Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  itgcoscmulx Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgcoscmulx 40702
Description: Exercise: the integral of 𝑥 ↦ cos𝑎𝑥 on an open interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
itgcoscmulx.a (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
itgcoscmulx.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
itgcoscmulx.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
itgcoscmulx.blec (𝜑𝐵𝐶)
itgcoscmulx.an0 (𝜑𝐴 ≠ 0)
Assertion
Ref Expression
itgcoscmulx (𝜑 → ∫(𝐵(,)𝐶)(cos‘(𝐴 · 𝑥)) d𝑥 = (((sin‘(𝐴 · 𝐶)) − (sin‘(𝐴 · 𝐵))) / 𝐴))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥

Proof of Theorem itgcoscmulx
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itgcoscmulx.b . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
2 itgcoscmulx.c . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
31, 2iccssred 40248 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵[,]𝐶) ⊆ ℝ)
43resmptd 5593 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)) ↾ (𝐵[,]𝐶)) = (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)))
54eqcomd 2777 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)) = ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)) ↾ (𝐵[,]𝐶)))
65oveq2d 6809 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))) = (ℝ D ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)) ↾ (𝐵[,]𝐶))))
7 ax-resscn 10195 . . . . . . . . 9 ℝ ⊆ ℂ
87a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
98sselda 3752 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℂ)
10 itgcoscmulx.a . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
1110adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
12 simpr 471 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → 𝑦 ∈ ℂ)
1311, 12mulcld 10262 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝑦) ∈ ℂ)
1413sincld 15066 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (sin‘(𝐴 · 𝑦)) ∈ ℂ)
15 itgcoscmulx.an0 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ≠ 0)
1615adantr 466 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → 𝐴 ≠ 0)
1714, 11, 16divcld 11003 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴) ∈ ℂ)
189, 17syldan 579 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴) ∈ ℂ)
19 eqid 2771 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))
2018, 19fmptd 6527 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)):ℝ⟶ℂ)
21 ssid 3773 . . . . . . . . 9 ℝ ⊆ ℝ
2221a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → ℝ ⊆ ℝ)
23 eqid 2771 . . . . . . . . 9 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
2423tgioo2 22826 . . . . . . . . 9 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
2523, 24dvres 23895 . . . . . . . 8 (((ℝ ⊆ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)):ℝ⟶ℂ) ∧ (ℝ ⊆ ℝ ∧ (𝐵[,]𝐶) ⊆ ℝ)) → (ℝ D ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)) ↾ (𝐵[,]𝐶))) = ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐵[,]𝐶))))
268, 20, 22, 3, 25syl22anc 1477 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ D ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)) ↾ (𝐵[,]𝐶))) = ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐵[,]𝐶))))
27 reelprrecn 10230 . . . . . . . . . . 11 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
2827a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
299, 14syldan 579 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (sin‘(𝐴 · 𝑦)) ∈ ℂ)
3010adantr 466 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
3130, 9mulcld 10262 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝑦) ∈ ℂ)
3231coscld 15067 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (cos‘(𝐴 · 𝑦)) ∈ ℂ)
3330, 32mulcld 10262 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦))) ∈ ℂ)
348resmptd 5593 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦))) ↾ ℝ) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦))))
3534eqcomd 2777 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦))) = ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦))) ↾ ℝ))
3635oveq2d 6809 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦)))) = (ℝ D ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦))) ↾ ℝ)))
37 eqid 2771 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦)))
3814, 37fmptd 6527 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦))):ℂ⟶ℂ)
39 ssid 3773 . . . . . . . . . . . . . 14 ℂ ⊆ ℂ
4039a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
41 dvsinax 40645 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦)))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦)))))
4210, 41syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦)))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦)))))
4342dmeqd 5464 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦)))) = dom (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦)))))
4413coscld 15067 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (cos‘(𝐴 · 𝑦)) ∈ ℂ)
4511, 44mulcld 10262 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦))) ∈ ℂ)
4645ralrimiva 3115 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℂ (𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦))) ∈ ℂ)
47 dmmptg 5776 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∀𝑦 ∈ ℂ (𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦))) ∈ ℂ → dom (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦)))) = ℂ)
4846, 47syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → dom (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦)))) = ℂ)
4943, 48eqtr2d 2806 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ℂ = dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦)))))
507, 49syl5sseq 3802 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ℝ ⊆ dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦)))))
51 dvres3 23897 . . . . . . . . . . . . 13 (((ℝ ∈ {ℝ, ℂ} ∧ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦))):ℂ⟶ℂ) ∧ (ℂ ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦)))))) → (ℝ D ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦))) ↾ ℝ)) = ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦)))) ↾ ℝ))
5228, 38, 40, 50, 51syl22anc 1477 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (ℝ D ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦))) ↾ ℝ)) = ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦)))) ↾ ℝ))
5342reseq1d 5533 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦)))) ↾ ℝ) = ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦)))) ↾ ℝ))
548resmptd 5593 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦)))) ↾ ℝ) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦)))))
5552, 53, 543eqtrd 2809 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℝ D ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦))) ↾ ℝ)) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦)))))
5636, 55eqtrd 2805 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦)))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦)))))
5728, 29, 33, 56, 10, 15dvmptdivc 23948 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦))) / 𝐴)))
58 iccntr 22844 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐵[,]𝐶)) = (𝐵(,)𝐶))
591, 2, 58syl2anc 573 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐵[,]𝐶)) = (𝐵(,)𝐶))
6057, 59reseq12d 5535 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐵[,]𝐶))) = ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦))) / 𝐴)) ↾ (𝐵(,)𝐶)))
61 ioossre 12440 . . . . . . . . 9 (𝐵(,)𝐶) ⊆ ℝ
62 resmpt 5590 . . . . . . . . 9 ((𝐵(,)𝐶) ⊆ ℝ → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦))) / 𝐴)) ↾ (𝐵(,)𝐶)) = (𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ ((𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦))) / 𝐴)))
6361, 62mp1i 13 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦))) / 𝐴)) ↾ (𝐵(,)𝐶)) = (𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ ((𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦))) / 𝐴)))
64 elioore 12410 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶) → 𝑦 ∈ ℝ)
6564recnd 10270 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶) → 𝑦 ∈ ℂ)
6665, 44sylan2 580 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶)) → (cos‘(𝐴 · 𝑦)) ∈ ℂ)
6710adantr 466 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶)) → 𝐴 ∈ ℂ)
6815adantr 466 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶)) → 𝐴 ≠ 0)
6966, 67, 68divcan3d 11008 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶)) → ((𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦))) / 𝐴) = (cos‘(𝐴 · 𝑦)))
7069mpteq2dva 4878 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ ((𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦))) / 𝐴)) = (𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ (cos‘(𝐴 · 𝑦))))
7160, 63, 703eqtrd 2809 . . . . . . 7 (𝜑 → ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐵[,]𝐶))) = (𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ (cos‘(𝐴 · 𝑦))))
726, 26, 713eqtrd 2809 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))) = (𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ (cos‘(𝐴 · 𝑦))))
7372adantr 466 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶)) → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))) = (𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ (cos‘(𝐴 · 𝑦))))
74 oveq2 6801 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑥 → (𝐴 · 𝑦) = (𝐴 · 𝑥))
7574fveq2d 6336 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑥 → (cos‘(𝐴 · 𝑦)) = (cos‘(𝐴 · 𝑥)))
7675adantl 467 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶)) ∧ 𝑦 = 𝑥) → (cos‘(𝐴 · 𝑦)) = (cos‘(𝐴 · 𝑥)))
77 simpr 471 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶)) → 𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶))
7810adantr 466 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶)) → 𝐴 ∈ ℂ)
7961, 8syl5ss 3763 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵(,)𝐶) ⊆ ℂ)
8079sselda 3752 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶)) → 𝑥 ∈ ℂ)
8178, 80mulcld 10262 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶)) → (𝐴 · 𝑥) ∈ ℂ)
8281coscld 15067 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶)) → (cos‘(𝐴 · 𝑥)) ∈ ℂ)
8373, 76, 77, 82fvmptd 6430 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶)) → ((ℝ D (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)))‘𝑥) = (cos‘(𝐴 · 𝑥)))
8483eqcomd 2777 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶)) → (cos‘(𝐴 · 𝑥)) = ((ℝ D (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)))‘𝑥))
8584itgeq2dv 23768 . 2 (𝜑 → ∫(𝐵(,)𝐶)(cos‘(𝐴 · 𝑥)) d𝑥 = ∫(𝐵(,)𝐶)((ℝ D (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)))‘𝑥) d𝑥)
86 eqidd 2772 . . . . 5 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)) = (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)))
87 oveq2 6801 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝐶 → (𝐴 · 𝑦) = (𝐴 · 𝐶))
8887fveq2d 6336 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐶 → (sin‘(𝐴 · 𝑦)) = (sin‘(𝐴 · 𝐶)))
8988oveq1d 6808 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐶 → ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴) = ((sin‘(𝐴 · 𝐶)) / 𝐴))
9089adantl 467 . . . . 5 ((𝜑𝑦 = 𝐶) → ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴) = ((sin‘(𝐴 · 𝐶)) / 𝐴))
911rexrd 10291 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
922rexrd 10291 . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
93 itgcoscmulx.blec . . . . . 6 (𝜑𝐵𝐶)
94 ubicc2 12496 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝐵𝐶) → 𝐶 ∈ (𝐵[,]𝐶))
9591, 92, 93, 94syl3anc 1476 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ (𝐵[,]𝐶))
962recnd 10270 . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
9710, 96mulcld 10262 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℂ)
9897sincld 15066 . . . . . 6 (𝜑 → (sin‘(𝐴 · 𝐶)) ∈ ℂ)
9998, 10, 15divcld 11003 . . . . 5 (𝜑 → ((sin‘(𝐴 · 𝐶)) / 𝐴) ∈ ℂ)
10086, 90, 95, 99fvmptd 6430 . . . 4 (𝜑 → ((𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))‘𝐶) = ((sin‘(𝐴 · 𝐶)) / 𝐴))
101 oveq2 6801 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝐵 → (𝐴 · 𝑦) = (𝐴 · 𝐵))
102101fveq2d 6336 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐵 → (sin‘(𝐴 · 𝑦)) = (sin‘(𝐴 · 𝐵)))
103102oveq1d 6808 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐵 → ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴) = ((sin‘(𝐴 · 𝐵)) / 𝐴))
104103adantl 467 . . . . 5 ((𝜑𝑦 = 𝐵) → ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴) = ((sin‘(𝐴 · 𝐵)) / 𝐴))
105 lbicc2 12495 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝐵𝐶) → 𝐵 ∈ (𝐵[,]𝐶))
10691, 92, 93, 105syl3anc 1476 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ (𝐵[,]𝐶))
1071recnd 10270 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
10810, 107mulcld 10262 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
109108sincld 15066 . . . . . 6 (𝜑 → (sin‘(𝐴 · 𝐵)) ∈ ℂ)
110109, 10, 15divcld 11003 . . . . 5 (𝜑 → ((sin‘(𝐴 · 𝐵)) / 𝐴) ∈ ℂ)
11186, 104, 106, 110fvmptd 6430 . . . 4 (𝜑 → ((𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))‘𝐵) = ((sin‘(𝐴 · 𝐵)) / 𝐴))
112100, 111oveq12d 6811 . . 3 (𝜑 → (((𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))‘𝐶) − ((𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))‘𝐵)) = (((sin‘(𝐴 · 𝐶)) / 𝐴) − ((sin‘(𝐴 · 𝐵)) / 𝐴)))
113 coscn 24419 . . . . . . 7 cos ∈ (ℂ–cn→ℂ)
114113a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → cos ∈ (ℂ–cn→ℂ))
11579, 10, 40constcncfg 40602 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ 𝐴) ∈ ((𝐵(,)𝐶)–cn→ℂ))
11679, 40idcncfg 40603 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ 𝑦) ∈ ((𝐵(,)𝐶)–cn→ℂ))
117115, 116mulcncf 23434 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ (𝐴 · 𝑦)) ∈ ((𝐵(,)𝐶)–cn→ℂ))
118114, 117cncfmpt1f 22936 . . . . 5 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ (cos‘(𝐴 · 𝑦))) ∈ ((𝐵(,)𝐶)–cn→ℂ))
11972, 118eqeltrd 2850 . . . 4 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))) ∈ ((𝐵(,)𝐶)–cn→ℂ))
120 ioossicc 12464 . . . . . . 7 (𝐵(,)𝐶) ⊆ (𝐵[,]𝐶)
121120a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵(,)𝐶) ⊆ (𝐵[,]𝐶))
122 ioombl 23553 . . . . . . 7 (𝐵(,)𝐶) ∈ dom vol
123122a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵(,)𝐶) ∈ dom vol)
12410adantr 466 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶)) → 𝐴 ∈ ℂ)
1253, 7syl6ss 3764 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵[,]𝐶) ⊆ ℂ)
126125sselda 3752 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶)) → 𝑦 ∈ ℂ)
127124, 126mulcld 10262 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶)) → (𝐴 · 𝑦) ∈ ℂ)
128127coscld 15067 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶)) → (cos‘(𝐴 · 𝑦)) ∈ ℂ)
129125, 10, 40constcncfg 40602 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ 𝐴) ∈ ((𝐵[,]𝐶)–cn→ℂ))
130125, 40idcncfg 40603 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ 𝑦) ∈ ((𝐵[,]𝐶)–cn→ℂ))
131129, 130mulcncf 23434 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (𝐴 · 𝑦)) ∈ ((𝐵[,]𝐶)–cn→ℂ))
132114, 131cncfmpt1f 22936 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (cos‘(𝐴 · 𝑦))) ∈ ((𝐵[,]𝐶)–cn→ℂ))
133 cniccibl 23827 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (cos‘(𝐴 · 𝑦))) ∈ ((𝐵[,]𝐶)–cn→ℂ)) → (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (cos‘(𝐴 · 𝑦))) ∈ 𝐿1)
1341, 2, 132, 133syl3anc 1476 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (cos‘(𝐴 · 𝑦))) ∈ 𝐿1)
135121, 123, 128, 134iblss 23791 . . . . 5 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ (cos‘(𝐴 · 𝑦))) ∈ 𝐿1)
13672, 135eqeltrd 2850 . . . 4 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))) ∈ 𝐿1)
137 sincn 24418 . . . . . . 7 sin ∈ (ℂ–cn→ℂ)
138137a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → sin ∈ (ℂ–cn→ℂ))
139138, 131cncfmpt1f 22936 . . . . 5 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦))) ∈ ((𝐵[,]𝐶)–cn→ℂ))
140 neneq 2949 . . . . . . . 8 (𝐴 ≠ 0 → ¬ 𝐴 = 0)
141 elsni 4333 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ {0} → 𝐴 = 0)
142141con3i 151 . . . . . . . 8 𝐴 = 0 → ¬ 𝐴 ∈ {0})
14315, 140, 1423syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ {0})
14410, 143eldifd 3734 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}))
145 difssd 3889 . . . . . 6 (𝜑 → (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ)
146125, 144, 145constcncfg 40602 . . . . 5 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ 𝐴) ∈ ((𝐵[,]𝐶)–cn→(ℂ ∖ {0})))
147139, 146divcncf 23435 . . . 4 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)) ∈ ((𝐵[,]𝐶)–cn→ℂ))
1481, 2, 93, 119, 136, 147ftc2 24027 . . 3 (𝜑 → ∫(𝐵(,)𝐶)((ℝ D (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)))‘𝑥) d𝑥 = (((𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))‘𝐶) − ((𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))‘𝐵)))
14998, 109, 10, 15divsubdird 11042 . . 3 (𝜑 → (((sin‘(𝐴 · 𝐶)) − (sin‘(𝐴 · 𝐵))) / 𝐴) = (((sin‘(𝐴 · 𝐶)) / 𝐴) − ((sin‘(𝐴 · 𝐵)) / 𝐴)))
150112, 148, 1493eqtr4d 2815 . 2 (𝜑 → ∫(𝐵(,)𝐶)((ℝ D (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)))‘𝑥) d𝑥 = (((sin‘(𝐴 · 𝐶)) − (sin‘(𝐴 · 𝐵))) / 𝐴))
15185, 150eqtrd 2805 1 (𝜑 → ∫(𝐵(,)𝐶)(cos‘(𝐴 · 𝑥)) d𝑥 = (((sin‘(𝐴 · 𝐶)) − (sin‘(𝐴 · 𝐵))) / 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  wral 3061  cdif 3720  wss 3723  {csn 4316  {cpr 4318   class class class wbr 4786  cmpt 4863  dom cdm 5249  ran crn 5250  cres 5251  wf 6027  cfv 6031  (class class class)co 6793  cc 10136  cr 10137  0cc0 10138   · cmul 10143  *cxr 10275  cle 10277  cmin 10468   / cdiv 10886  (,)cioo 12380  [,]cicc 12383  sincsin 15000  cosccos 15001  TopOpenctopn 16290  topGenctg 16306  fldccnfld 19961  intcnt 21042  cnccncf 22899  volcvol 23451  𝐿1cibl 23605  citg 23606   D cdv 23847
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-inf2 8702  ax-cc 9459  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216  ax-addf 10217  ax-mulf 10218
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 835  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-iin 4657  df-disj 4755  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-of 7044  df-ofr 7045  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-supp 7447  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-2o 7714  df-oadd 7717  df-omul 7718  df-er 7896  df-map 8011  df-pm 8012  df-ixp 8063  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-fsupp 8432  df-fi 8473  df-sup 8504  df-inf 8505  df-oi 8571  df-card 8965  df-acn 8968  df-cda 9192  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-5 11284  df-6 11285  df-7 11286  df-8 11287  df-9 11288  df-n0 11495  df-z 11580  df-dec 11696  df-uz 11889  df-q 11992  df-rp 12036  df-xneg 12151  df-xadd 12152  df-xmul 12153  df-ioo 12384  df-ioc 12385  df-ico 12386  df-icc 12387  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-mod 12877  df-seq 13009  df-exp 13068  df-fac 13265  df-bc 13294  df-hash 13322  df-shft 14015  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-limsup 14410  df-clim 14427  df-rlim 14428  df-sum 14625  df-ef 15004  df-sin 15006  df-cos 15007  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-starv 16164  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-ip 16167  df-tset 16168  df-ple 16169  df-ds 16172  df-unif 16173  df-hom 16174  df-cco 16175  df-rest 16291  df-topn 16292  df-0g 16310  df-gsum 16311  df-topgen 16312  df-pt 16313  df-prds 16316  df-xrs 16370  df-qtop 16375  df-imas 16376  df-xps 16378  df-mre 16454  df-mrc 16455  df-acs 16457  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-submnd 17544  df-mulg 17749  df-cntz 17957  df-cmn 18402  df-psmet 19953  df-xmet 19954  df-met 19955  df-bl 19956  df-mopn 19957  df-fbas 19958  df-fg 19959  df-cnfld 19962  df-top 20919  df-topon 20936  df-topsp 20958  df-bases 20971  df-cld 21044  df-ntr 21045  df-cls 21046  df-nei 21123  df-lp 21161  df-perf 21162  df-cn 21252  df-cnp 21253  df-haus 21340  df-cmp 21411  df-tx 21586  df-hmeo 21779  df-fil 21870  df-fm 21962  df-flim 21963  df-flf 21964  df-xms 22345  df-ms 22346  df-tms 22347  df-cncf 22901  df-ovol 23452  df-vol 23453  df-mbf 23607  df-itg1 23608  df-itg2 23609  df-ibl 23610  df-itg 23611  df-0p 23657  df-limc 23850  df-dv 23851
This theorem is referenced by:  sqwvfoura  40962
  Copyright terms: Public domain W3C validator