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Theorem fourierdlem22 45145
Description: The coefficients of the fourier series are integrable and reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem22.f (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
fourierdlem22.c 𝐢 = (-Ο€(,)Ο€)
fourierdlem22.fibl (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐢) ∈ 𝐿1)
fourierdlem22.a 𝐴 = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ (∫𝐢((πΉβ€˜π‘₯) Β· (cosβ€˜(𝑛 Β· π‘₯))) dπ‘₯ / Ο€))
fourierdlem22.b 𝐡 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫𝐢((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯))) dπ‘₯ / Ο€))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem22 (πœ‘ β†’ ((𝑛 ∈ β„•0 β†’ (π΄β€˜π‘›) ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ β„• β†’ (π΅β€˜π‘›) ∈ ℝ)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐢   π‘₯,𝐹   π‘₯,𝑛,πœ‘
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘₯,𝑛)   𝐡(π‘₯,𝑛)   𝐢(𝑛)   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem fourierdlem22
Dummy variables 𝑏 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem22.f . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
21adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
3 ioossre 13390 . . . . . . . . . . . 12 (-Ο€(,)Ο€) βŠ† ℝ
4 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ 𝐢 β†’ π‘₯ ∈ 𝐢)
5 fourierdlem22.c . . . . . . . . . . . . 13 𝐢 = (-Ο€(,)Ο€)
64, 5eleqtrdi 2842 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ 𝐢 β†’ π‘₯ ∈ (-Ο€(,)Ο€))
73, 6sselid 3981 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ 𝐢 β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
87adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
92, 8ffvelcdmd 7088 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
109adantlr 712 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
11 nn0re 12486 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ 𝑛 ∈ ℝ)
1211adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ 𝑛 ∈ ℝ)
137adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
1412, 13remulcld 11249 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ (𝑛 Β· π‘₯) ∈ ℝ)
1514recoscld 16092 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ (cosβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)) ∈ ℝ)
1615adantll 711 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ (cosβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)) ∈ ℝ)
1710, 16remulcld 11249 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (cosβ€˜(𝑛 Β· π‘₯))) ∈ ℝ)
18 ioombl 25315 . . . . . . . . . . . 12 (-Ο€(,)Ο€) ∈ dom vol
195, 18eqeltri 2828 . . . . . . . . . . 11 𝐢 ∈ dom vol
2019a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ 𝐢 ∈ dom vol)
21 eqidd 2732 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (cosβ€˜(𝑛 Β· π‘₯))) = (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (cosβ€˜(𝑛 Β· π‘₯))))
22 eqidd 2732 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) = (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (πΉβ€˜π‘₯)))
2320, 16, 10, 21, 22offval2 7693 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (cosβ€˜(𝑛 Β· π‘₯))) ∘f Β· (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (πΉβ€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ ((cosβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)) Β· (πΉβ€˜π‘₯))))
2416recnd 11247 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ (cosβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)) ∈ β„‚)
2510recnd 11247 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
2624, 25mulcomd 11240 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ ((cosβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)) Β· (πΉβ€˜π‘₯)) = ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (cosβ€˜(𝑛 Β· π‘₯))))
2726mpteq2dva 5249 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ ((cosβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)) Β· (πΉβ€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (cosβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)))))
2823, 27eqtr2d 2772 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (cosβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)))) = ((π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (cosβ€˜(𝑛 Β· π‘₯))) ∘f Β· (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (πΉβ€˜π‘₯))))
29 coscn 26190 . . . . . . . . . . . . 13 cos ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚)
3029a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ cos ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚))
315, 3eqsstri 4017 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐢 βŠ† ℝ
32 ax-resscn 11170 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ℝ βŠ† β„‚
3331, 32sstri 3992 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐢 βŠ† β„‚
3433a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ 𝐢 βŠ† β„‚)
3511recnd 11247 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ 𝑛 ∈ β„‚)
36 ssid 4005 . . . . . . . . . . . . . . 15 β„‚ βŠ† β„‚
3736a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ β„‚ βŠ† β„‚)
3834, 35, 37constcncfg 44888 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ 𝑛) ∈ (𝐢–cnβ†’β„‚))
39 cncfmptid 24654 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐢 βŠ† β„‚ ∧ β„‚ βŠ† β„‚) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ π‘₯) ∈ (𝐢–cnβ†’β„‚))
4033, 36, 39mp2an 689 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ π‘₯) ∈ (𝐢–cnβ†’β„‚)
4140a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ π‘₯) ∈ (𝐢–cnβ†’β„‚))
4238, 41mulcncf 25195 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (𝑛 Β· π‘₯)) ∈ (𝐢–cnβ†’β„‚))
4330, 42cncfmpt1f 24655 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (cosβ€˜(𝑛 Β· π‘₯))) ∈ (𝐢–cnβ†’β„‚))
44 cnmbf 25409 . . . . . . . . . . 11 ((𝐢 ∈ dom vol ∧ (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (cosβ€˜(𝑛 Β· π‘₯))) ∈ (𝐢–cnβ†’β„‚)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (cosβ€˜(𝑛 Β· π‘₯))) ∈ MblFn)
4519, 43, 44sylancr 586 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (cosβ€˜(𝑛 Β· π‘₯))) ∈ MblFn)
4645adantl 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (cosβ€˜(𝑛 Β· π‘₯))) ∈ MblFn)
471feqmptd 6961 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (πΉβ€˜π‘₯)))
4847reseq1d 5981 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐢) = ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) β†Ύ 𝐢))
49 resmpt 6038 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐢 βŠ† ℝ β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) β†Ύ 𝐢) = (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (πΉβ€˜π‘₯)))
5031, 49mp1i 13 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) β†Ύ 𝐢) = (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (πΉβ€˜π‘₯)))
5148, 50eqtr2d 2772 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) = (𝐹 β†Ύ 𝐢))
52 fourierdlem22.fibl . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐢) ∈ 𝐿1)
5351, 52eqeltrd 2832 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) ∈ 𝐿1)
5453adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) ∈ 𝐿1)
55 1re 11219 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ
56 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ 𝑦 ∈ dom (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (cosβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)))) β†’ 𝑦 ∈ dom (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (cosβ€˜(𝑛 Β· π‘₯))))
57 nfv 1916 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 β„²π‘₯ 𝑛 ∈ β„•0
58 nfmpt1 5257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 β„²π‘₯(π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (cosβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)))
5958nfdm 5951 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 β„²π‘₯dom (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (cosβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)))
6059nfcri 2889 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 β„²π‘₯ 𝑦 ∈ dom (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (cosβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)))
6157, 60nfan 1901 . . . . . . . . . . . . . . . 16 β„²π‘₯(𝑛 ∈ β„•0 ∧ 𝑦 ∈ dom (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (cosβ€˜(𝑛 Β· π‘₯))))
6215ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ (π‘₯ ∈ 𝐢 β†’ (cosβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)) ∈ ℝ))
6362adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ 𝑦 ∈ dom (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (cosβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)))) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐢 β†’ (cosβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)) ∈ ℝ))
6461, 63ralrimi 3253 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ 𝑦 ∈ dom (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (cosβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)))) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐢 (cosβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)) ∈ ℝ)
65 dmmptg 6242 . . . . . . . . . . . . . . 15 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐢 (cosβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)) ∈ ℝ β†’ dom (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (cosβ€˜(𝑛 Β· π‘₯))) = 𝐢)
6664, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ 𝑦 ∈ dom (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (cosβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)))) β†’ dom (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (cosβ€˜(𝑛 Β· π‘₯))) = 𝐢)
6756, 66eleqtrd 2834 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ 𝑦 ∈ dom (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (cosβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)))) β†’ 𝑦 ∈ 𝐢)
68 eqidd 2732 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ 𝑦 ∈ 𝐢) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (cosβ€˜(𝑛 Β· π‘₯))) = (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (cosβ€˜(𝑛 Β· π‘₯))))
69 oveq2 7420 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (𝑛 Β· π‘₯) = (𝑛 Β· 𝑦))
7069fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (cosβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)) = (cosβ€˜(𝑛 Β· 𝑦)))
7170adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑛 ∈ β„•0 ∧ 𝑦 ∈ 𝐢) ∧ π‘₯ = 𝑦) β†’ (cosβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)) = (cosβ€˜(𝑛 Β· 𝑦)))
72 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ 𝑦 ∈ 𝐢) β†’ 𝑦 ∈ 𝐢)
7311adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ 𝑦 ∈ 𝐢) β†’ 𝑛 ∈ ℝ)
7431, 72sselid 3981 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ 𝑦 ∈ 𝐢) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
7573, 74remulcld 11249 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ 𝑦 ∈ 𝐢) β†’ (𝑛 Β· 𝑦) ∈ ℝ)
7675recoscld 16092 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ 𝑦 ∈ 𝐢) β†’ (cosβ€˜(𝑛 Β· 𝑦)) ∈ ℝ)
7768, 71, 72, 76fvmptd 7006 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ 𝑦 ∈ 𝐢) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (cosβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)))β€˜π‘¦) = (cosβ€˜(𝑛 Β· 𝑦)))
7877fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ 𝑦 ∈ 𝐢) β†’ (absβ€˜((π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (cosβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)))β€˜π‘¦)) = (absβ€˜(cosβ€˜(𝑛 Β· 𝑦))))
79 abscosbd 44288 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛 Β· 𝑦) ∈ ℝ β†’ (absβ€˜(cosβ€˜(𝑛 Β· 𝑦))) ≀ 1)
8075, 79syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ 𝑦 ∈ 𝐢) β†’ (absβ€˜(cosβ€˜(𝑛 Β· 𝑦))) ≀ 1)
8178, 80eqbrtrd 5171 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ 𝑦 ∈ 𝐢) β†’ (absβ€˜((π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (cosβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)))β€˜π‘¦)) ≀ 1)
8267, 81syldan 590 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ 𝑦 ∈ dom (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (cosβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)))) β†’ (absβ€˜((π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (cosβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)))β€˜π‘¦)) ≀ 1)
8382ralrimiva 3145 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ βˆ€π‘¦ ∈ dom (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (cosβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)))(absβ€˜((π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (cosβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)))β€˜π‘¦)) ≀ 1)
84 breq2 5153 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 = 1 β†’ ((absβ€˜((π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (cosβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)))β€˜π‘¦)) ≀ 𝑏 ↔ (absβ€˜((π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (cosβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)))β€˜π‘¦)) ≀ 1))
8584ralbidv 3176 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 = 1 β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ dom (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (cosβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)))(absβ€˜((π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (cosβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)))β€˜π‘¦)) ≀ 𝑏 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ dom (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (cosβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)))(absβ€˜((π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (cosβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)))β€˜π‘¦)) ≀ 1))
8685rspcev 3613 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (cosβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)))(absβ€˜((π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (cosβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)))β€˜π‘¦)) ≀ 1) β†’ βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ dom (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (cosβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)))(absβ€˜((π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (cosβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)))β€˜π‘¦)) ≀ 𝑏)
8755, 83, 86sylancr 586 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ dom (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (cosβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)))(absβ€˜((π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (cosβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)))β€˜π‘¦)) ≀ 𝑏)
8887adantl 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ dom (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (cosβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)))(absβ€˜((π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (cosβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)))β€˜π‘¦)) ≀ 𝑏)
89 bddmulibl 25589 . . . . . . . . 9 (((π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (cosβ€˜(𝑛 Β· π‘₯))) ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) ∈ 𝐿1 ∧ βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ dom (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (cosβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)))(absβ€˜((π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (cosβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)))β€˜π‘¦)) ≀ 𝑏) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (cosβ€˜(𝑛 Β· π‘₯))) ∘f Β· (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (πΉβ€˜π‘₯))) ∈ 𝐿1)
9046, 54, 88, 89syl3anc 1370 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (cosβ€˜(𝑛 Β· π‘₯))) ∘f Β· (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (πΉβ€˜π‘₯))) ∈ 𝐿1)
9128, 90eqeltrd 2832 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (cosβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)))) ∈ 𝐿1)
9217, 91itgrecl 25548 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ∫𝐢((πΉβ€˜π‘₯) Β· (cosβ€˜(𝑛 Β· π‘₯))) dπ‘₯ ∈ ℝ)
93 pire 26201 . . . . . . 7 Ο€ ∈ ℝ
9493a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ Ο€ ∈ ℝ)
95 0re 11221 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
96 pipos 26203 . . . . . . . 8 0 < Ο€
9795, 96gtneii 11331 . . . . . . 7 Ο€ β‰  0
9897a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ Ο€ β‰  0)
9992, 94, 98redivcld 12047 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (∫𝐢((πΉβ€˜π‘₯) Β· (cosβ€˜(𝑛 Β· π‘₯))) dπ‘₯ / Ο€) ∈ ℝ)
100 fourierdlem22.a . . . . 5 𝐴 = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ (∫𝐢((πΉβ€˜π‘₯) Β· (cosβ€˜(𝑛 Β· π‘₯))) dπ‘₯ / Ο€))
10199, 100fmptd 7116 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„)
102101ffvelcdmda 7087 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (π΄β€˜π‘›) ∈ ℝ)
103102ex 412 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ β„•0 β†’ (π΄β€˜π‘›) ∈ ℝ))
104 nnnn0 12484 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ β„• β†’ 𝑛 ∈ β„•0)
10514resincld 16091 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)) ∈ ℝ)
106105adantll 711 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)) ∈ ℝ)
10710, 106remulcld 11249 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯))) ∈ ℝ)
108 eqidd 2732 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯))) = (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯))))
10920, 106, 10, 108, 22offval2 7693 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯))) ∘f Β· (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (πΉβ€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ ((sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)) Β· (πΉβ€˜π‘₯))))
110106recnd 11247 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)) ∈ β„‚)
111110, 25mulcomd 11240 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ ((sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)) Β· (πΉβ€˜π‘₯)) = ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯))))
112111mpteq2dva 5249 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ ((sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)) Β· (πΉβ€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)))))
113109, 112eqtr2d 2772 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)))) = ((π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯))) ∘f Β· (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (πΉβ€˜π‘₯))))
114 sincn 26189 . . . . . . . . . . . . 13 sin ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚)
115114a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ sin ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚))
11642adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (𝑛 Β· π‘₯)) ∈ (𝐢–cnβ†’β„‚))
117115, 116cncfmpt1f 24655 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯))) ∈ (𝐢–cnβ†’β„‚))
118 cnmbf 25409 . . . . . . . . . . 11 ((𝐢 ∈ dom vol ∧ (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯))) ∈ (𝐢–cnβ†’β„‚)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯))) ∈ MblFn)
11919, 117, 118sylancr 586 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯))) ∈ MblFn)
120 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ 𝑦 ∈ dom (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)))) β†’ 𝑦 ∈ dom (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯))))
121 nfmpt1 5257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 β„²π‘₯(π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)))
122121nfdm 5951 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 β„²π‘₯dom (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)))
123122nfcri 2889 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 β„²π‘₯ 𝑦 ∈ dom (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)))
12457, 123nfan 1901 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 β„²π‘₯(𝑛 ∈ β„•0 ∧ 𝑦 ∈ dom (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯))))
125105ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ (π‘₯ ∈ 𝐢 β†’ (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)) ∈ ℝ))
126125adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ 𝑦 ∈ dom (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)))) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐢 β†’ (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)) ∈ ℝ))
127124, 126ralrimi 3253 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ 𝑦 ∈ dom (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)))) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐢 (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)) ∈ ℝ)
128 dmmptg 6242 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐢 (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)) ∈ ℝ β†’ dom (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯))) = 𝐢)
129127, 128syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ 𝑦 ∈ dom (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)))) β†’ dom (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯))) = 𝐢)
130120, 129eleqtrd 2834 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ 𝑦 ∈ dom (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)))) β†’ 𝑦 ∈ 𝐢)
131 eqidd 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ 𝑦 ∈ 𝐢) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯))) = (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯))))
13269fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)) = (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑦)))
133132adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑛 ∈ β„•0 ∧ 𝑦 ∈ 𝐢) ∧ π‘₯ = 𝑦) β†’ (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)) = (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑦)))
13475resincld 16091 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ 𝑦 ∈ 𝐢) β†’ (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑦)) ∈ ℝ)
135131, 133, 72, 134fvmptd 7006 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ 𝑦 ∈ 𝐢) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)))β€˜π‘¦) = (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑦)))
136135fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ 𝑦 ∈ 𝐢) β†’ (absβ€˜((π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)))β€˜π‘¦)) = (absβ€˜(sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑦))))
137 abssinbd 44305 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑛 Β· 𝑦) ∈ ℝ β†’ (absβ€˜(sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑦))) ≀ 1)
13875, 137syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ 𝑦 ∈ 𝐢) β†’ (absβ€˜(sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑦))) ≀ 1)
139136, 138eqbrtrd 5171 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ 𝑦 ∈ 𝐢) β†’ (absβ€˜((π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)))β€˜π‘¦)) ≀ 1)
140130, 139syldan 590 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ 𝑦 ∈ dom (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)))) β†’ (absβ€˜((π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)))β€˜π‘¦)) ≀ 1)
141140ralrimiva 3145 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ βˆ€π‘¦ ∈ dom (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)))(absβ€˜((π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)))β€˜π‘¦)) ≀ 1)
142 breq2 5153 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 = 1 β†’ ((absβ€˜((π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)))β€˜π‘¦)) ≀ 𝑏 ↔ (absβ€˜((π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)))β€˜π‘¦)) ≀ 1))
143142ralbidv 3176 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 = 1 β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ dom (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)))(absβ€˜((π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)))β€˜π‘¦)) ≀ 𝑏 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ dom (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)))(absβ€˜((π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)))β€˜π‘¦)) ≀ 1))
144143rspcev 3613 . . . . . . . . . . . 12 ((1 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)))(absβ€˜((π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)))β€˜π‘¦)) ≀ 1) β†’ βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ dom (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)))(absβ€˜((π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)))β€˜π‘¦)) ≀ 𝑏)
14555, 141, 144sylancr 586 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ dom (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)))(absβ€˜((π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)))β€˜π‘¦)) ≀ 𝑏)
146145adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ dom (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)))(absβ€˜((π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)))β€˜π‘¦)) ≀ 𝑏)
147 bddmulibl 25589 . . . . . . . . . 10 (((π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯))) ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) ∈ 𝐿1 ∧ βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ dom (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)))(absβ€˜((π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)))β€˜π‘¦)) ≀ 𝑏) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯))) ∘f Β· (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (πΉβ€˜π‘₯))) ∈ 𝐿1)
148119, 54, 146, 147syl3anc 1370 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯))) ∘f Β· (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ (πΉβ€˜π‘₯))) ∈ 𝐿1)
149113, 148eqeltrd 2832 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)))) ∈ 𝐿1)
150107, 149itgrecl 25548 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ∫𝐢((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯))) dπ‘₯ ∈ ℝ)
151104, 150sylan2 592 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ∫𝐢((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯))) dπ‘₯ ∈ ℝ)
15293a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ Ο€ ∈ ℝ)
15397a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ Ο€ β‰  0)
154151, 152, 153redivcld 12047 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (∫𝐢((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯))) dπ‘₯ / Ο€) ∈ ℝ)
155 fourierdlem22.b . . . . 5 𝐡 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫𝐢((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯))) dπ‘₯ / Ο€))
156154, 155fmptd 7116 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡:β„•βŸΆβ„)
157156ffvelcdmda 7087 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π΅β€˜π‘›) ∈ ℝ)
158157ex 412 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ β„• β†’ (π΅β€˜π‘›) ∈ ℝ))
159103, 158jca 511 1 (πœ‘ β†’ ((𝑛 ∈ β„•0 β†’ (π΄β€˜π‘›) ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ β„• β†’ (π΅β€˜π‘›) ∈ ℝ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939  βˆ€wral 3060  βˆƒwrex 3069   βŠ† wss 3949   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  dom cdm 5677   β†Ύ cres 5679  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7412   ∘f cof 7671  β„‚cc 11111  β„cr 11112  0cc0 11113  1c1 11114   Β· cmul 11118   ≀ cle 11254  -cneg 11450   / cdiv 11876  β„•cn 12217  β„•0cn0 12477  (,)cioo 13329  abscabs 15186  sincsin 16012  cosccos 16013  Ο€cpi 16015  β€“cnβ†’ccncf 24617  volcvol 25213  MblFncmbf 25364  πΏ1cibl 25367  βˆ«citg 25368
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-inf2 9639  ax-cc 10433  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-pre-sup 11191  ax-addf 11192  ax-mulf 11193
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-disj 5115  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7673  df-ofr 7674  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-supp 8150  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-2o 8470  df-oadd 8473  df-omul 8474  df-er 8706  df-map 8825  df-pm 8826  df-ixp 8895  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fsupp 9365  df-fi 9409  df-sup 9440  df-inf 9441  df-oi 9508  df-dju 9899  df-card 9937  df-acn 9940  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-q 12938  df-rp 12980  df-xneg 13097  df-xadd 13098  df-xmul 13099  df-ioo 13333  df-ioc 13334  df-ico 13335  df-icc 13336  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-fl 13762  df-mod 13840  df-seq 13972  df-exp 14033  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-shft 15019  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-limsup 15420  df-clim 15437  df-rlim 15438  df-sum 15638  df-ef 16016  df-sin 16018  df-cos 16019  df-pi 16021  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-hom 17226  df-cco 17227  df-rest 17373  df-topn 17374  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-topgen 17394  df-pt 17395  df-prds 17398  df-xrs 17453  df-qtop 17458  df-imas 17459  df-xps 17461  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-submnd 18707  df-mulg 18988  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-psmet 21137  df-xmet 21138  df-met 21139  df-bl 21140  df-mopn 21141  df-fbas 21142  df-fg 21143  df-cnfld 21146  df-top 22617  df-topon 22634  df-topsp 22656  df-bases 22670  df-cld 22744  df-ntr 22745  df-cls 22746  df-nei 22823  df-lp 22861  df-perf 22862  df-cn 22952  df-cnp 22953  df-haus 23040  df-cmp 23112  df-tx 23287  df-hmeo 23480  df-fil 23571  df-fm 23663  df-flim 23664  df-flf 23665  df-xms 24047  df-ms 24048  df-tms 24049  df-cncf 24619  df-ovol 25214  df-vol 25215  df-mbf 25369  df-itg1 25370  df-itg2 25371  df-ibl 25372  df-itg 25373  df-0p 25420  df-limc 25616  df-dv 25617
This theorem is referenced by:  fourierdlem83  45205
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