Theorem fourierdlem22 46557

Description: The coefficients of the fourier series are integrable and reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem22.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
fourierdlem22.c	⊢ 𝐶 = (-π(,)π)
fourierdlem22.fibl	⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐶) ∈ 𝐿1)
fourierdlem22.a	⊢ 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (∫𝐶((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
fourierdlem22.b	⊢ 𝐵 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫𝐶((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem22	⊢ (𝜑 → ((𝑛 ∈ ℕ0 → (𝐴‘𝑛) ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐵‘𝑛) ∈ ℝ)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐶   𝑥,𝐹   𝑥,𝑛,𝜑

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑛)   𝐵(𝑥,𝑛)   𝐶(𝑛)   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem fourierdlem22

Dummy variables 𝑏 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem22.f	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
2	1	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
3		ioossre 13360	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (-π(,)π) ⊆ ℝ
4		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐶 → 𝑥 ∈ 𝐶)
5		fourierdlem22.c	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐶 = (-π(,)π)
6	4, 5	eleqtrdi 2846	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐶 → 𝑥 ∈ (-π(,)π))
7	3, 6	sselid 3919	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐶 → 𝑥 ∈ ℝ)
8	7	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝑥 ∈ ℝ)
9	2, 8	ffvelcdmd 7037	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
10	9	adantlr 716	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
11		nn0re 12446	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 𝑛 ∈ ℝ)
12	11	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝑛 ∈ ℝ)
13	7	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝑥 ∈ ℝ)
14	12, 13	remulcld 11175	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (𝑛 · 𝑥) ∈ ℝ)
15	14	recoscld 16111	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (cos‘(𝑛 · 𝑥)) ∈ ℝ)
16	15	adantll 715	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (cos‘(𝑛 · 𝑥)) ∈ ℝ)
17	10, 16	remulcld 11175	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → ((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) ∈ ℝ)
18		ioombl 25532	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (-π(,)π) ∈ dom vol
19	5, 18	eqeltri 2832	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐶 ∈ dom vol
20	19	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ dom vol)
21		eqidd 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥))))
22		eqidd 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (𝐹‘𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (𝐹‘𝑥)))
23	20, 16, 10, 21, 22	offval2 7651	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥))) ∘f · (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (𝐹‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ ((cos‘(𝑛 · 𝑥)) · (𝐹‘𝑥))))
24	16	recnd 11173	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (cos‘(𝑛 · 𝑥)) ∈ ℂ)
25	10	recnd 11173	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
26	24, 25	mulcomd 11166	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → ((cos‘(𝑛 · 𝑥)) · (𝐹‘𝑥)) = ((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))))
27	26	mpteq2dva 5178	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ ((cos‘(𝑛 · 𝑥)) · (𝐹‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ ((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥)))))
28	23, 27	eqtr2d 2772	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ ((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥)))) = ((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥))) ∘f · (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (𝐹‘𝑥))))
29		coscn 26410	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ cos ∈ (ℂ–cn→ℂ)
30	29	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → cos ∈ (ℂ–cn→ℂ))
31	5, 3	eqsstri 3968	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐶 ⊆ ℝ
32		ax-resscn 11095	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
33	31, 32	sstri 3931	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐶 ⊆ ℂ
34	33	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 𝐶 ⊆ ℂ)
35	11	recnd 11173	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 𝑛 ∈ ℂ)
36		ssid 3944	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
37	36	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ℂ ⊆ ℂ)
38	34, 35, 37	constcncfg 46300	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ 𝑛) ∈ (𝐶–cn→ℂ))
39		cncfmptid 24880	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐶 ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ 𝑥) ∈ (𝐶–cn→ℂ))
40	33, 36, 39	mp2an 693	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ 𝑥) ∈ (𝐶–cn→ℂ)
41	40	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ 𝑥) ∈ (𝐶–cn→ℂ))
42	38, 41	mulcncf 25413	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (𝑛 · 𝑥)) ∈ (𝐶–cn→ℂ))
43	30, 42	cncfmpt1f 24881	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥))) ∈ (𝐶–cn→ℂ))
44		cnmbf 25626	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 ∈ dom vol ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥))) ∈ (𝐶–cn→ℂ)) → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥))) ∈ MblFn)
45	19, 43, 44	sylancr 588	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥))) ∈ MblFn)
46	45	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥))) ∈ MblFn)
47	1	feqmptd 6908	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑥)))
48	47	reseq1d 5943	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐶) = ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑥)) ↾ 𝐶))
49		resmpt 6002	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐶 ⊆ ℝ → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑥)) ↾ 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (𝐹‘𝑥)))
50	31, 49	mp1i 13	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑥)) ↾ 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (𝐹‘𝑥)))
51	48, 50	eqtr2d 2772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (𝐹‘𝑥)) = (𝐹 ↾ 𝐶))
52		fourierdlem22.fibl	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐶) ∈ 𝐿1)
53	51, 52	eqeltrd 2836	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (𝐹‘𝑥)) ∈ 𝐿1)
54	53	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (𝐹‘𝑥)) ∈ 𝐿1)
55		1re 11144	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℝ
56		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))) → 𝑦 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥))))
57		nfv 1916	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑛 ∈ ℕ0
58		nfmpt1 5184	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))
59	58	nfdm 5906	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑥dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))
60	59	nfcri 2890	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑦 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))
61	57, 60	nfan 1901	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥))))
62	15	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑥 ∈ 𝐶 → (cos‘(𝑛 · 𝑥)) ∈ ℝ))
63	62	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))) → (𝑥 ∈ 𝐶 → (cos‘(𝑛 · 𝑥)) ∈ ℝ))
64	61, 63	ralrimi 3235	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))) → ∀𝑥 ∈ 𝐶 (cos‘(𝑛 · 𝑥)) ∈ ℝ)
65		dmmptg 6206	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐶 (cos‘(𝑛 · 𝑥)) ∈ ℝ → dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥))) = 𝐶)
66	64, 65	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))) → dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥))) = 𝐶)
67	56, 66	eleqtrd 2838	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))) → 𝑦 ∈ 𝐶)
68		eqidd 2737	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥))))
69		oveq2 7375	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑛 · 𝑥) = (𝑛 · 𝑦))
70	69	fveq2d 6844	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (cos‘(𝑛 · 𝑥)) = (cos‘(𝑛 · 𝑦)))
71	70	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) ∧ 𝑥 = 𝑦) → (cos‘(𝑛 · 𝑥)) = (cos‘(𝑛 · 𝑦)))
72		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → 𝑦 ∈ 𝐶)
73	11	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → 𝑛 ∈ ℝ)
74	31, 72	sselid 3919	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → 𝑦 ∈ ℝ)
75	73, 74	remulcld 11175	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → (𝑛 · 𝑦) ∈ ℝ)
76	75	recoscld 16111	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → (cos‘(𝑛 · 𝑦)) ∈ ℝ)
77	68, 71, 72, 76	fvmptd 6955	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → ((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦) = (cos‘(𝑛 · 𝑦)))
78	77	fveq2d 6844	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → (abs‘((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) = (abs‘(cos‘(𝑛 · 𝑦))))
79		abscosbd 45712	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑛 · 𝑦) ∈ ℝ → (abs‘(cos‘(𝑛 · 𝑦))) ≤ 1)
80	75, 79	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → (abs‘(cos‘(𝑛 · 𝑦))) ≤ 1)
81	78, 80	eqbrtrd 5107	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → (abs‘((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 1)
82	67, 81	syldan 592	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))) → (abs‘((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 1)
83	82	ralrimiva 3129	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ∀𝑦 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))(abs‘((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 1)
84		breq2 5089	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 = 1 → ((abs‘((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 𝑏 ↔ (abs‘((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 1))
85	84	ralbidv 3160	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 = 1 → (∀𝑦 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))(abs‘((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 𝑏 ↔ ∀𝑦 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))(abs‘((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 1))
86	85	rspcev 3564	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))(abs‘((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 1) → ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))(abs‘((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 𝑏)
87	55, 83, 86	sylancr 588	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))(abs‘((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 𝑏)
88	87	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))(abs‘((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 𝑏)
89		bddmulibl 25806	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥))) ∈ MblFn ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (𝐹‘𝑥)) ∈ 𝐿1 ∧ ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))(abs‘((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 𝑏) → ((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥))) ∘f · (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (𝐹‘𝑥))) ∈ 𝐿1)
90	46, 54, 88, 89	syl3anc 1374	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥))) ∘f · (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (𝐹‘𝑥))) ∈ 𝐿1)
91	28, 90	eqeltrd 2836	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ ((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥)))) ∈ 𝐿1)
92	17, 91	itgrecl 25765	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ∫𝐶((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℝ)
93		pire 26421	. . . . . . 7 ⊢ π ∈ ℝ
94	93	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → π ∈ ℝ)
95		0re 11146	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
96		pipos 26423	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < π
97	95, 96	gtneii 11258	. . . . . . 7 ⊢ π ≠ 0
98	97	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → π ≠ 0)
99	92, 94, 98	redivcld 11983	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (∫𝐶((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π) ∈ ℝ)
100		fourierdlem22.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (∫𝐶((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
101	99, 100	fmptd 7066	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶ℝ)
102	101	ffvelcdmda 7036	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐴‘𝑛) ∈ ℝ)
103	102	ex 412	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝐴‘𝑛) ∈ ℝ))
104		nnnn0 12444	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ0)
105	14	resincld 16110	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (sin‘(𝑛 · 𝑥)) ∈ ℝ)
106	105	adantll 715	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (sin‘(𝑛 · 𝑥)) ∈ ℝ)
107	10, 106	remulcld 11175	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) ∈ ℝ)
108		eqidd 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥))))
109	20, 106, 10, 108, 22	offval2 7651	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥))) ∘f · (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (𝐹‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ ((sin‘(𝑛 · 𝑥)) · (𝐹‘𝑥))))
110	106	recnd 11173	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (sin‘(𝑛 · 𝑥)) ∈ ℂ)
111	110, 25	mulcomd 11166	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → ((sin‘(𝑛 · 𝑥)) · (𝐹‘𝑥)) = ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))))
112	111	mpteq2dva 5178	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ ((sin‘(𝑛 · 𝑥)) · (𝐹‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥)))))
113	109, 112	eqtr2d 2772	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥)))) = ((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥))) ∘f · (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (𝐹‘𝑥))))
114		sincn 26409	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ sin ∈ (ℂ–cn→ℂ)
115	114	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → sin ∈ (ℂ–cn→ℂ))
116	42	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (𝑛 · 𝑥)) ∈ (𝐶–cn→ℂ))
117	115, 116	cncfmpt1f 24881	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥))) ∈ (𝐶–cn→ℂ))
118		cnmbf 25626	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 ∈ dom vol ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥))) ∈ (𝐶–cn→ℂ)) → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥))) ∈ MblFn)
119	19, 117, 118	sylancr 588	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥))) ∈ MblFn)
120		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))) → 𝑦 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥))))
121		nfmpt1 5184	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))
122	121	nfdm 5906	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑥dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))
123	122	nfcri 2890	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑦 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))
124	57, 123	nfan 1901	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥))))
125	105	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑥 ∈ 𝐶 → (sin‘(𝑛 · 𝑥)) ∈ ℝ))
126	125	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))) → (𝑥 ∈ 𝐶 → (sin‘(𝑛 · 𝑥)) ∈ ℝ))
127	124, 126	ralrimi 3235	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))) → ∀𝑥 ∈ 𝐶 (sin‘(𝑛 · 𝑥)) ∈ ℝ)
128		dmmptg 6206	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐶 (sin‘(𝑛 · 𝑥)) ∈ ℝ → dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥))) = 𝐶)
129	127, 128	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))) → dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥))) = 𝐶)
130	120, 129	eleqtrd 2838	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))) → 𝑦 ∈ 𝐶)
131		eqidd 2737	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥))))
132	69	fveq2d 6844	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (sin‘(𝑛 · 𝑥)) = (sin‘(𝑛 · 𝑦)))
133	132	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) ∧ 𝑥 = 𝑦) → (sin‘(𝑛 · 𝑥)) = (sin‘(𝑛 · 𝑦)))
134	75	resincld 16110	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → (sin‘(𝑛 · 𝑦)) ∈ ℝ)
135	131, 133, 72, 134	fvmptd 6955	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → ((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦) = (sin‘(𝑛 · 𝑦)))
136	135	fveq2d 6844	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → (abs‘((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) = (abs‘(sin‘(𝑛 · 𝑦))))
137		abssinbd 45728	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑛 · 𝑦) ∈ ℝ → (abs‘(sin‘(𝑛 · 𝑦))) ≤ 1)
138	75, 137	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → (abs‘(sin‘(𝑛 · 𝑦))) ≤ 1)
139	136, 138	eqbrtrd 5107	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → (abs‘((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 1)
140	130, 139	syldan 592	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))) → (abs‘((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 1)
141	140	ralrimiva 3129	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ∀𝑦 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))(abs‘((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 1)
142		breq2 5089	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 = 1 → ((abs‘((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 𝑏 ↔ (abs‘((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 1))
143	142	ralbidv 3160	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 = 1 → (∀𝑦 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))(abs‘((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 𝑏 ↔ ∀𝑦 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))(abs‘((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 1))
144	143	rspcev 3564	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))(abs‘((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 1) → ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))(abs‘((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 𝑏)
145	55, 141, 144	sylancr 588	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))(abs‘((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 𝑏)
146	145	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))(abs‘((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 𝑏)
147		bddmulibl 25806	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥))) ∈ MblFn ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (𝐹‘𝑥)) ∈ 𝐿1 ∧ ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))(abs‘((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 𝑏) → ((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥))) ∘f · (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (𝐹‘𝑥))) ∈ 𝐿1)
148	119, 54, 146, 147	syl3anc 1374	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥))) ∘f · (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (𝐹‘𝑥))) ∈ 𝐿1)
149	113, 148	eqeltrd 2836	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥)))) ∈ 𝐿1)
150	107, 149	itgrecl 25765	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ∫𝐶((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℝ)
151	104, 150	sylan2 594	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∫𝐶((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℝ)
152	93	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → π ∈ ℝ)
153	97	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → π ≠ 0)
154	151, 152, 153	redivcld 11983	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (∫𝐶((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π) ∈ ℝ)
155		fourierdlem22.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫𝐶((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
156	154, 155	fmptd 7066	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵:ℕ⟶ℝ)
157	156	ffvelcdmda 7036	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐵‘𝑛) ∈ ℝ)
158	157	ex 412	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ → (𝐵‘𝑛) ∈ ℝ))
159	103, 158	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑛 ∈ ℕ0 → (𝐴‘𝑛) ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐵‘𝑛) ∈ ℝ)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932  ∀wral 3051  ∃wrex 3061   ⊆ wss 3889   class class class wbr 5085   ↦ cmpt 5166  dom cdm 5631   ↾ cres 5633  ⟶wf 6494  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367   ∘_f cof 7629  ℂcc 11036  ℝcr 11037  0cc0 11038  1c1 11039   · cmul 11043   ≤ cle 11180  -cneg 11378   / cdiv 11807  ℕcn 12174  ℕ₀cn0 12437  (,)cioo 13298  abscabs 15196  sincsin 16028  cosccos 16029  πcpi 16031  –cn→ccncf 24843  volcvol 25430  MblFncmbf 25581  𝐿¹cibl 25584  ∫citg 25585

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-inf2 9562  ax-cc 10357  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116  ax-addf 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-iin 4936  df-disj 5053  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-isom 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-of 7631  df-ofr 7632  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-supp 8111  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-oadd 8409  df-omul 8410  df-er 8643  df-map 8775  df-pm 8776  df-ixp 8846  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-fsupp 9275  df-fi 9324  df-sup 9355  df-inf 9356  df-oi 9425  df-dju 9825  df-card 9863  df-acn 9866  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-q 12899  df-rp 12943  df-xneg 13063  df-xadd 13064  df-xmul 13065  df-ioo 13302  df-ioc 13303  df-ico 13304  df-icc 13305  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-fl 13751  df-mod 13829  df-seq 13964  df-exp 14024  df-fac 14236  df-bc 14265  df-hash 14293  df-shft 15029  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-limsup 15433  df-clim 15450  df-rlim 15451  df-sum 15649  df-ef 16032  df-sin 16034  df-cos 16035  df-pi 16037  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-hom 17244  df-cco 17245  df-rest 17385  df-topn 17386  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-topgen 17406  df-pt 17407  df-prds 17410  df-xrs 17466  df-qtop 17471  df-imas 17472  df-xps 17474  df-mre 17548  df-mrc 17549  df-acs 17551  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-submnd 18752  df-mulg 19044  df-cntz 19292  df-cmn 19757  df-psmet 21344  df-xmet 21345  df-met 21346  df-bl 21347  df-mopn 21348  df-fbas 21349  df-fg 21350  df-cnfld 21353  df-top 22859  df-topon 22876  df-topsp 22898  df-bases 22911  df-cld 22984  df-ntr 22985  df-cls 22986  df-nei 23063  df-lp 23101  df-perf 23102  df-cn 23192  df-cnp 23193  df-haus 23280  df-cmp 23352  df-tx 23527  df-hmeo 23720  df-fil 23811  df-fm 23903  df-flim 23904  df-flf 23905  df-xms 24285  df-ms 24286  df-tms 24287  df-cncf 24845  df-ovol 25431  df-vol 25432  df-mbf 25586  df-itg1 25587  df-itg2 25588  df-ibl 25589  df-itg 25590  df-0p 25637  df-limc 25833  df-dv 25834

This theorem is referenced by:  fourierdlem83  46617