| Step | Hyp | Ref
| Expression |
| 1 | | fveq2 6906 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑢 = 𝐴 → (♯‘𝑢) = (♯‘𝐴)) |
| 2 | 1 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑢 = 𝐴 → (0...(♯‘𝑢)) = (0...(♯‘𝐴))) |
| 3 | | id 22 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑢 = 𝐴 → 𝑢 = 𝐴) |
| 4 | | oveq1 7438 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑢 = 𝐴 → (𝑢 splice 〈𝑖, 𝑖, 〈“〈𝑎, 𝑏〉〈𝑎, (1o ∖ 𝑏)〉”〉〉) = (𝐴 splice 〈𝑖, 𝑖, 〈“〈𝑎, 𝑏〉〈𝑎, (1o ∖ 𝑏)〉”〉〉)) |
| 5 | 3, 4 | breq12d 5156 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑢 = 𝐴 → (𝑢𝑟(𝑢 splice 〈𝑖, 𝑖, 〈“〈𝑎, 𝑏〉〈𝑎, (1o ∖ 𝑏)〉”〉〉) ↔ 𝐴𝑟(𝐴 splice 〈𝑖, 𝑖, 〈“〈𝑎, 𝑏〉〈𝑎, (1o ∖ 𝑏)〉”〉〉))) |
| 6 | 5 | 2ralbidv 3221 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑢 = 𝐴 → (∀𝑎 ∈ 𝐼 ∀𝑏 ∈ 2o 𝑢𝑟(𝑢 splice 〈𝑖, 𝑖, 〈“〈𝑎, 𝑏〉〈𝑎, (1o ∖ 𝑏)〉”〉〉) ↔
∀𝑎 ∈ 𝐼 ∀𝑏 ∈ 2o 𝐴𝑟(𝐴 splice 〈𝑖, 𝑖, 〈“〈𝑎, 𝑏〉〈𝑎, (1o ∖ 𝑏)〉”〉〉))) |
| 7 | 2, 6 | raleqbidv 3346 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑢 = 𝐴 → (∀𝑖 ∈ (0...(♯‘𝑢))∀𝑎 ∈ 𝐼 ∀𝑏 ∈ 2o 𝑢𝑟(𝑢 splice 〈𝑖, 𝑖, 〈“〈𝑎, 𝑏〉〈𝑎, (1o ∖ 𝑏)〉”〉〉) ↔
∀𝑖 ∈
(0...(♯‘𝐴))∀𝑎 ∈ 𝐼 ∀𝑏 ∈ 2o 𝐴𝑟(𝐴 splice 〈𝑖, 𝑖, 〈“〈𝑎, 𝑏〉〈𝑎, (1o ∖ 𝑏)〉”〉〉))) |
| 8 | 7 | rspcv 3618 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → (∀𝑢 ∈ 𝑊 ∀𝑖 ∈ (0...(♯‘𝑢))∀𝑎 ∈ 𝐼 ∀𝑏 ∈ 2o 𝑢𝑟(𝑢 splice 〈𝑖, 𝑖, 〈“〈𝑎, 𝑏〉〈𝑎, (1o ∖ 𝑏)〉”〉〉) →
∀𝑖 ∈
(0...(♯‘𝐴))∀𝑎 ∈ 𝐼 ∀𝑏 ∈ 2o 𝐴𝑟(𝐴 splice 〈𝑖, 𝑖, 〈“〈𝑎, 𝑏〉〈𝑎, (1o ∖ 𝑏)〉”〉〉))) |
| 9 | | oteq1 4882 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑖 = 𝑁 → 〈𝑖, 𝑖, 〈“〈𝑎, 𝑏〉〈𝑎, (1o ∖ 𝑏)〉”〉〉 = 〈𝑁, 𝑖, 〈“〈𝑎, 𝑏〉〈𝑎, (1o ∖ 𝑏)〉”〉〉) |
| 10 | | oteq2 4883 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑖 = 𝑁 → 〈𝑁, 𝑖, 〈“〈𝑎, 𝑏〉〈𝑎, (1o ∖ 𝑏)〉”〉〉 = 〈𝑁, 𝑁, 〈“〈𝑎, 𝑏〉〈𝑎, (1o ∖ 𝑏)〉”〉〉) |
| 11 | 9, 10 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑖 = 𝑁 → 〈𝑖, 𝑖, 〈“〈𝑎, 𝑏〉〈𝑎, (1o ∖ 𝑏)〉”〉〉 = 〈𝑁, 𝑁, 〈“〈𝑎, 𝑏〉〈𝑎, (1o ∖ 𝑏)〉”〉〉) |
| 12 | 11 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑖 = 𝑁 → (𝐴 splice 〈𝑖, 𝑖, 〈“〈𝑎, 𝑏〉〈𝑎, (1o ∖ 𝑏)〉”〉〉) = (𝐴 splice 〈𝑁, 𝑁, 〈“〈𝑎, 𝑏〉〈𝑎, (1o ∖ 𝑏)〉”〉〉)) |
| 13 | 12 | breq2d 5155 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑖 = 𝑁 → (𝐴𝑟(𝐴 splice 〈𝑖, 𝑖, 〈“〈𝑎, 𝑏〉〈𝑎, (1o ∖ 𝑏)〉”〉〉) ↔ 𝐴𝑟(𝐴 splice 〈𝑁, 𝑁, 〈“〈𝑎, 𝑏〉〈𝑎, (1o ∖ 𝑏)〉”〉〉))) |
| 14 | 13 | 2ralbidv 3221 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑖 = 𝑁 → (∀𝑎 ∈ 𝐼 ∀𝑏 ∈ 2o 𝐴𝑟(𝐴 splice 〈𝑖, 𝑖, 〈“〈𝑎, 𝑏〉〈𝑎, (1o ∖ 𝑏)〉”〉〉) ↔
∀𝑎 ∈ 𝐼 ∀𝑏 ∈ 2o 𝐴𝑟(𝐴 splice 〈𝑁, 𝑁, 〈“〈𝑎, 𝑏〉〈𝑎, (1o ∖ 𝑏)〉”〉〉))) |
| 15 | 14 | rspcv 3618 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑁 ∈
(0...(♯‘𝐴))
→ (∀𝑖 ∈
(0...(♯‘𝐴))∀𝑎 ∈ 𝐼 ∀𝑏 ∈ 2o 𝐴𝑟(𝐴 splice 〈𝑖, 𝑖, 〈“〈𝑎, 𝑏〉〈𝑎, (1o ∖ 𝑏)〉”〉〉) →
∀𝑎 ∈ 𝐼 ∀𝑏 ∈ 2o 𝐴𝑟(𝐴 splice 〈𝑁, 𝑁, 〈“〈𝑎, 𝑏〉〈𝑎, (1o ∖ 𝑏)〉”〉〉))) |
| 16 | 8, 15 | sylan9 507 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐴))) → (∀𝑢 ∈ 𝑊 ∀𝑖 ∈ (0...(♯‘𝑢))∀𝑎 ∈ 𝐼 ∀𝑏 ∈ 2o 𝑢𝑟(𝑢 splice 〈𝑖, 𝑖, 〈“〈𝑎, 𝑏〉〈𝑎, (1o ∖ 𝑏)〉”〉〉) →
∀𝑎 ∈ 𝐼 ∀𝑏 ∈ 2o 𝐴𝑟(𝐴 splice 〈𝑁, 𝑁, 〈“〈𝑎, 𝑏〉〈𝑎, (1o ∖ 𝑏)〉”〉〉))) |
| 17 | | opeq1 4873 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑎 = 𝐽 → 〈𝑎, 𝑏〉 = 〈𝐽, 𝑏〉) |
| 18 | | opeq1 4873 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑎 = 𝐽 → 〈𝑎, (1o ∖ 𝑏)〉 = 〈𝐽, (1o ∖ 𝑏)〉) |
| 19 | 17, 18 | s2eqd 14902 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑎 = 𝐽 → 〈“〈𝑎, 𝑏〉〈𝑎, (1o ∖ 𝑏)〉”〉 =
〈“〈𝐽, 𝑏〉〈𝐽, (1o ∖ 𝑏)〉”〉) |
| 20 | 19 | oteq3d 4887 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑎 = 𝐽 → 〈𝑁, 𝑁, 〈“〈𝑎, 𝑏〉〈𝑎, (1o ∖ 𝑏)〉”〉〉 = 〈𝑁, 𝑁, 〈“〈𝐽, 𝑏〉〈𝐽, (1o ∖ 𝑏)〉”〉〉) |
| 21 | 20 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑎 = 𝐽 → (𝐴 splice 〈𝑁, 𝑁, 〈“〈𝑎, 𝑏〉〈𝑎, (1o ∖ 𝑏)〉”〉〉) = (𝐴 splice 〈𝑁, 𝑁, 〈“〈𝐽, 𝑏〉〈𝐽, (1o ∖ 𝑏)〉”〉〉)) |
| 22 | 21 | breq2d 5155 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑎 = 𝐽 → (𝐴𝑟(𝐴 splice 〈𝑁, 𝑁, 〈“〈𝑎, 𝑏〉〈𝑎, (1o ∖ 𝑏)〉”〉〉) ↔ 𝐴𝑟(𝐴 splice 〈𝑁, 𝑁, 〈“〈𝐽, 𝑏〉〈𝐽, (1o ∖ 𝑏)〉”〉〉))) |
| 23 | | opeq2 4874 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑏 = 𝐾 → 〈𝐽, 𝑏〉 = 〈𝐽, 𝐾〉) |
| 24 | | difeq2 4120 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑏 = 𝐾 → (1o ∖ 𝑏) = (1o ∖ 𝐾)) |
| 25 | 24 | opeq2d 4880 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑏 = 𝐾 → 〈𝐽, (1o ∖ 𝑏)〉 = 〈𝐽, (1o ∖ 𝐾)〉) |
| 26 | 23, 25 | s2eqd 14902 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑏 = 𝐾 → 〈“〈𝐽, 𝑏〉〈𝐽, (1o ∖ 𝑏)〉”〉 =
〈“〈𝐽, 𝐾〉〈𝐽, (1o ∖ 𝐾)〉”〉) |
| 27 | 26 | oteq3d 4887 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑏 = 𝐾 → 〈𝑁, 𝑁, 〈“〈𝐽, 𝑏〉〈𝐽, (1o ∖ 𝑏)〉”〉〉 = 〈𝑁, 𝑁, 〈“〈𝐽, 𝐾〉〈𝐽, (1o ∖ 𝐾)〉”〉〉) |
| 28 | 27 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑏 = 𝐾 → (𝐴 splice 〈𝑁, 𝑁, 〈“〈𝐽, 𝑏〉〈𝐽, (1o ∖ 𝑏)〉”〉〉) = (𝐴 splice 〈𝑁, 𝑁, 〈“〈𝐽, 𝐾〉〈𝐽, (1o ∖ 𝐾)〉”〉〉)) |
| 29 | 28 | breq2d 5155 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑏 = 𝐾 → (𝐴𝑟(𝐴 splice 〈𝑁, 𝑁, 〈“〈𝐽, 𝑏〉〈𝐽, (1o ∖ 𝑏)〉”〉〉) ↔ 𝐴𝑟(𝐴 splice 〈𝑁, 𝑁, 〈“〈𝐽, 𝐾〉〈𝐽, (1o ∖ 𝐾)〉”〉〉))) |
| 30 | | df-br 5144 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝐴𝑟(𝐴 splice 〈𝑁, 𝑁, 〈“〈𝐽, 𝐾〉〈𝐽, (1o ∖ 𝐾)〉”〉〉) ↔
〈𝐴, (𝐴 splice 〈𝑁, 𝑁, 〈“〈𝐽, 𝐾〉〈𝐽, (1o ∖ 𝐾)〉”〉〉)〉 ∈
𝑟) |
| 31 | 29, 30 | bitrdi 287 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑏 = 𝐾 → (𝐴𝑟(𝐴 splice 〈𝑁, 𝑁, 〈“〈𝐽, 𝑏〉〈𝐽, (1o ∖ 𝑏)〉”〉〉) ↔
〈𝐴, (𝐴 splice 〈𝑁, 𝑁, 〈“〈𝐽, 𝐾〉〈𝐽, (1o ∖ 𝐾)〉”〉〉)〉 ∈
𝑟)) |
| 32 | 22, 31 | rspc2v 3633 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐽 ∈ 𝐼 ∧ 𝐾 ∈ 2o) → (∀𝑎 ∈ 𝐼 ∀𝑏 ∈ 2o 𝐴𝑟(𝐴 splice 〈𝑁, 𝑁, 〈“〈𝑎, 𝑏〉〈𝑎, (1o ∖ 𝑏)〉”〉〉) →
〈𝐴, (𝐴 splice 〈𝑁, 𝑁, 〈“〈𝐽, 𝐾〉〈𝐽, (1o ∖ 𝐾)〉”〉〉)〉 ∈
𝑟)) |
| 33 | 16, 32 | sylan9 507 |
. . . . . 6
⊢ (((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐴))) ∧ (𝐽 ∈ 𝐼 ∧ 𝐾 ∈ 2o)) →
(∀𝑢 ∈ 𝑊 ∀𝑖 ∈ (0...(♯‘𝑢))∀𝑎 ∈ 𝐼 ∀𝑏 ∈ 2o 𝑢𝑟(𝑢 splice 〈𝑖, 𝑖, 〈“〈𝑎, 𝑏〉〈𝑎, (1o ∖ 𝑏)〉”〉〉) →
〈𝐴, (𝐴 splice 〈𝑁, 𝑁, 〈“〈𝐽, 𝐾〉〈𝐽, (1o ∖ 𝐾)〉”〉〉)〉 ∈
𝑟)) |
| 34 | 33 | adantld 490 |
. . . . 5
⊢ (((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐴))) ∧ (𝐽 ∈ 𝐼 ∧ 𝐾 ∈ 2o)) → ((𝑟 Er 𝑊 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑊 ∀𝑖 ∈ (0...(♯‘𝑢))∀𝑎 ∈ 𝐼 ∀𝑏 ∈ 2o 𝑢𝑟(𝑢 splice 〈𝑖, 𝑖, 〈“〈𝑎, 𝑏〉〈𝑎, (1o ∖ 𝑏)〉”〉〉)) →
〈𝐴, (𝐴 splice 〈𝑁, 𝑁, 〈“〈𝐽, 𝐾〉〈𝐽, (1o ∖ 𝐾)〉”〉〉)〉 ∈
𝑟)) |
| 35 | 34 | alrimiv 1927 |
. . . 4
⊢ (((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐴))) ∧ (𝐽 ∈ 𝐼 ∧ 𝐾 ∈ 2o)) → ∀𝑟((𝑟 Er 𝑊 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑊 ∀𝑖 ∈ (0...(♯‘𝑢))∀𝑎 ∈ 𝐼 ∀𝑏 ∈ 2o 𝑢𝑟(𝑢 splice 〈𝑖, 𝑖, 〈“〈𝑎, 𝑏〉〈𝑎, (1o ∖ 𝑏)〉”〉〉)) →
〈𝐴, (𝐴 splice 〈𝑁, 𝑁, 〈“〈𝐽, 𝐾〉〈𝐽, (1o ∖ 𝐾)〉”〉〉)〉 ∈
𝑟)) |
| 36 | | opex 5469 |
. . . . 5
⊢
〈𝐴, (𝐴 splice 〈𝑁, 𝑁, 〈“〈𝐽, 𝐾〉〈𝐽, (1o ∖ 𝐾)〉”〉〉)〉 ∈
V |
| 37 | 36 | elintab 4958 |
. . . 4
⊢
(〈𝐴, (𝐴 splice 〈𝑁, 𝑁, 〈“〈𝐽, 𝐾〉〈𝐽, (1o ∖ 𝐾)〉”〉〉)〉 ∈
∩ {𝑟 ∣ (𝑟 Er 𝑊 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑊 ∀𝑖 ∈ (0...(♯‘𝑢))∀𝑎 ∈ 𝐼 ∀𝑏 ∈ 2o 𝑢𝑟(𝑢 splice 〈𝑖, 𝑖, 〈“〈𝑎, 𝑏〉〈𝑎, (1o ∖ 𝑏)〉”〉〉))} ↔
∀𝑟((𝑟 Er 𝑊 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑊 ∀𝑖 ∈ (0...(♯‘𝑢))∀𝑎 ∈ 𝐼 ∀𝑏 ∈ 2o 𝑢𝑟(𝑢 splice 〈𝑖, 𝑖, 〈“〈𝑎, 𝑏〉〈𝑎, (1o ∖ 𝑏)〉”〉〉)) →
〈𝐴, (𝐴 splice 〈𝑁, 𝑁, 〈“〈𝐽, 𝐾〉〈𝐽, (1o ∖ 𝐾)〉”〉〉)〉 ∈
𝑟)) |
| 38 | 35, 37 | sylibr 234 |
. . 3
⊢ (((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐴))) ∧ (𝐽 ∈ 𝐼 ∧ 𝐾 ∈ 2o)) → 〈𝐴, (𝐴 splice 〈𝑁, 𝑁, 〈“〈𝐽, 𝐾〉〈𝐽, (1o ∖ 𝐾)〉”〉〉)〉 ∈
∩ {𝑟 ∣ (𝑟 Er 𝑊 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑊 ∀𝑖 ∈ (0...(♯‘𝑢))∀𝑎 ∈ 𝐼 ∀𝑏 ∈ 2o 𝑢𝑟(𝑢 splice 〈𝑖, 𝑖, 〈“〈𝑎, 𝑏〉〈𝑎, (1o ∖ 𝑏)〉”〉〉))}) |
| 39 | | efgval.w |
. . . 4
⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 ×
2o)) |
| 40 | | efgval.r |
. . . 4
⊢ ∼ = (
~FG ‘𝐼) |
| 41 | 39, 40 | efgval 19735 |
. . 3
⊢ ∼ =
∩ {𝑟 ∣ (𝑟 Er 𝑊 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑊 ∀𝑖 ∈ (0...(♯‘𝑢))∀𝑎 ∈ 𝐼 ∀𝑏 ∈ 2o 𝑢𝑟(𝑢 splice 〈𝑖, 𝑖, 〈“〈𝑎, 𝑏〉〈𝑎, (1o ∖ 𝑏)〉”〉〉))} |
| 42 | 38, 41 | eleqtrrdi 2852 |
. 2
⊢ (((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐴))) ∧ (𝐽 ∈ 𝐼 ∧ 𝐾 ∈ 2o)) → 〈𝐴, (𝐴 splice 〈𝑁, 𝑁, 〈“〈𝐽, 𝐾〉〈𝐽, (1o ∖ 𝐾)〉”〉〉)〉 ∈
∼
) |
| 43 | | df-br 5144 |
. 2
⊢ (𝐴 ∼ (𝐴 splice 〈𝑁, 𝑁, 〈“〈𝐽, 𝐾〉〈𝐽, (1o ∖ 𝐾)〉”〉〉) ↔
〈𝐴, (𝐴 splice 〈𝑁, 𝑁, 〈“〈𝐽, 𝐾〉〈𝐽, (1o ∖ 𝐾)〉”〉〉)〉 ∈
∼
) |
| 44 | 42, 43 | sylibr 234 |
1
⊢ (((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐴))) ∧ (𝐽 ∈ 𝐼 ∧ 𝐾 ∈ 2o)) → 𝐴 ∼ (𝐴 splice 〈𝑁, 𝑁, 〈“〈𝐽, 𝐾〉〈𝐽, (1o ∖ 𝐾)〉”〉〉)) |