Theorem ndvdssub 16446

Description: Corollary of the division algorithm. If an integer 𝐷 greater than 1 divides 𝑁, then it does not divide any of 𝑁 − 1, 𝑁 − 2... 𝑁 − (𝐷 − 1). (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ndvdssub	⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝐷)) → (𝐷 ∥ 𝑁 → ¬ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝐾)))

Proof of Theorem ndvdssub

Dummy variables 𝑟 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnnn0 12533	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℕ0)
2		nnne0 12300	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ≠ 0)
3	1, 2	jca 511	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≠ 0))
4		df-ne 2941	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ≠ 0 ↔ ¬ 𝐾 = 0)
5	4	anbi2i 623	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 < 𝐷 ∧ 𝐾 ≠ 0) ↔ (𝐾 < 𝐷 ∧ ¬ 𝐾 = 0))
6		divalg2 16442	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → ∃!𝑟 ∈ ℕ0 (𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)))
7		breq1 5146	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑟 = 𝑥 → (𝑟 < 𝐷 ↔ 𝑥 < 𝐷))
8		oveq2 7439	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑟 = 𝑥 → (𝑁 − 𝑟) = (𝑁 − 𝑥))
9	8	breq2d 5155	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑟 = 𝑥 → (𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟) ↔ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑥)))
10	7, 9	anbi12d 632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑟 = 𝑥 → ((𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)) ↔ (𝑥 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑥))))
11	10	reu4 3737	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (∃!𝑟 ∈ ℕ0 (𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)) ↔ (∃𝑟 ∈ ℕ0 (𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)) ∧ ∀𝑟 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (((𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)) ∧ (𝑥 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑥))) → 𝑟 = 𝑥)))
12	6, 11	sylib 218	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (∃𝑟 ∈ ℕ0 (𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)) ∧ ∀𝑟 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (((𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)) ∧ (𝑥 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑥))) → 𝑟 = 𝑥)))
13		nngt0 12297	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ → 0 < 𝐷)
14	13	3ad2ant2 1135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∥ 𝑁) → 0 < 𝐷)
15		zcn 12618	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
16	15	subid1d 11609	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 0) = 𝑁)
17	16	breq2d 5155	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝐷 ∥ (𝑁 − 0) ↔ 𝐷 ∥ 𝑁))
18	17	biimpar 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∥ 𝑁) → 𝐷 ∥ (𝑁 − 0))
19	18	3adant2 1132	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∥ 𝑁) → 𝐷 ∥ (𝑁 − 0))
20	14, 19	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∥ 𝑁) → (0 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 0)))
21	20	3expa 1119	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) ∧ 𝐷 ∥ 𝑁) → (0 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 0)))
22	21	anim1ci 616	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) ∧ 𝐷 ∥ 𝑁) ∧ (𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟))) → ((𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)) ∧ (0 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 0))))
23		0nn0 12541	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 0 ∈ ℕ0
24		breq1 5146	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 < 𝐷 ↔ 0 < 𝐷))
25		oveq2 7439	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑁 − 𝑥) = (𝑁 − 0))
26	25	breq2d 5155	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑥) ↔ 𝐷 ∥ (𝑁 − 0)))
27	24, 26	anbi12d 632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝑥 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑥)) ↔ (0 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 0))))
28	27	anbi2d 630	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑥 = 0 → (((𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)) ∧ (𝑥 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑥))) ↔ ((𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)) ∧ (0 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 0)))))
29		eqeq2 2749	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑟 = 𝑥 ↔ 𝑟 = 0))
30	28, 29	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 = 0 → ((((𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)) ∧ (𝑥 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑥))) → 𝑟 = 𝑥) ↔ (((𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)) ∧ (0 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 0))) → 𝑟 = 0)))
31	30	rspcv 3618	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → (∀𝑥 ∈ ℕ0 (((𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)) ∧ (𝑥 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑥))) → 𝑟 = 𝑥) → (((𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)) ∧ (0 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 0))) → 𝑟 = 0)))
32	23, 31	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℕ0 (((𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)) ∧ (𝑥 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑥))) → 𝑟 = 𝑥) → (((𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)) ∧ (0 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 0))) → 𝑟 = 0))
33	22, 32	syl5 34	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℕ0 (((𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)) ∧ (𝑥 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑥))) → 𝑟 = 𝑥) → ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) ∧ 𝐷 ∥ 𝑁) ∧ (𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟))) → 𝑟 = 0))
34	33	expd 415	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℕ0 (((𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)) ∧ (𝑥 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑥))) → 𝑟 = 𝑥) → (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) ∧ 𝐷 ∥ 𝑁) → ((𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)) → 𝑟 = 0)))
35	34	ralimi 3083	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (∀𝑟 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (((𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)) ∧ (𝑥 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑥))) → 𝑟 = 𝑥) → ∀𝑟 ∈ ℕ0 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) ∧ 𝐷 ∥ 𝑁) → ((𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)) → 𝑟 = 0)))
36	12, 35	simpl2im 503	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → ∀𝑟 ∈ ℕ0 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) ∧ 𝐷 ∥ 𝑁) → ((𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)) → 𝑟 = 0)))
37		r19.21v 3180	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∀𝑟 ∈ ℕ0 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) ∧ 𝐷 ∥ 𝑁) → ((𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)) → 𝑟 = 0)) ↔ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) ∧ 𝐷 ∥ 𝑁) → ∀𝑟 ∈ ℕ0 ((𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)) → 𝑟 = 0)))
38	36, 37	sylib 218	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) ∧ 𝐷 ∥ 𝑁) → ∀𝑟 ∈ ℕ0 ((𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)) → 𝑟 = 0)))
39	38	expd 415	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝐷 ∥ 𝑁 → ∀𝑟 ∈ ℕ0 ((𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)) → 𝑟 = 0))))
40	39	pm2.43i 52	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝐷 ∥ 𝑁 → ∀𝑟 ∈ ℕ0 ((𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)) → 𝑟 = 0)))
41	40	3impia 1118	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∥ 𝑁) → ∀𝑟 ∈ ℕ0 ((𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)) → 𝑟 = 0))
42		breq1 5146	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑟 = 𝐾 → (𝑟 < 𝐷 ↔ 𝐾 < 𝐷))
43		oveq2 7439	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑟 = 𝐾 → (𝑁 − 𝑟) = (𝑁 − 𝐾))
44	43	breq2d 5155	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑟 = 𝐾 → (𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟) ↔ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝐾)))
45	42, 44	anbi12d 632	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑟 = 𝐾 → ((𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)) ↔ (𝐾 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝐾))))
46		eqeq1 2741	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑟 = 𝐾 → (𝑟 = 0 ↔ 𝐾 = 0))
47	45, 46	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑟 = 𝐾 → (((𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)) → 𝑟 = 0) ↔ ((𝐾 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝐾)) → 𝐾 = 0)))
48	47	rspcv 3618	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (∀𝑟 ∈ ℕ0 ((𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)) → 𝑟 = 0) → ((𝐾 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝐾)) → 𝐾 = 0)))
49	41, 48	syl5com 31	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∥ 𝑁) → (𝐾 ∈ ℕ0 → ((𝐾 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝐾)) → 𝐾 = 0)))
50		pm4.14 807	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝐾)) → 𝐾 = 0) ↔ ((𝐾 < 𝐷 ∧ ¬ 𝐾 = 0) → ¬ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝐾)))
51	49, 50	imbitrdi 251	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∥ 𝑁) → (𝐾 ∈ ℕ0 → ((𝐾 < 𝐷 ∧ ¬ 𝐾 = 0) → ¬ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝐾))))
52	5, 51	syl7bi 255	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∥ 𝑁) → (𝐾 ∈ ℕ0 → ((𝐾 < 𝐷 ∧ 𝐾 ≠ 0) → ¬ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝐾))))
53	52	exp4a 431	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∥ 𝑁) → (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 < 𝐷 → (𝐾 ≠ 0 → ¬ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝐾)))))
54	53	com23 86	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∥ 𝑁) → (𝐾 < 𝐷 → (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 ≠ 0 → ¬ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝐾)))))
55	54	imp4a 422	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∥ 𝑁) → (𝐾 < 𝐷 → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≠ 0) → ¬ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝐾))))
56	3, 55	syl7 74	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∥ 𝑁) → (𝐾 < 𝐷 → (𝐾 ∈ ℕ → ¬ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝐾))))
57	56	impcomd 411	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∥ 𝑁) → ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝐷) → ¬ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝐾)))
58	57	3expia 1122	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝐷 ∥ 𝑁 → ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝐷) → ¬ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝐾))))
59	58	com23 86	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝐷) → (𝐷 ∥ 𝑁 → ¬ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝐾))))
60	59	3impia 1118	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝐷)) → (𝐷 ∥ 𝑁 → ¬ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝐾)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  ∀wral 3061  ∃wrex 3070  ∃!wreu 3378   class class class wbr 5143  (class class class)co 7431  0cc0 11155   < clt 11295   − cmin 11492  ℕcn 12266  ℕ₀cn0 12526  ℤcz 12613   ∥ cdvds 16290

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-dvds 16291

This theorem is referenced by:  ndvdsadd  16447