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Theorem fourierdlem22 46084
Description: The coefficients of the fourier series are integrable and reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem22.f (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
fourierdlem22.c 𝐶 = (-π(,)π)
fourierdlem22.fibl (𝜑 → (𝐹𝐶) ∈ 𝐿1)
fourierdlem22.a 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (∫𝐶((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
fourierdlem22.b 𝐵 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫𝐶((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem22 (𝜑 → ((𝑛 ∈ ℕ0 → (𝐴𝑛) ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐵𝑛) ∈ ℝ)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐶   𝑥,𝐹   𝑥,𝑛,𝜑
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑛)   𝐵(𝑥,𝑛)   𝐶(𝑛)   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem fourierdlem22
Dummy variables 𝑏 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem22.f . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
21adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐶) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
3 ioossre 13444 . . . . . . . . . . . 12 (-π(,)π) ⊆ ℝ
4 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥𝐶𝑥𝐶)
5 fourierdlem22.c . . . . . . . . . . . . 13 𝐶 = (-π(,)π)
64, 5eleqtrdi 2848 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥𝐶𝑥 ∈ (-π(,)π))
73, 6sselid 3992 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝐶𝑥 ∈ ℝ)
87adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐶) → 𝑥 ∈ ℝ)
92, 8ffvelcdmd 7104 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐶) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
109adantlr 715 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝐶) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
11 nn0re 12532 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℝ)
1211adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑥𝐶) → 𝑛 ∈ ℝ)
137adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑥𝐶) → 𝑥 ∈ ℝ)
1412, 13remulcld 11288 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑥𝐶) → (𝑛 · 𝑥) ∈ ℝ)
1514recoscld 16176 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑥𝐶) → (cos‘(𝑛 · 𝑥)) ∈ ℝ)
1615adantll 714 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝐶) → (cos‘(𝑛 · 𝑥)) ∈ ℝ)
1710, 16remulcld 11288 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝐶) → ((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) ∈ ℝ)
18 ioombl 25613 . . . . . . . . . . . 12 (-π(,)π) ∈ dom vol
195, 18eqeltri 2834 . . . . . . . . . . 11 𝐶 ∈ dom vol
2019a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ dom vol)
21 eqidd 2735 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥))) = (𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥))))
22 eqidd 2735 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑥𝐶 ↦ (𝐹𝑥)) = (𝑥𝐶 ↦ (𝐹𝑥)))
2320, 16, 10, 21, 22offval2 7716 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥))) ∘f · (𝑥𝐶 ↦ (𝐹𝑥))) = (𝑥𝐶 ↦ ((cos‘(𝑛 · 𝑥)) · (𝐹𝑥))))
2416recnd 11286 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝐶) → (cos‘(𝑛 · 𝑥)) ∈ ℂ)
2510recnd 11286 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝐶) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
2624, 25mulcomd 11279 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝐶) → ((cos‘(𝑛 · 𝑥)) · (𝐹𝑥)) = ((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))))
2726mpteq2dva 5247 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑥𝐶 ↦ ((cos‘(𝑛 · 𝑥)) · (𝐹𝑥))) = (𝑥𝐶 ↦ ((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥)))))
2823, 27eqtr2d 2775 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑥𝐶 ↦ ((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥)))) = ((𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥))) ∘f · (𝑥𝐶 ↦ (𝐹𝑥))))
29 coscn 26503 . . . . . . . . . . . . 13 cos ∈ (ℂ–cn→ℂ)
3029a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ0 → cos ∈ (ℂ–cn→ℂ))
315, 3eqsstri 4029 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐶 ⊆ ℝ
32 ax-resscn 11209 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ℝ ⊆ ℂ
3331, 32sstri 4004 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐶 ⊆ ℂ
3433a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ0𝐶 ⊆ ℂ)
3511recnd 11286 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℂ)
36 ssid 4017 . . . . . . . . . . . . . . 15 ℂ ⊆ ℂ
3736a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ0 → ℂ ⊆ ℂ)
3834, 35, 37constcncfg 45827 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑥𝐶𝑛) ∈ (𝐶cn→ℂ))
39 cncfmptid 24952 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐶 ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑥𝐶𝑥) ∈ (𝐶cn→ℂ))
4033, 36, 39mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥𝐶𝑥) ∈ (𝐶cn→ℂ)
4140a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑥𝐶𝑥) ∈ (𝐶cn→ℂ))
4238, 41mulcncf 25493 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑥𝐶 ↦ (𝑛 · 𝑥)) ∈ (𝐶cn→ℂ))
4330, 42cncfmpt1f 24953 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥))) ∈ (𝐶cn→ℂ))
44 cnmbf 25707 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶 ∈ dom vol ∧ (𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥))) ∈ (𝐶cn→ℂ)) → (𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥))) ∈ MblFn)
4519, 43, 44sylancr 587 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥))) ∈ MblFn)
4645adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥))) ∈ MblFn)
471feqmptd 6976 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹𝑥)))
4847reseq1d 5998 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐹𝐶) = ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹𝑥)) ↾ 𝐶))
49 resmpt 6056 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐶 ⊆ ℝ → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹𝑥)) ↾ 𝐶) = (𝑥𝐶 ↦ (𝐹𝑥)))
5031, 49mp1i 13 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹𝑥)) ↾ 𝐶) = (𝑥𝐶 ↦ (𝐹𝑥)))
5148, 50eqtr2d 2775 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑥𝐶 ↦ (𝐹𝑥)) = (𝐹𝐶))
52 fourierdlem22.fibl . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐹𝐶) ∈ 𝐿1)
5351, 52eqeltrd 2838 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥𝐶 ↦ (𝐹𝑥)) ∈ 𝐿1)
5453adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑥𝐶 ↦ (𝐹𝑥)) ∈ 𝐿1)
55 1re 11258 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ
56 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑦 ∈ dom (𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))) → 𝑦 ∈ dom (𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥))))
57 nfv 1911 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑥 𝑛 ∈ ℕ0
58 nfmpt1 5255 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑥(𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))
5958nfdm 5964 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑥dom (𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))
6059nfcri 2894 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑥 𝑦 ∈ dom (𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))
6157, 60nfan 1896 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑥(𝑛 ∈ ℕ0𝑦 ∈ dom (𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥))))
6215ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑥𝐶 → (cos‘(𝑛 · 𝑥)) ∈ ℝ))
6362adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑦 ∈ dom (𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))) → (𝑥𝐶 → (cos‘(𝑛 · 𝑥)) ∈ ℝ))
6461, 63ralrimi 3254 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑦 ∈ dom (𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))) → ∀𝑥𝐶 (cos‘(𝑛 · 𝑥)) ∈ ℝ)
65 dmmptg 6263 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∀𝑥𝐶 (cos‘(𝑛 · 𝑥)) ∈ ℝ → dom (𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥))) = 𝐶)
6664, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑦 ∈ dom (𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))) → dom (𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥))) = 𝐶)
6756, 66eleqtrd 2840 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑦 ∈ dom (𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))) → 𝑦𝐶)
68 eqidd 2735 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑦𝐶) → (𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥))) = (𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥))))
69 oveq2 7438 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑦 → (𝑛 · 𝑥) = (𝑛 · 𝑦))
7069fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑦 → (cos‘(𝑛 · 𝑥)) = (cos‘(𝑛 · 𝑦)))
7170adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑛 ∈ ℕ0𝑦𝐶) ∧ 𝑥 = 𝑦) → (cos‘(𝑛 · 𝑥)) = (cos‘(𝑛 · 𝑦)))
72 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑦𝐶) → 𝑦𝐶)
7311adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑦𝐶) → 𝑛 ∈ ℝ)
7431, 72sselid 3992 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑦𝐶) → 𝑦 ∈ ℝ)
7573, 74remulcld 11288 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑦𝐶) → (𝑛 · 𝑦) ∈ ℝ)
7675recoscld 16176 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑦𝐶) → (cos‘(𝑛 · 𝑦)) ∈ ℝ)
7768, 71, 72, 76fvmptd 7022 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑦𝐶) → ((𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦) = (cos‘(𝑛 · 𝑦)))
7877fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑦𝐶) → (abs‘((𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) = (abs‘(cos‘(𝑛 · 𝑦))))
79 abscosbd 45228 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛 · 𝑦) ∈ ℝ → (abs‘(cos‘(𝑛 · 𝑦))) ≤ 1)
8075, 79syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑦𝐶) → (abs‘(cos‘(𝑛 · 𝑦))) ≤ 1)
8178, 80eqbrtrd 5169 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑦𝐶) → (abs‘((𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 1)
8267, 81syldan 591 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑦 ∈ dom (𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))) → (abs‘((𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 1)
8382ralrimiva 3143 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ0 → ∀𝑦 ∈ dom (𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))(abs‘((𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 1)
84 breq2 5151 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 = 1 → ((abs‘((𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 𝑏 ↔ (abs‘((𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 1))
8584ralbidv 3175 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 = 1 → (∀𝑦 ∈ dom (𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))(abs‘((𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 𝑏 ↔ ∀𝑦 ∈ dom (𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))(abs‘((𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 1))
8685rspcev 3621 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom (𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))(abs‘((𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 1) → ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ dom (𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))(abs‘((𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 𝑏)
8755, 83, 86sylancr 587 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ0 → ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ dom (𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))(abs‘((𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 𝑏)
8887adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ dom (𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))(abs‘((𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 𝑏)
89 bddmulibl 25888 . . . . . . . . 9 (((𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥))) ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐶 ↦ (𝐹𝑥)) ∈ 𝐿1 ∧ ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ dom (𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))(abs‘((𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 𝑏) → ((𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥))) ∘f · (𝑥𝐶 ↦ (𝐹𝑥))) ∈ 𝐿1)
9046, 54, 88, 89syl3anc 1370 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥))) ∘f · (𝑥𝐶 ↦ (𝐹𝑥))) ∈ 𝐿1)
9128, 90eqeltrd 2838 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑥𝐶 ↦ ((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥)))) ∈ 𝐿1)
9217, 91itgrecl 25847 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → ∫𝐶((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℝ)
93 pire 26514 . . . . . . 7 π ∈ ℝ
9493a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → π ∈ ℝ)
95 0re 11260 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
96 pipos 26516 . . . . . . . 8 0 < π
9795, 96gtneii 11370 . . . . . . 7 π ≠ 0
9897a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → π ≠ 0)
9992, 94, 98redivcld 12092 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (∫𝐶((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π) ∈ ℝ)
100 fourierdlem22.a . . . . 5 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (∫𝐶((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
10199, 100fmptd 7133 . . . 4 (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℝ)
102101ffvelcdmda 7103 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑛) ∈ ℝ)
103102ex 412 . 2 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝐴𝑛) ∈ ℝ))
104 nnnn0 12530 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ0)
10514resincld 16175 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑥𝐶) → (sin‘(𝑛 · 𝑥)) ∈ ℝ)
106105adantll 714 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝐶) → (sin‘(𝑛 · 𝑥)) ∈ ℝ)
10710, 106remulcld 11288 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝐶) → ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) ∈ ℝ)
108 eqidd 2735 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥))) = (𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥))))
10920, 106, 10, 108, 22offval2 7716 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥))) ∘f · (𝑥𝐶 ↦ (𝐹𝑥))) = (𝑥𝐶 ↦ ((sin‘(𝑛 · 𝑥)) · (𝐹𝑥))))
110106recnd 11286 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝐶) → (sin‘(𝑛 · 𝑥)) ∈ ℂ)
111110, 25mulcomd 11279 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝐶) → ((sin‘(𝑛 · 𝑥)) · (𝐹𝑥)) = ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))))
112111mpteq2dva 5247 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑥𝐶 ↦ ((sin‘(𝑛 · 𝑥)) · (𝐹𝑥))) = (𝑥𝐶 ↦ ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥)))))
113109, 112eqtr2d 2775 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑥𝐶 ↦ ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥)))) = ((𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥))) ∘f · (𝑥𝐶 ↦ (𝐹𝑥))))
114 sincn 26502 . . . . . . . . . . . . 13 sin ∈ (ℂ–cn→ℂ)
115114a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → sin ∈ (ℂ–cn→ℂ))
11642adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑥𝐶 ↦ (𝑛 · 𝑥)) ∈ (𝐶cn→ℂ))
117115, 116cncfmpt1f 24953 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥))) ∈ (𝐶cn→ℂ))
118 cnmbf 25707 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶 ∈ dom vol ∧ (𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥))) ∈ (𝐶cn→ℂ)) → (𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥))) ∈ MblFn)
11919, 117, 118sylancr 587 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥))) ∈ MblFn)
120 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑦 ∈ dom (𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))) → 𝑦 ∈ dom (𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥))))
121 nfmpt1 5255 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑥(𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))
122121nfdm 5964 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑥dom (𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))
123122nfcri 2894 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑥 𝑦 ∈ dom (𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))
12457, 123nfan 1896 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑥(𝑛 ∈ ℕ0𝑦 ∈ dom (𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥))))
125105ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑥𝐶 → (sin‘(𝑛 · 𝑥)) ∈ ℝ))
126125adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑦 ∈ dom (𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))) → (𝑥𝐶 → (sin‘(𝑛 · 𝑥)) ∈ ℝ))
127124, 126ralrimi 3254 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑦 ∈ dom (𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))) → ∀𝑥𝐶 (sin‘(𝑛 · 𝑥)) ∈ ℝ)
128 dmmptg 6263 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∀𝑥𝐶 (sin‘(𝑛 · 𝑥)) ∈ ℝ → dom (𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥))) = 𝐶)
129127, 128syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑦 ∈ dom (𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))) → dom (𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥))) = 𝐶)
130120, 129eleqtrd 2840 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑦 ∈ dom (𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))) → 𝑦𝐶)
131 eqidd 2735 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑦𝐶) → (𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥))) = (𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥))))
13269fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑦 → (sin‘(𝑛 · 𝑥)) = (sin‘(𝑛 · 𝑦)))
133132adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑛 ∈ ℕ0𝑦𝐶) ∧ 𝑥 = 𝑦) → (sin‘(𝑛 · 𝑥)) = (sin‘(𝑛 · 𝑦)))
13475resincld 16175 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑦𝐶) → (sin‘(𝑛 · 𝑦)) ∈ ℝ)
135131, 133, 72, 134fvmptd 7022 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑦𝐶) → ((𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦) = (sin‘(𝑛 · 𝑦)))
136135fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑦𝐶) → (abs‘((𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) = (abs‘(sin‘(𝑛 · 𝑦))))
137 abssinbd 45245 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑛 · 𝑦) ∈ ℝ → (abs‘(sin‘(𝑛 · 𝑦))) ≤ 1)
13875, 137syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑦𝐶) → (abs‘(sin‘(𝑛 · 𝑦))) ≤ 1)
139136, 138eqbrtrd 5169 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑦𝐶) → (abs‘((𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 1)
140130, 139syldan 591 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑦 ∈ dom (𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))) → (abs‘((𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 1)
141140ralrimiva 3143 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ0 → ∀𝑦 ∈ dom (𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))(abs‘((𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 1)
142 breq2 5151 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 = 1 → ((abs‘((𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 𝑏 ↔ (abs‘((𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 1))
143142ralbidv 3175 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 = 1 → (∀𝑦 ∈ dom (𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))(abs‘((𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 𝑏 ↔ ∀𝑦 ∈ dom (𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))(abs‘((𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 1))
144143rspcev 3621 . . . . . . . . . . . 12 ((1 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom (𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))(abs‘((𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 1) → ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ dom (𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))(abs‘((𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 𝑏)
14555, 141, 144sylancr 587 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ0 → ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ dom (𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))(abs‘((𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 𝑏)
146145adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ dom (𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))(abs‘((𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 𝑏)
147 bddmulibl 25888 . . . . . . . . . 10 (((𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥))) ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐶 ↦ (𝐹𝑥)) ∈ 𝐿1 ∧ ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ dom (𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))(abs‘((𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 𝑏) → ((𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥))) ∘f · (𝑥𝐶 ↦ (𝐹𝑥))) ∈ 𝐿1)
148119, 54, 146, 147syl3anc 1370 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥))) ∘f · (𝑥𝐶 ↦ (𝐹𝑥))) ∈ 𝐿1)
149113, 148eqeltrd 2838 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑥𝐶 ↦ ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥)))) ∈ 𝐿1)
150107, 149itgrecl 25847 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → ∫𝐶((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℝ)
151104, 150sylan2 593 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∫𝐶((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℝ)
15293a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → π ∈ ℝ)
15397a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → π ≠ 0)
154151, 152, 153redivcld 12092 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (∫𝐶((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π) ∈ ℝ)
155 fourierdlem22.b . . . . 5 𝐵 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫𝐶((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
156154, 155fmptd 7133 . . . 4 (𝜑𝐵:ℕ⟶ℝ)
157156ffvelcdmda 7103 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐵𝑛) ∈ ℝ)
158157ex 412 . 2 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ → (𝐵𝑛) ∈ ℝ))
159103, 158jca 511 1 (𝜑 → ((𝑛 ∈ ℕ0 → (𝐴𝑛) ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐵𝑛) ∈ ℝ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105  wne 2937  wral 3058  wrex 3067  wss 3962   class class class wbr 5147  cmpt 5230  dom cdm 5688  cres 5690  wf 6558  cfv 6562  (class class class)co 7430  f cof 7694  cc 11150  cr 11151  0cc0 11152  1c1 11153   · cmul 11157  cle 11293  -cneg 11490   / cdiv 11917  cn 12263  0cn0 12523  (,)cioo 13383  abscabs 15269  sincsin 16095  cosccos 16096  πcpi 16098  cnccncf 24915  volcvol 25511  MblFncmbf 25662  𝐿1cibl 25665  citg 25666
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cc 10472  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230  ax-addf 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-iin 4998  df-disj 5115  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-ofr 7697  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-supp 8184  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-oadd 8508  df-omul 8509  df-er 8743  df-map 8866  df-pm 8867  df-ixp 8936  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fsupp 9399  df-fi 9448  df-sup 9479  df-inf 9480  df-oi 9547  df-dju 9938  df-card 9976  df-acn 9979  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-xneg 13151  df-xadd 13152  df-xmul 13153  df-ioo 13387  df-ioc 13388  df-ico 13389  df-icc 13390  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-fl 13828  df-mod 13906  df-seq 14039  df-exp 14099  df-fac 14309  df-bc 14338  df-hash 14366  df-shft 15102  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-limsup 15503  df-clim 15520  df-rlim 15521  df-sum 15719  df-ef 16099  df-sin 16101  df-cos 16102  df-pi 16104  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17468  df-topn 17469  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-topgen 17489  df-pt 17490  df-prds 17493  df-xrs 17548  df-qtop 17553  df-imas 17554  df-xps 17556  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-submnd 18809  df-mulg 19098  df-cntz 19347  df-cmn 19814  df-psmet 21373  df-xmet 21374  df-met 21375  df-bl 21376  df-mopn 21377  df-fbas 21378  df-fg 21379  df-cnfld 21382  df-top 22915  df-topon 22932  df-topsp 22954  df-bases 22968  df-cld 23042  df-ntr 23043  df-cls 23044  df-nei 23121  df-lp 23159  df-perf 23160  df-cn 23250  df-cnp 23251  df-haus 23338  df-cmp 23410  df-tx 23585  df-hmeo 23778  df-fil 23869  df-fm 23961  df-flim 23962  df-flf 23963  df-xms 24345  df-ms 24346  df-tms 24347  df-cncf 24917  df-ovol 25512  df-vol 25513  df-mbf 25667  df-itg1 25668  df-itg2 25669  df-ibl 25670  df-itg 25671  df-0p 25718  df-limc 25915  df-dv 25916
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