Theorem diagcl 18166

Description: The diagonal functor is a functor from the base category to the functor category. Another way of saying this is that the constant functor (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ 𝑋) is a construction that is natural in 𝑋 (and covariant). (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2017.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
diagval.l	⊢ 𝐿 = (𝐶Δfunc𝐷)
diagval.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
diagval.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
diagcl.q	⊢ 𝑄 = (𝐷 FuncCat 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
diagcl	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (𝐶 Func 𝑄))

Proof of Theorem diagcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		diagval.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (𝐶Δfunc𝐷)
2		diagval.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
3		diagval.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
4	1, 2, 3	diagval 18165	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐿 = (⟨𝐶, 𝐷⟩ curryF (𝐶 1stF 𝐷)))
5		eqid 2729	. . 3 ⊢ (⟨𝐶, 𝐷⟩ curryF (𝐶 1stF 𝐷)) = (⟨𝐶, 𝐷⟩ curryF (𝐶 1stF 𝐷))
6		diagcl.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝐷 FuncCat 𝐶)
7		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (𝐶 ×c 𝐷) = (𝐶 ×c 𝐷)
8		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (𝐶 1stF 𝐷) = (𝐶 1stF 𝐷)
9	7, 2, 3, 8	1stfcl 18122	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 1stF 𝐷) ∈ ((𝐶 ×c 𝐷) Func 𝐶))
10	5, 6, 2, 3, 9	curfcl 18157	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨𝐶, 𝐷⟩ curryF (𝐶 1stF 𝐷)) ∈ (𝐶 Func 𝑄))
11	4, 10	eqeltrd 2828	1 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (𝐶 Func 𝑄))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ⟨cop 4585  (class class class)co 7353  Catccat 17589   Func cfunc 17780   FuncCat cfuc 17871   ×_c cxpc 18093   1^st_F c1stf 18094   curry_F ccurf 18135  Δ_funccdiag 18137

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8632  df-map 8762  df-ixp 8832  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-4 12212  df-5 12213  df-6 12214  df-7 12215  df-8 12216  df-9 12217  df-n0 12404  df-z 12491  df-dec 12611  df-uz 12755  df-fz 13430  df-struct 17077  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17140  df-hom 17204  df-cco 17205  df-cat 17593  df-cid 17594  df-func 17784  df-nat 17872  df-fuc 17873  df-xpc 18097  df-1stf 18098  df-curf 18139  df-diag 18141

This theorem is referenced by:  diag1cl  18167  diag2cl  18171  diag1f1  49312  diag2f1  49314  prcofdiag  49399  oppfdiag1  49419  oppfdiag  49421  diagffth  49543  islmd  49670  iscmd  49671  lmddu  49672  initocmd  49674  lmdran  49676