Theorem efgi1 19740

Description: Value of the free group construction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Feb-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
efgval.w	⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
efgval.r	⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)

Assertion

Ref	Expression
efgi1	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐴)) ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) → 𝐴 ∼ (𝐴 splice ⟨𝑁, 𝑁, ⟨“⟨𝐽, 1o⟩⟨𝐽, ∅⟩”⟩⟩))

Proof of Theorem efgi1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1oex 8517	. . . . . 6 ⊢ 1o ∈ V
2	1	prid2 4762	. . . . 5 ⊢ 1o ∈ {∅, 1o}
3		df2o3 8515	. . . . 5 ⊢ 2o = {∅, 1o}
4	2, 3	eleqtrri 2839	. . . 4 ⊢ 1o ∈ 2o
5		efgval.w	. . . . 5 ⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
6		efgval.r	. . . . 5 ⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
7	5, 6	efgi 19738	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐴))) ∧ (𝐽 ∈ 𝐼 ∧ 1o ∈ 2o)) → 𝐴 ∼ (𝐴 splice ⟨𝑁, 𝑁, ⟨“⟨𝐽, 1o⟩⟨𝐽, (1o ∖ 1o)⟩”⟩⟩))
8	4, 7	mpanr2 704	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐴))) ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) → 𝐴 ∼ (𝐴 splice ⟨𝑁, 𝑁, ⟨“⟨𝐽, 1o⟩⟨𝐽, (1o ∖ 1o)⟩”⟩⟩))
9	8	3impa 1109	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐴)) ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) → 𝐴 ∼ (𝐴 splice ⟨𝑁, 𝑁, ⟨“⟨𝐽, 1o⟩⟨𝐽, (1o ∖ 1o)⟩”⟩⟩))
10		tru 1543	. . . 4 ⊢ ⊤
11		eqidd 2737	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ⟨𝐽, 1o⟩ = ⟨𝐽, 1o⟩)
12		difid 4375	. . . . . . 7 ⊢ (1o ∖ 1o) = ∅
13	12	opeq2i 4876	. . . . . 6 ⊢ ⟨𝐽, (1o ∖ 1o)⟩ = ⟨𝐽, ∅⟩
14	13	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ⟨𝐽, (1o ∖ 1o)⟩ = ⟨𝐽, ∅⟩)
15	11, 14	s2eqd 14903	. . . 4 ⊢ (⊤ → ⟨“⟨𝐽, 1o⟩⟨𝐽, (1o ∖ 1o)⟩”⟩ = ⟨“⟨𝐽, 1o⟩⟨𝐽, ∅⟩”⟩)
16		oteq3 4883	. . . 4 ⊢ (⟨“⟨𝐽, 1o⟩⟨𝐽, (1o ∖ 1o)⟩”⟩ = ⟨“⟨𝐽, 1o⟩⟨𝐽, ∅⟩”⟩ → ⟨𝑁, 𝑁, ⟨“⟨𝐽, 1o⟩⟨𝐽, (1o ∖ 1o)⟩”⟩⟩ = ⟨𝑁, 𝑁, ⟨“⟨𝐽, 1o⟩⟨𝐽, ∅⟩”⟩⟩)
17	10, 15, 16	mp2b 10	. . 3 ⊢ ⟨𝑁, 𝑁, ⟨“⟨𝐽, 1o⟩⟨𝐽, (1o ∖ 1o)⟩”⟩⟩ = ⟨𝑁, 𝑁, ⟨“⟨𝐽, 1o⟩⟨𝐽, ∅⟩”⟩⟩
18	17	oveq2i 7443	. 2 ⊢ (𝐴 splice ⟨𝑁, 𝑁, ⟨“⟨𝐽, 1o⟩⟨𝐽, (1o ∖ 1o)⟩”⟩⟩) = (𝐴 splice ⟨𝑁, 𝑁, ⟨“⟨𝐽, 1o⟩⟨𝐽, ∅⟩”⟩⟩)
19	9, 18	breqtrdi 5183	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐴)) ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) → 𝐴 ∼ (𝐴 splice ⟨𝑁, 𝑁, ⟨“⟨𝐽, 1o⟩⟨𝐽, ∅⟩”⟩⟩))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1539  ⊤wtru 1540   ∈ wcel 2107   ∖ cdif 3947  ∅c0 4332  {cpr 4627  ⟨cop 4631  ⟨cotp 4633   class class class wbr 5142   I cid 5576   × cxp 5682  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432  1_oc1o 8500  2_oc2o 8501  0cc0 11156  ...cfz 13548  ♯chash 14370  Word cword 14553   splice csplice 14788  ⟨“cs2 14881   ~_FG cefg 19725

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-ot 4634  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-2o 8508  df-er 8746  df-map 8869  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-hash 14371  df-word 14554  df-concat 14610  df-s1 14635  df-substr 14680  df-pfx 14710  df-splice 14789  df-s2 14888  df-efg 19728

This theorem is referenced by: (None)