Theorem diag2f1lem 49964

Description: Lemma for diag2f1 49965. The converse is trivial (fveq2 6879). (Contributed by Zhi Wang, 21-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
diag2f1.l	⊢ 𝐿 = (𝐶Δfunc𝐷)
diag2f1.a	⊢ 𝐴 = (Base‘𝐶)
diag2f1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐷)
diag2f1.h	⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
diag2f1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
diag2f1.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
diag2f1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
diag2f1.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐴)
diag2f1.0	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ ∅)
diag2f1lem.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌))
diag2f1lem.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝑋𝐻𝑌))

Assertion

Ref	Expression
diag2f1lem	⊢ (𝜑 → (((𝑋(2nd ‘𝐿)𝑌)‘𝐹) = ((𝑋(2nd ‘𝐿)𝑌)‘𝐺) → 𝐹 = 𝐺))

Proof of Theorem diag2f1lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		diag2f1.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (𝐶Δfunc𝐷)
2		diag2f1.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Base‘𝐶)
3		diag2f1.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐷)
4		diag2f1.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
5		diag2f1.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
6		diag2f1.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
7		diag2f1.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
8		diag2f1.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐴)
9		diag2f1lem.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌))
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	diag2 18297	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑋(2nd ‘𝐿)𝑌)‘𝐹) = (𝐵 × {𝐹}))
11		diag2f1lem.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝑋𝐻𝑌))
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11	diag2 18297	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑋(2nd ‘𝐿)𝑌)‘𝐺) = (𝐵 × {𝐺}))
13	10, 12	eqeq12d 2785	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑋(2nd ‘𝐿)𝑌)‘𝐹) = ((𝑋(2nd ‘𝐿)𝑌)‘𝐺) ↔ (𝐵 × {𝐹}) = (𝐵 × {𝐺})))
14		diag2f1.0	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ ∅)
15		xpcan 6173	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ → ((𝐵 × {𝐹}) = (𝐵 × {𝐺}) ↔ {𝐹} = {𝐺}))
16	14, 15	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 × {𝐹}) = (𝐵 × {𝐺}) ↔ {𝐹} = {𝐺}))
17	13, 16	bitrd 282	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑋(2nd ‘𝐿)𝑌)‘𝐹) = ((𝑋(2nd ‘𝐿)𝑌)‘𝐺) ↔ {𝐹} = {𝐺}))
18		sneqrg 4805	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) → ({𝐹} = {𝐺} → 𝐹 = 𝐺))
19	9, 18	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → ({𝐹} = {𝐺} → 𝐹 = 𝐺))
20	17, 19	sylbid 243	1 ⊢ (𝜑 → (((𝑋(2nd ‘𝐿)𝑌)‘𝐹) = ((𝑋(2nd ‘𝐿)𝑌)‘𝐺) → 𝐹 = 𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  ∅c0 4294  {csn 4591   × cxp 5657  ‘cfv 6533  (class class class)co 7408  2^nd c2nd 7981  Basecbs 17265  Hom chom 17317  Catccat 17716  Δ_funccdiag 18264

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-map 8822  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-nn 12230  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12501  df-z 12588  df-dec 12708  df-uz 12859  df-fz 13532  df-struct 17203  df-slot 17238  df-ndx 17250  df-base 17266  df-hom 17330  df-cco 17331  df-cat 17720  df-cid 17721  df-func 17911  df-xpc 18224  df-1stf 18225  df-curf 18266  df-diag 18268

This theorem is referenced by:  diag2f1  49965