Theorem degenmgm2nfun 19132

Description: The operation of a second degenerate magma is not a function. (Contributed by AV, 21-Aug-2026.)

Hypothesis

Ref	Expression
degenmgm2.m	⊢ 𝑀 = {⟨(Base‘ndx), {∅, 1o}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩}⟩}

Assertion

Ref	Expression
degenmgm2nfun	⊢ ¬ Fun (+g‘𝑀)

Proof of Theorem degenmgm2nfun

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2oex 8481	. . . . . . 7 ⊢ 2o ∈ V
2		opeq2 4834	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 2o → ⟨⟨1o, 2o⟩, 𝑧⟩ = ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩)
3	2	eleq1d 2846	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 2o → (⟨⟨1o, 2o⟩, 𝑧⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩} ↔ ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩}))
4	3	anbi2d 642	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 2o → ((⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩} ∧ ⟨⟨1o, 2o⟩, 𝑧⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩}) ↔ (⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩} ∧ ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩})))
5		eqeq2 2773	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 2o → (1o = 𝑧 ↔ 1o = 2o))
6	5	necon3bbid 2993	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 2o → (¬ 1o = 𝑧 ↔ 1o ≠ 2o))
7	4, 6	anbi12d 644	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 2o → (((⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩} ∧ ⟨⟨1o, 2o⟩, 𝑧⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩}) ∧ ¬ 1o = 𝑧) ↔ ((⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩} ∧ ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩}) ∧ 1o ≠ 2o)))
8		opex 5432	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩ ∈ V
9	8	tpid2 4731	. . . . . . . . 9 ⊢ ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩}
10		opex 5432	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩ ∈ V
11	10	tpid3 4734	. . . . . . . . 9 ⊢ ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩}
12	9, 11	pm3.2i 476	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩} ∧ ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩})
13		1one2o 8648	. . . . . . . 8 ⊢ 1o ≠ 2o
14	12, 13	pm3.2i 476	. . . . . . 7 ⊢ ((⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩} ∧ ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩}) ∧ 1o ≠ 2o)
15	1, 7, 14	ceqsexv2d 3500	. . . . . 6 ⊢ ∃𝑧((⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩} ∧ ⟨⟨1o, 2o⟩, 𝑧⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩}) ∧ ¬ 1o = 𝑧)
16		opex 5432	. . . . . . 7 ⊢ ⟨1o, 2o⟩ ∈ V
17		1oex 8479	. . . . . . 7 ⊢ 1o ∈ V
18		opeq12 4835	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 = ⟨1o, 2o⟩ ∧ 𝑦 = 1o) → ⟨𝑥, 𝑦⟩ = ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩)
19	18	eleq1d 2846	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 = ⟨1o, 2o⟩ ∧ 𝑦 = 1o) → (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩} ↔ ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩}))
20		opeq1 4833	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = ⟨1o, 2o⟩ → ⟨𝑥, 𝑧⟩ = ⟨⟨1o, 2o⟩, 𝑧⟩)
21	20	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 = ⟨1o, 2o⟩ ∧ 𝑦 = 1o) → ⟨𝑥, 𝑧⟩ = ⟨⟨1o, 2o⟩, 𝑧⟩)
22	21	eleq1d 2846	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 = ⟨1o, 2o⟩ ∧ 𝑦 = 1o) → (⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩} ↔ ⟨⟨1o, 2o⟩, 𝑧⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩}))
23	19, 22	anbi12d 644	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 = ⟨1o, 2o⟩ ∧ 𝑦 = 1o) → ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩} ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩}) ↔ (⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩} ∧ ⟨⟨1o, 2o⟩, 𝑧⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩})))
24		eqeq1 2765	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 1o → (𝑦 = 𝑧 ↔ 1o = 𝑧))
25	24	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 = ⟨1o, 2o⟩ ∧ 𝑦 = 1o) → (𝑦 = 𝑧 ↔ 1o = 𝑧))
26	23, 25	imbi12d 347	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 = ⟨1o, 2o⟩ ∧ 𝑦 = 1o) → (((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩} ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩}) → 𝑦 = 𝑧) ↔ ((⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩} ∧ ⟨⟨1o, 2o⟩, 𝑧⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩}) → 1o = 𝑧)))
27	26	notbid 321	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 = ⟨1o, 2o⟩ ∧ 𝑦 = 1o) → (¬ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩} ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩}) → 𝑦 = 𝑧) ↔ ¬ ((⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩} ∧ ⟨⟨1o, 2o⟩, 𝑧⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩}) → 1o = 𝑧)))
28		pm4.61 410	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ ((⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩} ∧ ⟨⟨1o, 2o⟩, 𝑧⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩}) → 1o = 𝑧) ↔ ((⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩} ∧ ⟨⟨1o, 2o⟩, 𝑧⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩}) ∧ ¬ 1o = 𝑧))
29	27, 28	bitrdi 290	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 = ⟨1o, 2o⟩ ∧ 𝑦 = 1o) → (¬ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩} ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩}) → 𝑦 = 𝑧) ↔ ((⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩} ∧ ⟨⟨1o, 2o⟩, 𝑧⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩}) ∧ ¬ 1o = 𝑧)))
30	29	exbidv 1954	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 = ⟨1o, 2o⟩ ∧ 𝑦 = 1o) → (∃𝑧 ¬ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩} ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩}) → 𝑦 = 𝑧) ↔ ∃𝑧((⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩} ∧ ⟨⟨1o, 2o⟩, 𝑧⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩}) ∧ ¬ 1o = 𝑧)))
31	16, 17, 30	spc2ev 3562	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑧((⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩} ∧ ⟨⟨1o, 2o⟩, 𝑧⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩}) ∧ ¬ 1o = 𝑧) → ∃𝑥∃𝑦∃𝑧 ¬ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩} ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩}) → 𝑦 = 𝑧))
32	15, 31	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ∃𝑥∃𝑦∃𝑧 ¬ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩} ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩}) → 𝑦 = 𝑧)
33		exnal 1860	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑧 ¬ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩} ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩}) → 𝑦 = 𝑧) ↔ ¬ ∀𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩} ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩}) → 𝑦 = 𝑧))
34	33	bicomi 227	. . . . . 6 ⊢ (¬ ∀𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩} ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩}) → 𝑦 = 𝑧) ↔ ∃𝑧 ¬ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩} ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩}) → 𝑦 = 𝑧))
35	34	2exbii 1882	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥∃𝑦 ¬ ∀𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩} ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩}) → 𝑦 = 𝑧) ↔ ∃𝑥∃𝑦∃𝑧 ¬ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩} ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩}) → 𝑦 = 𝑧))
36	32, 35	mpbir 234	. . . 4 ⊢ ∃𝑥∃𝑦 ¬ ∀𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩} ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩}) → 𝑦 = 𝑧)
37		2nalexn 1861	. . . 4 ⊢ (¬ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩} ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩}) → 𝑦 = 𝑧) ↔ ∃𝑥∃𝑦 ¬ ∀𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩} ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩}) → 𝑦 = 𝑧))
38	36, 37	mpbir 234	. . 3 ⊢ ¬ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩} ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩}) → 𝑦 = 𝑧)
39	38	intnan 492	. 2 ⊢ ¬ (Rel {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩} ∧ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩} ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩}) → 𝑦 = 𝑧))
40		tpex 7760	. . . . . 6 ⊢ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩} ∈ V
41		degenmgm2.m	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 = {⟨(Base‘ndx), {∅, 1o}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩}⟩}
42	41	grpplusg 17454	. . . . . 6 ⊢ ({⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩} ∈ V → {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩} = (+g‘𝑀))
43	40, 42	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩} = (+g‘𝑀)
44	43	eqcomi 2770	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑀) = {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩}
45	44	funeqi 6558	. . 3 ⊢ (Fun (+g‘𝑀) ↔ Fun {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩})
46		dffun4 6550	. . 3 ⊢ (Fun {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩} ↔ (Rel {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩} ∧ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩} ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩}) → 𝑦 = 𝑧)))
47	45, 46	bitri 278	. 2 ⊢ (Fun (+g‘𝑀) ↔ (Rel {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩} ∧ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩} ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩}) → 𝑦 = 𝑧)))
48	39, 47	mtbir 326	1 ⊢ ¬ Fun (+g‘𝑀)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401  ∀wal 1568   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  Vcvv 3451  ∅c0 4279  {cpr 4586  {ctp 4588  ⟨cop 4590  Rel wrel 5656  Fun wfun 6531  ‘cfv 6537  1_oc1o 8462  2_oc2o 8463  ndxcnx 17364  Basecbs 17380  +_gcplusg 17421

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8469  df-2o 8470  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-nn 12329  df-2 12398  df-n0 12600  df-z 12687  df-uz 12959  df-fz 13633  df-struct 17318  df-slot 17353  df-ndx 17365  df-base 17381  df-plusg 17434

This theorem is used by: (None)