Theorem degenmgm2nfun 19189

Description: The operation of a second degenerate magma is not a function. (Contributed by AV, 21-Aug-2026.)

Hypothesis

Ref	Expression
degenmgm2.m	⊢ 𝑀 = {⟨(Base‘ndx), {∅, 1o}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩}⟩}

Assertion

Ref	Expression
degenmgm2nfun	⊢ ¬ Fun (+g‘𝑀)

Proof of Theorem degenmgm2nfun

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2oex 8526	. . . . . . 7 ⊢ 2o ∈ V
2		opeq2 4846	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 2o → ⟨⟨1o, 2o⟩, 𝑧⟩ = ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩)
3	2	eleq1d 2849	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 2o → (⟨⟨1o, 2o⟩, 𝑧⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩} ↔ ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩}))
4	3	anbi2d 642	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 2o → ((⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩} ∧ ⟨⟨1o, 2o⟩, 𝑧⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩}) ↔ (⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩} ∧ ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩})))
5		eqeq2 2775	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 2o → (1o = 𝑧 ↔ 1o = 2o))
6	5	necon3bbid 2996	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 2o → (¬ 1o = 𝑧 ↔ 1o ≠ 2o))
7	4, 6	anbi12d 644	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 2o → (((⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩} ∧ ⟨⟨1o, 2o⟩, 𝑧⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩}) ∧ ¬ 1o = 𝑧) ↔ ((⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩} ∧ ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩}) ∧ 1o ≠ 2o)))
8		opex 5439	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩ ∈ V
9	8	tpid2 4733	. . . . . . . . 9 ⊢ ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩}
10		opex 5439	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩ ∈ V
11	10	tpid3 4736	. . . . . . . . 9 ⊢ ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩}
12	9, 11	pm3.2i 476	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩} ∧ ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩})
13		1one2o 8693	. . . . . . . 8 ⊢ 1o ≠ 2o
14	12, 13	pm3.2i 476	. . . . . . 7 ⊢ ((⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩} ∧ ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩}) ∧ 1o ≠ 2o)
15	1, 7, 14	ceqsexv2d 3503	. . . . . 6 ⊢ ∃𝑧((⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩} ∧ ⟨⟨1o, 2o⟩, 𝑧⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩}) ∧ ¬ 1o = 𝑧)
16		opex 5439	. . . . . . 7 ⊢ ⟨1o, 2o⟩ ∈ V
17		1oex 8524	. . . . . . 7 ⊢ 1o ∈ V
18		opeq12 4847	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 = ⟨1o, 2o⟩ ∧ 𝑦 = 1o) → ⟨𝑥, 𝑦⟩ = ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩)
19	18	eleq1d 2849	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 = ⟨1o, 2o⟩ ∧ 𝑦 = 1o) → (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩} ↔ ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩}))
20		opeq1 4845	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = ⟨1o, 2o⟩ → ⟨𝑥, 𝑧⟩ = ⟨⟨1o, 2o⟩, 𝑧⟩)
21	20	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 = ⟨1o, 2o⟩ ∧ 𝑦 = 1o) → ⟨𝑥, 𝑧⟩ = ⟨⟨1o, 2o⟩, 𝑧⟩)
22	21	eleq1d 2849	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 = ⟨1o, 2o⟩ ∧ 𝑦 = 1o) → (⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩} ↔ ⟨⟨1o, 2o⟩, 𝑧⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩}))
23	19, 22	anbi12d 644	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 = ⟨1o, 2o⟩ ∧ 𝑦 = 1o) → ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩} ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩}) ↔ (⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩} ∧ ⟨⟨1o, 2o⟩, 𝑧⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩})))
24		eqeq1 2767	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 1o → (𝑦 = 𝑧 ↔ 1o = 𝑧))
25	24	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 = ⟨1o, 2o⟩ ∧ 𝑦 = 1o) → (𝑦 = 𝑧 ↔ 1o = 𝑧))
26	23, 25	imbi12d 347	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 = ⟨1o, 2o⟩ ∧ 𝑦 = 1o) → (((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩} ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩}) → 𝑦 = 𝑧) ↔ ((⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩} ∧ ⟨⟨1o, 2o⟩, 𝑧⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩}) → 1o = 𝑧)))
27	26	notbid 321	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 = ⟨1o, 2o⟩ ∧ 𝑦 = 1o) → (¬ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩} ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩}) → 𝑦 = 𝑧) ↔ ¬ ((⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩} ∧ ⟨⟨1o, 2o⟩, 𝑧⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩}) → 1o = 𝑧)))
28		pm4.61 410	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ ((⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩} ∧ ⟨⟨1o, 2o⟩, 𝑧⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩}) → 1o = 𝑧) ↔ ((⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩} ∧ ⟨⟨1o, 2o⟩, 𝑧⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩}) ∧ ¬ 1o = 𝑧))
29	27, 28	bitrdi 290	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 = ⟨1o, 2o⟩ ∧ 𝑦 = 1o) → (¬ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩} ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩}) → 𝑦 = 𝑧) ↔ ((⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩} ∧ ⟨⟨1o, 2o⟩, 𝑧⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩}) ∧ ¬ 1o = 𝑧)))
30	29	exbidv 1956	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 = ⟨1o, 2o⟩ ∧ 𝑦 = 1o) → (∃𝑧 ¬ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩} ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩}) → 𝑦 = 𝑧) ↔ ∃𝑧((⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩} ∧ ⟨⟨1o, 2o⟩, 𝑧⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩}) ∧ ¬ 1o = 𝑧)))
31	16, 17, 30	spc2ev 3565	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑧((⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩} ∧ ⟨⟨1o, 2o⟩, 𝑧⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩}) ∧ ¬ 1o = 𝑧) → ∃𝑥∃𝑦∃𝑧 ¬ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩} ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩}) → 𝑦 = 𝑧))
32	15, 31	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ∃𝑥∃𝑦∃𝑧 ¬ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩} ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩}) → 𝑦 = 𝑧)
33		exnal 1860	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑧 ¬ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩} ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩}) → 𝑦 = 𝑧) ↔ ¬ ∀𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩} ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩}) → 𝑦 = 𝑧))
34	33	bicomi 227	. . . . . 6 ⊢ (¬ ∀𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩} ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩}) → 𝑦 = 𝑧) ↔ ∃𝑧 ¬ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩} ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩}) → 𝑦 = 𝑧))
35	34	2exbii 1882	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥∃𝑦 ¬ ∀𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩} ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩}) → 𝑦 = 𝑧) ↔ ∃𝑥∃𝑦∃𝑧 ¬ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩} ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩}) → 𝑦 = 𝑧))
36	32, 35	mpbir 234	. . . 4 ⊢ ∃𝑥∃𝑦 ¬ ∀𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩} ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩}) → 𝑦 = 𝑧)
37		2nalexn 1861	. . . 4 ⊢ (¬ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩} ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩}) → 𝑦 = 𝑧) ↔ ∃𝑥∃𝑦 ¬ ∀𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩} ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩}) → 𝑦 = 𝑧))
38	36, 37	mpbir 234	. . 3 ⊢ ¬ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩} ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩}) → 𝑦 = 𝑧)
39	38	intnan 492	. 2 ⊢ ¬ (Rel {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩} ∧ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩} ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩}) → 𝑦 = 𝑧))
40		tpex 7794	. . . . . 6 ⊢ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩} ∈ V
41		degenmgm2.m	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 = {⟨(Base‘ndx), {∅, 1o}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩}⟩}
42	41	grpplusg 17507	. . . . . 6 ⊢ ({⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩} ∈ V → {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩} = (+g‘𝑀))
43	40, 42	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩} = (+g‘𝑀)
44	43	eqcomi 2772	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑀) = {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩}
45	44	funeqi 6588	. . 3 ⊢ (Fun (+g‘𝑀) ↔ Fun {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩})
46		dffun4 6579	. . 3 ⊢ (Fun {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩} ↔ (Rel {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩} ∧ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩} ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩}) → 𝑦 = 𝑧)))
47	45, 46	bitri 278	. 2 ⊢ (Fun (+g‘𝑀) ↔ (Rel {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩} ∧ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩} ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩}) → 𝑦 = 𝑧)))
48	39, 47	mtbir 326	1 ⊢ ¬ Fun (+g‘𝑀)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401  ∀wal 1568   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  Vcvv 3454  ∅c0 4281  {cpr 4590  {ctp 4592  ⟨cop 4840  Rel wrel 5663  Fun wfun 6560  ‘cfv 6566  1_oc1o 8507  2_oc2o 8508  ndxcnx 17415  Basecbs 17431  +_gcplusg 17472

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-2o 8515  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-2 12445  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-fz 13680  df-struct 17369  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-plusg 17486

This theorem is used by: (None)