Theorem diagcl 18168

Description: The diagonal functor is a functor from the base category to the functor category. Another way of saying this is that the constant functor (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ 𝑋) is a construction that is natural in 𝑋 (and covariant). (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2017.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
diagval.l	⊢ 𝐿 = (𝐶Δfunc𝐷)
diagval.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
diagval.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
diagcl.q	⊢ 𝑄 = (𝐷 FuncCat 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
diagcl	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (𝐶 Func 𝑄))

Proof of Theorem diagcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		diagval.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (𝐶Δfunc𝐷)
2		diagval.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
3		diagval.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
4	1, 2, 3	diagval 18167	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐿 = (⟨𝐶, 𝐷⟩ curryF (𝐶 1stF 𝐷)))
5		eqid 2737	. . 3 ⊢ (⟨𝐶, 𝐷⟩ curryF (𝐶 1stF 𝐷)) = (⟨𝐶, 𝐷⟩ curryF (𝐶 1stF 𝐷))
6		diagcl.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝐷 FuncCat 𝐶)
7		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (𝐶 ×c 𝐷) = (𝐶 ×c 𝐷)
8		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (𝐶 1stF 𝐷) = (𝐶 1stF 𝐷)
9	7, 2, 3, 8	1stfcl 18124	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 1stF 𝐷) ∈ ((𝐶 ×c 𝐷) Func 𝐶))
10	5, 6, 2, 3, 9	curfcl 18159	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨𝐶, 𝐷⟩ curryF (𝐶 1stF 𝐷)) ∈ (𝐶 Func 𝑄))
11	4, 10	eqeltrd 2837	1 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (𝐶 Func 𝑄))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ⟨cop 4587  (class class class)co 7360  Catccat 17591   Func cfunc 17782   FuncCat cfuc 17873   ×_c cxpc 18095   1^st_F c1stf 18096   curry_F ccurf 18137  Δ_funccdiag 18139

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-map 8769  df-ixp 8840  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-4 12214  df-5 12215  df-6 12216  df-7 12217  df-8 12218  df-9 12219  df-n0 12406  df-z 12493  df-dec 12612  df-uz 12756  df-fz 13428  df-struct 17078  df-slot 17113  df-ndx 17125  df-base 17141  df-hom 17205  df-cco 17206  df-cat 17595  df-cid 17596  df-func 17786  df-nat 17874  df-fuc 17875  df-xpc 18099  df-1stf 18100  df-curf 18141  df-diag 18143

This theorem is referenced by:  diag1cl  18169  diag2cl  18173  diag1f1  49588  diag2f1  49590  prcofdiag  49675  oppfdiag1  49695  oppfdiag  49697  diagffth  49819  islmd  49946  iscmd  49947  lmddu  49948  initocmd  49950  lmdran  49952