MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cshf1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cshf1 14399
Description: Cyclically shifting a word which contains a symbol at most once results in a word which contains a symbol at most once. (Contributed by AV, 14-Mar-2021.)
Assertion
Ref Expression
cshf1 ((𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1𝐴𝑆 ∈ ℤ ∧ 𝐺 = (𝐹 cyclShift 𝑆)) → 𝐺:(0..^(♯‘𝐹))–1-1𝐴)

Proof of Theorem cshf1
Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1f 6633 . . . . 5 (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1𝐴𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶𝐴)
2 iswrdi 14097 . . . . 5 (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶𝐴𝐹 ∈ Word 𝐴)
31, 2syl 17 . . . 4 (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1𝐴𝐹 ∈ Word 𝐴)
4 cshwf 14389 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ Word 𝐴𝑆 ∈ ℤ) → (𝐹 cyclShift 𝑆):(0..^(♯‘𝐹))⟶𝐴)
543adant1 1132 . . . . . . . 8 ((𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1𝐴𝐹 ∈ Word 𝐴𝑆 ∈ ℤ) → (𝐹 cyclShift 𝑆):(0..^(♯‘𝐹))⟶𝐴)
65adantr 484 . . . . . . 7 (((𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1𝐴𝐹 ∈ Word 𝐴𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝐺 = (𝐹 cyclShift 𝑆)) → (𝐹 cyclShift 𝑆):(0..^(♯‘𝐹))⟶𝐴)
7 feq1 6544 . . . . . . . 8 (𝐺 = (𝐹 cyclShift 𝑆) → (𝐺:(0..^(♯‘𝐹))⟶𝐴 ↔ (𝐹 cyclShift 𝑆):(0..^(♯‘𝐹))⟶𝐴))
87adantl 485 . . . . . . 7 (((𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1𝐴𝐹 ∈ Word 𝐴𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝐺 = (𝐹 cyclShift 𝑆)) → (𝐺:(0..^(♯‘𝐹))⟶𝐴 ↔ (𝐹 cyclShift 𝑆):(0..^(♯‘𝐹))⟶𝐴))
96, 8mpbird 260 . . . . . 6 (((𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1𝐴𝐹 ∈ Word 𝐴𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝐺 = (𝐹 cyclShift 𝑆)) → 𝐺:(0..^(♯‘𝐹))⟶𝐴)
10 dff13 7085 . . . . . . . 8 (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1𝐴 ↔ (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐹))∀𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) → 𝑥 = 𝑦)))
11 fveq1 6734 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐺 = (𝐹 cyclShift 𝑆) → (𝐺𝑖) = ((𝐹 cyclShift 𝑆)‘𝑖))
12113ad2ant1 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐺 = (𝐹 cyclShift 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ Word 𝐴𝑆 ∈ ℤ) → (𝐺𝑖) = ((𝐹 cyclShift 𝑆)‘𝑖))
1312adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐺 = (𝐹 cyclShift 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ Word 𝐴𝑆 ∈ ℤ) ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → (𝐺𝑖) = ((𝐹 cyclShift 𝑆)‘𝑖))
14 cshwidxmod 14392 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐹 ∈ Word 𝐴𝑆 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝐹 cyclShift 𝑆)‘𝑖) = (𝐹‘((𝑖 + 𝑆) mod (♯‘𝐹))))
15143expia 1123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐹 ∈ Word 𝐴𝑆 ∈ ℤ) → (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → ((𝐹 cyclShift 𝑆)‘𝑖) = (𝐹‘((𝑖 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))))
16153adant1 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐺 = (𝐹 cyclShift 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ Word 𝐴𝑆 ∈ ℤ) → (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → ((𝐹 cyclShift 𝑆)‘𝑖) = (𝐹‘((𝑖 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))))
1716com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → ((𝐺 = (𝐹 cyclShift 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ Word 𝐴𝑆 ∈ ℤ) → ((𝐹 cyclShift 𝑆)‘𝑖) = (𝐹‘((𝑖 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))))
1817adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝐺 = (𝐹 cyclShift 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ Word 𝐴𝑆 ∈ ℤ) → ((𝐹 cyclShift 𝑆)‘𝑖) = (𝐹‘((𝑖 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))))
1918impcom 411 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐺 = (𝐹 cyclShift 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ Word 𝐴𝑆 ∈ ℤ) ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → ((𝐹 cyclShift 𝑆)‘𝑖) = (𝐹‘((𝑖 + 𝑆) mod (♯‘𝐹))))
2013, 19eqtrd 2778 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐺 = (𝐹 cyclShift 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ Word 𝐴𝑆 ∈ ℤ) ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → (𝐺𝑖) = (𝐹‘((𝑖 + 𝑆) mod (♯‘𝐹))))
21 fveq1 6734 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐺 = (𝐹 cyclShift 𝑆) → (𝐺𝑗) = ((𝐹 cyclShift 𝑆)‘𝑗))
22213ad2ant1 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐺 = (𝐹 cyclShift 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ Word 𝐴𝑆 ∈ ℤ) → (𝐺𝑗) = ((𝐹 cyclShift 𝑆)‘𝑗))
2322adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐺 = (𝐹 cyclShift 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ Word 𝐴𝑆 ∈ ℤ) ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → (𝐺𝑗) = ((𝐹 cyclShift 𝑆)‘𝑗))
24 cshwidxmod 14392 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐹 ∈ Word 𝐴𝑆 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝐹 cyclShift 𝑆)‘𝑗) = (𝐹‘((𝑗 + 𝑆) mod (♯‘𝐹))))
25243expia 1123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐹 ∈ Word 𝐴𝑆 ∈ ℤ) → (𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → ((𝐹 cyclShift 𝑆)‘𝑗) = (𝐹‘((𝑗 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))))
26253adant1 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐺 = (𝐹 cyclShift 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ Word 𝐴𝑆 ∈ ℤ) → (𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → ((𝐹 cyclShift 𝑆)‘𝑗) = (𝐹‘((𝑗 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))))
2726adantld 494 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐺 = (𝐹 cyclShift 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ Word 𝐴𝑆 ∈ ℤ) → ((𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝐹 cyclShift 𝑆)‘𝑗) = (𝐹‘((𝑗 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))))
2827imp 410 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐺 = (𝐹 cyclShift 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ Word 𝐴𝑆 ∈ ℤ) ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → ((𝐹 cyclShift 𝑆)‘𝑗) = (𝐹‘((𝑗 + 𝑆) mod (♯‘𝐹))))
2923, 28eqtrd 2778 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐺 = (𝐹 cyclShift 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ Word 𝐴𝑆 ∈ ℤ) ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → (𝐺𝑗) = (𝐹‘((𝑗 + 𝑆) mod (♯‘𝐹))))
3020, 29eqeq12d 2754 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐺 = (𝐹 cyclShift 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ Word 𝐴𝑆 ∈ ℤ) ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → ((𝐺𝑖) = (𝐺𝑗) ↔ (𝐹‘((𝑖 + 𝑆) mod (♯‘𝐹))) = (𝐹‘((𝑗 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))))
3130adantlr 715 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐺 = (𝐹 cyclShift 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ Word 𝐴𝑆 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐹))∀𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) → 𝑥 = 𝑦)) ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → ((𝐺𝑖) = (𝐺𝑗) ↔ (𝐹‘((𝑖 + 𝑆) mod (♯‘𝐹))) = (𝐹‘((𝑗 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))))
32 elfzo0 13307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ↔ (𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑖 < (♯‘𝐹)))
33 nn0z 12224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑖 ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℤ)
3433adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ) → 𝑖 ∈ ℤ)
3534adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑆 ∈ ℤ ∧ (𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ)) → 𝑖 ∈ ℤ)
36 simpl 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑆 ∈ ℤ ∧ (𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ)) → 𝑆 ∈ ℤ)
3735, 36zaddcld 12310 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑆 ∈ ℤ ∧ (𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ)) → (𝑖 + 𝑆) ∈ ℤ)
38 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ)
3938adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑆 ∈ ℤ ∧ (𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ)) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ)
4037, 39jca 515 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑆 ∈ ℤ ∧ (𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ)) → ((𝑖 + 𝑆) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ))
4140ex 416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑆 ∈ ℤ → ((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ) → ((𝑖 + 𝑆) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ)))
42413ad2ant3 1137 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐺 = (𝐹 cyclShift 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ Word 𝐴𝑆 ∈ ℤ) → ((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ) → ((𝑖 + 𝑆) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ)))
4342com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ) → ((𝐺 = (𝐹 cyclShift 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ Word 𝐴𝑆 ∈ ℤ) → ((𝑖 + 𝑆) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ)))
44433adant3 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑖 < (♯‘𝐹)) → ((𝐺 = (𝐹 cyclShift 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ Word 𝐴𝑆 ∈ ℤ) → ((𝑖 + 𝑆) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ)))
4532, 44sylbi 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → ((𝐺 = (𝐹 cyclShift 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ Word 𝐴𝑆 ∈ ℤ) → ((𝑖 + 𝑆) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ)))
4645adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝐺 = (𝐹 cyclShift 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ Word 𝐴𝑆 ∈ ℤ) → ((𝑖 + 𝑆) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ)))
4746impcom 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐺 = (𝐹 cyclShift 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ Word 𝐴𝑆 ∈ ℤ) ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → ((𝑖 + 𝑆) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ))
48 zmodfzo 13491 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑖 + 𝑆) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ) → ((𝑖 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
4947, 48syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐺 = (𝐹 cyclShift 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ Word 𝐴𝑆 ∈ ℤ) ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → ((𝑖 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
50 elfzo0 13307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ↔ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑗 < (♯‘𝐹)))
51 nn0z 12224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑗 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℤ)
5251adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑗 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℤ)
5352adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑆 ∈ ℤ ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ)) → 𝑗 ∈ ℤ)
54 simpl 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑆 ∈ ℤ ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ)) → 𝑆 ∈ ℤ)
5553, 54zaddcld 12310 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑆 ∈ ℤ ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ)) → (𝑗 + 𝑆) ∈ ℤ)
56 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑗 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ)
5756adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑆 ∈ ℤ ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ)) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ)
5855, 57jca 515 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑆 ∈ ℤ ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ)) → ((𝑗 + 𝑆) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ))
5958expcom 417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑗 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ) → (𝑆 ∈ ℤ → ((𝑗 + 𝑆) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ)))
60593adant3 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑗 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑗 < (♯‘𝐹)) → (𝑆 ∈ ℤ → ((𝑗 + 𝑆) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ)))
6150, 60sylbi 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝑆 ∈ ℤ → ((𝑗 + 𝑆) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ)))
6261com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑆 ∈ ℤ → (𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → ((𝑗 + 𝑆) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ)))
63623ad2ant3 1137 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐺 = (𝐹 cyclShift 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ Word 𝐴𝑆 ∈ ℤ) → (𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → ((𝑗 + 𝑆) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ)))
6463adantld 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐺 = (𝐹 cyclShift 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ Word 𝐴𝑆 ∈ ℤ) → ((𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝑗 + 𝑆) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ)))
6564imp 410 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐺 = (𝐹 cyclShift 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ Word 𝐴𝑆 ∈ ℤ) ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → ((𝑗 + 𝑆) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ))
66 zmodfzo 13491 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑗 + 𝑆) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ) → ((𝑗 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
6765, 66syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐺 = (𝐹 cyclShift 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ Word 𝐴𝑆 ∈ ℤ) ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → ((𝑗 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
68 fveqeq2 6744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = ((𝑖 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) → ((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) ↔ (𝐹‘((𝑖 + 𝑆) mod (♯‘𝐹))) = (𝐹𝑦)))
69 eqeq1 2742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = ((𝑖 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) → (𝑥 = 𝑦 ↔ ((𝑖 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) = 𝑦))
7068, 69imbi12d 348 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = ((𝑖 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) → (((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) → 𝑥 = 𝑦) ↔ ((𝐹‘((𝑖 + 𝑆) mod (♯‘𝐹))) = (𝐹𝑦) → ((𝑖 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) = 𝑦)))
71 fveq2 6735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = ((𝑗 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) → (𝐹𝑦) = (𝐹‘((𝑗 + 𝑆) mod (♯‘𝐹))))
7271eqeq2d 2749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = ((𝑗 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) → ((𝐹‘((𝑖 + 𝑆) mod (♯‘𝐹))) = (𝐹𝑦) ↔ (𝐹‘((𝑖 + 𝑆) mod (♯‘𝐹))) = (𝐹‘((𝑗 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))))
73 eqeq2 2750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = ((𝑗 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) → (((𝑖 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) = 𝑦 ↔ ((𝑖 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) = ((𝑗 + 𝑆) mod (♯‘𝐹))))
7472, 73imbi12d 348 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = ((𝑗 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) → (((𝐹‘((𝑖 + 𝑆) mod (♯‘𝐹))) = (𝐹𝑦) → ((𝑖 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) = 𝑦) ↔ ((𝐹‘((𝑖 + 𝑆) mod (♯‘𝐹))) = (𝐹‘((𝑗 + 𝑆) mod (♯‘𝐹))) → ((𝑖 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) = ((𝑗 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))))
7570, 74rspc2v 3559 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑖 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∧ ((𝑗 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐹))∀𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) → 𝑥 = 𝑦) → ((𝐹‘((𝑖 + 𝑆) mod (♯‘𝐹))) = (𝐹‘((𝑗 + 𝑆) mod (♯‘𝐹))) → ((𝑖 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) = ((𝑗 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))))
7649, 67, 75syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐺 = (𝐹 cyclShift 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ Word 𝐴𝑆 ∈ ℤ) ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → (∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐹))∀𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) → 𝑥 = 𝑦) → ((𝐹‘((𝑖 + 𝑆) mod (♯‘𝐹))) = (𝐹‘((𝑗 + 𝑆) mod (♯‘𝐹))) → ((𝑖 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) = ((𝑗 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))))
77 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐺 = (𝐹 cyclShift 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ Word 𝐴𝑆 ∈ ℤ) ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) ∧ ((𝐹‘((𝑖 + 𝑆) mod (♯‘𝐹))) = (𝐹‘((𝑗 + 𝑆) mod (♯‘𝐹))) → ((𝑖 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) = ((𝑗 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))) → ((𝐹‘((𝑖 + 𝑆) mod (♯‘𝐹))) = (𝐹‘((𝑗 + 𝑆) mod (♯‘𝐹))) → ((𝑖 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) = ((𝑗 + 𝑆) mod (♯‘𝐹))))
78 addmodlteq 13543 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (((𝑖 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) = ((𝑗 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) ↔ 𝑖 = 𝑗))
79783expa 1120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (((𝑖 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) = ((𝑗 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) ↔ 𝑖 = 𝑗))
8079ancoms 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑆 ∈ ℤ ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → (((𝑖 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) = ((𝑗 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) ↔ 𝑖 = 𝑗))
8180bicomd 226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑆 ∈ ℤ ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → (𝑖 = 𝑗 ↔ ((𝑖 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) = ((𝑗 + 𝑆) mod (♯‘𝐹))))
82813ad2antl3 1189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐺 = (𝐹 cyclShift 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ Word 𝐴𝑆 ∈ ℤ) ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → (𝑖 = 𝑗 ↔ ((𝑖 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) = ((𝑗 + 𝑆) mod (♯‘𝐹))))
8382adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐺 = (𝐹 cyclShift 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ Word 𝐴𝑆 ∈ ℤ) ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) ∧ ((𝐹‘((𝑖 + 𝑆) mod (♯‘𝐹))) = (𝐹‘((𝑗 + 𝑆) mod (♯‘𝐹))) → ((𝑖 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) = ((𝑗 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))) → (𝑖 = 𝑗 ↔ ((𝑖 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) = ((𝑗 + 𝑆) mod (♯‘𝐹))))
8477, 83sylibrd 262 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐺 = (𝐹 cyclShift 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ Word 𝐴𝑆 ∈ ℤ) ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) ∧ ((𝐹‘((𝑖 + 𝑆) mod (♯‘𝐹))) = (𝐹‘((𝑗 + 𝑆) mod (♯‘𝐹))) → ((𝑖 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) = ((𝑗 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))) → ((𝐹‘((𝑖 + 𝑆) mod (♯‘𝐹))) = (𝐹‘((𝑗 + 𝑆) mod (♯‘𝐹))) → 𝑖 = 𝑗))
8584ex 416 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐺 = (𝐹 cyclShift 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ Word 𝐴𝑆 ∈ ℤ) ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → (((𝐹‘((𝑖 + 𝑆) mod (♯‘𝐹))) = (𝐹‘((𝑗 + 𝑆) mod (♯‘𝐹))) → ((𝑖 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) = ((𝑗 + 𝑆) mod (♯‘𝐹))) → ((𝐹‘((𝑖 + 𝑆) mod (♯‘𝐹))) = (𝐹‘((𝑗 + 𝑆) mod (♯‘𝐹))) → 𝑖 = 𝑗)))
8676, 85syld 47 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐺 = (𝐹 cyclShift 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ Word 𝐴𝑆 ∈ ℤ) ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → (∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐹))∀𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) → 𝑥 = 𝑦) → ((𝐹‘((𝑖 + 𝑆) mod (♯‘𝐹))) = (𝐹‘((𝑗 + 𝑆) mod (♯‘𝐹))) → 𝑖 = 𝑗)))
8786impancom 455 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐺 = (𝐹 cyclShift 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ Word 𝐴𝑆 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐹))∀𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) → 𝑥 = 𝑦)) → ((𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝐹‘((𝑖 + 𝑆) mod (♯‘𝐹))) = (𝐹‘((𝑗 + 𝑆) mod (♯‘𝐹))) → 𝑖 = 𝑗)))
8887imp 410 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐺 = (𝐹 cyclShift 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ Word 𝐴𝑆 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐹))∀𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) → 𝑥 = 𝑦)) ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → ((𝐹‘((𝑖 + 𝑆) mod (♯‘𝐹))) = (𝐹‘((𝑗 + 𝑆) mod (♯‘𝐹))) → 𝑖 = 𝑗))
8931, 88sylbid 243 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐺 = (𝐹 cyclShift 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ Word 𝐴𝑆 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐹))∀𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) → 𝑥 = 𝑦)) ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → ((𝐺𝑖) = (𝐺𝑗) → 𝑖 = 𝑗))
9089ralrimivva 3113 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 = (𝐹 cyclShift 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ Word 𝐴𝑆 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐹))∀𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) → 𝑥 = 𝑦)) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))∀𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐹))((𝐺𝑖) = (𝐺𝑗) → 𝑖 = 𝑗))
91903exp1 1354 . . . . . . . . . 10 (𝐺 = (𝐹 cyclShift 𝑆) → (𝐹 ∈ Word 𝐴 → (𝑆 ∈ ℤ → (∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐹))∀𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) → 𝑥 = 𝑦) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))∀𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐹))((𝐺𝑖) = (𝐺𝑗) → 𝑖 = 𝑗)))))
9291com14 96 . . . . . . . . 9 (∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐹))∀𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) → 𝑥 = 𝑦) → (𝐹 ∈ Word 𝐴 → (𝑆 ∈ ℤ → (𝐺 = (𝐹 cyclShift 𝑆) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))∀𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐹))((𝐺𝑖) = (𝐺𝑗) → 𝑖 = 𝑗)))))
9392adantl 485 . . . . . . . 8 ((𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐹))∀𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) → 𝑥 = 𝑦)) → (𝐹 ∈ Word 𝐴 → (𝑆 ∈ ℤ → (𝐺 = (𝐹 cyclShift 𝑆) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))∀𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐹))((𝐺𝑖) = (𝐺𝑗) → 𝑖 = 𝑗)))))
9410, 93sylbi 220 . . . . . . 7 (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1𝐴 → (𝐹 ∈ Word 𝐴 → (𝑆 ∈ ℤ → (𝐺 = (𝐹 cyclShift 𝑆) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))∀𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐹))((𝐺𝑖) = (𝐺𝑗) → 𝑖 = 𝑗)))))
95943imp1 1349 . . . . . 6 (((𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1𝐴𝐹 ∈ Word 𝐴𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝐺 = (𝐹 cyclShift 𝑆)) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))∀𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐹))((𝐺𝑖) = (𝐺𝑗) → 𝑖 = 𝑗))
969, 95jca 515 . . . . 5 (((𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1𝐴𝐹 ∈ Word 𝐴𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝐺 = (𝐹 cyclShift 𝑆)) → (𝐺:(0..^(♯‘𝐹))⟶𝐴 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))∀𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐹))((𝐺𝑖) = (𝐺𝑗) → 𝑖 = 𝑗)))
97963exp1 1354 . . . 4 (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1𝐴 → (𝐹 ∈ Word 𝐴 → (𝑆 ∈ ℤ → (𝐺 = (𝐹 cyclShift 𝑆) → (𝐺:(0..^(♯‘𝐹))⟶𝐴 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))∀𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐹))((𝐺𝑖) = (𝐺𝑗) → 𝑖 = 𝑗))))))
983, 97mpd 15 . . 3 (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1𝐴 → (𝑆 ∈ ℤ → (𝐺 = (𝐹 cyclShift 𝑆) → (𝐺:(0..^(♯‘𝐹))⟶𝐴 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))∀𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐹))((𝐺𝑖) = (𝐺𝑗) → 𝑖 = 𝑗)))))
99983imp 1113 . 2 ((𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1𝐴𝑆 ∈ ℤ ∧ 𝐺 = (𝐹 cyclShift 𝑆)) → (𝐺:(0..^(♯‘𝐹))⟶𝐴 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))∀𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐹))((𝐺𝑖) = (𝐺𝑗) → 𝑖 = 𝑗)))
100 dff13 7085 . 2 (𝐺:(0..^(♯‘𝐹))–1-1𝐴 ↔ (𝐺:(0..^(♯‘𝐹))⟶𝐴 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))∀𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐹))((𝐺𝑖) = (𝐺𝑗) → 𝑖 = 𝑗)))
10199, 100sylibr 237 1 ((𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1𝐴𝑆 ∈ ℤ ∧ 𝐺 = (𝐹 cyclShift 𝑆)) → 𝐺:(0..^(♯‘𝐹))–1-1𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1089   = wceq 1543  wcel 2111  wral 3062   class class class wbr 5067  wf 6393  1-1wf1 6394  cfv 6397  (class class class)co 7231  0cc0 10753   + caddc 10756   < clt 10891  cn 11854  0cn0 12114  cz 12200  ..^cfzo 13262   mod cmo 13466  chash 13920  Word cword 14093   cyclShift ccsh 14377
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2709  ax-rep 5193  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5272  ax-pr 5336  ax-un 7541  ax-cnex 10809  ax-resscn 10810  ax-1cn 10811  ax-icn 10812  ax-addcl 10813  ax-addrcl 10814  ax-mulcl 10815  ax-mulrcl 10816  ax-mulcom 10817  ax-addass 10818  ax-mulass 10819  ax-distr 10820  ax-i2m1 10821  ax-1ne0 10822  ax-1rid 10823  ax-rnegex 10824  ax-rrecex 10825  ax-cnre 10826  ax-pre-lttri 10827  ax-pre-lttrn 10828  ax-pre-ltadd 10829  ax-pre-mulgt0 10830  ax-pre-sup 10831
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2072  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3067  df-rex 3068  df-reu 3069  df-rmo 3070  df-rab 3071  df-v 3422  df-sbc 3709  df-csb 3826  df-dif 3883  df-un 3885  df-in 3887  df-ss 3897  df-pss 3899  df-nul 4252  df-if 4454  df-pw 4529  df-sn 4556  df-pr 4558  df-tp 4560  df-op 4562  df-uni 4834  df-int 4874  df-iun 4920  df-br 5068  df-opab 5130  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5469  df-eprel 5474  df-po 5482  df-so 5483  df-fr 5523  df-we 5525  df-xp 5571  df-rel 5572  df-cnv 5573  df-co 5574  df-dm 5575  df-rn 5576  df-res 5577  df-ima 5578  df-pred 6175  df-ord 6233  df-on 6234  df-lim 6235  df-suc 6236  df-iota 6355  df-fun 6399  df-fn 6400  df-f 6401  df-f1 6402  df-fo 6403  df-f1o 6404  df-fv 6405  df-riota 7188  df-ov 7234  df-oprab 7235  df-mpo 7236  df-om 7663  df-1st 7779  df-2nd 7780  df-wrecs 8067  df-recs 8128  df-rdg 8166  df-1o 8222  df-er 8411  df-en 8647  df-dom 8648  df-sdom 8649  df-fin 8650  df-sup 9082  df-inf 9083  df-card 9579  df-pnf 10893  df-mnf 10894  df-xr 10895  df-ltxr 10896  df-le 10897  df-sub 11088  df-neg 11089  df-div 11514  df-nn 11855  df-2 11917  df-n0 12115  df-z 12201  df-uz 12463  df-rp 12611  df-fz 13120  df-fzo 13263  df-fl 13391  df-mod 13467  df-hash 13921  df-word 14094  df-concat 14150  df-substr 14230  df-pfx 14260  df-csh 14378
This theorem is referenced by:  cshinj  14400  cshf1o  30978
  Copyright terms: Public domain W3C validator