Theorem dfinito2 17918

Description: An initial object is a terminal object in the opposite category. An alternate definition of df-inito 17899 depending on df-termo 17900. (Contributed by Zhi Wang, 29-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
dfinito2	⊢ InitO = (𝑐 ∈ Cat ↦ (TermO‘(oppCat‘𝑐)))

Proof of Theorem dfinito2

Dummy variables 𝑎 𝑏 ℎ are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-inito 17899	. 2 ⊢ InitO = (𝑐 ∈ Cat ↦ {𝑎 ∈ (Base‘𝑐) ∣ ∀𝑏 ∈ (Base‘𝑐)∃!ℎ ℎ ∈ (𝑎(Hom ‘𝑐)𝑏)})
2		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ (oppCat‘𝑐) = (oppCat‘𝑐)
3	2	oppccat 17636	. . . . 5 ⊢ (𝑐 ∈ Cat → (oppCat‘𝑐) ∈ Cat)
4		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑐) = (Base‘𝑐)
5	2, 4	oppcbas 17632	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑐) = (Base‘(oppCat‘𝑐))
6		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (Hom ‘(oppCat‘𝑐)) = (Hom ‘(oppCat‘𝑐))
7	3, 5, 6	termoval 17909	. . . 4 ⊢ (𝑐 ∈ Cat → (TermO‘(oppCat‘𝑐)) = {𝑎 ∈ (Base‘𝑐) ∣ ∀𝑏 ∈ (Base‘𝑐)∃!ℎ ℎ ∈ (𝑏(Hom ‘(oppCat‘𝑐))𝑎)})
8		eqid 2733	. . . . . . . . 9 ⊢ (Hom ‘𝑐) = (Hom ‘𝑐)
9	8, 2	oppchom 17629	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏(Hom ‘(oppCat‘𝑐))𝑎) = (𝑎(Hom ‘𝑐)𝑏)
10	9	eleq2i 2825	. . . . . . 7 ⊢ (ℎ ∈ (𝑏(Hom ‘(oppCat‘𝑐))𝑎) ↔ ℎ ∈ (𝑎(Hom ‘𝑐)𝑏))
11	10	eubii 2582	. . . . . 6 ⊢ (∃!ℎ ℎ ∈ (𝑏(Hom ‘(oppCat‘𝑐))𝑎) ↔ ∃!ℎ ℎ ∈ (𝑎(Hom ‘𝑐)𝑏))
12	11	ralbii 3079	. . . . 5 ⊢ (∀𝑏 ∈ (Base‘𝑐)∃!ℎ ℎ ∈ (𝑏(Hom ‘(oppCat‘𝑐))𝑎) ↔ ∀𝑏 ∈ (Base‘𝑐)∃!ℎ ℎ ∈ (𝑎(Hom ‘𝑐)𝑏))
13	12	rabbii 3401	. . . 4 ⊢ {𝑎 ∈ (Base‘𝑐) ∣ ∀𝑏 ∈ (Base‘𝑐)∃!ℎ ℎ ∈ (𝑏(Hom ‘(oppCat‘𝑐))𝑎)} = {𝑎 ∈ (Base‘𝑐) ∣ ∀𝑏 ∈ (Base‘𝑐)∃!ℎ ℎ ∈ (𝑎(Hom ‘𝑐)𝑏)}
14	7, 13	eqtrdi 2784	. . 3 ⊢ (𝑐 ∈ Cat → (TermO‘(oppCat‘𝑐)) = {𝑎 ∈ (Base‘𝑐) ∣ ∀𝑏 ∈ (Base‘𝑐)∃!ℎ ℎ ∈ (𝑎(Hom ‘𝑐)𝑏)})
15	14	mpteq2ia 5190	. 2 ⊢ (𝑐 ∈ Cat ↦ (TermO‘(oppCat‘𝑐))) = (𝑐 ∈ Cat ↦ {𝑎 ∈ (Base‘𝑐) ∣ ∀𝑏 ∈ (Base‘𝑐)∃!ℎ ℎ ∈ (𝑎(Hom ‘𝑐)𝑏)})
16	1, 15	eqtr4i 2759	1 ⊢ InitO = (𝑐 ∈ Cat ↦ (TermO‘(oppCat‘𝑐)))

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∃!weu 2565  ∀wral 3048  {crab 3396   ↦ cmpt 5176  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355  Basecbs 17127  Hom chom 17179  Catccat 17578  oppCatcoppc 17625  InitOcinito 17896  TermOctermo 17897

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11073  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093  ax-pre-mulgt0 11094

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-tpos 8165  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-er 8631  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-sub 11357  df-neg 11358  df-nn 12137  df-2 12199  df-3 12200  df-4 12201  df-5 12202  df-6 12203  df-7 12204  df-8 12205  df-9 12206  df-n0 12393  df-z 12480  df-dec 12599  df-sets 17082  df-slot 17100  df-ndx 17112  df-base 17128  df-hom 17192  df-cco 17193  df-cat 17582  df-cid 17583  df-oppc 17626  df-inito 17899  df-termo 17900

This theorem is referenced by:  dfinito3  17920  oppcinito  49396