βˆ’ ((sinβ€˜(𝐴 Β· 𝐡)) / 𝐴)))
146108, 144, 1453eqtr4d 2783 . 2 (πœ‘ β†’ ∫(𝐡(,)𝐢)((ℝ D (𝑦 ∈ (𝐡[,]𝐢) ↦ ((sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) / 𝐴)))β€˜π‘₯) dπ‘₯ = (((sinβ€˜(𝐴 Β· 𝐢)) βˆ’ (sinβ€˜(𝐴 Β· 𝐡))) / 𝐴))
14781, 146eqtrd 2773 1 (πœ‘ β†’ ∫(𝐡(,)𝐢)(cosβ€˜(𝐴 Β· π‘₯)) dπ‘₯ = (((sinβ€˜(𝐴 Β· 𝐢)) βˆ’ (sinβ€˜(𝐴 Β· 𝐡))) / 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062   βˆ– cdif 3946   βŠ† wss 3949  {csn 4629  {cpr 4631   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  dom cdm 5677  ran crn 5678   β†Ύ cres 5679  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„‚cc 11108  β„cr 11109  0cc0 11110   Β· cmul 11115  β„*cxr 11247   ≀ cle 11249   βˆ’ cmin 11444   / cdiv 11871  (,)cioo 13324  [,]cicc 13327  sincsin 16007  cosccos 16008  TopOpenctopn 17367  topGenctg 17383  β„‚fldccnfld 20944  intcnt 22521  β€“cnβ†’ccncf 24392  volcvol 24980  πΏ1cibl 25134  βˆ«citg 25135   D cdv 25380
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cc 10430  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-symdif 4243  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-disj 5115  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-ofr 7671  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-oadd 8470  df-omul 8471  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-dju 9896  df-card 9934  df-acn 9937  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ioc 13329  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-fac 14234  df-bc 14263  df-hash 14291  df-shft 15014  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-limsup 15415  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-ef 16011  df-sin 16013  df-cos 16014  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-nei 22602  df-lp 22640  df-perf 22641  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-haus 22819  df-cmp 22891  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-cncf 24394  df-ovol 24981  df-vol 24982  df-mbf 25136  df-itg1 25137  df-itg2 25138  df-ibl 25139  df-itg 25140  df-0p 25187  df-limc 25383  df-dv 25384
This theorem is referenced by:  sqwvfoura  44944
  Copyright terms: Public domain W3C validator