Theorem diagcl 18424

Description: The diagonal functor is a functor from the base category to the functor category. Another way of saying this is that the constant functor (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ 𝑋) is a construction that is natural in 𝑋 (and covariant). (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2017.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
diagval.l	⊢ 𝐿 = (𝐶Δfunc𝐷)
diagval.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
diagval.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
diagcl.q	⊢ 𝑄 = (𝐷 FuncCat 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
diagcl	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (𝐶 Func 𝑄))

Proof of Theorem diagcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		diagval.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (𝐶Δfunc𝐷)
2		diagval.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
3		diagval.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
4	1, 2, 3	diagval 18423	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐿 = (⟨𝐶, 𝐷⟩ curryF (𝐶 1stF 𝐷)))
5		eqid 2760	. . 3 ⊢ (⟨𝐶, 𝐷⟩ curryF (𝐶 1stF 𝐷)) = (⟨𝐶, 𝐷⟩ curryF (𝐶 1stF 𝐷))
6		diagcl.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝐷 FuncCat 𝐶)
7		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (𝐶 ×c 𝐷) = (𝐶 ×c 𝐷)
8		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (𝐶 1stF 𝐷) = (𝐶 1stF 𝐷)
9	7, 2, 3, 8	1stfcl 18380	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 1stF 𝐷) ∈ ((𝐶 ×c 𝐷) Func 𝐶))
10	5, 6, 2, 3, 9	curfcl 18415	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨𝐶, 𝐷⟩ curryF (𝐶 1stF 𝐷)) ∈ (𝐶 Func 𝑄))
11	4, 10	eqeltrd 2860	1 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (𝐶 Func 𝑄))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ⟨cop 4834  (class class class)co 7424  Catccat 17847   Func cfunc 18038   FuncCat cfuc 18129   ×_c cxpc 18351   1^st_F c1stf 18352   curry_F ccurf 18393  Δ_funccdiag 18395

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-1o 8483  df-er 8724  df-map 8856  df-ixp 8933  df-en 8981  df-dom 8982  df-sdom 8983  df-fin 8984  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-nn 12343  df-2 12412  df-3 12413  df-4 12414  df-5 12415  df-6 12416  df-7 12417  df-8 12418  df-9 12419  df-n0 12614  df-z 12701  df-dec 12822  df-uz 12973  df-fz 13647  df-struct 17334  df-slot 17369  df-ndx 17381  df-base 17397  df-hom 17461  df-cco 17462  df-cat 17851  df-cid 17852  df-func 18042  df-nat 18130  df-fuc 18131  df-xpc 18355  df-1stf 18356  df-curf 18397  df-diag 18399

This theorem is used by:  diag1cl  18425  diag2cl  18429  diag1f1  50537  diag2f1  50539  prcofdiag  50637  oppfdiag1  50657  oppfdiag  50659  diagffth  50784  islmd  50956  iscmd  50957  lmddu  50958  initocmd  50960  lmdran  50962