MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efgi1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efgi1 18341
Description: Value of the free group construction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Feb-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
efgval.w 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜))
efgval.r = ( ~FG𝐼)
Assertion
Ref Expression
efgi1 ((𝐴𝑊𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐴)) ∧ 𝐽𝐼) → 𝐴 (𝐴 splice ⟨𝑁, 𝑁, ⟨“⟨𝐽, 1𝑜⟩⟨𝐽, ∅⟩”⟩⟩))

Proof of Theorem efgi1
StepHypRef Expression
1 1oex 7725 . . . . . 6 1𝑜 ∈ V
21prid2 4435 . . . . 5 1𝑜 ∈ {∅, 1𝑜}
3 df2o3 7731 . . . . 5 2𝑜 = {∅, 1𝑜}
42, 3eleqtrri 2849 . . . 4 1𝑜 ∈ 2𝑜
5 efgval.w . . . . 5 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜))
6 efgval.r . . . . 5 = ( ~FG𝐼)
75, 6efgi 18339 . . . 4 (((𝐴𝑊𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐴))) ∧ (𝐽𝐼 ∧ 1𝑜 ∈ 2𝑜)) → 𝐴 (𝐴 splice ⟨𝑁, 𝑁, ⟨“⟨𝐽, 1𝑜⟩⟨𝐽, (1𝑜 ∖ 1𝑜)⟩”⟩⟩))
84, 7mpanr2 684 . . 3 (((𝐴𝑊𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐴))) ∧ 𝐽𝐼) → 𝐴 (𝐴 splice ⟨𝑁, 𝑁, ⟨“⟨𝐽, 1𝑜⟩⟨𝐽, (1𝑜 ∖ 1𝑜)⟩”⟩⟩))
983impa 1100 . 2 ((𝐴𝑊𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐴)) ∧ 𝐽𝐼) → 𝐴 (𝐴 splice ⟨𝑁, 𝑁, ⟨“⟨𝐽, 1𝑜⟩⟨𝐽, (1𝑜 ∖ 1𝑜)⟩”⟩⟩))
10 tru 1635 . . . 4
11 eqidd 2772 . . . . 5 (⊤ → ⟨𝐽, 1𝑜⟩ = ⟨𝐽, 1𝑜⟩)
12 difid 4096 . . . . . . 7 (1𝑜 ∖ 1𝑜) = ∅
1312opeq2i 4544 . . . . . 6 𝐽, (1𝑜 ∖ 1𝑜)⟩ = ⟨𝐽, ∅⟩
1413a1i 11 . . . . 5 (⊤ → ⟨𝐽, (1𝑜 ∖ 1𝑜)⟩ = ⟨𝐽, ∅⟩)
1511, 14s2eqd 13817 . . . 4 (⊤ → ⟨“⟨𝐽, 1𝑜⟩⟨𝐽, (1𝑜 ∖ 1𝑜)⟩”⟩ = ⟨“⟨𝐽, 1𝑜⟩⟨𝐽, ∅⟩”⟩)
16 oteq3 4551 . . . 4 (⟨“⟨𝐽, 1𝑜⟩⟨𝐽, (1𝑜 ∖ 1𝑜)⟩”⟩ = ⟨“⟨𝐽, 1𝑜⟩⟨𝐽, ∅⟩”⟩ → ⟨𝑁, 𝑁, ⟨“⟨𝐽, 1𝑜⟩⟨𝐽, (1𝑜 ∖ 1𝑜)⟩”⟩⟩ = ⟨𝑁, 𝑁, ⟨“⟨𝐽, 1𝑜⟩⟨𝐽, ∅⟩”⟩⟩)
1710, 15, 16mp2b 10 . . 3 𝑁, 𝑁, ⟨“⟨𝐽, 1𝑜⟩⟨𝐽, (1𝑜 ∖ 1𝑜)⟩”⟩⟩ = ⟨𝑁, 𝑁, ⟨“⟨𝐽, 1𝑜⟩⟨𝐽, ∅⟩”⟩⟩
1817oveq2i 6807 . 2 (𝐴 splice ⟨𝑁, 𝑁, ⟨“⟨𝐽, 1𝑜⟩⟨𝐽, (1𝑜 ∖ 1𝑜)⟩”⟩⟩) = (𝐴 splice ⟨𝑁, 𝑁, ⟨“⟨𝐽, 1𝑜⟩⟨𝐽, ∅⟩”⟩⟩)
199, 18syl6breq 4828 1 ((𝐴𝑊𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐴)) ∧ 𝐽𝐼) → 𝐴 (𝐴 splice ⟨𝑁, 𝑁, ⟨“⟨𝐽, 1𝑜⟩⟨𝐽, ∅⟩”⟩⟩))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wtru 1632  wcel 2145  cdif 3720  c0 4063  {cpr 4319  cop 4323  cotp 4325   class class class wbr 4787   I cid 5157   × cxp 5248  cfv 6030  (class class class)co 6796  1𝑜c1o 7710  2𝑜c2o 7711  0cc0 10142  ...cfz 12533  chash 13321  Word cword 13487   splice csplice 13492  ⟨“cs2 13795   ~FG cefg 18326
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-ot 4326  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-2o 7718  df-oadd 7721  df-er 7900  df-map 8015  df-pm 8016  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-card 8969  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-nn 11227  df-n0 11500  df-z 11585  df-uz 11894  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-hash 13322  df-word 13495  df-concat 13497  df-s1 13498  df-substr 13499  df-splice 13500  df-s2 13802  df-efg 18329
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator