Theorem fourierdlem22 45143

Description: The coefficients of the fourier series are integrable and reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem22.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
fourierdlem22.c	⊢ 𝐶 = (-π(,)π)
fourierdlem22.fibl	⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐶) ∈ 𝐿1)
fourierdlem22.a	⊢ 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (∫𝐶((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
fourierdlem22.b	⊢ 𝐵 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫𝐶((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem22	⊢ (𝜑 → ((𝑛 ∈ ℕ0 → (𝐴‘𝑛) ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐵‘𝑛) ∈ ℝ)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐶   𝑥,𝐹   𝑥,𝑛,𝜑

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑛)   𝐵(𝑥,𝑛)   𝐶(𝑛)   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem fourierdlem22

Dummy variables 𝑏 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem22.f	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
2	1	adantr 479	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
3		ioossre 13389	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (-π(,)π) ⊆ ℝ
4		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐶 → 𝑥 ∈ 𝐶)
5		fourierdlem22.c	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐶 = (-π(,)π)
6	4, 5	eleqtrdi 2841	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐶 → 𝑥 ∈ (-π(,)π))
7	3, 6	sselid 3979	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐶 → 𝑥 ∈ ℝ)
8	7	adantl 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝑥 ∈ ℝ)
9	2, 8	ffvelcdmd 7086	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
10	9	adantlr 711	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
11		nn0re 12485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 𝑛 ∈ ℝ)
12	11	adantr 479	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝑛 ∈ ℝ)
13	7	adantl 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝑥 ∈ ℝ)
14	12, 13	remulcld 11248	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (𝑛 · 𝑥) ∈ ℝ)
15	14	recoscld 16091	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (cos‘(𝑛 · 𝑥)) ∈ ℝ)
16	15	adantll 710	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (cos‘(𝑛 · 𝑥)) ∈ ℝ)
17	10, 16	remulcld 11248	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → ((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) ∈ ℝ)
18		ioombl 25314	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (-π(,)π) ∈ dom vol
19	5, 18	eqeltri 2827	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐶 ∈ dom vol
20	19	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ dom vol)
21		eqidd 2731	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥))))
22		eqidd 2731	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (𝐹‘𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (𝐹‘𝑥)))
23	20, 16, 10, 21, 22	offval2 7692	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥))) ∘f · (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (𝐹‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ ((cos‘(𝑛 · 𝑥)) · (𝐹‘𝑥))))
24	16	recnd 11246	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (cos‘(𝑛 · 𝑥)) ∈ ℂ)
25	10	recnd 11246	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
26	24, 25	mulcomd 11239	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → ((cos‘(𝑛 · 𝑥)) · (𝐹‘𝑥)) = ((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))))
27	26	mpteq2dva 5247	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ ((cos‘(𝑛 · 𝑥)) · (𝐹‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ ((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥)))))
28	23, 27	eqtr2d 2771	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ ((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥)))) = ((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥))) ∘f · (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (𝐹‘𝑥))))
29		coscn 26193	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ cos ∈ (ℂ–cn→ℂ)
30	29	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → cos ∈ (ℂ–cn→ℂ))
31	5, 3	eqsstri 4015	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐶 ⊆ ℝ
32		ax-resscn 11169	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
33	31, 32	sstri 3990	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐶 ⊆ ℂ
34	33	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 𝐶 ⊆ ℂ)
35	11	recnd 11246	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 𝑛 ∈ ℂ)
36		ssid 4003	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
37	36	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ℂ ⊆ ℂ)
38	34, 35, 37	constcncfg 44886	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ 𝑛) ∈ (𝐶–cn→ℂ))
39		cncfmptid 24653	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐶 ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ 𝑥) ∈ (𝐶–cn→ℂ))
40	33, 36, 39	mp2an 688	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ 𝑥) ∈ (𝐶–cn→ℂ)
41	40	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ 𝑥) ∈ (𝐶–cn→ℂ))
42	38, 41	mulcncf 25194	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (𝑛 · 𝑥)) ∈ (𝐶–cn→ℂ))
43	30, 42	cncfmpt1f 24654	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥))) ∈ (𝐶–cn→ℂ))
44		cnmbf 25408	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 ∈ dom vol ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥))) ∈ (𝐶–cn→ℂ)) → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥))) ∈ MblFn)
45	19, 43, 44	sylancr 585	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥))) ∈ MblFn)
46	45	adantl 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥))) ∈ MblFn)
47	1	feqmptd 6959	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑥)))
48	47	reseq1d 5979	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐶) = ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑥)) ↾ 𝐶))
49		resmpt 6036	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐶 ⊆ ℝ → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑥)) ↾ 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (𝐹‘𝑥)))
50	31, 49	mp1i 13	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑥)) ↾ 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (𝐹‘𝑥)))
51	48, 50	eqtr2d 2771	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (𝐹‘𝑥)) = (𝐹 ↾ 𝐶))
52		fourierdlem22.fibl	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐶) ∈ 𝐿1)
53	51, 52	eqeltrd 2831	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (𝐹‘𝑥)) ∈ 𝐿1)
54	53	adantr 479	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (𝐹‘𝑥)) ∈ 𝐿1)
55		1re 11218	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℝ
56		simpr 483	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))) → 𝑦 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥))))
57		nfv 1915	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑛 ∈ ℕ0
58		nfmpt1 5255	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))
59	58	nfdm 5949	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑥dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))
60	59	nfcri 2888	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑦 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))
61	57, 60	nfan 1900	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥))))
62	15	ex 411	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑥 ∈ 𝐶 → (cos‘(𝑛 · 𝑥)) ∈ ℝ))
63	62	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))) → (𝑥 ∈ 𝐶 → (cos‘(𝑛 · 𝑥)) ∈ ℝ))
64	61, 63	ralrimi 3252	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))) → ∀𝑥 ∈ 𝐶 (cos‘(𝑛 · 𝑥)) ∈ ℝ)
65		dmmptg 6240	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐶 (cos‘(𝑛 · 𝑥)) ∈ ℝ → dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥))) = 𝐶)
66	64, 65	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))) → dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥))) = 𝐶)
67	56, 66	eleqtrd 2833	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))) → 𝑦 ∈ 𝐶)
68		eqidd 2731	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥))))
69		oveq2 7419	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑛 · 𝑥) = (𝑛 · 𝑦))
70	69	fveq2d 6894	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (cos‘(𝑛 · 𝑥)) = (cos‘(𝑛 · 𝑦)))
71	70	adantl 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) ∧ 𝑥 = 𝑦) → (cos‘(𝑛 · 𝑥)) = (cos‘(𝑛 · 𝑦)))
72		simpr 483	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → 𝑦 ∈ 𝐶)
73	11	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → 𝑛 ∈ ℝ)
74	31, 72	sselid 3979	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → 𝑦 ∈ ℝ)
75	73, 74	remulcld 11248	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → (𝑛 · 𝑦) ∈ ℝ)
76	75	recoscld 16091	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → (cos‘(𝑛 · 𝑦)) ∈ ℝ)
77	68, 71, 72, 76	fvmptd 7004	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → ((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦) = (cos‘(𝑛 · 𝑦)))
78	77	fveq2d 6894	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → (abs‘((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) = (abs‘(cos‘(𝑛 · 𝑦))))
79		abscosbd 44286	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑛 · 𝑦) ∈ ℝ → (abs‘(cos‘(𝑛 · 𝑦))) ≤ 1)
80	75, 79	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → (abs‘(cos‘(𝑛 · 𝑦))) ≤ 1)
81	78, 80	eqbrtrd 5169	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → (abs‘((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 1)
82	67, 81	syldan 589	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))) → (abs‘((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 1)
83	82	ralrimiva 3144	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ∀𝑦 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))(abs‘((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 1)
84		breq2 5151	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 = 1 → ((abs‘((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 𝑏 ↔ (abs‘((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 1))
85	84	ralbidv 3175	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 = 1 → (∀𝑦 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))(abs‘((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 𝑏 ↔ ∀𝑦 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))(abs‘((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 1))
86	85	rspcev 3611	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))(abs‘((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 1) → ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))(abs‘((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 𝑏)
87	55, 83, 86	sylancr 585	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))(abs‘((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 𝑏)
88	87	adantl 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))(abs‘((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 𝑏)
89		bddmulibl 25588	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥))) ∈ MblFn ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (𝐹‘𝑥)) ∈ 𝐿1 ∧ ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))(abs‘((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 𝑏) → ((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥))) ∘f · (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (𝐹‘𝑥))) ∈ 𝐿1)
90	46, 54, 88, 89	syl3anc 1369	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥))) ∘f · (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (𝐹‘𝑥))) ∈ 𝐿1)
91	28, 90	eqeltrd 2831	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ ((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥)))) ∈ 𝐿1)
92	17, 91	itgrecl 25547	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ∫𝐶((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℝ)
93		pire 26204	. . . . . . 7 ⊢ π ∈ ℝ
94	93	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → π ∈ ℝ)
95		0re 11220	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
96		pipos 26206	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < π
97	95, 96	gtneii 11330	. . . . . . 7 ⊢ π ≠ 0
98	97	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → π ≠ 0)
99	92, 94, 98	redivcld 12046	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (∫𝐶((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π) ∈ ℝ)
100		fourierdlem22.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (∫𝐶((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
101	99, 100	fmptd 7114	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶ℝ)
102	101	ffvelcdmda 7085	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐴‘𝑛) ∈ ℝ)
103	102	ex 411	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝐴‘𝑛) ∈ ℝ))
104		nnnn0 12483	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ0)
105	14	resincld 16090	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (sin‘(𝑛 · 𝑥)) ∈ ℝ)
106	105	adantll 710	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (sin‘(𝑛 · 𝑥)) ∈ ℝ)
107	10, 106	remulcld 11248	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) ∈ ℝ)
108		eqidd 2731	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥))))
109	20, 106, 10, 108, 22	offval2 7692	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥))) ∘f · (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (𝐹‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ ((sin‘(𝑛 · 𝑥)) · (𝐹‘𝑥))))
110	106	recnd 11246	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (sin‘(𝑛 · 𝑥)) ∈ ℂ)
111	110, 25	mulcomd 11239	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → ((sin‘(𝑛 · 𝑥)) · (𝐹‘𝑥)) = ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))))
112	111	mpteq2dva 5247	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ ((sin‘(𝑛 · 𝑥)) · (𝐹‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥)))))
113	109, 112	eqtr2d 2771	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥)))) = ((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥))) ∘f · (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (𝐹‘𝑥))))
114		sincn 26192	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ sin ∈ (ℂ–cn→ℂ)
115	114	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → sin ∈ (ℂ–cn→ℂ))
116	42	adantl 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (𝑛 · 𝑥)) ∈ (𝐶–cn→ℂ))
117	115, 116	cncfmpt1f 24654	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥))) ∈ (𝐶–cn→ℂ))
118		cnmbf 25408	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 ∈ dom vol ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥))) ∈ (𝐶–cn→ℂ)) → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥))) ∈ MblFn)
119	19, 117, 118	sylancr 585	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥))) ∈ MblFn)
120		simpr 483	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))) → 𝑦 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥))))
121		nfmpt1 5255	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))
122	121	nfdm 5949	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑥dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))
123	122	nfcri 2888	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑦 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))
124	57, 123	nfan 1900	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥))))
125	105	ex 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑥 ∈ 𝐶 → (sin‘(𝑛 · 𝑥)) ∈ ℝ))
126	125	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))) → (𝑥 ∈ 𝐶 → (sin‘(𝑛 · 𝑥)) ∈ ℝ))
127	124, 126	ralrimi 3252	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))) → ∀𝑥 ∈ 𝐶 (sin‘(𝑛 · 𝑥)) ∈ ℝ)
128		dmmptg 6240	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐶 (sin‘(𝑛 · 𝑥)) ∈ ℝ → dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥))) = 𝐶)
129	127, 128	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))) → dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥))) = 𝐶)
130	120, 129	eleqtrd 2833	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))) → 𝑦 ∈ 𝐶)
131		eqidd 2731	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥))))
132	69	fveq2d 6894	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (sin‘(𝑛 · 𝑥)) = (sin‘(𝑛 · 𝑦)))
133	132	adantl 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) ∧ 𝑥 = 𝑦) → (sin‘(𝑛 · 𝑥)) = (sin‘(𝑛 · 𝑦)))
134	75	resincld 16090	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → (sin‘(𝑛 · 𝑦)) ∈ ℝ)
135	131, 133, 72, 134	fvmptd 7004	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → ((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦) = (sin‘(𝑛 · 𝑦)))
136	135	fveq2d 6894	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → (abs‘((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) = (abs‘(sin‘(𝑛 · 𝑦))))
137		abssinbd 44303	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑛 · 𝑦) ∈ ℝ → (abs‘(sin‘(𝑛 · 𝑦))) ≤ 1)
138	75, 137	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → (abs‘(sin‘(𝑛 · 𝑦))) ≤ 1)
139	136, 138	eqbrtrd 5169	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → (abs‘((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 1)
140	130, 139	syldan 589	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))) → (abs‘((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 1)
141	140	ralrimiva 3144	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ∀𝑦 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))(abs‘((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 1)
142		breq2 5151	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 = 1 → ((abs‘((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 𝑏 ↔ (abs‘((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 1))
143	142	ralbidv 3175	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 = 1 → (∀𝑦 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))(abs‘((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 𝑏 ↔ ∀𝑦 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))(abs‘((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 1))
144	143	rspcev 3611	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))(abs‘((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 1) → ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))(abs‘((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 𝑏)
145	55, 141, 144	sylancr 585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))(abs‘((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 𝑏)
146	145	adantl 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))(abs‘((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 𝑏)
147		bddmulibl 25588	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥))) ∈ MblFn ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (𝐹‘𝑥)) ∈ 𝐿1 ∧ ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))(abs‘((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 𝑏) → ((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥))) ∘f · (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (𝐹‘𝑥))) ∈ 𝐿1)
148	119, 54, 146, 147	syl3anc 1369	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥))) ∘f · (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (𝐹‘𝑥))) ∈ 𝐿1)
149	113, 148	eqeltrd 2831	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥)))) ∈ 𝐿1)
150	107, 149	itgrecl 25547	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ∫𝐶((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℝ)
151	104, 150	sylan2 591	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∫𝐶((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℝ)
152	93	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → π ∈ ℝ)
153	97	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → π ≠ 0)
154	151, 152, 153	redivcld 12046	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (∫𝐶((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π) ∈ ℝ)
155		fourierdlem22.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫𝐶((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
156	154, 155	fmptd 7114	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵:ℕ⟶ℝ)
157	156	ffvelcdmda 7085	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐵‘𝑛) ∈ ℝ)
158	157	ex 411	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ → (𝐵‘𝑛) ∈ ℝ))
159	103, 158	jca 510	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑛 ∈ ℕ0 → (𝐴‘𝑛) ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐵‘𝑛) ∈ ℝ)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   ≠ wne 2938  ∀wral 3059  ∃wrex 3068   ⊆ wss 3947   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  dom cdm 5675   ↾ cres 5677  ⟶wf 6538  ‘cfv 6542  (class class class)co 7411   ∘_f cof 7670  ℂcc 11110  ℝcr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   · cmul 11117   ≤ cle 11253  -cneg 11449   / cdiv 11875  ℕcn 12216  ℕ₀cn0 12476  (,)cioo 13328  abscabs 15185  sincsin 16011  cosccos 16012  πcpi 16014  –cn→ccncf 24616  volcvol 25212  MblFncmbf 25363  𝐿¹cibl 25366  ∫citg 25367

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cc 10432  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-disj 5113  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-ofr 7673  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-oadd 8472  df-omul 8473  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-acn 9939  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-ioo 13332  df-ioc 13333  df-ico 13334  df-icc 13335  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13971  df-exp 14032  df-fac 14238  df-bc 14267  df-hash 14295  df-shft 15018  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-limsup 15419  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-sum 15637  df-ef 16015  df-sin 16017  df-cos 16018  df-pi 16020  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-hom 17225  df-cco 17226  df-rest 17372  df-topn 17373  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-topgen 17393  df-pt 17394  df-prds 17397  df-xrs 17452  df-qtop 17457  df-imas 17458  df-xps 17460  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-mulg 18987  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-fbas 21141  df-fg 21142  df-cnfld 21145  df-top 22616  df-topon 22633  df-topsp 22655  df-bases 22669  df-cld 22743  df-ntr 22744  df-cls 22745  df-nei 22822  df-lp 22860  df-perf 22861  df-cn 22951  df-cnp 22952  df-haus 23039  df-cmp 23111  df-tx 23286  df-hmeo 23479  df-fil 23570  df-fm 23662  df-flim 23663  df-flf 23664  df-xms 24046  df-ms 24047  df-tms 24048  df-cncf 24618  df-ovol 25213  df-vol 25214  df-mbf 25368  df-itg1 25369  df-itg2 25370  df-ibl 25371  df-itg 25372  df-0p 25419  df-limc 25615  df-dv 25616

This theorem is referenced by:  fourierdlem83  45203