Theorem diagcl 18194

Description: The diagonal functor is a functor from the base category to the functor category. Another way of saying this is that the constant functor (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ 𝑋) is a construction that is natural in 𝑋 (and covariant). (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2017.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
diagval.l	⊢ 𝐿 = (𝐶Δfunc𝐷)
diagval.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
diagval.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
diagcl.q	⊢ 𝑄 = (𝐷 FuncCat 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
diagcl	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (𝐶 Func 𝑄))

Proof of Theorem diagcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		diagval.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (𝐶Δfunc𝐷)
2		diagval.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
3		diagval.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
4	1, 2, 3	diagval 18193	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐿 = (⟨𝐶, 𝐷⟩ curryF (𝐶 1stF 𝐷)))
5		eqid 2733	. . 3 ⊢ (⟨𝐶, 𝐷⟩ curryF (𝐶 1stF 𝐷)) = (⟨𝐶, 𝐷⟩ curryF (𝐶 1stF 𝐷))
6		diagcl.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝐷 FuncCat 𝐶)
7		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (𝐶 ×c 𝐷) = (𝐶 ×c 𝐷)
8		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (𝐶 1stF 𝐷) = (𝐶 1stF 𝐷)
9	7, 2, 3, 8	1stfcl 18149	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 1stF 𝐷) ∈ ((𝐶 ×c 𝐷) Func 𝐶))
10	5, 6, 2, 3, 9	curfcl 18185	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨𝐶, 𝐷⟩ curryF (𝐶 1stF 𝐷)) ∈ (𝐶 Func 𝑄))
11	4, 10	eqeltrd 2834	1 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (𝐶 Func 𝑄))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ⟨cop 4635  (class class class)co 7409  Catccat 17608   Func cfunc 17804   FuncCat cfuc 17893   ×_c cxpc 18120   1^st_F c1stf 18121   curry_F ccurf 18163  Δ_funccdiag 18165

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-fz 13485  df-struct 17080  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-hom 17221  df-cco 17222  df-cat 17612  df-cid 17613  df-func 17808  df-nat 17894  df-fuc 17895  df-xpc 18124  df-1stf 18125  df-curf 18167  df-diag 18169

This theorem is referenced by:  diag1cl  18195  diag2cl  18199