Theorem degenmgm2nfun 19146

Description: The operation of a second degenerate magma is not a function. (Contributed by AV, 21-Aug-2026.)

Hypothesis

Ref	Expression
degenmgm2.m	⊢ 𝑀 = {⟨(Base‘ndx), {∅, 1o}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩}⟩}

Assertion

Ref	Expression
degenmgm2nfun	⊢ ¬ Fun (+g‘𝑀)

Proof of Theorem degenmgm2nfun

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2oex 8493	. . . . . . 7 ⊢ 2o ∈ V
2		opeq2 4840	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 2o → ⟨⟨1o, 2o⟩, 𝑧⟩ = ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩)
3	2	eleq1d 2845	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 2o → (⟨⟨1o, 2o⟩, 𝑧⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩} ↔ ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩}))
4	3	anbi2d 642	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 2o → ((⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩} ∧ ⟨⟨1o, 2o⟩, 𝑧⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩}) ↔ (⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩} ∧ ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩})))
5		eqeq2 2772	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 2o → (1o = 𝑧 ↔ 1o = 2o))
6	5	necon3bbid 2992	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 2o → (¬ 1o = 𝑧 ↔ 1o ≠ 2o))
7	4, 6	anbi12d 644	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 2o → (((⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩} ∧ ⟨⟨1o, 2o⟩, 𝑧⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩}) ∧ ¬ 1o = 𝑧) ↔ ((⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩} ∧ ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩}) ∧ 1o ≠ 2o)))
8		opex 5431	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩ ∈ V
9	8	tpid2 4727	. . . . . . . . 9 ⊢ ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩}
10		opex 5431	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩ ∈ V
11	10	tpid3 4730	. . . . . . . . 9 ⊢ ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩}
12	9, 11	pm3.2i 476	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩} ∧ ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩})
13		1one2o 8660	. . . . . . . 8 ⊢ 1o ≠ 2o
14	12, 13	pm3.2i 476	. . . . . . 7 ⊢ ((⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩} ∧ ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩}) ∧ 1o ≠ 2o)
15	1, 7, 14	ceqsexv2d 3499	. . . . . 6 ⊢ ∃𝑧((⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩} ∧ ⟨⟨1o, 2o⟩, 𝑧⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩}) ∧ ¬ 1o = 𝑧)
16		opex 5431	. . . . . . 7 ⊢ ⟨1o, 2o⟩ ∈ V
17		1oex 8491	. . . . . . 7 ⊢ 1o ∈ V
18		opeq12 4841	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 = ⟨1o, 2o⟩ ∧ 𝑦 = 1o) → ⟨𝑥, 𝑦⟩ = ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩)
19	18	eleq1d 2845	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 = ⟨1o, 2o⟩ ∧ 𝑦 = 1o) → (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩} ↔ ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩}))
20		opeq1 4839	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = ⟨1o, 2o⟩ → ⟨𝑥, 𝑧⟩ = ⟨⟨1o, 2o⟩, 𝑧⟩)
21	20	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 = ⟨1o, 2o⟩ ∧ 𝑦 = 1o) → ⟨𝑥, 𝑧⟩ = ⟨⟨1o, 2o⟩, 𝑧⟩)
22	21	eleq1d 2845	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 = ⟨1o, 2o⟩ ∧ 𝑦 = 1o) → (⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩} ↔ ⟨⟨1o, 2o⟩, 𝑧⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩}))
23	19, 22	anbi12d 644	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 = ⟨1o, 2o⟩ ∧ 𝑦 = 1o) → ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩} ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩}) ↔ (⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩} ∧ ⟨⟨1o, 2o⟩, 𝑧⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩})))
24		eqeq1 2764	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 1o → (𝑦 = 𝑧 ↔ 1o = 𝑧))
25	24	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 = ⟨1o, 2o⟩ ∧ 𝑦 = 1o) → (𝑦 = 𝑧 ↔ 1o = 𝑧))
26	23, 25	imbi12d 347	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 = ⟨1o, 2o⟩ ∧ 𝑦 = 1o) → (((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩} ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩}) → 𝑦 = 𝑧) ↔ ((⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩} ∧ ⟨⟨1o, 2o⟩, 𝑧⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩}) → 1o = 𝑧)))
27	26	notbid 321	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 = ⟨1o, 2o⟩ ∧ 𝑦 = 1o) → (¬ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩} ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩}) → 𝑦 = 𝑧) ↔ ¬ ((⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩} ∧ ⟨⟨1o, 2o⟩, 𝑧⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩}) → 1o = 𝑧)))
28		pm4.61 410	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ ((⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩} ∧ ⟨⟨1o, 2o⟩, 𝑧⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩}) → 1o = 𝑧) ↔ ((⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩} ∧ ⟨⟨1o, 2o⟩, 𝑧⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩}) ∧ ¬ 1o = 𝑧))
29	27, 28	bitrdi 290	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 = ⟨1o, 2o⟩ ∧ 𝑦 = 1o) → (¬ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩} ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩}) → 𝑦 = 𝑧) ↔ ((⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩} ∧ ⟨⟨1o, 2o⟩, 𝑧⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩}) ∧ ¬ 1o = 𝑧)))
30	29	exbidv 1953	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 = ⟨1o, 2o⟩ ∧ 𝑦 = 1o) → (∃𝑧 ¬ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩} ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩}) → 𝑦 = 𝑧) ↔ ∃𝑧((⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩} ∧ ⟨⟨1o, 2o⟩, 𝑧⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩}) ∧ ¬ 1o = 𝑧)))
31	16, 17, 30	spc2ev 3561	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑧((⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩} ∧ ⟨⟨1o, 2o⟩, 𝑧⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩}) ∧ ¬ 1o = 𝑧) → ∃𝑥∃𝑦∃𝑧 ¬ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩} ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩}) → 𝑦 = 𝑧))
32	15, 31	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ∃𝑥∃𝑦∃𝑧 ¬ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩} ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩}) → 𝑦 = 𝑧)
33		exnal 1859	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑧 ¬ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩} ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩}) → 𝑦 = 𝑧) ↔ ¬ ∀𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩} ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩}) → 𝑦 = 𝑧))
34	33	bicomi 227	. . . . . 6 ⊢ (¬ ∀𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩} ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩}) → 𝑦 = 𝑧) ↔ ∃𝑧 ¬ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩} ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩}) → 𝑦 = 𝑧))
35	34	2exbii 1881	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥∃𝑦 ¬ ∀𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩} ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩}) → 𝑦 = 𝑧) ↔ ∃𝑥∃𝑦∃𝑧 ¬ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩} ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩}) → 𝑦 = 𝑧))
36	32, 35	mpbir 234	. . . 4 ⊢ ∃𝑥∃𝑦 ¬ ∀𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩} ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩}) → 𝑦 = 𝑧)
37		2nalexn 1860	. . . 4 ⊢ (¬ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩} ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩}) → 𝑦 = 𝑧) ↔ ∃𝑥∃𝑦 ¬ ∀𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩} ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩}) → 𝑦 = 𝑧))
38	36, 37	mpbir 234	. . 3 ⊢ ¬ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩} ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩}) → 𝑦 = 𝑧)
39	38	intnan 492	. 2 ⊢ ¬ (Rel {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩} ∧ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩} ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩}) → 𝑦 = 𝑧))
40		tpex 7764	. . . . . 6 ⊢ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩} ∈ V
41		degenmgm2.m	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 = {⟨(Base‘ndx), {∅, 1o}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩}⟩}
42	41	grpplusg 17468	. . . . . 6 ⊢ ({⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩} ∈ V → {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩} = (+g‘𝑀))
43	40, 42	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩} = (+g‘𝑀)
44	43	eqcomi 2769	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑀) = {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩}
45	44	funeqi 6563	. . 3 ⊢ (Fun (+g‘𝑀) ↔ Fun {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩})
46		dffun4 6554	. . 3 ⊢ (Fun {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩} ↔ (Rel {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩} ∧ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩} ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩}) → 𝑦 = 𝑧)))
47	45, 46	bitri 278	. 2 ⊢ (Fun (+g‘𝑀) ↔ (Rel {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩} ∧ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩} ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 2o⟩}) → 𝑦 = 𝑧)))
48	39, 47	mtbir 326	1 ⊢ ¬ Fun (+g‘𝑀)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401  ∀wal 1567   = wceq 1569  ∃wex 1811   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  Vcvv 3450  ∅c0 4277  {cpr 4586  {ctp 4588  ⟨cop 4834  Rel wrel 5655  Fun wfun 6535  ‘cfv 6541  1_oc1o 8474  2_oc2o 8475  ndxcnx 17378  Basecbs 17394  +_gcplusg 17435

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7753  ax-cnex 11261  ax-resscn 11262  ax-1cn 11263  ax-icn 11264  ax-addcl 11265  ax-addrcl 11266  ax-mulcl 11267  ax-mulrcl 11268  ax-mulcom 11269  ax-addass 11270  ax-mulass 11271  ax-distr 11272  ax-i2m1 11273  ax-1ne0 11274  ax-1rid 11275  ax-rnegex 11276  ax-rrecex 11277  ax-cnre 11278  ax-pre-lttri 11279  ax-pre-lttrn 11280  ax-pre-ltadd 11281  ax-pre-mulgt0 11282

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7379  df-ov 7425  df-oprab 7426  df-mpo 7427  df-om 7880  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8384  df-rdg 8423  df-1o 8481  df-2o 8482  df-er 8722  df-en 8979  df-dom 8980  df-sdom 8981  df-fin 8982  df-pnf 11350  df-mnf 11351  df-xr 11352  df-ltxr 11353  df-le 11354  df-sub 11548  df-neg 11549  df-nn 12341  df-2 12410  df-n0 12612  df-z 12699  df-uz 12971  df-fz 13645  df-struct 17332  df-slot 17367  df-ndx 17379  df-base 17395  df-plusg 17448

This theorem is used by: (None)