MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ndvdssub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ndvdssub 16446
Description: Corollary of the division algorithm. If an integer 𝐷 greater than 1 divides 𝑁, then it does not divide any of 𝑁 − 1, 𝑁 − 2... 𝑁 − (𝐷 − 1). (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
ndvdssub ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝐷)) → (𝐷𝑁 → ¬ 𝐷 ∥ (𝑁𝐾)))

Proof of Theorem ndvdssub
Dummy variables 𝑟 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnnn0 12533 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℕ0)
2 nnne0 12300 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ≠ 0)
31, 2jca 511 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ → (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ≠ 0))
4 df-ne 2941 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ≠ 0 ↔ ¬ 𝐾 = 0)
54anbi2i 623 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 < 𝐷𝐾 ≠ 0) ↔ (𝐾 < 𝐷 ∧ ¬ 𝐾 = 0))
6 divalg2 16442 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → ∃!𝑟 ∈ ℕ0 (𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟)))
7 breq1 5146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑟 = 𝑥 → (𝑟 < 𝐷𝑥 < 𝐷))
8 oveq2 7439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑟 = 𝑥 → (𝑁𝑟) = (𝑁𝑥))
98breq2d 5155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑟 = 𝑥 → (𝐷 ∥ (𝑁𝑟) ↔ 𝐷 ∥ (𝑁𝑥)))
107, 9anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑟 = 𝑥 → ((𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟)) ↔ (𝑥 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑥))))
1110reu4 3737 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (∃!𝑟 ∈ ℕ0 (𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟)) ↔ (∃𝑟 ∈ ℕ0 (𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟)) ∧ ∀𝑟 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (((𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟)) ∧ (𝑥 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑥))) → 𝑟 = 𝑥)))
126, 11sylib 218 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (∃𝑟 ∈ ℕ0 (𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟)) ∧ ∀𝑟 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (((𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟)) ∧ (𝑥 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑥))) → 𝑟 = 𝑥)))
13 nngt0 12297 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐷 ∈ ℕ → 0 < 𝐷)
14133ad2ant2 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐷𝑁) → 0 < 𝐷)
15 zcn 12618 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
1615subid1d 11609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 0) = 𝑁)
1716breq2d 5155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑁 ∈ ℤ → (𝐷 ∥ (𝑁 − 0) ↔ 𝐷𝑁))
1817biimpar 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷𝑁) → 𝐷 ∥ (𝑁 − 0))
19183adant2 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐷𝑁) → 𝐷 ∥ (𝑁 − 0))
2014, 19jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐷𝑁) → (0 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁 − 0)))
21203expa 1119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) ∧ 𝐷𝑁) → (0 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁 − 0)))
2221anim1ci 616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) ∧ 𝐷𝑁) ∧ (𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟))) → ((𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟)) ∧ (0 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁 − 0))))
23 0nn0 12541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 0 ∈ ℕ0
24 breq1 5146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑥 = 0 → (𝑥 < 𝐷 ↔ 0 < 𝐷))
25 oveq2 7439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑥 = 0 → (𝑁𝑥) = (𝑁 − 0))
2625breq2d 5155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑥 = 0 → (𝐷 ∥ (𝑁𝑥) ↔ 𝐷 ∥ (𝑁 − 0)))
2724, 26anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 = 0 → ((𝑥 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑥)) ↔ (0 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁 − 0))))
2827anbi2d 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = 0 → (((𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟)) ∧ (𝑥 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑥))) ↔ ((𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟)) ∧ (0 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁 − 0)))))
29 eqeq2 2749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = 0 → (𝑟 = 𝑥𝑟 = 0))
3028, 29imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = 0 → ((((𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟)) ∧ (𝑥 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑥))) → 𝑟 = 𝑥) ↔ (((𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟)) ∧ (0 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁 − 0))) → 𝑟 = 0)))
3130rspcv 3618 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (0 ∈ ℕ0 → (∀𝑥 ∈ ℕ0 (((𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟)) ∧ (𝑥 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑥))) → 𝑟 = 𝑥) → (((𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟)) ∧ (0 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁 − 0))) → 𝑟 = 0)))
3223, 31ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (∀𝑥 ∈ ℕ0 (((𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟)) ∧ (𝑥 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑥))) → 𝑟 = 𝑥) → (((𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟)) ∧ (0 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁 − 0))) → 𝑟 = 0))
3322, 32syl5 34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (∀𝑥 ∈ ℕ0 (((𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟)) ∧ (𝑥 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑥))) → 𝑟 = 𝑥) → ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) ∧ 𝐷𝑁) ∧ (𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟))) → 𝑟 = 0))
3433expd 415 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (∀𝑥 ∈ ℕ0 (((𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟)) ∧ (𝑥 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑥))) → 𝑟 = 𝑥) → (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) ∧ 𝐷𝑁) → ((𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟)) → 𝑟 = 0)))
3534ralimi 3083 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (∀𝑟 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (((𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟)) ∧ (𝑥 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑥))) → 𝑟 = 𝑥) → ∀𝑟 ∈ ℕ0 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) ∧ 𝐷𝑁) → ((𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟)) → 𝑟 = 0)))
3612, 35simpl2im 503 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → ∀𝑟 ∈ ℕ0 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) ∧ 𝐷𝑁) → ((𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟)) → 𝑟 = 0)))
37 r19.21v 3180 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∀𝑟 ∈ ℕ0 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) ∧ 𝐷𝑁) → ((𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟)) → 𝑟 = 0)) ↔ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) ∧ 𝐷𝑁) → ∀𝑟 ∈ ℕ0 ((𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟)) → 𝑟 = 0)))
3836, 37sylib 218 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) ∧ 𝐷𝑁) → ∀𝑟 ∈ ℕ0 ((𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟)) → 𝑟 = 0)))
3938expd 415 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝐷𝑁 → ∀𝑟 ∈ ℕ0 ((𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟)) → 𝑟 = 0))))
4039pm2.43i 52 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝐷𝑁 → ∀𝑟 ∈ ℕ0 ((𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟)) → 𝑟 = 0)))
41403impia 1118 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐷𝑁) → ∀𝑟 ∈ ℕ0 ((𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟)) → 𝑟 = 0))
42 breq1 5146 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑟 = 𝐾 → (𝑟 < 𝐷𝐾 < 𝐷))
43 oveq2 7439 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑟 = 𝐾 → (𝑁𝑟) = (𝑁𝐾))
4443breq2d 5155 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑟 = 𝐾 → (𝐷 ∥ (𝑁𝑟) ↔ 𝐷 ∥ (𝑁𝐾)))
4542, 44anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑟 = 𝐾 → ((𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟)) ↔ (𝐾 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝐾))))
46 eqeq1 2741 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑟 = 𝐾 → (𝑟 = 0 ↔ 𝐾 = 0))
4745, 46imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑟 = 𝐾 → (((𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟)) → 𝑟 = 0) ↔ ((𝐾 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝐾)) → 𝐾 = 0)))
4847rspcv 3618 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ ℕ0 → (∀𝑟 ∈ ℕ0 ((𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟)) → 𝑟 = 0) → ((𝐾 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝐾)) → 𝐾 = 0)))
4941, 48syl5com 31 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐷𝑁) → (𝐾 ∈ ℕ0 → ((𝐾 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝐾)) → 𝐾 = 0)))
50 pm4.14 807 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝐾)) → 𝐾 = 0) ↔ ((𝐾 < 𝐷 ∧ ¬ 𝐾 = 0) → ¬ 𝐷 ∥ (𝑁𝐾)))
5149, 50imbitrdi 251 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐷𝑁) → (𝐾 ∈ ℕ0 → ((𝐾 < 𝐷 ∧ ¬ 𝐾 = 0) → ¬ 𝐷 ∥ (𝑁𝐾))))
525, 51syl7bi 255 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐷𝑁) → (𝐾 ∈ ℕ0 → ((𝐾 < 𝐷𝐾 ≠ 0) → ¬ 𝐷 ∥ (𝑁𝐾))))
5352exp4a 431 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐷𝑁) → (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 < 𝐷 → (𝐾 ≠ 0 → ¬ 𝐷 ∥ (𝑁𝐾)))))
5453com23 86 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐷𝑁) → (𝐾 < 𝐷 → (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 ≠ 0 → ¬ 𝐷 ∥ (𝑁𝐾)))))
5554imp4a 422 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐷𝑁) → (𝐾 < 𝐷 → ((𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ≠ 0) → ¬ 𝐷 ∥ (𝑁𝐾))))
563, 55syl7 74 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐷𝑁) → (𝐾 < 𝐷 → (𝐾 ∈ ℕ → ¬ 𝐷 ∥ (𝑁𝐾))))
5756impcomd 411 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐷𝑁) → ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝐷) → ¬ 𝐷 ∥ (𝑁𝐾)))
58573expia 1122 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝐷𝑁 → ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝐷) → ¬ 𝐷 ∥ (𝑁𝐾))))
5958com23 86 . 2 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝐷) → (𝐷𝑁 → ¬ 𝐷 ∥ (𝑁𝐾))))
60593impia 1118 1 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝐷)) → (𝐷𝑁 → ¬ 𝐷 ∥ (𝑁𝐾)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  ∃!wreu 3378   class class class wbr 5143  (class class class)co 7431  0cc0 11155   < clt 11295  cmin 11492  cn 12266  0cn0 12526  cz 12613  cdvds 16290
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-dvds 16291
This theorem is referenced by:  ndvdsadd  16447
  Copyright terms: Public domain W3C validator