Theorem ndvdssub 16499

Description: Corollary of the division algorithm. If an integer 𝐷 greater than 1 divides 𝑁, then it does not divide any of 𝑁 − 1, 𝑁 − 2... 𝑁 − (𝐷 − 1). (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ndvdssub	⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝐷)) → (𝐷 ∥ 𝑁 → ¬ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝐾)))

Proof of Theorem ndvdssub

Dummy variables 𝑟 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnnn0 12535	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℕ0)
2		nnne0 12294	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ≠ 0)
3	1, 2	jca 521	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≠ 0))
4		df-ne 2956	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ≠ 0 ↔ ¬ 𝐾 = 0)
5	4	anbi2i 635	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 < 𝐷 ∧ 𝐾 ≠ 0) ↔ (𝐾 < 𝐷 ∧ ¬ 𝐾 = 0))
6		divalg2 16495	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → ∃!𝑟 ∈ ℕ0 (𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)))
7		breq1 5106	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑟 = 𝑥 → (𝑟 < 𝐷 ↔ 𝑥 < 𝐷))
8		oveq2 7421	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑟 = 𝑥 → (𝑁 − 𝑟) = (𝑁 − 𝑥))
9	8	breq2d 5115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑟 = 𝑥 → (𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟) ↔ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑥)))
10	7, 9	anbi12d 644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑟 = 𝑥 → ((𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)) ↔ (𝑥 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑥))))
11	10	reu4 3689	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (∃!𝑟 ∈ ℕ0 (𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)) ↔ (∃𝑟 ∈ ℕ0 (𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)) ∧ ∀𝑟 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (((𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)) ∧ (𝑥 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑥))) → 𝑟 = 𝑥)))
12	6, 11	sylib 221	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (∃𝑟 ∈ ℕ0 (𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)) ∧ ∀𝑟 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (((𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)) ∧ (𝑥 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑥))) → 𝑟 = 𝑥)))
13		nngt0 12291	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ → 0 < 𝐷)
14	13	3ad2ant2 1152	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∥ 𝑁) → 0 < 𝐷)
15		zcn 12620	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
16	15	subid1d 11582	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 0) = 𝑁)
17	16	breq2d 5115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝐷 ∥ (𝑁 − 0) ↔ 𝐷 ∥ 𝑁))
18	17	biimpar 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∥ 𝑁) → 𝐷 ∥ (𝑁 − 0))
19	18	3adant2 1149	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∥ 𝑁) → 𝐷 ∥ (𝑁 − 0))
20	14, 19	jca 521	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∥ 𝑁) → (0 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 0)))
21	20	3expa 1136	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) ∧ 𝐷 ∥ 𝑁) → (0 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 0)))
22	21	anim1ci 628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) ∧ 𝐷 ∥ 𝑁) ∧ (𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟))) → ((𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)) ∧ (0 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 0))))
23		0nn0 12543	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 0 ∈ ℕ0
24		breq1 5106	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 < 𝐷 ↔ 0 < 𝐷))
25		oveq2 7421	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑁 − 𝑥) = (𝑁 − 0))
26	25	breq2d 5115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑥) ↔ 𝐷 ∥ (𝑁 − 0)))
27	24, 26	anbi12d 644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝑥 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑥)) ↔ (0 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 0))))
28	27	anbi2d 642	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑥 = 0 → (((𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)) ∧ (𝑥 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑥))) ↔ ((𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)) ∧ (0 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 0)))))
29		eqeq2 2772	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑟 = 𝑥 ↔ 𝑟 = 0))
30	28, 29	imbi12d 347	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 = 0 → ((((𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)) ∧ (𝑥 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑥))) → 𝑟 = 𝑥) ↔ (((𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)) ∧ (0 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 0))) → 𝑟 = 0)))
31	30	rspcv 3572	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → (∀𝑥 ∈ ℕ0 (((𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)) ∧ (𝑥 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑥))) → 𝑟 = 𝑥) → (((𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)) ∧ (0 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 0))) → 𝑟 = 0)))
32	23, 31	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℕ0 (((𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)) ∧ (𝑥 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑥))) → 𝑟 = 𝑥) → (((𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)) ∧ (0 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 0))) → 𝑟 = 0))
33	22, 32	syl5 35	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℕ0 (((𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)) ∧ (𝑥 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑥))) → 𝑟 = 𝑥) → ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) ∧ 𝐷 ∥ 𝑁) ∧ (𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟))) → 𝑟 = 0))
34	33	expd 421	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℕ0 (((𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)) ∧ (𝑥 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑥))) → 𝑟 = 𝑥) → (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) ∧ 𝐷 ∥ 𝑁) → ((𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)) → 𝑟 = 0)))
35	34	ralimi 3099	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (∀𝑟 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (((𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)) ∧ (𝑥 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑥))) → 𝑟 = 𝑥) → ∀𝑟 ∈ ℕ0 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) ∧ 𝐷 ∥ 𝑁) → ((𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)) → 𝑟 = 0)))
36	12, 35	simpl2im 513	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → ∀𝑟 ∈ ℕ0 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) ∧ 𝐷 ∥ 𝑁) → ((𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)) → 𝑟 = 0)))
37		r19.21v 3187	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∀𝑟 ∈ ℕ0 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) ∧ 𝐷 ∥ 𝑁) → ((𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)) → 𝑟 = 0)) ↔ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) ∧ 𝐷 ∥ 𝑁) → ∀𝑟 ∈ ℕ0 ((𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)) → 𝑟 = 0)))
38	36, 37	sylib 221	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) ∧ 𝐷 ∥ 𝑁) → ∀𝑟 ∈ ℕ0 ((𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)) → 𝑟 = 0)))
39	38	expd 421	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝐷 ∥ 𝑁 → ∀𝑟 ∈ ℕ0 ((𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)) → 𝑟 = 0))))
40	39	pm2.43i 53	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝐷 ∥ 𝑁 → ∀𝑟 ∈ ℕ0 ((𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)) → 𝑟 = 0)))
41	40	3impia 1135	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∥ 𝑁) → ∀𝑟 ∈ ℕ0 ((𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)) → 𝑟 = 0))
42		breq1 5106	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑟 = 𝐾 → (𝑟 < 𝐷 ↔ 𝐾 < 𝐷))
43		oveq2 7421	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑟 = 𝐾 → (𝑁 − 𝑟) = (𝑁 − 𝐾))
44	43	breq2d 5115	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑟 = 𝐾 → (𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟) ↔ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝐾)))
45	42, 44	anbi12d 644	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑟 = 𝐾 → ((𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)) ↔ (𝐾 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝐾))))
46		eqeq1 2764	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑟 = 𝐾 → (𝑟 = 0 ↔ 𝐾 = 0))
47	45, 46	imbi12d 347	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑟 = 𝐾 → (((𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)) → 𝑟 = 0) ↔ ((𝐾 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝐾)) → 𝐾 = 0)))
48	47	rspcv 3572	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (∀𝑟 ∈ ℕ0 ((𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)) → 𝑟 = 0) → ((𝐾 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝐾)) → 𝐾 = 0)))
49	41, 48	syl5com 32	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∥ 𝑁) → (𝐾 ∈ ℕ0 → ((𝐾 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝐾)) → 𝐾 = 0)))
50		pm4.14 819	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝐾)) → 𝐾 = 0) ↔ ((𝐾 < 𝐷 ∧ ¬ 𝐾 = 0) → ¬ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝐾)))
51	49, 50	imbitrdi 254	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∥ 𝑁) → (𝐾 ∈ ℕ0 → ((𝐾 < 𝐷 ∧ ¬ 𝐾 = 0) → ¬ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝐾))))
52	5, 51	syl7bi 258	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∥ 𝑁) → (𝐾 ∈ ℕ0 → ((𝐾 < 𝐷 ∧ 𝐾 ≠ 0) → ¬ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝐾))))
53	52	exp4a 437	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∥ 𝑁) → (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 < 𝐷 → (𝐾 ≠ 0 → ¬ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝐾)))))
54	53	com23 87	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∥ 𝑁) → (𝐾 < 𝐷 → (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 ≠ 0 → ¬ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝐾)))))
55	54	imp4a 428	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∥ 𝑁) → (𝐾 < 𝐷 → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≠ 0) → ¬ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝐾))))
56	3, 55	syl7 75	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∥ 𝑁) → (𝐾 < 𝐷 → (𝐾 ∈ ℕ → ¬ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝐾))))
57	56	impcomd 417	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∥ 𝑁) → ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝐷) → ¬ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝐾)))
58	57	3expia 1139	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝐷 ∥ 𝑁 → ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝐷) → ¬ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝐾))))
59	58	com23 87	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝐷) → (𝐷 ∥ 𝑁 → ¬ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝐾))))
60	59	3impia 1135	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝐷)) → (𝐷 ∥ 𝑁 → ¬ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝐾)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  ∃!wreu 3363   class class class wbr 5103  (class class class)co 7413  0cc0 11124   < clt 11267   − cmin 11465  ℕcn 12257  ℕ₀cn0 12528  ℤcz 12615   ∥ cdvds 16342

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-sup 9412  df-inf 9413  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-div 11896  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12888  df-rp 13043  df-fz 13562  df-seq 14066  df-exp 14126  df-cj 15186  df-re 15187  df-im 15188  df-sqrt 15322  df-abs 15323  df-dvds 16343

This theorem is used by:  ndvdsadd  16500