Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ndvdssub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ndvdssub 15763
 Description: Corollary of the division algorithm. If an integer 𝐷 greater than 1 divides 𝑁, then it does not divide any of 𝑁 − 1, 𝑁 − 2... 𝑁 − (𝐷 − 1). (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
ndvdssub ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝐷)) → (𝐷𝑁 → ¬ 𝐷 ∥ (𝑁𝐾)))

Proof of Theorem ndvdssub
Dummy variables 𝑟 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnnn0 11907 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℕ0)
2 nnne0 11674 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ≠ 0)
31, 2jca 514 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ → (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ≠ 0))
4 df-ne 3020 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ≠ 0 ↔ ¬ 𝐾 = 0)
54anbi2i 624 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 < 𝐷𝐾 ≠ 0) ↔ (𝐾 < 𝐷 ∧ ¬ 𝐾 = 0))
6 divalg2 15759 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → ∃!𝑟 ∈ ℕ0 (𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟)))
7 breq1 5072 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑟 = 𝑥 → (𝑟 < 𝐷𝑥 < 𝐷))
8 oveq2 7167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑟 = 𝑥 → (𝑁𝑟) = (𝑁𝑥))
98breq2d 5081 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑟 = 𝑥 → (𝐷 ∥ (𝑁𝑟) ↔ 𝐷 ∥ (𝑁𝑥)))
107, 9anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑟 = 𝑥 → ((𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟)) ↔ (𝑥 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑥))))
1110reu4 3725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (∃!𝑟 ∈ ℕ0 (𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟)) ↔ (∃𝑟 ∈ ℕ0 (𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟)) ∧ ∀𝑟 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (((𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟)) ∧ (𝑥 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑥))) → 𝑟 = 𝑥)))
126, 11sylib 220 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (∃𝑟 ∈ ℕ0 (𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟)) ∧ ∀𝑟 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (((𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟)) ∧ (𝑥 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑥))) → 𝑟 = 𝑥)))
13 nngt0 11671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐷 ∈ ℕ → 0 < 𝐷)
14133ad2ant2 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐷𝑁) → 0 < 𝐷)
15 zcn 11989 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
1615subid1d 10989 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 0) = 𝑁)
1716breq2d 5081 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑁 ∈ ℤ → (𝐷 ∥ (𝑁 − 0) ↔ 𝐷𝑁))
1817biimpar 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷𝑁) → 𝐷 ∥ (𝑁 − 0))
19183adant2 1127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐷𝑁) → 𝐷 ∥ (𝑁 − 0))
2014, 19jca 514 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐷𝑁) → (0 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁 − 0)))
21203expa 1114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) ∧ 𝐷𝑁) → (0 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁 − 0)))
2221anim1ci 617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) ∧ 𝐷𝑁) ∧ (𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟))) → ((𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟)) ∧ (0 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁 − 0))))
23 0nn0 11915 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 0 ∈ ℕ0
24 breq1 5072 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑥 = 0 → (𝑥 < 𝐷 ↔ 0 < 𝐷))
25 oveq2 7167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑥 = 0 → (𝑁𝑥) = (𝑁 − 0))
2625breq2d 5081 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑥 = 0 → (𝐷 ∥ (𝑁𝑥) ↔ 𝐷 ∥ (𝑁 − 0)))
2724, 26anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 = 0 → ((𝑥 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑥)) ↔ (0 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁 − 0))))
2827anbi2d 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = 0 → (((𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟)) ∧ (𝑥 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑥))) ↔ ((𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟)) ∧ (0 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁 − 0)))))
29 eqeq2 2836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = 0 → (𝑟 = 𝑥𝑟 = 0))
3028, 29imbi12d 347 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = 0 → ((((𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟)) ∧ (𝑥 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑥))) → 𝑟 = 𝑥) ↔ (((𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟)) ∧ (0 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁 − 0))) → 𝑟 = 0)))
3130rspcv 3621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (0 ∈ ℕ0 → (∀𝑥 ∈ ℕ0 (((𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟)) ∧ (𝑥 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑥))) → 𝑟 = 𝑥) → (((𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟)) ∧ (0 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁 − 0))) → 𝑟 = 0)))
3223, 31ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (∀𝑥 ∈ ℕ0 (((𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟)) ∧ (𝑥 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑥))) → 𝑟 = 𝑥) → (((𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟)) ∧ (0 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁 − 0))) → 𝑟 = 0))
3322, 32syl5 34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (∀𝑥 ∈ ℕ0 (((𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟)) ∧ (𝑥 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑥))) → 𝑟 = 𝑥) → ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) ∧ 𝐷𝑁) ∧ (𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟))) → 𝑟 = 0))
3433expd 418 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (∀𝑥 ∈ ℕ0 (((𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟)) ∧ (𝑥 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑥))) → 𝑟 = 𝑥) → (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) ∧ 𝐷𝑁) → ((𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟)) → 𝑟 = 0)))
3534ralimi 3163 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (∀𝑟 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (((𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟)) ∧ (𝑥 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑥))) → 𝑟 = 𝑥) → ∀𝑟 ∈ ℕ0 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) ∧ 𝐷𝑁) → ((𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟)) → 𝑟 = 0)))
3612, 35simpl2im 506 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → ∀𝑟 ∈ ℕ0 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) ∧ 𝐷𝑁) → ((𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟)) → 𝑟 = 0)))
37 r19.21v 3178 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∀𝑟 ∈ ℕ0 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) ∧ 𝐷𝑁) → ((𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟)) → 𝑟 = 0)) ↔ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) ∧ 𝐷𝑁) → ∀𝑟 ∈ ℕ0 ((𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟)) → 𝑟 = 0)))
3836, 37sylib 220 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) ∧ 𝐷𝑁) → ∀𝑟 ∈ ℕ0 ((𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟)) → 𝑟 = 0)))
3938expd 418 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝐷𝑁 → ∀𝑟 ∈ ℕ0 ((𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟)) → 𝑟 = 0))))
4039pm2.43i 52 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝐷𝑁 → ∀𝑟 ∈ ℕ0 ((𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟)) → 𝑟 = 0)))
41403impia 1113 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐷𝑁) → ∀𝑟 ∈ ℕ0 ((𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟)) → 𝑟 = 0))
42 breq1 5072 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑟 = 𝐾 → (𝑟 < 𝐷𝐾 < 𝐷))
43 oveq2 7167 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑟 = 𝐾 → (𝑁𝑟) = (𝑁𝐾))
4443breq2d 5081 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑟 = 𝐾 → (𝐷 ∥ (𝑁𝑟) ↔ 𝐷 ∥ (𝑁𝐾)))
4542, 44anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑟 = 𝐾 → ((𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟)) ↔ (𝐾 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝐾))))
46 eqeq1 2828 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑟 = 𝐾 → (𝑟 = 0 ↔ 𝐾 = 0))
4745, 46imbi12d 347 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑟 = 𝐾 → (((𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟)) → 𝑟 = 0) ↔ ((𝐾 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝐾)) → 𝐾 = 0)))
4847rspcv 3621 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ ℕ0 → (∀𝑟 ∈ ℕ0 ((𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟)) → 𝑟 = 0) → ((𝐾 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝐾)) → 𝐾 = 0)))
4941, 48syl5com 31 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐷𝑁) → (𝐾 ∈ ℕ0 → ((𝐾 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝐾)) → 𝐾 = 0)))
50 pm4.14 805 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝐾)) → 𝐾 = 0) ↔ ((𝐾 < 𝐷 ∧ ¬ 𝐾 = 0) → ¬ 𝐷 ∥ (𝑁𝐾)))
5149, 50syl6ib 253 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐷𝑁) → (𝐾 ∈ ℕ0 → ((𝐾 < 𝐷 ∧ ¬ 𝐾 = 0) → ¬ 𝐷 ∥ (𝑁𝐾))))
525, 51syl7bi 257 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐷𝑁) → (𝐾 ∈ ℕ0 → ((𝐾 < 𝐷𝐾 ≠ 0) → ¬ 𝐷 ∥ (𝑁𝐾))))
5352exp4a 434 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐷𝑁) → (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 < 𝐷 → (𝐾 ≠ 0 → ¬ 𝐷 ∥ (𝑁𝐾)))))
5453com23 86 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐷𝑁) → (𝐾 < 𝐷 → (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 ≠ 0 → ¬ 𝐷 ∥ (𝑁𝐾)))))
5554imp4a 425 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐷𝑁) → (𝐾 < 𝐷 → ((𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ≠ 0) → ¬ 𝐷 ∥ (𝑁𝐾))))
563, 55syl7 74 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐷𝑁) → (𝐾 < 𝐷 → (𝐾 ∈ ℕ → ¬ 𝐷 ∥ (𝑁𝐾))))
5756impcomd 414 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐷𝑁) → ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝐷) → ¬ 𝐷 ∥ (𝑁𝐾)))
58573expia 1117 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝐷𝑁 → ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝐷) → ¬ 𝐷 ∥ (𝑁𝐾))))
5958com23 86 . 2 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝐷) → (𝐷𝑁 → ¬ 𝐷 ∥ (𝑁𝐾))))
60593impia 1113 1 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝐷)) → (𝐷𝑁 → ¬ 𝐷 ∥ (𝑁𝐾)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1536   ∈ wcel 2113   ≠ wne 3019  ∀wral 3141  ∃wrex 3142  ∃!wreu 3143   class class class wbr 5069  (class class class)co 7159  0cc0 10540   < clt 10678   − cmin 10873  ℕcn 11641  ℕ0cn0 11900  ℤcz 11984   ∥ cdvds 15610 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-cnex 10596  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616  ax-pre-mulgt0 10617  ax-pre-sup 10618 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rmo 3149  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-om 7584  df-1st 7692  df-2nd 7693  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-er 8292  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-sup 8909  df-inf 8910  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-sub 10875  df-neg 10876  df-div 11301  df-nn 11642  df-2 11703  df-3 11704  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-rp 12393  df-fz 12896  df-seq 13373  df-exp 13433  df-cj 14461  df-re 14462  df-im 14463  df-sqrt 14597  df-abs 14598  df-dvds 15611 This theorem is referenced by:  ndvdsadd  15764
 Copyright terms: Public domain W3C validator