Theorem efgi1 19935

Description: Value of the free group construction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Feb-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
efgval.w	⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
efgval.r	⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)

Assertion

Ref	Expression
efgi1	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐴)) ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) → 𝐴 ∼ (𝐴 splice ⟨𝑁, 𝑁, ⟨“⟨𝐽, 1o⟩⟨𝐽, ∅⟩”⟩⟩))

Proof of Theorem efgi1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1oelpr 8487	. . . . 5 ⊢ 1o ∈ {∅, 1o}
2		df2o3 8484	. . . . 5 ⊢ 2o = {∅, 1o}
3	1, 2	eleqtrri 2860	. . . 4 ⊢ 1o ∈ 2o
4		efgval.w	. . . . 5 ⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
5		efgval.r	. . . . 5 ⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
6	4, 5	efgi 19933	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐴))) ∧ (𝐽 ∈ 𝐼 ∧ 1o ∈ 2o)) → 𝐴 ∼ (𝐴 splice ⟨𝑁, 𝑁, ⟨“⟨𝐽, 1o⟩⟨𝐽, (1o ∖ 1o)⟩”⟩⟩))
7	3, 6	mpanr2 717	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐴))) ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) → 𝐴 ∼ (𝐴 splice ⟨𝑁, 𝑁, ⟨“⟨𝐽, 1o⟩⟨𝐽, (1o ∖ 1o)⟩”⟩⟩))
8	7	3impa 1127	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐴)) ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) → 𝐴 ∼ (𝐴 splice ⟨𝑁, 𝑁, ⟨“⟨𝐽, 1o⟩⟨𝐽, (1o ∖ 1o)⟩”⟩⟩))
9		tru 1574	. . . 4 ⊢ ⊤
10		eqidd 2762	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ⟨𝐽, 1o⟩ = ⟨𝐽, 1o⟩)
11		difid 4325	. . . . . . 7 ⊢ (1o ∖ 1o) = ∅
12	11	opeq2i 4837	. . . . . 6 ⊢ ⟨𝐽, (1o ∖ 1o)⟩ = ⟨𝐽, ∅⟩
13	12	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ⟨𝐽, (1o ∖ 1o)⟩ = ⟨𝐽, ∅⟩)
14	10, 13	s2eqd 15014	. . . 4 ⊢ (⊤ → ⟨“⟨𝐽, 1o⟩⟨𝐽, (1o ∖ 1o)⟩”⟩ = ⟨“⟨𝐽, 1o⟩⟨𝐽, ∅⟩”⟩)
15		oteq3 4844	. . . 4 ⊢ (⟨“⟨𝐽, 1o⟩⟨𝐽, (1o ∖ 1o)⟩”⟩ = ⟨“⟨𝐽, 1o⟩⟨𝐽, ∅⟩”⟩ → ⟨𝑁, 𝑁, ⟨“⟨𝐽, 1o⟩⟨𝐽, (1o ∖ 1o)⟩”⟩⟩ = ⟨𝑁, 𝑁, ⟨“⟨𝐽, 1o⟩⟨𝐽, ∅⟩”⟩⟩)
16	9, 14, 15	mp2b 10	. . 3 ⊢ ⟨𝑁, 𝑁, ⟨“⟨𝐽, 1o⟩⟨𝐽, (1o ∖ 1o)⟩”⟩⟩ = ⟨𝑁, 𝑁, ⟨“⟨𝐽, 1o⟩⟨𝐽, ∅⟩”⟩⟩
17	16	oveq2i 7431	. 2 ⊢ (𝐴 splice ⟨𝑁, 𝑁, ⟨“⟨𝐽, 1o⟩⟨𝐽, (1o ∖ 1o)⟩”⟩⟩) = (𝐴 splice ⟨𝑁, 𝑁, ⟨“⟨𝐽, 1o⟩⟨𝐽, ∅⟩”⟩⟩)
18	8, 17	breqtrdi 5146	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐴)) ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) → 𝐴 ∼ (𝐴 splice ⟨𝑁, 𝑁, ⟨“⟨𝐽, 1o⟩⟨𝐽, ∅⟩”⟩⟩))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570  ⊤wtru 1571   ∈ wcel 2145   ∖ cdif 3896  ∅c0 4279  {cpr 4586  ⟨cop 4590  ⟨cotp 4592   class class class wbr 5103   I cid 5545   × cxp 5649  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  1_oc1o 8469  2_oc2o 8470  0cc0 11200  ...cfz 13639  ♯chash 14474  Word cword 14658   splice csplice 14898  ⟨“cs2 14992   ~_FG cefg 19920

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-ot 4593  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-er 8717  df-map 8849  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-hash 14475  df-word 14659  df-concat 14716  df-s1 14743  df-substr 14789  df-pfx 14821  df-splice 14899  df-s2 14999  df-efg 19923

This theorem is used by: (None)