Theorem ndvdssub 16348

Description: Corollary of the division algorithm. If an integer 𝐷 greater than 1 divides 𝑁, then it does not divide any of 𝑁 − 1, 𝑁 − 2... 𝑁 − (𝐷 − 1). (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ndvdssub	⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝐷)) → (𝐷 ∥ 𝑁 → ¬ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝐾)))

Proof of Theorem ndvdssub

Dummy variables 𝑟 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnnn0 12420	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℕ0)
2		nnne0 12191	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ≠ 0)
3	1, 2	jca 511	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≠ 0))
4		df-ne 2934	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ≠ 0 ↔ ¬ 𝐾 = 0)
5	4	anbi2i 624	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 < 𝐷 ∧ 𝐾 ≠ 0) ↔ (𝐾 < 𝐷 ∧ ¬ 𝐾 = 0))
6		divalg2 16344	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → ∃!𝑟 ∈ ℕ0 (𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)))
7		breq1 5103	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑟 = 𝑥 → (𝑟 < 𝐷 ↔ 𝑥 < 𝐷))
8		oveq2 7376	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑟 = 𝑥 → (𝑁 − 𝑟) = (𝑁 − 𝑥))
9	8	breq2d 5112	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑟 = 𝑥 → (𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟) ↔ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑥)))
10	7, 9	anbi12d 633	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑟 = 𝑥 → ((𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)) ↔ (𝑥 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑥))))
11	10	reu4 3691	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (∃!𝑟 ∈ ℕ0 (𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)) ↔ (∃𝑟 ∈ ℕ0 (𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)) ∧ ∀𝑟 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (((𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)) ∧ (𝑥 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑥))) → 𝑟 = 𝑥)))
12	6, 11	sylib 218	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (∃𝑟 ∈ ℕ0 (𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)) ∧ ∀𝑟 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (((𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)) ∧ (𝑥 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑥))) → 𝑟 = 𝑥)))
13		nngt0 12188	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ → 0 < 𝐷)
14	13	3ad2ant2 1135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∥ 𝑁) → 0 < 𝐷)
15		zcn 12505	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
16	15	subid1d 11493	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 0) = 𝑁)
17	16	breq2d 5112	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝐷 ∥ (𝑁 − 0) ↔ 𝐷 ∥ 𝑁))
18	17	biimpar 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∥ 𝑁) → 𝐷 ∥ (𝑁 − 0))
19	18	3adant2 1132	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∥ 𝑁) → 𝐷 ∥ (𝑁 − 0))
20	14, 19	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∥ 𝑁) → (0 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 0)))
21	20	3expa 1119	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) ∧ 𝐷 ∥ 𝑁) → (0 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 0)))
22	21	anim1ci 617	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) ∧ 𝐷 ∥ 𝑁) ∧ (𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟))) → ((𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)) ∧ (0 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 0))))
23		0nn0 12428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 0 ∈ ℕ0
24		breq1 5103	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 < 𝐷 ↔ 0 < 𝐷))
25		oveq2 7376	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑁 − 𝑥) = (𝑁 − 0))
26	25	breq2d 5112	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑥) ↔ 𝐷 ∥ (𝑁 − 0)))
27	24, 26	anbi12d 633	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝑥 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑥)) ↔ (0 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 0))))
28	27	anbi2d 631	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑥 = 0 → (((𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)) ∧ (𝑥 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑥))) ↔ ((𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)) ∧ (0 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 0)))))
29		eqeq2 2749	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑟 = 𝑥 ↔ 𝑟 = 0))
30	28, 29	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 = 0 → ((((𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)) ∧ (𝑥 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑥))) → 𝑟 = 𝑥) ↔ (((𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)) ∧ (0 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 0))) → 𝑟 = 0)))
31	30	rspcv 3574	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → (∀𝑥 ∈ ℕ0 (((𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)) ∧ (𝑥 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑥))) → 𝑟 = 𝑥) → (((𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)) ∧ (0 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 0))) → 𝑟 = 0)))
32	23, 31	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℕ0 (((𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)) ∧ (𝑥 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑥))) → 𝑟 = 𝑥) → (((𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)) ∧ (0 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 0))) → 𝑟 = 0))
33	22, 32	syl5 34	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℕ0 (((𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)) ∧ (𝑥 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑥))) → 𝑟 = 𝑥) → ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) ∧ 𝐷 ∥ 𝑁) ∧ (𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟))) → 𝑟 = 0))
34	33	expd 415	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℕ0 (((𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)) ∧ (𝑥 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑥))) → 𝑟 = 𝑥) → (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) ∧ 𝐷 ∥ 𝑁) → ((𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)) → 𝑟 = 0)))
35	34	ralimi 3075	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (∀𝑟 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (((𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)) ∧ (𝑥 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑥))) → 𝑟 = 𝑥) → ∀𝑟 ∈ ℕ0 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) ∧ 𝐷 ∥ 𝑁) → ((𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)) → 𝑟 = 0)))
36	12, 35	simpl2im 503	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → ∀𝑟 ∈ ℕ0 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) ∧ 𝐷 ∥ 𝑁) → ((𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)) → 𝑟 = 0)))
37		r19.21v 3163	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∀𝑟 ∈ ℕ0 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) ∧ 𝐷 ∥ 𝑁) → ((𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)) → 𝑟 = 0)) ↔ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) ∧ 𝐷 ∥ 𝑁) → ∀𝑟 ∈ ℕ0 ((𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)) → 𝑟 = 0)))
38	36, 37	sylib 218	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) ∧ 𝐷 ∥ 𝑁) → ∀𝑟 ∈ ℕ0 ((𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)) → 𝑟 = 0)))
39	38	expd 415	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝐷 ∥ 𝑁 → ∀𝑟 ∈ ℕ0 ((𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)) → 𝑟 = 0))))
40	39	pm2.43i 52	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝐷 ∥ 𝑁 → ∀𝑟 ∈ ℕ0 ((𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)) → 𝑟 = 0)))
41	40	3impia 1118	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∥ 𝑁) → ∀𝑟 ∈ ℕ0 ((𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)) → 𝑟 = 0))
42		breq1 5103	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑟 = 𝐾 → (𝑟 < 𝐷 ↔ 𝐾 < 𝐷))
43		oveq2 7376	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑟 = 𝐾 → (𝑁 − 𝑟) = (𝑁 − 𝐾))
44	43	breq2d 5112	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑟 = 𝐾 → (𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟) ↔ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝐾)))
45	42, 44	anbi12d 633	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑟 = 𝐾 → ((𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)) ↔ (𝐾 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝐾))))
46		eqeq1 2741	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑟 = 𝐾 → (𝑟 = 0 ↔ 𝐾 = 0))
47	45, 46	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑟 = 𝐾 → (((𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)) → 𝑟 = 0) ↔ ((𝐾 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝐾)) → 𝐾 = 0)))
48	47	rspcv 3574	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (∀𝑟 ∈ ℕ0 ((𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)) → 𝑟 = 0) → ((𝐾 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝐾)) → 𝐾 = 0)))
49	41, 48	syl5com 31	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∥ 𝑁) → (𝐾 ∈ ℕ0 → ((𝐾 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝐾)) → 𝐾 = 0)))
50		pm4.14 807	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝐾)) → 𝐾 = 0) ↔ ((𝐾 < 𝐷 ∧ ¬ 𝐾 = 0) → ¬ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝐾)))
51	49, 50	imbitrdi 251	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∥ 𝑁) → (𝐾 ∈ ℕ0 → ((𝐾 < 𝐷 ∧ ¬ 𝐾 = 0) → ¬ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝐾))))
52	5, 51	syl7bi 255	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∥ 𝑁) → (𝐾 ∈ ℕ0 → ((𝐾 < 𝐷 ∧ 𝐾 ≠ 0) → ¬ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝐾))))
53	52	exp4a 431	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∥ 𝑁) → (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 < 𝐷 → (𝐾 ≠ 0 → ¬ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝐾)))))
54	53	com23 86	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∥ 𝑁) → (𝐾 < 𝐷 → (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 ≠ 0 → ¬ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝐾)))))
55	54	imp4a 422	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∥ 𝑁) → (𝐾 < 𝐷 → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≠ 0) → ¬ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝐾))))
56	3, 55	syl7 74	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∥ 𝑁) → (𝐾 < 𝐷 → (𝐾 ∈ ℕ → ¬ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝐾))))
57	56	impcomd 411	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∥ 𝑁) → ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝐷) → ¬ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝐾)))
58	57	3expia 1122	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝐷 ∥ 𝑁 → ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝐷) → ¬ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝐾))))
59	58	com23 86	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝐷) → (𝐷 ∥ 𝑁 → ¬ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝐾))))
60	59	3impia 1118	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝐷)) → (𝐷 ∥ 𝑁 → ¬ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝐾)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  ∃wrex 3062  ∃!wreu 3350   class class class wbr 5100  (class class class)co 7368  0cc0 11038   < clt 11178   − cmin 11376  ℕcn 12157  ℕ₀cn0 12413  ℤcz 12500   ∥ cdvds 16191

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-sup 9357  df-inf 9358  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-rp 12918  df-fz 13436  df-seq 13937  df-exp 13997  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-dvds 16192

This theorem is referenced by:  ndvdsadd  16349