| Step | Hyp | Ref
| Expression |
| 1 | | itgcoscmulx.b |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ) |
| 2 | | itgcoscmulx.c |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ) |
| 3 | 1, 2 | iccssred 13474 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (𝐵[,]𝐶) ⊆ ℝ) |
| 4 | 3 | resmptd 6058 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)) ↾ (𝐵[,]𝐶)) = (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))) |
| 5 | 4 | eqcomd 2743 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)) = ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)) ↾ (𝐵[,]𝐶))) |
| 6 | 5 | oveq2d 7447 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))) = (ℝ D ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)) ↾ (𝐵[,]𝐶)))) |
| 7 | | ax-resscn 11212 |
. . . . . . . . 9
⊢ ℝ
⊆ ℂ |
| 8 | 7 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → ℝ ⊆
ℂ) |
| 9 | 8 | sselda 3983 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℂ) |
| 10 | | itgcoscmulx.a |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ) |
| 11 | 10 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ) |
| 12 | | simpr 484 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 𝑦 ∈ ℂ) |
| 13 | 11, 12 | mulcld 11281 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝑦) ∈ ℂ) |
| 14 | 13 | sincld 16166 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (sin‘(𝐴 · 𝑦)) ∈ ℂ) |
| 15 | | itgcoscmulx.an0 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0) |
| 16 | 15 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 𝐴 ≠ 0) |
| 17 | 14, 11, 16 | divcld 12043 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴) ∈ ℂ) |
| 18 | 9, 17 | syldan 591 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴) ∈ ℂ) |
| 19 | 18 | fmpttd 7135 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)):ℝ⟶ℂ) |
| 20 | | ssidd 4007 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → ℝ ⊆
ℝ) |
| 21 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . 9
⊢
(TopOpen‘ℂfld) =
(TopOpen‘ℂfld) |
| 22 | | tgioo4 24826 |
. . . . . . . . 9
⊢
(topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld)
↾t ℝ) |
| 23 | 21, 22 | dvres 25946 |
. . . . . . . 8
⊢
(((ℝ ⊆ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)):ℝ⟶ℂ) ∧ (ℝ
⊆ ℝ ∧ (𝐵[,]𝐶) ⊆ ℝ)) → (ℝ D
((𝑦 ∈ ℝ ↦
((sin‘(𝐴 ·
𝑦)) / 𝐴)) ↾ (𝐵[,]𝐶))) = ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))) ↾ ((int‘(topGen‘ran
(,)))‘(𝐵[,]𝐶)))) |
| 24 | 8, 19, 20, 3, 23 | syl22anc 839 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (ℝ D ((𝑦 ∈ ℝ ↦
((sin‘(𝐴 ·
𝑦)) / 𝐴)) ↾ (𝐵[,]𝐶))) = ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))) ↾ ((int‘(topGen‘ran
(,)))‘(𝐵[,]𝐶)))) |
| 25 | | reelprrecn 11247 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ℝ
∈ {ℝ, ℂ} |
| 26 | 25 | a1i 11 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ,
ℂ}) |
| 27 | 9, 14 | syldan 591 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (sin‘(𝐴 · 𝑦)) ∈ ℂ) |
| 28 | 10 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ) |
| 29 | 28, 9 | mulcld 11281 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝑦) ∈ ℂ) |
| 30 | 29 | coscld 16167 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (cos‘(𝐴 · 𝑦)) ∈ ℂ) |
| 31 | 28, 30 | mulcld 11281 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦))) ∈ ℂ) |
| 32 | 8 | resmptd 6058 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦))) ↾ ℝ) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦)))) |
| 33 | 32 | eqcomd 2743 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦))) = ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦))) ↾ ℝ)) |
| 34 | 33 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦
(sin‘(𝐴 ·
𝑦)))) = (ℝ D ((𝑦 ∈ ℂ ↦
(sin‘(𝐴 ·
𝑦))) ↾
ℝ))) |
| 35 | 14 | fmpttd 7135 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦))):ℂ⟶ℂ) |
| 36 | | ssidd 4007 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → ℂ ⊆
ℂ) |
| 37 | | dvsinax 45928 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ
D (𝑦 ∈ ℂ ↦
(sin‘(𝐴 ·
𝑦)))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦))))) |
| 38 | 10, 37 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦
(sin‘(𝐴 ·
𝑦)))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦))))) |
| 39 | 38 | dmeqd 5916 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦
(sin‘(𝐴 ·
𝑦)))) = dom (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦))))) |
| 40 | 13 | coscld 16167 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (cos‘(𝐴 · 𝑦)) ∈ ℂ) |
| 41 | 11, 40 | mulcld 11281 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦))) ∈ ℂ) |
| 42 | 41 | ralrimiva 3146 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℂ (𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦))) ∈ ℂ) |
| 43 | | dmmptg 6262 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
(∀𝑦 ∈
ℂ (𝐴 ·
(cos‘(𝐴 ·
𝑦))) ∈ ℂ →
dom (𝑦 ∈ ℂ
↦ (𝐴 ·
(cos‘(𝐴 ·
𝑦)))) =
ℂ) |
| 44 | 42, 43 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → dom (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦)))) = ℂ) |
| 45 | 39, 44 | eqtr2d 2778 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → ℂ = dom (ℂ D
(𝑦 ∈ ℂ ↦
(sin‘(𝐴 ·
𝑦))))) |
| 46 | 7, 45 | sseqtrid 4026 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ dom
(ℂ D (𝑦 ∈
ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦))))) |
| 47 | | dvres3 25948 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((ℝ ∈ {ℝ, ℂ} ∧ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦))):ℂ⟶ℂ) ∧ (ℂ
⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦)))))) → (ℝ D ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦))) ↾ ℝ)) = ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦
(sin‘(𝐴 ·
𝑦)))) ↾
ℝ)) |
| 48 | 26, 35, 36, 46, 47 | syl22anc 839 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (ℝ D ((𝑦 ∈ ℂ ↦
(sin‘(𝐴 ·
𝑦))) ↾ ℝ)) =
((ℂ D (𝑦 ∈
ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦)))) ↾ ℝ)) |
| 49 | 38 | reseq1d 5996 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦
(sin‘(𝐴 ·
𝑦)))) ↾ ℝ) =
((𝑦 ∈ ℂ ↦
(𝐴 ·
(cos‘(𝐴 ·
𝑦)))) ↾
ℝ)) |
| 50 | 8 | resmptd 6058 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦)))) ↾ ℝ) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦))))) |
| 51 | 48, 49, 50 | 3eqtrd 2781 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (ℝ D ((𝑦 ∈ ℂ ↦
(sin‘(𝐴 ·
𝑦))) ↾ ℝ)) =
(𝑦 ∈ ℝ ↦
(𝐴 ·
(cos‘(𝐴 ·
𝑦))))) |
| 52 | 34, 51 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦
(sin‘(𝐴 ·
𝑦)))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦))))) |
| 53 | 26, 27, 31, 52, 10, 15 | dvmptdivc 26003 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦
((sin‘(𝐴 ·
𝑦)) / 𝐴))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦))) / 𝐴))) |
| 54 | | iccntr 24843 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) →
((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐵[,]𝐶)) = (𝐵(,)𝐶)) |
| 55 | 1, 2, 54 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 →
((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐵[,]𝐶)) = (𝐵(,)𝐶)) |
| 56 | 53, 55 | reseq12d 5998 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦
((sin‘(𝐴 ·
𝑦)) / 𝐴))) ↾ ((int‘(topGen‘ran
(,)))‘(𝐵[,]𝐶))) = ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦))) / 𝐴)) ↾ (𝐵(,)𝐶))) |
| 57 | | ioossre 13448 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝐵(,)𝐶) ⊆ ℝ |
| 58 | | resmpt 6055 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝐵(,)𝐶) ⊆ ℝ → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦))) / 𝐴)) ↾ (𝐵(,)𝐶)) = (𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ ((𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦))) / 𝐴))) |
| 59 | 57, 58 | mp1i 13 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦))) / 𝐴)) ↾ (𝐵(,)𝐶)) = (𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ ((𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦))) / 𝐴))) |
| 60 | | elioore 13417 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶) → 𝑦 ∈ ℝ) |
| 61 | 60 | recnd 11289 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶) → 𝑦 ∈ ℂ) |
| 62 | 61, 40 | sylan2 593 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶)) → (cos‘(𝐴 · 𝑦)) ∈ ℂ) |
| 63 | 10 | adantr 480 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶)) → 𝐴 ∈ ℂ) |
| 64 | 15 | adantr 480 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶)) → 𝐴 ≠ 0) |
| 65 | 62, 63, 64 | divcan3d 12048 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶)) → ((𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦))) / 𝐴) = (cos‘(𝐴 · 𝑦))) |
| 66 | 65 | mpteq2dva 5242 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ ((𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦))) / 𝐴)) = (𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ (cos‘(𝐴 · 𝑦)))) |
| 67 | 56, 59, 66 | 3eqtrd 2781 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦
((sin‘(𝐴 ·
𝑦)) / 𝐴))) ↾ ((int‘(topGen‘ran
(,)))‘(𝐵[,]𝐶))) = (𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ (cos‘(𝐴 · 𝑦)))) |
| 68 | 6, 24, 67 | 3eqtrd 2781 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))) = (𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ (cos‘(𝐴 · 𝑦)))) |
| 69 | 68 | adantr 480 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶)) → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))) = (𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ (cos‘(𝐴 · 𝑦)))) |
| 70 | | oveq2 7439 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝐴 · 𝑦) = (𝐴 · 𝑥)) |
| 71 | 70 | fveq2d 6910 |
. . . . . 6
⊢ (𝑦 = 𝑥 → (cos‘(𝐴 · 𝑦)) = (cos‘(𝐴 · 𝑥))) |
| 72 | 71 | adantl 481 |
. . . . 5
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶)) ∧ 𝑦 = 𝑥) → (cos‘(𝐴 · 𝑦)) = (cos‘(𝐴 · 𝑥))) |
| 73 | | simpr 484 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶)) → 𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶)) |
| 74 | 10 | adantr 480 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶)) → 𝐴 ∈ ℂ) |
| 75 | 57, 8 | sstrid 3995 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (𝐵(,)𝐶) ⊆ ℂ) |
| 76 | 75 | sselda 3983 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶)) → 𝑥 ∈ ℂ) |
| 77 | 74, 76 | mulcld 11281 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶)) → (𝐴 · 𝑥) ∈ ℂ) |
| 78 | 77 | coscld 16167 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶)) → (cos‘(𝐴 · 𝑥)) ∈ ℂ) |
| 79 | 69, 72, 73, 78 | fvmptd 7023 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶)) → ((ℝ D (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)))‘𝑥) = (cos‘(𝐴 · 𝑥))) |
| 80 | 79 | eqcomd 2743 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶)) → (cos‘(𝐴 · 𝑥)) = ((ℝ D (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)))‘𝑥)) |
| 81 | 80 | itgeq2dv 25817 |
. 2
⊢ (𝜑 → ∫(𝐵(,)𝐶)(cos‘(𝐴 · 𝑥)) d𝑥 = ∫(𝐵(,)𝐶)((ℝ D (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)))‘𝑥) d𝑥) |
| 82 | | eqidd 2738 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)) = (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))) |
| 83 | | oveq2 7439 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑦 = 𝐶 → (𝐴 · 𝑦) = (𝐴 · 𝐶)) |
| 84 | 83 | fveq2d 6910 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑦 = 𝐶 → (sin‘(𝐴 · 𝑦)) = (sin‘(𝐴 · 𝐶))) |
| 85 | 84 | oveq1d 7446 |
. . . . . 6
⊢ (𝑦 = 𝐶 → ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴) = ((sin‘(𝐴 · 𝐶)) / 𝐴)) |
| 86 | 85 | adantl 481 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = 𝐶) → ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴) = ((sin‘(𝐴 · 𝐶)) / 𝐴)) |
| 87 | 1 | rexrd 11311 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈
ℝ*) |
| 88 | 2 | rexrd 11311 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈
ℝ*) |
| 89 | | itgcoscmulx.blec |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶) |
| 90 | | ubicc2 13505 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐵 ∈ ℝ*
∧ 𝐶 ∈
ℝ* ∧ 𝐵
≤ 𝐶) → 𝐶 ∈ (𝐵[,]𝐶)) |
| 91 | 87, 88, 89, 90 | syl3anc 1373 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐵[,]𝐶)) |
| 92 | 2 | recnd 11289 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ) |
| 93 | 10, 92 | mulcld 11281 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℂ) |
| 94 | 93 | sincld 16166 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (sin‘(𝐴 · 𝐶)) ∈ ℂ) |
| 95 | 94, 10, 15 | divcld 12043 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → ((sin‘(𝐴 · 𝐶)) / 𝐴) ∈ ℂ) |
| 96 | 82, 86, 91, 95 | fvmptd 7023 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))‘𝐶) = ((sin‘(𝐴 · 𝐶)) / 𝐴)) |
| 97 | | oveq2 7439 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝐴 · 𝑦) = (𝐴 · 𝐵)) |
| 98 | 97 | fveq2d 6910 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑦 = 𝐵 → (sin‘(𝐴 · 𝑦)) = (sin‘(𝐴 · 𝐵))) |
| 99 | 98 | oveq1d 7446 |
. . . . . 6
⊢ (𝑦 = 𝐵 → ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴) = ((sin‘(𝐴 · 𝐵)) / 𝐴)) |
| 100 | 99 | adantl 481 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = 𝐵) → ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴) = ((sin‘(𝐴 · 𝐵)) / 𝐴)) |
| 101 | | lbicc2 13504 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐵 ∈ ℝ*
∧ 𝐶 ∈
ℝ* ∧ 𝐵
≤ 𝐶) → 𝐵 ∈ (𝐵[,]𝐶)) |
| 102 | 87, 88, 89, 101 | syl3anc 1373 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐵[,]𝐶)) |
| 103 | 1 | recnd 11289 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ) |
| 104 | 10, 103 | mulcld 11281 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ) |
| 105 | 104 | sincld 16166 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (sin‘(𝐴 · 𝐵)) ∈ ℂ) |
| 106 | 105, 10, 15 | divcld 12043 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → ((sin‘(𝐴 · 𝐵)) / 𝐴) ∈ ℂ) |
| 107 | 82, 100, 102, 106 | fvmptd 7023 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))‘𝐵) = ((sin‘(𝐴 · 𝐵)) / 𝐴)) |
| 108 | 96, 107 | oveq12d 7449 |
. . 3
⊢ (𝜑 → (((𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))‘𝐶) − ((𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))‘𝐵)) = (((sin‘(𝐴 · 𝐶)) / 𝐴) − ((sin‘(𝐴 · 𝐵)) / 𝐴))) |
| 109 | | coscn 26489 |
. . . . . . 7
⊢ cos
∈ (ℂ–cn→ℂ) |
| 110 | 109 | a1i 11 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → cos ∈
(ℂ–cn→ℂ)) |
| 111 | 75, 10, 36 | constcncfg 45887 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ 𝐴) ∈ ((𝐵(,)𝐶)–cn→ℂ)) |
| 112 | 75, 36 | idcncfg 45888 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ 𝑦) ∈ ((𝐵(,)𝐶)–cn→ℂ)) |
| 113 | 111, 112 | mulcncf 25480 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ (𝐴 · 𝑦)) ∈ ((𝐵(,)𝐶)–cn→ℂ)) |
| 114 | 110, 113 | cncfmpt1f 24940 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ (cos‘(𝐴 · 𝑦))) ∈ ((𝐵(,)𝐶)–cn→ℂ)) |
| 115 | 68, 114 | eqeltrd 2841 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))) ∈ ((𝐵(,)𝐶)–cn→ℂ)) |
| 116 | | ioossicc 13473 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐵(,)𝐶) ⊆ (𝐵[,]𝐶) |
| 117 | 116 | a1i 11 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (𝐵(,)𝐶) ⊆ (𝐵[,]𝐶)) |
| 118 | | ioombl 25600 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐵(,)𝐶) ∈ dom vol |
| 119 | 118 | a1i 11 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (𝐵(,)𝐶) ∈ dom vol) |
| 120 | 10 | adantr 480 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶)) → 𝐴 ∈ ℂ) |
| 121 | 3, 7 | sstrdi 3996 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (𝐵[,]𝐶) ⊆ ℂ) |
| 122 | 121 | sselda 3983 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶)) → 𝑦 ∈ ℂ) |
| 123 | 120, 122 | mulcld 11281 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶)) → (𝐴 · 𝑦) ∈ ℂ) |
| 124 | 123 | coscld 16167 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶)) → (cos‘(𝐴 · 𝑦)) ∈ ℂ) |
| 125 | 121, 10, 36 | constcncfg 45887 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ 𝐴) ∈ ((𝐵[,]𝐶)–cn→ℂ)) |
| 126 | 121, 36 | idcncfg 45888 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ 𝑦) ∈ ((𝐵[,]𝐶)–cn→ℂ)) |
| 127 | 125, 126 | mulcncf 25480 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (𝐴 · 𝑦)) ∈ ((𝐵[,]𝐶)–cn→ℂ)) |
| 128 | 110, 127 | cncfmpt1f 24940 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (cos‘(𝐴 · 𝑦))) ∈ ((𝐵[,]𝐶)–cn→ℂ)) |
| 129 | | cniccibl 25876 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (cos‘(𝐴 · 𝑦))) ∈ ((𝐵[,]𝐶)–cn→ℂ)) → (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (cos‘(𝐴 · 𝑦))) ∈
𝐿1) |
| 130 | 1, 2, 128, 129 | syl3anc 1373 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (cos‘(𝐴 · 𝑦))) ∈
𝐿1) |
| 131 | 117, 119,
124, 130 | iblss 25840 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ (cos‘(𝐴 · 𝑦))) ∈
𝐿1) |
| 132 | 68, 131 | eqeltrd 2841 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))) ∈
𝐿1) |
| 133 | | sincn 26488 |
. . . . . . 7
⊢ sin
∈ (ℂ–cn→ℂ) |
| 134 | 133 | a1i 11 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → sin ∈
(ℂ–cn→ℂ)) |
| 135 | 134, 127 | cncfmpt1f 24940 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦))) ∈ ((𝐵[,]𝐶)–cn→ℂ)) |
| 136 | | neneq 2946 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐴 ≠ 0 → ¬ 𝐴 = 0) |
| 137 | | elsni 4643 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝐴 ∈ {0} → 𝐴 = 0) |
| 138 | 137 | con3i 154 |
. . . . . . . 8
⊢ (¬
𝐴 = 0 → ¬ 𝐴 ∈ {0}) |
| 139 | 15, 136, 138 | 3syl 18 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ {0}) |
| 140 | 10, 139 | eldifd 3962 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℂ ∖
{0})) |
| 141 | | difssd 4137 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (ℂ ∖ {0})
⊆ ℂ) |
| 142 | 121, 140,
141 | constcncfg 45887 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ 𝐴) ∈ ((𝐵[,]𝐶)–cn→(ℂ ∖ {0}))) |
| 143 | 135, 142 | divcncf 25482 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)) ∈ ((𝐵[,]𝐶)–cn→ℂ)) |
| 144 | 1, 2, 89, 115, 132, 143 | ftc2 26085 |
. . 3
⊢ (𝜑 → ∫(𝐵(,)𝐶)((ℝ D (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)))‘𝑥) d𝑥 = (((𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))‘𝐶) − ((𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))‘𝐵))) |
| 145 | 94, 105, 10, 15 | divsubdird 12082 |
. . 3
⊢ (𝜑 → (((sin‘(𝐴 · 𝐶)) − (sin‘(𝐴 · 𝐵))) / 𝐴) = (((sin‘(𝐴 · 𝐶)) / 𝐴) − ((sin‘(𝐴 · 𝐵)) / 𝐴))) |
| 146 | 108, 144,
145 | 3eqtr4d 2787 |
. 2
⊢ (𝜑 → ∫(𝐵(,)𝐶)((ℝ D (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)))‘𝑥) d𝑥 = (((sin‘(𝐴 · 𝐶)) − (sin‘(𝐴 · 𝐵))) / 𝐴)) |
| 147 | 81, 146 | eqtrd 2777 |
1
⊢ (𝜑 → ∫(𝐵(,)𝐶)(cos‘(𝐴 · 𝑥)) d𝑥 = (((sin‘(𝐴 · 𝐶)) − (sin‘(𝐴 · 𝐵))) / 𝐴)) |