Theorem drngmclOLD 20724

Description: Obsolete version of drngmcl 20723 as of 25-Jun-2025. The product of two nonzero elements of a division ring is nonzero. (Contributed by NM, 7-Sep-2011.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
drngmcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
drngmcl.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
drngmcl.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
drngmclOLD	⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝑋 · 𝑌) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))

Proof of Theorem drngmclOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		drngmcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		drngmcl.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
3		eqid 2734	. . 3 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))
4	1, 2, 3	drngmgp 20718	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })) ∈ Grp)
5		difss 4118	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐵
6		eqid 2734	. . . . . 6 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
7	6, 1	mgpbas 20115	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
8	3, 7	ressbas2 17265	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐵 → (𝐵 ∖ { 0 }) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))))
9	5, 8	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝐵 ∖ { 0 }) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))
10	1	fvexi 6901	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
11		difexg 5311	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐵 ∖ { 0 }) ∈ V)
12		drngmcl.t	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝑅)
13	6, 12	mgpplusg 20114	. . . . 5 ⊢ · = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
14	3, 13	ressplusg 17312	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∖ { 0 }) ∈ V → · = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))))
15	10, 11, 14	mp2b 10	. . 3 ⊢ · = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))
16	9, 15	grpcl 18933	. 2 ⊢ ((((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })) ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝑋 · 𝑌) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
17	4, 16	syl3an1 1163	1 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝑋 · 𝑌) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  Vcvv 3464   ∖ cdif 3930   ⊆ wss 3933  {csn 4608  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  Basecbs 17230   ↾_s cress 17256  +_gcplusg 17277  ._rcmulr 17278  0_gc0g 17460  Grpcgrp 18925  mulGrpcmgp 20110  DivRingcdr 20702

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5261  ax-sep 5278  ax-nul 5288  ax-pow 5347  ax-pr 5414  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3773  df-csb 3882  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3950  df-pss 3953  df-nul 4316  df-if 4508  df-pw 4584  df-sn 4609  df-pr 4611  df-op 4615  df-uni 4890  df-iun 4975  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5208  df-tr 5242  df-id 5560  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6303  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7871  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-tpos 8234  df-frecs 8289  df-wrecs 8320  df-recs 8394  df-rdg 8433  df-er 8728  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12250  df-2 12312  df-3 12313  df-sets 17184  df-slot 17202  df-ndx 17214  df-base 17231  df-ress 17257  df-plusg 17290  df-mulr 17291  df-0g 17462  df-mgm 18627  df-sgrp 18706  df-mnd 18722  df-grp 18928  df-minusg 18929  df-cmn 19773  df-abl 19774  df-mgp 20111  df-rng 20123  df-ur 20152  df-ring 20205  df-oppr 20307  df-dvdsr 20330  df-unit 20331  df-invr 20361  df-dvr 20374  df-drng 20704

This theorem is referenced by: (None)