MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cshf1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cshf1 14845
Description: Cyclically shifting a word which contains a symbol at most once results in a word which contains a symbol at most once. (Contributed by AV, 14-Mar-2021.)
Assertion
Ref Expression
cshf1 ((𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1𝐴𝑆 ∈ ℤ ∧ 𝐺 = (𝐹 cyclShift 𝑆)) → 𝐺:(0..^(♯‘𝐹))–1-1𝐴)

Proof of Theorem cshf1
Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1f 6805 . . . . 5 (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1𝐴𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶𝐴)
2 iswrdi 14553 . . . . 5 (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶𝐴𝐹 ∈ Word 𝐴)
31, 2syl 17 . . . 4 (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1𝐴𝐹 ∈ Word 𝐴)
4 cshwf 14835 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ Word 𝐴𝑆 ∈ ℤ) → (𝐹 cyclShift 𝑆):(0..^(♯‘𝐹))⟶𝐴)
543adant1 1129 . . . . . . . 8 ((𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1𝐴𝐹 ∈ Word 𝐴𝑆 ∈ ℤ) → (𝐹 cyclShift 𝑆):(0..^(♯‘𝐹))⟶𝐴)
65adantr 480 . . . . . . 7 (((𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1𝐴𝐹 ∈ Word 𝐴𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝐺 = (𝐹 cyclShift 𝑆)) → (𝐹 cyclShift 𝑆):(0..^(♯‘𝐹))⟶𝐴)
7 feq1 6717 . . . . . . . 8 (𝐺 = (𝐹 cyclShift 𝑆) → (𝐺:(0..^(♯‘𝐹))⟶𝐴 ↔ (𝐹 cyclShift 𝑆):(0..^(♯‘𝐹))⟶𝐴))
87adantl 481 . . . . . . 7 (((𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1𝐴𝐹 ∈ Word 𝐴𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝐺 = (𝐹 cyclShift 𝑆)) → (𝐺:(0..^(♯‘𝐹))⟶𝐴 ↔ (𝐹 cyclShift 𝑆):(0..^(♯‘𝐹))⟶𝐴))
96, 8mpbird 257 . . . . . 6 (((𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1𝐴𝐹 ∈ Word 𝐴𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝐺 = (𝐹 cyclShift 𝑆)) → 𝐺:(0..^(♯‘𝐹))⟶𝐴)
10 dff13 7275 . . . . . . . 8 (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1𝐴 ↔ (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐹))∀𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) → 𝑥 = 𝑦)))
11 fveq1 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐺 = (𝐹 cyclShift 𝑆) → (𝐺𝑖) = ((𝐹 cyclShift 𝑆)‘𝑖))
12113ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐺 = (𝐹 cyclShift 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ Word 𝐴𝑆 ∈ ℤ) → (𝐺𝑖) = ((𝐹 cyclShift 𝑆)‘𝑖))
1312adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐺 = (𝐹 cyclShift 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ Word 𝐴𝑆 ∈ ℤ) ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → (𝐺𝑖) = ((𝐹 cyclShift 𝑆)‘𝑖))
14 cshwidxmod 14838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐹 ∈ Word 𝐴𝑆 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝐹 cyclShift 𝑆)‘𝑖) = (𝐹‘((𝑖 + 𝑆) mod (♯‘𝐹))))
15143expia 1120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐹 ∈ Word 𝐴𝑆 ∈ ℤ) → (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → ((𝐹 cyclShift 𝑆)‘𝑖) = (𝐹‘((𝑖 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))))
16153adant1 1129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐺 = (𝐹 cyclShift 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ Word 𝐴𝑆 ∈ ℤ) → (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → ((𝐹 cyclShift 𝑆)‘𝑖) = (𝐹‘((𝑖 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))))
1716com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → ((𝐺 = (𝐹 cyclShift 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ Word 𝐴𝑆 ∈ ℤ) → ((𝐹 cyclShift 𝑆)‘𝑖) = (𝐹‘((𝑖 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))))
1817adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝐺 = (𝐹 cyclShift 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ Word 𝐴𝑆 ∈ ℤ) → ((𝐹 cyclShift 𝑆)‘𝑖) = (𝐹‘((𝑖 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))))
1918impcom 407 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐺 = (𝐹 cyclShift 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ Word 𝐴𝑆 ∈ ℤ) ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → ((𝐹 cyclShift 𝑆)‘𝑖) = (𝐹‘((𝑖 + 𝑆) mod (♯‘𝐹))))
2013, 19eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐺 = (𝐹 cyclShift 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ Word 𝐴𝑆 ∈ ℤ) ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → (𝐺𝑖) = (𝐹‘((𝑖 + 𝑆) mod (♯‘𝐹))))
21 fveq1 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐺 = (𝐹 cyclShift 𝑆) → (𝐺𝑗) = ((𝐹 cyclShift 𝑆)‘𝑗))
22213ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐺 = (𝐹 cyclShift 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ Word 𝐴𝑆 ∈ ℤ) → (𝐺𝑗) = ((𝐹 cyclShift 𝑆)‘𝑗))
2322adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐺 = (𝐹 cyclShift 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ Word 𝐴𝑆 ∈ ℤ) ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → (𝐺𝑗) = ((𝐹 cyclShift 𝑆)‘𝑗))
24 cshwidxmod 14838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐹 ∈ Word 𝐴𝑆 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝐹 cyclShift 𝑆)‘𝑗) = (𝐹‘((𝑗 + 𝑆) mod (♯‘𝐹))))
25243expia 1120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐹 ∈ Word 𝐴𝑆 ∈ ℤ) → (𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → ((𝐹 cyclShift 𝑆)‘𝑗) = (𝐹‘((𝑗 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))))
26253adant1 1129 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐺 = (𝐹 cyclShift 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ Word 𝐴𝑆 ∈ ℤ) → (𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → ((𝐹 cyclShift 𝑆)‘𝑗) = (𝐹‘((𝑗 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))))
2726adantld 490 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐺 = (𝐹 cyclShift 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ Word 𝐴𝑆 ∈ ℤ) → ((𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝐹 cyclShift 𝑆)‘𝑗) = (𝐹‘((𝑗 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))))
2827imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐺 = (𝐹 cyclShift 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ Word 𝐴𝑆 ∈ ℤ) ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → ((𝐹 cyclShift 𝑆)‘𝑗) = (𝐹‘((𝑗 + 𝑆) mod (♯‘𝐹))))
2923, 28eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐺 = (𝐹 cyclShift 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ Word 𝐴𝑆 ∈ ℤ) ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → (𝐺𝑗) = (𝐹‘((𝑗 + 𝑆) mod (♯‘𝐹))))
3020, 29eqeq12d 2751 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐺 = (𝐹 cyclShift 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ Word 𝐴𝑆 ∈ ℤ) ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → ((𝐺𝑖) = (𝐺𝑗) ↔ (𝐹‘((𝑖 + 𝑆) mod (♯‘𝐹))) = (𝐹‘((𝑗 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))))
3130adantlr 715 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐺 = (𝐹 cyclShift 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ Word 𝐴𝑆 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐹))∀𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) → 𝑥 = 𝑦)) ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → ((𝐺𝑖) = (𝐺𝑗) ↔ (𝐹‘((𝑖 + 𝑆) mod (♯‘𝐹))) = (𝐹‘((𝑗 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))))
32 elfzo0 13737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ↔ (𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑖 < (♯‘𝐹)))
33 nn0z 12636 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑖 ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℤ)
3433adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ) → 𝑖 ∈ ℤ)
3534adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑆 ∈ ℤ ∧ (𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ)) → 𝑖 ∈ ℤ)
36 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑆 ∈ ℤ ∧ (𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ)) → 𝑆 ∈ ℤ)
3735, 36zaddcld 12724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑆 ∈ ℤ ∧ (𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ)) → (𝑖 + 𝑆) ∈ ℤ)
38 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ)
3938adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑆 ∈ ℤ ∧ (𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ)) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ)
4037, 39jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑆 ∈ ℤ ∧ (𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ)) → ((𝑖 + 𝑆) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ))
4140ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑆 ∈ ℤ → ((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ) → ((𝑖 + 𝑆) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ)))
42413ad2ant3 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐺 = (𝐹 cyclShift 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ Word 𝐴𝑆 ∈ ℤ) → ((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ) → ((𝑖 + 𝑆) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ)))
4342com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ) → ((𝐺 = (𝐹 cyclShift 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ Word 𝐴𝑆 ∈ ℤ) → ((𝑖 + 𝑆) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ)))
44433adant3 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑖 < (♯‘𝐹)) → ((𝐺 = (𝐹 cyclShift 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ Word 𝐴𝑆 ∈ ℤ) → ((𝑖 + 𝑆) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ)))
4532, 44sylbi 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → ((𝐺 = (𝐹 cyclShift 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ Word 𝐴𝑆 ∈ ℤ) → ((𝑖 + 𝑆) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ)))
4645adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝐺 = (𝐹 cyclShift 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ Word 𝐴𝑆 ∈ ℤ) → ((𝑖 + 𝑆) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ)))
4746impcom 407 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐺 = (𝐹 cyclShift 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ Word 𝐴𝑆 ∈ ℤ) ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → ((𝑖 + 𝑆) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ))
48 zmodfzo 13931 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑖 + 𝑆) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ) → ((𝑖 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
4947, 48syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐺 = (𝐹 cyclShift 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ Word 𝐴𝑆 ∈ ℤ) ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → ((𝑖 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
50 elfzo0 13737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ↔ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑗 < (♯‘𝐹)))
51 nn0z 12636 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑗 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℤ)
5251adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑗 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℤ)
5352adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑆 ∈ ℤ ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ)) → 𝑗 ∈ ℤ)
54 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑆 ∈ ℤ ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ)) → 𝑆 ∈ ℤ)
5553, 54zaddcld 12724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑆 ∈ ℤ ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ)) → (𝑗 + 𝑆) ∈ ℤ)
56 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑗 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ)
5756adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑆 ∈ ℤ ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ)) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ)
5855, 57jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑆 ∈ ℤ ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ)) → ((𝑗 + 𝑆) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ))
5958expcom 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑗 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ) → (𝑆 ∈ ℤ → ((𝑗 + 𝑆) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ)))
60593adant3 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑗 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑗 < (♯‘𝐹)) → (𝑆 ∈ ℤ → ((𝑗 + 𝑆) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ)))
6150, 60sylbi 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝑆 ∈ ℤ → ((𝑗 + 𝑆) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ)))
6261com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑆 ∈ ℤ → (𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → ((𝑗 + 𝑆) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ)))
63623ad2ant3 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐺 = (𝐹 cyclShift 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ Word 𝐴𝑆 ∈ ℤ) → (𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → ((𝑗 + 𝑆) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ)))
6463adantld 490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐺 = (𝐹 cyclShift 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ Word 𝐴𝑆 ∈ ℤ) → ((𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝑗 + 𝑆) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ)))
6564imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐺 = (𝐹 cyclShift 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ Word 𝐴𝑆 ∈ ℤ) ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → ((𝑗 + 𝑆) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ))
66 zmodfzo 13931 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑗 + 𝑆) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ) → ((𝑗 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
6765, 66syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐺 = (𝐹 cyclShift 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ Word 𝐴𝑆 ∈ ℤ) ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → ((𝑗 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
68 fveqeq2 6916 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = ((𝑖 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) → ((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) ↔ (𝐹‘((𝑖 + 𝑆) mod (♯‘𝐹))) = (𝐹𝑦)))
69 eqeq1 2739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = ((𝑖 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) → (𝑥 = 𝑦 ↔ ((𝑖 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) = 𝑦))
7068, 69imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = ((𝑖 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) → (((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) → 𝑥 = 𝑦) ↔ ((𝐹‘((𝑖 + 𝑆) mod (♯‘𝐹))) = (𝐹𝑦) → ((𝑖 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) = 𝑦)))
71 fveq2 6907 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = ((𝑗 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) → (𝐹𝑦) = (𝐹‘((𝑗 + 𝑆) mod (♯‘𝐹))))
7271eqeq2d 2746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = ((𝑗 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) → ((𝐹‘((𝑖 + 𝑆) mod (♯‘𝐹))) = (𝐹𝑦) ↔ (𝐹‘((𝑖 + 𝑆) mod (♯‘𝐹))) = (𝐹‘((𝑗 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))))
73 eqeq2 2747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = ((𝑗 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) → (((𝑖 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) = 𝑦 ↔ ((𝑖 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) = ((𝑗 + 𝑆) mod (♯‘𝐹))))
7472, 73imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = ((𝑗 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) → (((𝐹‘((𝑖 + 𝑆) mod (♯‘𝐹))) = (𝐹𝑦) → ((𝑖 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) = 𝑦) ↔ ((𝐹‘((𝑖 + 𝑆) mod (♯‘𝐹))) = (𝐹‘((𝑗 + 𝑆) mod (♯‘𝐹))) → ((𝑖 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) = ((𝑗 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))))
7570, 74rspc2v 3633 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑖 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∧ ((𝑗 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐹))∀𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) → 𝑥 = 𝑦) → ((𝐹‘((𝑖 + 𝑆) mod (♯‘𝐹))) = (𝐹‘((𝑗 + 𝑆) mod (♯‘𝐹))) → ((𝑖 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) = ((𝑗 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))))
7649, 67, 75syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐺 = (𝐹 cyclShift 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ Word 𝐴𝑆 ∈ ℤ) ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → (∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐹))∀𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) → 𝑥 = 𝑦) → ((𝐹‘((𝑖 + 𝑆) mod (♯‘𝐹))) = (𝐹‘((𝑗 + 𝑆) mod (♯‘𝐹))) → ((𝑖 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) = ((𝑗 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))))
77 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐺 = (𝐹 cyclShift 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ Word 𝐴𝑆 ∈ ℤ) ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) ∧ ((𝐹‘((𝑖 + 𝑆) mod (♯‘𝐹))) = (𝐹‘((𝑗 + 𝑆) mod (♯‘𝐹))) → ((𝑖 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) = ((𝑗 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))) → ((𝐹‘((𝑖 + 𝑆) mod (♯‘𝐹))) = (𝐹‘((𝑗 + 𝑆) mod (♯‘𝐹))) → ((𝑖 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) = ((𝑗 + 𝑆) mod (♯‘𝐹))))
78 addmodlteq 13984 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (((𝑖 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) = ((𝑗 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) ↔ 𝑖 = 𝑗))
79783expa 1117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (((𝑖 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) = ((𝑗 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) ↔ 𝑖 = 𝑗))
8079ancoms 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑆 ∈ ℤ ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → (((𝑖 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) = ((𝑗 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) ↔ 𝑖 = 𝑗))
8180bicomd 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑆 ∈ ℤ ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → (𝑖 = 𝑗 ↔ ((𝑖 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) = ((𝑗 + 𝑆) mod (♯‘𝐹))))
82813ad2antl3 1186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐺 = (𝐹 cyclShift 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ Word 𝐴𝑆 ∈ ℤ) ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → (𝑖 = 𝑗 ↔ ((𝑖 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) = ((𝑗 + 𝑆) mod (♯‘𝐹))))
8382adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐺 = (𝐹 cyclShift 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ Word 𝐴𝑆 ∈ ℤ) ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) ∧ ((𝐹‘((𝑖 + 𝑆) mod (♯‘𝐹))) = (𝐹‘((𝑗 + 𝑆) mod (♯‘𝐹))) → ((𝑖 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) = ((𝑗 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))) → (𝑖 = 𝑗 ↔ ((𝑖 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) = ((𝑗 + 𝑆) mod (♯‘𝐹))))
8477, 83sylibrd 259 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐺 = (𝐹 cyclShift 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ Word 𝐴𝑆 ∈ ℤ) ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) ∧ ((𝐹‘((𝑖 + 𝑆) mod (♯‘𝐹))) = (𝐹‘((𝑗 + 𝑆) mod (♯‘𝐹))) → ((𝑖 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) = ((𝑗 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))) → ((𝐹‘((𝑖 + 𝑆) mod (♯‘𝐹))) = (𝐹‘((𝑗 + 𝑆) mod (♯‘𝐹))) → 𝑖 = 𝑗))
8584ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐺 = (𝐹 cyclShift 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ Word 𝐴𝑆 ∈ ℤ) ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → (((𝐹‘((𝑖 + 𝑆) mod (♯‘𝐹))) = (𝐹‘((𝑗 + 𝑆) mod (♯‘𝐹))) → ((𝑖 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) = ((𝑗 + 𝑆) mod (♯‘𝐹))) → ((𝐹‘((𝑖 + 𝑆) mod (♯‘𝐹))) = (𝐹‘((𝑗 + 𝑆) mod (♯‘𝐹))) → 𝑖 = 𝑗)))
8676, 85syld 47 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐺 = (𝐹 cyclShift 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ Word 𝐴𝑆 ∈ ℤ) ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → (∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐹))∀𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) → 𝑥 = 𝑦) → ((𝐹‘((𝑖 + 𝑆) mod (♯‘𝐹))) = (𝐹‘((𝑗 + 𝑆) mod (♯‘𝐹))) → 𝑖 = 𝑗)))
8786impancom 451 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐺 = (𝐹 cyclShift 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ Word 𝐴𝑆 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐹))∀𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) → 𝑥 = 𝑦)) → ((𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝐹‘((𝑖 + 𝑆) mod (♯‘𝐹))) = (𝐹‘((𝑗 + 𝑆) mod (♯‘𝐹))) → 𝑖 = 𝑗)))
8887imp 406 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐺 = (𝐹 cyclShift 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ Word 𝐴𝑆 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐹))∀𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) → 𝑥 = 𝑦)) ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → ((𝐹‘((𝑖 + 𝑆) mod (♯‘𝐹))) = (𝐹‘((𝑗 + 𝑆) mod (♯‘𝐹))) → 𝑖 = 𝑗))
8931, 88sylbid 240 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐺 = (𝐹 cyclShift 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ Word 𝐴𝑆 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐹))∀𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) → 𝑥 = 𝑦)) ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → ((𝐺𝑖) = (𝐺𝑗) → 𝑖 = 𝑗))
9089ralrimivva 3200 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 = (𝐹 cyclShift 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ Word 𝐴𝑆 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐹))∀𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) → 𝑥 = 𝑦)) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))∀𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐹))((𝐺𝑖) = (𝐺𝑗) → 𝑖 = 𝑗))
91903exp1 1351 . . . . . . . . . 10 (𝐺 = (𝐹 cyclShift 𝑆) → (𝐹 ∈ Word 𝐴 → (𝑆 ∈ ℤ → (∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐹))∀𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) → 𝑥 = 𝑦) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))∀𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐹))((𝐺𝑖) = (𝐺𝑗) → 𝑖 = 𝑗)))))
9291com14 96 . . . . . . . . 9 (∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐹))∀𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) → 𝑥 = 𝑦) → (𝐹 ∈ Word 𝐴 → (𝑆 ∈ ℤ → (𝐺 = (𝐹 cyclShift 𝑆) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))∀𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐹))((𝐺𝑖) = (𝐺𝑗) → 𝑖 = 𝑗)))))
9392adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐹))∀𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) → 𝑥 = 𝑦)) → (𝐹 ∈ Word 𝐴 → (𝑆 ∈ ℤ → (𝐺 = (𝐹 cyclShift 𝑆) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))∀𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐹))((𝐺𝑖) = (𝐺𝑗) → 𝑖 = 𝑗)))))
9410, 93sylbi 217 . . . . . . 7 (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1𝐴 → (𝐹 ∈ Word 𝐴 → (𝑆 ∈ ℤ → (𝐺 = (𝐹 cyclShift 𝑆) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))∀𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐹))((𝐺𝑖) = (𝐺𝑗) → 𝑖 = 𝑗)))))
95943imp1 1346 . . . . . 6 (((𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1𝐴𝐹 ∈ Word 𝐴𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝐺 = (𝐹 cyclShift 𝑆)) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))∀𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐹))((𝐺𝑖) = (𝐺𝑗) → 𝑖 = 𝑗))
969, 95jca 511 . . . . 5 (((𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1𝐴𝐹 ∈ Word 𝐴𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝐺 = (𝐹 cyclShift 𝑆)) → (𝐺:(0..^(♯‘𝐹))⟶𝐴 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))∀𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐹))((𝐺𝑖) = (𝐺𝑗) → 𝑖 = 𝑗)))
97963exp1 1351 . . . 4 (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1𝐴 → (𝐹 ∈ Word 𝐴 → (𝑆 ∈ ℤ → (𝐺 = (𝐹 cyclShift 𝑆) → (𝐺:(0..^(♯‘𝐹))⟶𝐴 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))∀𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐹))((𝐺𝑖) = (𝐺𝑗) → 𝑖 = 𝑗))))))
983, 97mpd 15 . . 3 (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1𝐴 → (𝑆 ∈ ℤ → (𝐺 = (𝐹 cyclShift 𝑆) → (𝐺:(0..^(♯‘𝐹))⟶𝐴 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))∀𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐹))((𝐺𝑖) = (𝐺𝑗) → 𝑖 = 𝑗)))))
99983imp 1110 . 2 ((𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1𝐴𝑆 ∈ ℤ ∧ 𝐺 = (𝐹 cyclShift 𝑆)) → (𝐺:(0..^(♯‘𝐹))⟶𝐴 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))∀𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐹))((𝐺𝑖) = (𝐺𝑗) → 𝑖 = 𝑗)))
100 dff13 7275 . 2 (𝐺:(0..^(♯‘𝐹))–1-1𝐴 ↔ (𝐺:(0..^(♯‘𝐹))⟶𝐴 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))∀𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐹))((𝐺𝑖) = (𝐺𝑗) → 𝑖 = 𝑗)))
10199, 100sylibr 234 1 ((𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1𝐴𝑆 ∈ ℤ ∧ 𝐺 = (𝐹 cyclShift 𝑆)) → 𝐺:(0..^(♯‘𝐹))–1-1𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059   class class class wbr 5148  wf 6559  1-1wf1 6560  cfv 6563  (class class class)co 7431  0cc0 11153   + caddc 11156   < clt 11293  cn 12264  0cn0 12524  cz 12611  ..^cfzo 13691   mod cmo 13906  chash 14366  Word cword 14549   cyclShift ccsh 14823
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-mod 13907  df-hash 14367  df-word 14550  df-concat 14606  df-substr 14676  df-pfx 14706  df-csh 14824
This theorem is referenced by:  cshinj  14846  cshf1o  32932
  Copyright terms: Public domain W3C validator