Theorem dfinito2 17961

Description: An initial object is a terminal object in the opposite category. An alternate definition of df-inito 17942 depending on df-termo 17943. (Contributed by Zhi Wang, 29-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
dfinito2	⊢ InitO = (𝑐 ∈ Cat ↦ (TermO‘(oppCat‘𝑐)))

Proof of Theorem dfinito2

Dummy variables 𝑎 𝑏 ℎ are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-inito 17942	. 2 ⊢ InitO = (𝑐 ∈ Cat ↦ {𝑎 ∈ (Base‘𝑐) ∣ ∀𝑏 ∈ (Base‘𝑐)∃!ℎ ℎ ∈ (𝑎(Hom ‘𝑐)𝑏)})
2		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (oppCat‘𝑐) = (oppCat‘𝑐)
3	2	oppccat 17679	. . . . 5 ⊢ (𝑐 ∈ Cat → (oppCat‘𝑐) ∈ Cat)
4		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑐) = (Base‘𝑐)
5	2, 4	oppcbas 17675	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑐) = (Base‘(oppCat‘𝑐))
6		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Hom ‘(oppCat‘𝑐)) = (Hom ‘(oppCat‘𝑐))
7	3, 5, 6	termoval 17952	. . . 4 ⊢ (𝑐 ∈ Cat → (TermO‘(oppCat‘𝑐)) = {𝑎 ∈ (Base‘𝑐) ∣ ∀𝑏 ∈ (Base‘𝑐)∃!ℎ ℎ ∈ (𝑏(Hom ‘(oppCat‘𝑐))𝑎)})
8		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (Hom ‘𝑐) = (Hom ‘𝑐)
9	8, 2	oppchom 17672	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏(Hom ‘(oppCat‘𝑐))𝑎) = (𝑎(Hom ‘𝑐)𝑏)
10	9	eleq2i 2829	. . . . . . 7 ⊢ (ℎ ∈ (𝑏(Hom ‘(oppCat‘𝑐))𝑎) ↔ ℎ ∈ (𝑎(Hom ‘𝑐)𝑏))
11	10	eubii 2586	. . . . . 6 ⊢ (∃!ℎ ℎ ∈ (𝑏(Hom ‘(oppCat‘𝑐))𝑎) ↔ ∃!ℎ ℎ ∈ (𝑎(Hom ‘𝑐)𝑏))
12	11	ralbii 3084	. . . . 5 ⊢ (∀𝑏 ∈ (Base‘𝑐)∃!ℎ ℎ ∈ (𝑏(Hom ‘(oppCat‘𝑐))𝑎) ↔ ∀𝑏 ∈ (Base‘𝑐)∃!ℎ ℎ ∈ (𝑎(Hom ‘𝑐)𝑏))
13	12	rabbii 3395	. . . 4 ⊢ {𝑎 ∈ (Base‘𝑐) ∣ ∀𝑏 ∈ (Base‘𝑐)∃!ℎ ℎ ∈ (𝑏(Hom ‘(oppCat‘𝑐))𝑎)} = {𝑎 ∈ (Base‘𝑐) ∣ ∀𝑏 ∈ (Base‘𝑐)∃!ℎ ℎ ∈ (𝑎(Hom ‘𝑐)𝑏)}
14	7, 13	eqtrdi 2788	. . 3 ⊢ (𝑐 ∈ Cat → (TermO‘(oppCat‘𝑐)) = {𝑎 ∈ (Base‘𝑐) ∣ ∀𝑏 ∈ (Base‘𝑐)∃!ℎ ℎ ∈ (𝑎(Hom ‘𝑐)𝑏)})
15	14	mpteq2ia 5181	. 2 ⊢ (𝑐 ∈ Cat ↦ (TermO‘(oppCat‘𝑐))) = (𝑐 ∈ Cat ↦ {𝑎 ∈ (Base‘𝑐) ∣ ∀𝑏 ∈ (Base‘𝑐)∃!ℎ ℎ ∈ (𝑎(Hom ‘𝑐)𝑏)})
16	1, 15	eqtr4i 2763	1 ⊢ InitO = (𝑐 ∈ Cat ↦ (TermO‘(oppCat‘𝑐)))

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃!weu 2569  ∀wral 3052  {crab 3390   ↦ cmpt 5167  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  Basecbs 17170  Hom chom 17222  Catccat 17621  oppCatcoppc 17668  InitOcinito 17939  TermOctermo 17940

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-tpos 8169  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-hom 17235  df-cco 17236  df-cat 17625  df-cid 17626  df-oppc 17669  df-inito 17942  df-termo 17943

This theorem is referenced by:  dfinito3  17963  oppcinito  49722