Theorem efgi1 19986

Description: Value of the free group construction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Feb-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
efgval.w	⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
efgval.r	⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)

Assertion

Ref	Expression
efgi1	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐴)) ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) → 𝐴 ∼ (𝐴 splice ⟨𝑁, 𝑁, ⟨“⟨𝐽, 1o⟩⟨𝐽, ∅⟩”⟩⟩))

Proof of Theorem efgi1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1oelpr 8525	. . . . 5 ⊢ 1o ∈ {∅, 1o}
2		df2o3 8522	. . . . 5 ⊢ 2o = {∅, 1o}
3	1, 2	eleqtrri 2863	. . . 4 ⊢ 1o ∈ 2o
4		efgval.w	. . . . 5 ⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
5		efgval.r	. . . . 5 ⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
6	4, 5	efgi 19984	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐴))) ∧ (𝐽 ∈ 𝐼 ∧ 1o ∈ 2o)) → 𝐴 ∼ (𝐴 splice ⟨𝑁, 𝑁, ⟨“⟨𝐽, 1o⟩⟨𝐽, (1o ∖ 1o)⟩”⟩⟩))
7	3, 6	mpanr2 717	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐴))) ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) → 𝐴 ∼ (𝐴 splice ⟨𝑁, 𝑁, ⟨“⟨𝐽, 1o⟩⟨𝐽, (1o ∖ 1o)⟩”⟩⟩))
8	7	3impa 1127	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐴)) ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) → 𝐴 ∼ (𝐴 splice ⟨𝑁, 𝑁, ⟨“⟨𝐽, 1o⟩⟨𝐽, (1o ∖ 1o)⟩”⟩⟩))
9		tru 1574	. . . 4 ⊢ ⊤
10		eqidd 2764	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ⟨𝐽, 1o⟩ = ⟨𝐽, 1o⟩)
11		difid 4328	. . . . . . 7 ⊢ (1o ∖ 1o) = ∅
12	11	opeq2i 4849	. . . . . 6 ⊢ ⟨𝐽, (1o ∖ 1o)⟩ = ⟨𝐽, ∅⟩
13	12	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ⟨𝐽, (1o ∖ 1o)⟩ = ⟨𝐽, ∅⟩)
14	10, 13	s2eqd 15056	. . . 4 ⊢ (⊤ → ⟨“⟨𝐽, 1o⟩⟨𝐽, (1o ∖ 1o)⟩”⟩ = ⟨“⟨𝐽, 1o⟩⟨𝐽, ∅⟩”⟩)
15		oteq3 4867	. . . 4 ⊢ (⟨“⟨𝐽, 1o⟩⟨𝐽, (1o ∖ 1o)⟩”⟩ = ⟨“⟨𝐽, 1o⟩⟨𝐽, ∅⟩”⟩ → ⟨𝑁, 𝑁, ⟨“⟨𝐽, 1o⟩⟨𝐽, (1o ∖ 1o)⟩”⟩⟩ = ⟨𝑁, 𝑁, ⟨“⟨𝐽, 1o⟩⟨𝐽, ∅⟩”⟩⟩)
16	9, 14, 15	mp2b 10	. . 3 ⊢ ⟨𝑁, 𝑁, ⟨“⟨𝐽, 1o⟩⟨𝐽, (1o ∖ 1o)⟩”⟩⟩ = ⟨𝑁, 𝑁, ⟨“⟨𝐽, 1o⟩⟨𝐽, ∅⟩”⟩⟩
17	16	oveq2i 7462	. 2 ⊢ (𝐴 splice ⟨𝑁, 𝑁, ⟨“⟨𝐽, 1o⟩⟨𝐽, (1o ∖ 1o)⟩”⟩⟩) = (𝐴 splice ⟨𝑁, 𝑁, ⟨“⟨𝐽, 1o⟩⟨𝐽, ∅⟩”⟩⟩)
18	8, 17	breqtrdi 5152	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐴)) ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) → 𝐴 ∼ (𝐴 splice ⟨𝑁, 𝑁, ⟨“⟨𝐽, 1o⟩⟨𝐽, ∅⟩”⟩⟩))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570  ⊤wtru 1571   ∈ wcel 2147   ∖ cdif 4048  ∅c0 4281  {cpr 4590  ⟨cop 4840  ⟨cotp 4863   class class class wbr 5108   I cid 5552   × cxp 5656  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  1_oc1o 8507  2_oc2o 8508  0cc0 11239  ...cfz 13679  ♯chash 14515  Word cword 14699   splice csplice 14940  ⟨“cs2 15034   ~_FG cefg 19971

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-ot 4864  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-2o 8515  df-er 8755  df-map 8887  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-card 10057  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-fz 13680  df-fzo 13829  df-hash 14516  df-word 14700  df-concat 14757  df-s1 14784  df-substr 14831  df-pfx 14863  df-splice 14941  df-s2 15041  df-efg 19974

This theorem is used by: (None)