Theorem diag2f1lem 50237

Description: Lemma for diag2f1 50238. The converse is trivial (fveq2 6879). (Contributed by Zhi Wang, 21-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
diag2f1.l	⊢ 𝐿 = (𝐶Δfunc𝐷)
diag2f1.a	⊢ 𝐴 = (Base‘𝐶)
diag2f1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐷)
diag2f1.h	⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
diag2f1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
diag2f1.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
diag2f1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
diag2f1.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐴)
diag2f1.0	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ ∅)
diag2f1lem.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌))
diag2f1lem.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝑋𝐻𝑌))

Assertion

Ref	Expression
diag2f1lem	⊢ (𝜑 → (((𝑋(2nd ‘𝐿)𝑌)‘𝐹) = ((𝑋(2nd ‘𝐿)𝑌)‘𝐺) → 𝐹 = 𝐺))

Proof of Theorem diag2f1lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		diag2f1.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (𝐶Δfunc𝐷)
2		diag2f1.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Base‘𝐶)
3		diag2f1.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐷)
4		diag2f1.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
5		diag2f1.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
6		diag2f1.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
7		diag2f1.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
8		diag2f1.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐴)
9		diag2f1lem.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌))
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	diag2 18336	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑋(2nd ‘𝐿)𝑌)‘𝐹) = (𝐵 × {𝐹}))
11		diag2f1lem.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝑋𝐻𝑌))
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11	diag2 18336	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑋(2nd ‘𝐿)𝑌)‘𝐺) = (𝐵 × {𝐺}))
13	10, 12	eqeq12d 2776	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑋(2nd ‘𝐿)𝑌)‘𝐹) = ((𝑋(2nd ‘𝐿)𝑌)‘𝐺) ↔ (𝐵 × {𝐹}) = (𝐵 × {𝐺})))
14		diag2f1.0	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ ∅)
15		xpcan 6169	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ → ((𝐵 × {𝐹}) = (𝐵 × {𝐺}) ↔ {𝐹} = {𝐺}))
16	14, 15	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 × {𝐹}) = (𝐵 × {𝐺}) ↔ {𝐹} = {𝐺}))
17	13, 16	bitrd 282	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑋(2nd ‘𝐿)𝑌)‘𝐹) = ((𝑋(2nd ‘𝐿)𝑌)‘𝐺) ↔ {𝐹} = {𝐺}))
18		sneqrg 4799	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) → ({𝐹} = {𝐺} → 𝐹 = 𝐺))
19	9, 18	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → ({𝐹} = {𝐺} → 𝐹 = 𝐺))
20	17, 19	sylbid 243	1 ⊢ (𝜑 → (((𝑋(2nd ‘𝐿)𝑌)‘𝐹) = ((𝑋(2nd ‘𝐿)𝑌)‘𝐺) → 𝐹 = 𝐺))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ∅c0 4279  {csn 4584   × cxp 5653  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  2^nd c2nd 7986  Basecbs 17304  Hom chom 17356  Catccat 17755  Δ_funccdiag 18303

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8458  df-er 8699  df-map 8831  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12532  df-z 12619  df-dec 12740  df-uz 12891  df-fz 13565  df-struct 17242  df-slot 17277  df-ndx 17289  df-base 17305  df-hom 17369  df-cco 17370  df-cat 17759  df-cid 17760  df-func 17950  df-xpc 18263  df-1stf 18264  df-curf 18305  df-diag 18307

This theorem is used by:  diag2f1  50238