Theorem efgi1 19707

Description: Value of the free group construction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Feb-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
efgval.w	⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
efgval.r	⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)

Assertion

Ref	Expression
efgi1	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐴)) ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) → 𝐴 ∼ (𝐴 splice ⟨𝑁, 𝑁, ⟨“⟨𝐽, 1o⟩⟨𝐽, ∅⟩”⟩⟩))

Proof of Theorem efgi1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1oex 8495	. . . . . 6 ⊢ 1o ∈ V
2	1	prid2 4744	. . . . 5 ⊢ 1o ∈ {∅, 1o}
3		df2o3 8493	. . . . 5 ⊢ 2o = {∅, 1o}
4	2, 3	eleqtrri 2834	. . . 4 ⊢ 1o ∈ 2o
5		efgval.w	. . . . 5 ⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
6		efgval.r	. . . . 5 ⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
7	5, 6	efgi 19705	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐴))) ∧ (𝐽 ∈ 𝐼 ∧ 1o ∈ 2o)) → 𝐴 ∼ (𝐴 splice ⟨𝑁, 𝑁, ⟨“⟨𝐽, 1o⟩⟨𝐽, (1o ∖ 1o)⟩”⟩⟩))
8	4, 7	mpanr2 704	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐴))) ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) → 𝐴 ∼ (𝐴 splice ⟨𝑁, 𝑁, ⟨“⟨𝐽, 1o⟩⟨𝐽, (1o ∖ 1o)⟩”⟩⟩))
9	8	3impa 1109	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐴)) ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) → 𝐴 ∼ (𝐴 splice ⟨𝑁, 𝑁, ⟨“⟨𝐽, 1o⟩⟨𝐽, (1o ∖ 1o)⟩”⟩⟩))
10		tru 1544	. . . 4 ⊢ ⊤
11		eqidd 2737	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ⟨𝐽, 1o⟩ = ⟨𝐽, 1o⟩)
12		difid 4356	. . . . . . 7 ⊢ (1o ∖ 1o) = ∅
13	12	opeq2i 4858	. . . . . 6 ⊢ ⟨𝐽, (1o ∖ 1o)⟩ = ⟨𝐽, ∅⟩
14	13	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ⟨𝐽, (1o ∖ 1o)⟩ = ⟨𝐽, ∅⟩)
15	11, 14	s2eqd 14887	. . . 4 ⊢ (⊤ → ⟨“⟨𝐽, 1o⟩⟨𝐽, (1o ∖ 1o)⟩”⟩ = ⟨“⟨𝐽, 1o⟩⟨𝐽, ∅⟩”⟩)
16		oteq3 4865	. . . 4 ⊢ (⟨“⟨𝐽, 1o⟩⟨𝐽, (1o ∖ 1o)⟩”⟩ = ⟨“⟨𝐽, 1o⟩⟨𝐽, ∅⟩”⟩ → ⟨𝑁, 𝑁, ⟨“⟨𝐽, 1o⟩⟨𝐽, (1o ∖ 1o)⟩”⟩⟩ = ⟨𝑁, 𝑁, ⟨“⟨𝐽, 1o⟩⟨𝐽, ∅⟩”⟩⟩)
17	10, 15, 16	mp2b 10	. . 3 ⊢ ⟨𝑁, 𝑁, ⟨“⟨𝐽, 1o⟩⟨𝐽, (1o ∖ 1o)⟩”⟩⟩ = ⟨𝑁, 𝑁, ⟨“⟨𝐽, 1o⟩⟨𝐽, ∅⟩”⟩⟩
18	17	oveq2i 7421	. 2 ⊢ (𝐴 splice ⟨𝑁, 𝑁, ⟨“⟨𝐽, 1o⟩⟨𝐽, (1o ∖ 1o)⟩”⟩⟩) = (𝐴 splice ⟨𝑁, 𝑁, ⟨“⟨𝐽, 1o⟩⟨𝐽, ∅⟩”⟩⟩)
19	9, 18	breqtrdi 5165	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐴)) ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) → 𝐴 ∼ (𝐴 splice ⟨𝑁, 𝑁, ⟨“⟨𝐽, 1o⟩⟨𝐽, ∅⟩”⟩⟩))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540  ⊤wtru 1541   ∈ wcel 2109   ∖ cdif 3928  ∅c0 4313  {cpr 4608  ⟨cop 4612  ⟨cotp 4614   class class class wbr 5124   I cid 5552   × cxp 5657  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  1_oc1o 8478  2_oc2o 8479  0cc0 11134  ...cfz 13529  ♯chash 14353  Word cword 14536   splice csplice 14772  ⟨“cs2 14865   ~_FG cefg 19692

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-ot 4615  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-er 8724  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-card 9958  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12858  df-fz 13530  df-fzo 13677  df-hash 14354  df-word 14537  df-concat 14594  df-s1 14619  df-substr 14664  df-pfx 14694  df-splice 14773  df-s2 14872  df-efg 19695

This theorem is referenced by: (None)