Theorem cshinj 14765

Description: If a word is injectiv (regarded as function), the cyclically shifted word is also injective. (Contributed by AV, 14-Mar-2021.)

Assertion

Ref	Expression
cshinj	⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝐴 ∧ Fun ◡𝐹 ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (𝐺 = (𝐹 cyclShift 𝑆) → Fun ◡𝐺))

Proof of Theorem cshinj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wrdf 14473	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ Word 𝐴 → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶𝐴)
2		df-f1 6547	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→𝐴 ↔ (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶𝐴 ∧ Fun ◡𝐹))
3	2	biimpri 227	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶𝐴 ∧ Fun ◡𝐹) → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→𝐴)
4	1, 3	sylan 578	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝐴 ∧ Fun ◡𝐹) → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→𝐴)
5	4	3adant3 1130	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝐴 ∧ Fun ◡𝐹 ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→𝐴)
6	5	adantr 479	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝐴 ∧ Fun ◡𝐹 ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝐺 = (𝐹 cyclShift 𝑆)) → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→𝐴)
7		simpl3 1191	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝐴 ∧ Fun ◡𝐹 ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝐺 = (𝐹 cyclShift 𝑆)) → 𝑆 ∈ ℤ)
8		simpr 483	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝐴 ∧ Fun ◡𝐹 ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝐺 = (𝐹 cyclShift 𝑆)) → 𝐺 = (𝐹 cyclShift 𝑆))
9		cshf1 14764	. . . 4 ⊢ ((𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→𝐴 ∧ 𝑆 ∈ ℤ ∧ 𝐺 = (𝐹 cyclShift 𝑆)) → 𝐺:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→𝐴)
10	6, 7, 8, 9	syl3anc 1369	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝐴 ∧ Fun ◡𝐹 ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝐺 = (𝐹 cyclShift 𝑆)) → 𝐺:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→𝐴)
11	10	ex 411	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝐴 ∧ Fun ◡𝐹 ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (𝐺 = (𝐹 cyclShift 𝑆) → 𝐺:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→𝐴))
12		df-f1 6547	. . 3 ⊢ (𝐺:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→𝐴 ↔ (𝐺:(0..^(♯‘𝐹))⟶𝐴 ∧ Fun ◡𝐺))
13	12	simprbi 495	. 2 ⊢ (𝐺:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→𝐴 → Fun ◡𝐺)
14	11, 13	syl6 35	1 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝐴 ∧ Fun ◡𝐹 ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (𝐺 = (𝐹 cyclShift 𝑆) → Fun ◡𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  ^◡ccnv 5674  Fun wfun 6536  ⟶wf 6538  –1-1→wf1 6539  ‘cfv 6542  (class class class)co 7411  0cc0 11112  ℤcz 12562  ..^cfzo 13631  ♯chash 14294  Word cword 14468   cyclShift ccsh 14742

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-mod 13839  df-hash 14295  df-word 14469  df-concat 14525  df-substr 14595  df-pfx 14625  df-csh 14743

This theorem is referenced by:  crctcshtrl  29344  cycpmcl  32545