Theorem dfinito2 17718

Description: An initial object is a terminal object in the opposite category. An alternate definition of df-inito 17699 depending on df-termo 17700. (Contributed by Zhi Wang, 29-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
dfinito2	⊢ InitO = (𝑐 ∈ Cat ↦ (TermO‘(oppCat‘𝑐)))

Proof of Theorem dfinito2

Dummy variables 𝑎 𝑏 ℎ are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-inito 17699	. 2 ⊢ InitO = (𝑐 ∈ Cat ↦ {𝑎 ∈ (Base‘𝑐) ∣ ∀𝑏 ∈ (Base‘𝑐)∃!ℎ ℎ ∈ (𝑎(Hom ‘𝑐)𝑏)})
2		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (oppCat‘𝑐) = (oppCat‘𝑐)
3	2	oppccat 17433	. . . . 5 ⊢ (𝑐 ∈ Cat → (oppCat‘𝑐) ∈ Cat)
4		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑐) = (Base‘𝑐)
5	2, 4	oppcbas 17428	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑐) = (Base‘(oppCat‘𝑐))
6		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (Hom ‘(oppCat‘𝑐)) = (Hom ‘(oppCat‘𝑐))
7	3, 5, 6	termoval 17709	. . . 4 ⊢ (𝑐 ∈ Cat → (TermO‘(oppCat‘𝑐)) = {𝑎 ∈ (Base‘𝑐) ∣ ∀𝑏 ∈ (Base‘𝑐)∃!ℎ ℎ ∈ (𝑏(Hom ‘(oppCat‘𝑐))𝑎)})
8		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (Hom ‘𝑐) = (Hom ‘𝑐)
9	8, 2	oppchom 17425	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏(Hom ‘(oppCat‘𝑐))𝑎) = (𝑎(Hom ‘𝑐)𝑏)
10	9	eleq2i 2830	. . . . . . 7 ⊢ (ℎ ∈ (𝑏(Hom ‘(oppCat‘𝑐))𝑎) ↔ ℎ ∈ (𝑎(Hom ‘𝑐)𝑏))
11	10	eubii 2585	. . . . . 6 ⊢ (∃!ℎ ℎ ∈ (𝑏(Hom ‘(oppCat‘𝑐))𝑎) ↔ ∃!ℎ ℎ ∈ (𝑎(Hom ‘𝑐)𝑏))
12	11	ralbii 3092	. . . . 5 ⊢ (∀𝑏 ∈ (Base‘𝑐)∃!ℎ ℎ ∈ (𝑏(Hom ‘(oppCat‘𝑐))𝑎) ↔ ∀𝑏 ∈ (Base‘𝑐)∃!ℎ ℎ ∈ (𝑎(Hom ‘𝑐)𝑏))
13	12	rabbii 3408	. . . 4 ⊢ {𝑎 ∈ (Base‘𝑐) ∣ ∀𝑏 ∈ (Base‘𝑐)∃!ℎ ℎ ∈ (𝑏(Hom ‘(oppCat‘𝑐))𝑎)} = {𝑎 ∈ (Base‘𝑐) ∣ ∀𝑏 ∈ (Base‘𝑐)∃!ℎ ℎ ∈ (𝑎(Hom ‘𝑐)𝑏)}
14	7, 13	eqtrdi 2794	. . 3 ⊢ (𝑐 ∈ Cat → (TermO‘(oppCat‘𝑐)) = {𝑎 ∈ (Base‘𝑐) ∣ ∀𝑏 ∈ (Base‘𝑐)∃!ℎ ℎ ∈ (𝑎(Hom ‘𝑐)𝑏)})
15	14	mpteq2ia 5177	. 2 ⊢ (𝑐 ∈ Cat ↦ (TermO‘(oppCat‘𝑐))) = (𝑐 ∈ Cat ↦ {𝑎 ∈ (Base‘𝑐) ∣ ∀𝑏 ∈ (Base‘𝑐)∃!ℎ ℎ ∈ (𝑎(Hom ‘𝑐)𝑏)})
16	1, 15	eqtr4i 2769	1 ⊢ InitO = (𝑐 ∈ Cat ↦ (TermO‘(oppCat‘𝑐)))

Syntax hints:   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∃!weu 2568  ∀wral 3064  {crab 3068   ↦ cmpt 5157  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  Basecbs 16912  Hom chom 16973  Catccat 17373  oppCatcoppc 17420  InitOcinito 17696  TermOctermo 17697

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-tpos 8042  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-hom 16986  df-cco 16987  df-cat 17377  df-cid 17378  df-oppc 17421  df-inito 17699  df-termo 17700

This theorem is referenced by:  dfinito3  17720