Theorem ndvdssub 16485

Description: Corollary of the division algorithm. If an integer 𝐷 greater than 1 divides 𝑁, then it does not divide any of 𝑁 − 1, 𝑁 − 2... 𝑁 − (𝐷 − 1). (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ndvdssub	⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝐷)) → (𝐷 ∥ 𝑁 → ¬ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝐾)))

Proof of Theorem ndvdssub

Dummy variables 𝑟 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnnn0 12522	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℕ0)
2		nnne0 12281	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ≠ 0)
3	1, 2	jca 521	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≠ 0))
4		df-ne 2961	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ≠ 0 ↔ ¬ 𝐾 = 0)
5	4	anbi2i 635	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 < 𝐷 ∧ 𝐾 ≠ 0) ↔ (𝐾 < 𝐷 ∧ ¬ 𝐾 = 0))
6		divalg2 16481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → ∃!𝑟 ∈ ℕ0 (𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)))
7		breq1 5114	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑟 = 𝑥 → (𝑟 < 𝐷 ↔ 𝑥 < 𝐷))
8		oveq2 7424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑟 = 𝑥 → (𝑁 − 𝑟) = (𝑁 − 𝑥))
9	8	breq2d 5123	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑟 = 𝑥 → (𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟) ↔ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑥)))
10	7, 9	anbi12d 644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑟 = 𝑥 → ((𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)) ↔ (𝑥 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑥))))
11	10	reu4 3696	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (∃!𝑟 ∈ ℕ0 (𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)) ↔ (∃𝑟 ∈ ℕ0 (𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)) ∧ ∀𝑟 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (((𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)) ∧ (𝑥 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑥))) → 𝑟 = 𝑥)))
12	6, 11	sylib 221	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (∃𝑟 ∈ ℕ0 (𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)) ∧ ∀𝑟 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (((𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)) ∧ (𝑥 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑥))) → 𝑟 = 𝑥)))
13		nngt0 12278	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ → 0 < 𝐷)
14	13	3ad2ant2 1152	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∥ 𝑁) → 0 < 𝐷)
15		zcn 12607	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
16	15	subid1d 11569	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 0) = 𝑁)
17	16	breq2d 5123	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝐷 ∥ (𝑁 − 0) ↔ 𝐷 ∥ 𝑁))
18	17	biimpar 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∥ 𝑁) → 𝐷 ∥ (𝑁 − 0))
19	18	3adant2 1149	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∥ 𝑁) → 𝐷 ∥ (𝑁 − 0))
20	14, 19	jca 521	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∥ 𝑁) → (0 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 0)))
21	20	3expa 1136	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) ∧ 𝐷 ∥ 𝑁) → (0 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 0)))
22	21	anim1ci 628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) ∧ 𝐷 ∥ 𝑁) ∧ (𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟))) → ((𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)) ∧ (0 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 0))))
23		0nn0 12530	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 0 ∈ ℕ0
24		breq1 5114	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 < 𝐷 ↔ 0 < 𝐷))
25		oveq2 7424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑁 − 𝑥) = (𝑁 − 0))
26	25	breq2d 5123	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑥) ↔ 𝐷 ∥ (𝑁 − 0)))
27	24, 26	anbi12d 644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝑥 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑥)) ↔ (0 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 0))))
28	27	anbi2d 642	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑥 = 0 → (((𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)) ∧ (𝑥 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑥))) ↔ ((𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)) ∧ (0 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 0)))))
29		eqeq2 2777	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑟 = 𝑥 ↔ 𝑟 = 0))
30	28, 29	imbi12d 347	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 = 0 → ((((𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)) ∧ (𝑥 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑥))) → 𝑟 = 𝑥) ↔ (((𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)) ∧ (0 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 0))) → 𝑟 = 0)))
31	30	rspcv 3579	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → (∀𝑥 ∈ ℕ0 (((𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)) ∧ (𝑥 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑥))) → 𝑟 = 𝑥) → (((𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)) ∧ (0 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 0))) → 𝑟 = 0)))
32	23, 31	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℕ0 (((𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)) ∧ (𝑥 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑥))) → 𝑟 = 𝑥) → (((𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)) ∧ (0 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 0))) → 𝑟 = 0))
33	22, 32	syl5 35	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℕ0 (((𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)) ∧ (𝑥 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑥))) → 𝑟 = 𝑥) → ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) ∧ 𝐷 ∥ 𝑁) ∧ (𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟))) → 𝑟 = 0))
34	33	expd 421	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℕ0 (((𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)) ∧ (𝑥 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑥))) → 𝑟 = 𝑥) → (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) ∧ 𝐷 ∥ 𝑁) → ((𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)) → 𝑟 = 0)))
35	34	ralimi 3104	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (∀𝑟 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (((𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)) ∧ (𝑥 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑥))) → 𝑟 = 𝑥) → ∀𝑟 ∈ ℕ0 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) ∧ 𝐷 ∥ 𝑁) → ((𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)) → 𝑟 = 0)))
36	12, 35	simpl2im 513	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → ∀𝑟 ∈ ℕ0 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) ∧ 𝐷 ∥ 𝑁) → ((𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)) → 𝑟 = 0)))
37		r19.21v 3192	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∀𝑟 ∈ ℕ0 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) ∧ 𝐷 ∥ 𝑁) → ((𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)) → 𝑟 = 0)) ↔ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) ∧ 𝐷 ∥ 𝑁) → ∀𝑟 ∈ ℕ0 ((𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)) → 𝑟 = 0)))
38	36, 37	sylib 221	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) ∧ 𝐷 ∥ 𝑁) → ∀𝑟 ∈ ℕ0 ((𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)) → 𝑟 = 0)))
39	38	expd 421	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝐷 ∥ 𝑁 → ∀𝑟 ∈ ℕ0 ((𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)) → 𝑟 = 0))))
40	39	pm2.43i 53	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝐷 ∥ 𝑁 → ∀𝑟 ∈ ℕ0 ((𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)) → 𝑟 = 0)))
41	40	3impia 1135	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∥ 𝑁) → ∀𝑟 ∈ ℕ0 ((𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)) → 𝑟 = 0))
42		breq1 5114	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑟 = 𝐾 → (𝑟 < 𝐷 ↔ 𝐾 < 𝐷))
43		oveq2 7424	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑟 = 𝐾 → (𝑁 − 𝑟) = (𝑁 − 𝐾))
44	43	breq2d 5123	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑟 = 𝐾 → (𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟) ↔ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝐾)))
45	42, 44	anbi12d 644	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑟 = 𝐾 → ((𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)) ↔ (𝐾 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝐾))))
46		eqeq1 2769	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑟 = 𝐾 → (𝑟 = 0 ↔ 𝐾 = 0))
47	45, 46	imbi12d 347	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑟 = 𝐾 → (((𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)) → 𝑟 = 0) ↔ ((𝐾 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝐾)) → 𝐾 = 0)))
48	47	rspcv 3579	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (∀𝑟 ∈ ℕ0 ((𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)) → 𝑟 = 0) → ((𝐾 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝐾)) → 𝐾 = 0)))
49	41, 48	syl5com 32	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∥ 𝑁) → (𝐾 ∈ ℕ0 → ((𝐾 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝐾)) → 𝐾 = 0)))
50		pm4.14 819	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝐾)) → 𝐾 = 0) ↔ ((𝐾 < 𝐷 ∧ ¬ 𝐾 = 0) → ¬ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝐾)))
51	49, 50	imbitrdi 254	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∥ 𝑁) → (𝐾 ∈ ℕ0 → ((𝐾 < 𝐷 ∧ ¬ 𝐾 = 0) → ¬ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝐾))))
52	5, 51	syl7bi 258	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∥ 𝑁) → (𝐾 ∈ ℕ0 → ((𝐾 < 𝐷 ∧ 𝐾 ≠ 0) → ¬ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝐾))))
53	52	exp4a 437	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∥ 𝑁) → (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 < 𝐷 → (𝐾 ≠ 0 → ¬ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝐾)))))
54	53	com23 87	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∥ 𝑁) → (𝐾 < 𝐷 → (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 ≠ 0 → ¬ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝐾)))))
55	54	imp4a 428	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∥ 𝑁) → (𝐾 < 𝐷 → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≠ 0) → ¬ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝐾))))
56	3, 55	syl7 75	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∥ 𝑁) → (𝐾 < 𝐷 → (𝐾 ∈ ℕ → ¬ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝐾))))
57	56	impcomd 417	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∥ 𝑁) → ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝐷) → ¬ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝐾)))
58	57	3expia 1139	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝐷 ∥ 𝑁 → ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝐷) → ¬ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝐾))))
59	58	com23 87	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝐷) → (𝐷 ∥ 𝑁 → ¬ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝐾))))
60	59	3impia 1135	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝐷)) → (𝐷 ∥ 𝑁 → ¬ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝐾)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  ∀wral 3081  ∃wrex 3091  ∃!wreu 3369   class class class wbr 5111  (class class class)co 7416  0cc0 11111   < clt 11254   − cmin 11452  ℕcn 12244  ℕ₀cn0 12515  ℤcz 12602   ∥ cdvds 16328

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188  ax-pre-sup 11189

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-sup 9405  df-inf 9406  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-div 11883  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-n0 12516  df-z 12603  df-uz 12875  df-rp 13029  df-fz 13548  df-seq 14052  df-exp 14112  df-cj 15170  df-re 15171  df-im 15172  df-sqrt 15306  df-abs 15307  df-dvds 16329

This theorem is used by:  ndvdsadd  16486