Theorem efgi1 19588

Description: Value of the free group construction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Feb-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
efgval.w	⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
efgval.r	⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)

Assertion

Ref	Expression
efgi1	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐴)) ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) → 𝐴 ∼ (𝐴 splice ⟨𝑁, 𝑁, ⟨“⟨𝐽, 1o⟩⟨𝐽, ∅⟩”⟩⟩))

Proof of Theorem efgi1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1oex 8475	. . . . . 6 ⊢ 1o ∈ V
2	1	prid2 4767	. . . . 5 ⊢ 1o ∈ {∅, 1o}
3		df2o3 8473	. . . . 5 ⊢ 2o = {∅, 1o}
4	2, 3	eleqtrri 2832	. . . 4 ⊢ 1o ∈ 2o
5		efgval.w	. . . . 5 ⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
6		efgval.r	. . . . 5 ⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
7	5, 6	efgi 19586	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐴))) ∧ (𝐽 ∈ 𝐼 ∧ 1o ∈ 2o)) → 𝐴 ∼ (𝐴 splice ⟨𝑁, 𝑁, ⟨“⟨𝐽, 1o⟩⟨𝐽, (1o ∖ 1o)⟩”⟩⟩))
8	4, 7	mpanr2 702	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐴))) ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) → 𝐴 ∼ (𝐴 splice ⟨𝑁, 𝑁, ⟨“⟨𝐽, 1o⟩⟨𝐽, (1o ∖ 1o)⟩”⟩⟩))
9	8	3impa 1110	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐴)) ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) → 𝐴 ∼ (𝐴 splice ⟨𝑁, 𝑁, ⟨“⟨𝐽, 1o⟩⟨𝐽, (1o ∖ 1o)⟩”⟩⟩))
10		tru 1545	. . . 4 ⊢ ⊤
11		eqidd 2733	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ⟨𝐽, 1o⟩ = ⟨𝐽, 1o⟩)
12		difid 4370	. . . . . . 7 ⊢ (1o ∖ 1o) = ∅
13	12	opeq2i 4877	. . . . . 6 ⊢ ⟨𝐽, (1o ∖ 1o)⟩ = ⟨𝐽, ∅⟩
14	13	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ⟨𝐽, (1o ∖ 1o)⟩ = ⟨𝐽, ∅⟩)
15	11, 14	s2eqd 14813	. . . 4 ⊢ (⊤ → ⟨“⟨𝐽, 1o⟩⟨𝐽, (1o ∖ 1o)⟩”⟩ = ⟨“⟨𝐽, 1o⟩⟨𝐽, ∅⟩”⟩)
16		oteq3 4884	. . . 4 ⊢ (⟨“⟨𝐽, 1o⟩⟨𝐽, (1o ∖ 1o)⟩”⟩ = ⟨“⟨𝐽, 1o⟩⟨𝐽, ∅⟩”⟩ → ⟨𝑁, 𝑁, ⟨“⟨𝐽, 1o⟩⟨𝐽, (1o ∖ 1o)⟩”⟩⟩ = ⟨𝑁, 𝑁, ⟨“⟨𝐽, 1o⟩⟨𝐽, ∅⟩”⟩⟩)
17	10, 15, 16	mp2b 10	. . 3 ⊢ ⟨𝑁, 𝑁, ⟨“⟨𝐽, 1o⟩⟨𝐽, (1o ∖ 1o)⟩”⟩⟩ = ⟨𝑁, 𝑁, ⟨“⟨𝐽, 1o⟩⟨𝐽, ∅⟩”⟩⟩
18	17	oveq2i 7419	. 2 ⊢ (𝐴 splice ⟨𝑁, 𝑁, ⟨“⟨𝐽, 1o⟩⟨𝐽, (1o ∖ 1o)⟩”⟩⟩) = (𝐴 splice ⟨𝑁, 𝑁, ⟨“⟨𝐽, 1o⟩⟨𝐽, ∅⟩”⟩⟩)
19	9, 18	breqtrdi 5189	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐴)) ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) → 𝐴 ∼ (𝐴 splice ⟨𝑁, 𝑁, ⟨“⟨𝐽, 1o⟩⟨𝐽, ∅⟩”⟩⟩))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541  ⊤wtru 1542   ∈ wcel 2106   ∖ cdif 3945  ∅c0 4322  {cpr 4630  ⟨cop 4634  ⟨cotp 4636   class class class wbr 5148   I cid 5573   × cxp 5674  ‘cfv 6543  (class class class)co 7408  1_oc1o 8458  2_oc2o 8459  0cc0 11109  ...cfz 13483  ♯chash 14289  Word cword 14463   splice csplice 14698  ⟨“cs2 14791   ~_FG cefg 19573

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-ot 4637  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-2o 8466  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-hash 14290  df-word 14464  df-concat 14520  df-s1 14545  df-substr 14590  df-pfx 14620  df-splice 14699  df-s2 14798  df-efg 19576

This theorem is referenced by: (None)