Theorem diag2f1lem 49419

Description: Lemma for diag2f1 49420. The converse is trivial (fveq2 6822). (Contributed by Zhi Wang, 21-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
diag2f1.l	⊢ 𝐿 = (𝐶Δfunc𝐷)
diag2f1.a	⊢ 𝐴 = (Base‘𝐶)
diag2f1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐷)
diag2f1.h	⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
diag2f1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
diag2f1.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
diag2f1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
diag2f1.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐴)
diag2f1.0	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ ∅)
diag2f1lem.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌))
diag2f1lem.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝑋𝐻𝑌))

Assertion

Ref	Expression
diag2f1lem	⊢ (𝜑 → (((𝑋(2nd ‘𝐿)𝑌)‘𝐹) = ((𝑋(2nd ‘𝐿)𝑌)‘𝐺) → 𝐹 = 𝐺))

Proof of Theorem diag2f1lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		diag2f1.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (𝐶Δfunc𝐷)
2		diag2f1.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Base‘𝐶)
3		diag2f1.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐷)
4		diag2f1.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
5		diag2f1.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
6		diag2f1.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
7		diag2f1.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
8		diag2f1.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐴)
9		diag2f1lem.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌))
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	diag2 18151	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑋(2nd ‘𝐿)𝑌)‘𝐹) = (𝐵 × {𝐹}))
11		diag2f1lem.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝑋𝐻𝑌))
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11	diag2 18151	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑋(2nd ‘𝐿)𝑌)‘𝐺) = (𝐵 × {𝐺}))
13	10, 12	eqeq12d 2747	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑋(2nd ‘𝐿)𝑌)‘𝐹) = ((𝑋(2nd ‘𝐿)𝑌)‘𝐺) ↔ (𝐵 × {𝐹}) = (𝐵 × {𝐺})))
14		diag2f1.0	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ ∅)
15		xpcan 6123	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ → ((𝐵 × {𝐹}) = (𝐵 × {𝐺}) ↔ {𝐹} = {𝐺}))
16	14, 15	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 × {𝐹}) = (𝐵 × {𝐺}) ↔ {𝐹} = {𝐺}))
17	13, 16	bitrd 279	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑋(2nd ‘𝐿)𝑌)‘𝐹) = ((𝑋(2nd ‘𝐿)𝑌)‘𝐺) ↔ {𝐹} = {𝐺}))
18		sneqrg 4788	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) → ({𝐹} = {𝐺} → 𝐹 = 𝐺))
19	9, 18	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ({𝐹} = {𝐺} → 𝐹 = 𝐺))
20	17, 19	sylbid 240	1 ⊢ (𝜑 → (((𝑋(2nd ‘𝐿)𝑌)‘𝐹) = ((𝑋(2nd ‘𝐿)𝑌)‘𝐺) → 𝐹 = 𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ∅c0 4280  {csn 4573   × cxp 5612  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  2^nd c2nd 7920  Basecbs 17120  Hom chom 17172  Catccat 17570  Δ_funccdiag 18118

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-map 8752  df-ixp 8822  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-7 12193  df-8 12194  df-9 12195  df-n0 12382  df-z 12469  df-dec 12589  df-uz 12733  df-fz 13408  df-struct 17058  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-hom 17185  df-cco 17186  df-cat 17574  df-cid 17575  df-func 17765  df-xpc 18078  df-1stf 18079  df-curf 18120  df-diag 18122

This theorem is referenced by:  diag2f1  49420