Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  itgcoscmulx Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgcoscmulx 44284
Description: Exercise: the integral of π‘₯ ↦ cosπ‘Žπ‘₯ on an open interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
itgcoscmulx.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
itgcoscmulx.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
itgcoscmulx.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
itgcoscmulx.blec (πœ‘ β†’ 𝐡 ≀ 𝐢)
itgcoscmulx.an0 (πœ‘ β†’ 𝐴 β‰  0)
Assertion
Ref Expression
itgcoscmulx (πœ‘ β†’ ∫(𝐡(,)𝐢)(cosβ€˜(𝐴 Β· π‘₯)) dπ‘₯ = (((sinβ€˜(𝐴 Β· 𝐢)) βˆ’ (sinβ€˜(𝐴 Β· 𝐡))) / 𝐴))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝐢   πœ‘,π‘₯

Proof of Theorem itgcoscmulx
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itgcoscmulx.b . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
2 itgcoscmulx.c . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
31, 2iccssred 13358 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐡[,]𝐢) βŠ† ℝ)
43resmptd 5999 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) / 𝐴)) β†Ύ (𝐡[,]𝐢)) = (𝑦 ∈ (𝐡[,]𝐢) ↦ ((sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) / 𝐴)))
54eqcomd 2743 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (𝐡[,]𝐢) ↦ ((sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) / 𝐴)) = ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) / 𝐴)) β†Ύ (𝐡[,]𝐢)))
65oveq2d 7378 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑦 ∈ (𝐡[,]𝐢) ↦ ((sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) / 𝐴))) = (ℝ D ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) / 𝐴)) β†Ύ (𝐡[,]𝐢))))
7 ax-resscn 11115 . . . . . . . . 9 ℝ βŠ† β„‚
87a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ℝ βŠ† β„‚)
98sselda 3949 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
10 itgcoscmulx.a . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
1110adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
12 simpr 486 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
1311, 12mulcld 11182 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (𝐴 Β· 𝑦) ∈ β„‚)
1413sincld 16019 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) ∈ β„‚)
15 itgcoscmulx.an0 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐴 β‰  0)
1615adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ 𝐴 β‰  0)
1714, 11, 16divcld 11938 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ ((sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) / 𝐴) ∈ β„‚)
189, 17syldan 592 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ ((sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) / 𝐴) ∈ β„‚)
1918fmpttd 7068 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) / 𝐴)):β„βŸΆβ„‚)
20 ssidd 3972 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ℝ βŠ† ℝ)
21 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
22 tgioo4 43885 . . . . . . . . 9 (topGenβ€˜ran (,)) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)
2321, 22dvres 25291 . . . . . . . 8 (((ℝ βŠ† β„‚ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) / 𝐴)):β„βŸΆβ„‚) ∧ (ℝ βŠ† ℝ ∧ (𝐡[,]𝐢) βŠ† ℝ)) β†’ (ℝ D ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) / 𝐴)) β†Ύ (𝐡[,]𝐢))) = ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) / 𝐴))) β†Ύ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐡[,]𝐢))))
248, 19, 20, 3, 23syl22anc 838 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (ℝ D ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) / 𝐴)) β†Ύ (𝐡[,]𝐢))) = ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) / 𝐴))) β†Ύ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐡[,]𝐢))))
25 reelprrecn 11150 . . . . . . . . . . 11 ℝ ∈ {ℝ, β„‚}
2625a1i 11 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ℝ ∈ {ℝ, β„‚})
279, 14syldan 592 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) ∈ β„‚)
2810adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
2928, 9mulcld 11182 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (𝐴 Β· 𝑦) ∈ β„‚)
3029coscld 16020 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (cosβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) ∈ β„‚)
3128, 30mulcld 11182 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (𝐴 Β· (cosβ€˜(𝐴 Β· 𝑦))) ∈ β„‚)
328resmptd 5999 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((𝑦 ∈ β„‚ ↦ (sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦))) β†Ύ ℝ) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦))))
3332eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ ℝ ↦ (sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦))) = ((𝑦 ∈ β„‚ ↦ (sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦))) β†Ύ ℝ))
3433oveq2d 7378 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)))) = (ℝ D ((𝑦 ∈ β„‚ ↦ (sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦))) β†Ύ ℝ)))
3514fmpttd 7068 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦))):β„‚βŸΆβ„‚)
36 ssidd 3972 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ β„‚ βŠ† β„‚)
37 dvsinax 44228 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)))) = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· (cosβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)))))
3810, 37syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)))) = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· (cosβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)))))
3938dmeqd 5866 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ dom (β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)))) = dom (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· (cosβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)))))
4013coscld 16020 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (cosβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) ∈ β„‚)
4111, 40mulcld 11182 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (𝐴 Β· (cosβ€˜(𝐴 Β· 𝑦))) ∈ β„‚)
4241ralrimiva 3144 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ β„‚ (𝐴 Β· (cosβ€˜(𝐴 Β· 𝑦))) ∈ β„‚)
43 dmmptg 6199 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (βˆ€π‘¦ ∈ β„‚ (𝐴 Β· (cosβ€˜(𝐴 Β· 𝑦))) ∈ β„‚ β†’ dom (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· (cosβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)))) = β„‚)
4442, 43syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ dom (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· (cosβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)))) = β„‚)
4539, 44eqtr2d 2778 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ β„‚ = dom (β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)))))
467, 45sseqtrid 4001 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ℝ βŠ† dom (β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)))))
47 dvres3 25293 . . . . . . . . . . . . 13 (((ℝ ∈ {ℝ, β„‚} ∧ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦))):β„‚βŸΆβ„‚) ∧ (β„‚ βŠ† β„‚ ∧ ℝ βŠ† dom (β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)))))) β†’ (ℝ D ((𝑦 ∈ β„‚ ↦ (sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦))) β†Ύ ℝ)) = ((β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)))) β†Ύ ℝ))
4826, 35, 36, 46, 47syl22anc 838 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (ℝ D ((𝑦 ∈ β„‚ ↦ (sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦))) β†Ύ ℝ)) = ((β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)))) β†Ύ ℝ))
4938reseq1d 5941 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)))) β†Ύ ℝ) = ((𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· (cosβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)))) β†Ύ ℝ))
508resmptd 5999 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· (cosβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)))) β†Ύ ℝ) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝐴 Β· (cosβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)))))
5148, 49, 503eqtrd 2781 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (ℝ D ((𝑦 ∈ β„‚ ↦ (sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦))) β†Ύ ℝ)) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝐴 Β· (cosβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)))))
5234, 51eqtrd 2777 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝐴 Β· (cosβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)))))
5326, 27, 31, 52, 10, 15dvmptdivc 25345 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) / 𝐴))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝐴 Β· (cosβ€˜(𝐴 Β· 𝑦))) / 𝐴)))
54 iccntr 24200 . . . . . . . . . 10 ((𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐢 ∈ ℝ) β†’ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐡[,]𝐢)) = (𝐡(,)𝐢))
551, 2, 54syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐡[,]𝐢)) = (𝐡(,)𝐢))
5653, 55reseq12d 5943 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) / 𝐴))) β†Ύ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐡[,]𝐢))) = ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝐴 Β· (cosβ€˜(𝐴 Β· 𝑦))) / 𝐴)) β†Ύ (𝐡(,)𝐢)))
57 ioossre 13332 . . . . . . . . 9 (𝐡(,)𝐢) βŠ† ℝ
58 resmpt 5996 . . . . . . . . 9 ((𝐡(,)𝐢) βŠ† ℝ β†’ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝐴 Β· (cosβ€˜(𝐴 Β· 𝑦))) / 𝐴)) β†Ύ (𝐡(,)𝐢)) = (𝑦 ∈ (𝐡(,)𝐢) ↦ ((𝐴 Β· (cosβ€˜(𝐴 Β· 𝑦))) / 𝐴)))
5957, 58mp1i 13 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝐴 Β· (cosβ€˜(𝐴 Β· 𝑦))) / 𝐴)) β†Ύ (𝐡(,)𝐢)) = (𝑦 ∈ (𝐡(,)𝐢) ↦ ((𝐴 Β· (cosβ€˜(𝐴 Β· 𝑦))) / 𝐴)))
60 elioore 13301 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ (𝐡(,)𝐢) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
6160recnd 11190 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ (𝐡(,)𝐢) β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
6261, 40sylan2 594 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐡(,)𝐢)) β†’ (cosβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) ∈ β„‚)
6310adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐡(,)𝐢)) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
6415adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐡(,)𝐢)) β†’ 𝐴 β‰  0)
6562, 63, 64divcan3d 11943 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐡(,)𝐢)) β†’ ((𝐴 Β· (cosβ€˜(𝐴 Β· 𝑦))) / 𝐴) = (cosβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)))
6665mpteq2dva 5210 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (𝐡(,)𝐢) ↦ ((𝐴 Β· (cosβ€˜(𝐴 Β· 𝑦))) / 𝐴)) = (𝑦 ∈ (𝐡(,)𝐢) ↦ (cosβ€˜(𝐴 Β· 𝑦))))
6756, 59, 663eqtrd 2781 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) / 𝐴))) β†Ύ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐡[,]𝐢))) = (𝑦 ∈ (𝐡(,)𝐢) ↦ (cosβ€˜(𝐴 Β· 𝑦))))
686, 24, 673eqtrd 2781 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑦 ∈ (𝐡[,]𝐢) ↦ ((sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) / 𝐴))) = (𝑦 ∈ (𝐡(,)𝐢) ↦ (cosβ€˜(𝐴 Β· 𝑦))))
6968adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡(,)𝐢)) β†’ (ℝ D (𝑦 ∈ (𝐡[,]𝐢) ↦ ((sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) / 𝐴))) = (𝑦 ∈ (𝐡(,)𝐢) ↦ (cosβ€˜(𝐴 Β· 𝑦))))
70 oveq2 7370 . . . . . . 7 (𝑦 = π‘₯ β†’ (𝐴 Β· 𝑦) = (𝐴 Β· π‘₯))
7170fveq2d 6851 . . . . . 6 (𝑦 = π‘₯ β†’ (cosβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) = (cosβ€˜(𝐴 Β· π‘₯)))
7271adantl 483 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡(,)𝐢)) ∧ 𝑦 = π‘₯) β†’ (cosβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) = (cosβ€˜(𝐴 Β· π‘₯)))
73 simpr 486 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡(,)𝐢)) β†’ π‘₯ ∈ (𝐡(,)𝐢))
7410adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡(,)𝐢)) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
7557, 8sstrid 3960 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐡(,)𝐢) βŠ† β„‚)
7675sselda 3949 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡(,)𝐢)) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
7774, 76mulcld 11182 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡(,)𝐢)) β†’ (𝐴 Β· π‘₯) ∈ β„‚)
7877coscld 16020 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡(,)𝐢)) β†’ (cosβ€˜(𝐴 Β· π‘₯)) ∈ β„‚)
7969, 72, 73, 78fvmptd 6960 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡(,)𝐢)) β†’ ((ℝ D (𝑦 ∈ (𝐡[,]𝐢) ↦ ((sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) / 𝐴)))β€˜π‘₯) = (cosβ€˜(𝐴 Β· π‘₯)))
8079eqcomd 2743 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡(,)𝐢)) β†’ (cosβ€˜(𝐴 Β· π‘₯)) = ((ℝ D (𝑦 ∈ (𝐡[,]𝐢) ↦ ((sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) / 𝐴)))β€˜π‘₯))
8180itgeq2dv 25162 . 2 (πœ‘ β†’ ∫(𝐡(,)𝐢)(cosβ€˜(𝐴 Β· π‘₯)) dπ‘₯ = ∫(𝐡(,)𝐢)((ℝ D (𝑦 ∈ (𝐡[,]𝐢) ↦ ((sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) / 𝐴)))β€˜π‘₯) dπ‘₯)
82 eqidd 2738 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (𝐡[,]𝐢) ↦ ((sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) / 𝐴)) = (𝑦 ∈ (𝐡[,]𝐢) ↦ ((sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) / 𝐴)))
83 oveq2 7370 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝐢 β†’ (𝐴 Β· 𝑦) = (𝐴 Β· 𝐢))
8483fveq2d 6851 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐢 β†’ (sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) = (sinβ€˜(𝐴 Β· 𝐢)))
8584oveq1d 7377 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐢 β†’ ((sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) / 𝐴) = ((sinβ€˜(𝐴 Β· 𝐢)) / 𝐴))
8685adantl 483 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 = 𝐢) β†’ ((sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) / 𝐴) = ((sinβ€˜(𝐴 Β· 𝐢)) / 𝐴))
871rexrd 11212 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
882rexrd 11212 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ*)
89 itgcoscmulx.blec . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 ≀ 𝐢)
90 ubicc2 13389 . . . . . 6 ((𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐢 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ≀ 𝐢) β†’ 𝐢 ∈ (𝐡[,]𝐢))
9187, 88, 89, 90syl3anc 1372 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (𝐡[,]𝐢))
922recnd 11190 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
9310, 92mulcld 11182 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐴 Β· 𝐢) ∈ β„‚)
9493sincld 16019 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (sinβ€˜(𝐴 Β· 𝐢)) ∈ β„‚)
9594, 10, 15divcld 11938 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((sinβ€˜(𝐴 Β· 𝐢)) / 𝐴) ∈ β„‚)
9682, 86, 91, 95fvmptd 6960 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑦 ∈ (𝐡[,]𝐢) ↦ ((sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) / 𝐴))β€˜πΆ) = ((sinβ€˜(𝐴 Β· 𝐢)) / 𝐴))
97 oveq2 7370 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝐡 β†’ (𝐴 Β· 𝑦) = (𝐴 Β· 𝐡))
9897fveq2d 6851 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐡 β†’ (sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) = (sinβ€˜(𝐴 Β· 𝐡)))
9998oveq1d 7377 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐡 β†’ ((sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) / 𝐴) = ((sinβ€˜(𝐴 Β· 𝐡)) / 𝐴))
10099adantl 483 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 = 𝐡) β†’ ((sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) / 𝐴) = ((sinβ€˜(𝐴 Β· 𝐡)) / 𝐴))
101 lbicc2 13388 . . . . . 6 ((𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐢 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ≀ 𝐢) β†’ 𝐡 ∈ (𝐡[,]𝐢))
10287, 88, 89, 101syl3anc 1372 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (𝐡[,]𝐢))
1031recnd 11190 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
10410, 103mulcld 11182 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐴 Β· 𝐡) ∈ β„‚)
105104sincld 16019 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (sinβ€˜(𝐴 Β· 𝐡)) ∈ β„‚)
106105, 10, 15divcld 11938 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((sinβ€˜(𝐴 Β· 𝐡)) / 𝐴) ∈ β„‚)
10782, 100, 102, 106fvmptd 6960 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑦 ∈ (𝐡[,]𝐢) ↦ ((sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) / 𝐴))β€˜π΅) = ((sinβ€˜(𝐴 Β· 𝐡)) / 𝐴))
10896, 107oveq12d 7380 . . 3 (πœ‘ β†’ (((𝑦 ∈ (𝐡[,]𝐢) ↦ ((sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) / 𝐴))β€˜πΆ) βˆ’ ((𝑦 ∈ (𝐡[,]𝐢) ↦ ((sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) / 𝐴))β€˜π΅)) = (((sinβ€˜(𝐴 Β· 𝐢)) / 𝐴) βˆ’ ((sinβ€˜(𝐴 Β· 𝐡)) / 𝐴)))
109 coscn 25820 . . . . . . 7 cos ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚)
110109a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ cos ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚))
11175, 10, 36constcncfg 44187 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (𝐡(,)𝐢) ↦ 𝐴) ∈ ((𝐡(,)𝐢)–cnβ†’β„‚))
11275, 36idcncfg 44188 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (𝐡(,)𝐢) ↦ 𝑦) ∈ ((𝐡(,)𝐢)–cnβ†’β„‚))
113111, 112mulcncf 24826 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (𝐡(,)𝐢) ↦ (𝐴 Β· 𝑦)) ∈ ((𝐡(,)𝐢)–cnβ†’β„‚))
114110, 113cncfmpt1f 24293 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (𝐡(,)𝐢) ↦ (cosβ€˜(𝐴 Β· 𝑦))) ∈ ((𝐡(,)𝐢)–cnβ†’β„‚))
11568, 114eqeltrd 2838 . . . 4 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑦 ∈ (𝐡[,]𝐢) ↦ ((sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) / 𝐴))) ∈ ((𝐡(,)𝐢)–cnβ†’β„‚))
116 ioossicc 13357 . . . . . . 7 (𝐡(,)𝐢) βŠ† (𝐡[,]𝐢)
117116a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐡(,)𝐢) βŠ† (𝐡[,]𝐢))
118 ioombl 24945 . . . . . . 7 (𝐡(,)𝐢) ∈ dom vol
119118a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐡(,)𝐢) ∈ dom vol)
12010adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐡[,]𝐢)) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
1213, 7sstrdi 3961 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐡[,]𝐢) βŠ† β„‚)
122121sselda 3949 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐡[,]𝐢)) β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
123120, 122mulcld 11182 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐡[,]𝐢)) β†’ (𝐴 Β· 𝑦) ∈ β„‚)
124123coscld 16020 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐡[,]𝐢)) β†’ (cosβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) ∈ β„‚)
125121, 10, 36constcncfg 44187 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (𝐡[,]𝐢) ↦ 𝐴) ∈ ((𝐡[,]𝐢)–cnβ†’β„‚))
126121, 36idcncfg 44188 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (𝐡[,]𝐢) ↦ 𝑦) ∈ ((𝐡[,]𝐢)–cnβ†’β„‚))
127125, 126mulcncf 24826 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (𝐡[,]𝐢) ↦ (𝐴 Β· 𝑦)) ∈ ((𝐡[,]𝐢)–cnβ†’β„‚))
128110, 127cncfmpt1f 24293 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (𝐡[,]𝐢) ↦ (cosβ€˜(𝐴 Β· 𝑦))) ∈ ((𝐡[,]𝐢)–cnβ†’β„‚))
129 cniccibl 25221 . . . . . . 7 ((𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐢 ∈ ℝ ∧ (𝑦 ∈ (𝐡[,]𝐢) ↦ (cosβ€˜(𝐴 Β· 𝑦))) ∈ ((𝐡[,]𝐢)–cnβ†’β„‚)) β†’ (𝑦 ∈ (𝐡[,]𝐢) ↦ (cosβ€˜(𝐴 Β· 𝑦))) ∈ 𝐿1)
1301, 2, 128, 129syl3anc 1372 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (𝐡[,]𝐢) ↦ (cosβ€˜(𝐴 Β· 𝑦))) ∈ 𝐿1)
131117, 119, 124, 130iblss 25185 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (𝐡(,)𝐢) ↦ (cosβ€˜(𝐴 Β· 𝑦))) ∈ 𝐿1)
13268, 131eqeltrd 2838 . . . 4 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑦 ∈ (𝐡[,]𝐢) ↦ ((sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) / 𝐴))) ∈ 𝐿1)
133 sincn 25819 . . . . . . 7 sin ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚)
134133a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ sin ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚))
135134, 127cncfmpt1f 24293 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (𝐡[,]𝐢) ↦ (sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦))) ∈ ((𝐡[,]𝐢)–cnβ†’β„‚))
136 neneq 2950 . . . . . . . 8 (𝐴 β‰  0 β†’ Β¬ 𝐴 = 0)
137 elsni 4608 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ {0} β†’ 𝐴 = 0)
138137con3i 154 . . . . . . . 8 (Β¬ 𝐴 = 0 β†’ Β¬ 𝐴 ∈ {0})
13915, 136, 1383syl 18 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝐴 ∈ {0})
14010, 139eldifd 3926 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (β„‚ βˆ– {0}))
141 difssd 4097 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (β„‚ βˆ– {0}) βŠ† β„‚)
142121, 140, 141constcncfg 44187 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (𝐡[,]𝐢) ↦ 𝐴) ∈ ((𝐡[,]𝐢)–cnβ†’(β„‚ βˆ– {0})))
143135, 142divcncf 24827 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (𝐡[,]𝐢) ↦ ((sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) / 𝐴)) ∈ ((𝐡[,]𝐢)–cnβ†’β„‚))
1441, 2, 89, 115, 132, 143ftc2 25424 . . 3 (πœ‘ β†’ ∫(𝐡(,)𝐢)((ℝ D (𝑦 ∈ (𝐡[,]𝐢) ↦ ((sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) / 𝐴)))β€˜π‘₯) dπ‘₯ = (((𝑦 ∈ (𝐡[,]𝐢) ↦ ((sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) / 𝐴))β€˜πΆ) βˆ’ ((𝑦 ∈ (𝐡[,]𝐢) ↦ ((sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) / 𝐴))β€˜π΅)))
14594, 105, 10, 15divsubdird 11977 . . 3 (πœ‘ β†’ (((sinβ€˜(𝐴 Β· 𝐢)) βˆ’ (sinβ€˜(𝐴 Β· 𝐡))) / 𝐴) = (((sinβ€˜(𝐴 Β· 𝐢)) / 𝐴) βˆ’ ((sinβ€˜(𝐴 Β· 𝐡)) / 𝐴)))
146108, 144, 1453eqtr4d 2787 . 2 (πœ‘ β†’ ∫(𝐡(,)𝐢)((ℝ D (𝑦 ∈ (𝐡[,]𝐢) ↦ ((sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) / 𝐴)))β€˜π‘₯) dπ‘₯ = (((sinβ€˜(𝐴 Β· 𝐢)) βˆ’ (sinβ€˜(𝐴 Β· 𝐡))) / 𝐴))
14781, 146eqtrd 2777 1 (πœ‘ β†’ ∫(𝐡(,)𝐢)(cosβ€˜(𝐴 Β· π‘₯)) dπ‘₯ = (((sinβ€˜(𝐴 Β· 𝐢)) βˆ’ (sinβ€˜(𝐴 Β· 𝐡))) / 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  βˆ€wral 3065   βˆ– cdif 3912   βŠ† wss 3915  {csn 4591  {cpr 4593   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193  dom cdm 5638  ran crn 5639   β†Ύ cres 5640  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  β„‚cc 11056  β„cr 11057  0cc0 11058   Β· cmul 11063  β„*cxr 11195   ≀ cle 11197   βˆ’ cmin 11392   / cdiv 11819  (,)cioo 13271  [,]cicc 13274  sincsin 15953  cosccos 15954  TopOpenctopn 17310  topGenctg 17326  β„‚fldccnfld 20812  intcnt 22384  β€“cnβ†’ccncf 24255  volcvol 24843  πΏ1cibl 24997  βˆ«citg 24998   D cdv 25243
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cc 10378  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136  ax-addf 11137  ax-mulf 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-symdif 4207  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-disj 5076  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-ofr 7623  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-oadd 8421  df-omul 8422  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-dju 9844  df-card 9882  df-acn 9885  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-ioo 13275  df-ioc 13276  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-mod 13782  df-seq 13914  df-exp 13975  df-fac 14181  df-bc 14210  df-hash 14238  df-shft 14959  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-limsup 15360  df-clim 15377  df-rlim 15378  df-sum 15578  df-ef 15957  df-sin 15959  df-cos 15960  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-starv 17155  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-unif 17163  df-hom 17164  df-cco 17165  df-rest 17311  df-topn 17312  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-topgen 17332  df-pt 17333  df-prds 17336  df-xrs 17391  df-qtop 17396  df-imas 17397  df-xps 17399  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-submnd 18609  df-mulg 18880  df-cntz 19104  df-cmn 19571  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-lp 22503  df-perf 22504  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-haus 22682  df-cmp 22754  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cncf 24257  df-ovol 24844  df-vol 24845  df-mbf 24999  df-itg1 25000  df-itg2 25001  df-ibl 25002  df-itg 25003  df-0p 25050  df-limc 25246  df-dv 25247
This theorem is referenced by:  sqwvfoura  44543
  Copyright terms: Public domain W3C validator