Theorem symgid 18303

Description: The group identity element of the symmetric group on a set 𝐴. (Contributed by Paul Chapman, 25-Jul-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
symggrp.1	⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
symgid	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ( I ↾ 𝐴) = (0g‘𝐺))

Proof of Theorem symgid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1oi 6479	. . . . . 6 ⊢ ( I ↾ 𝐴):𝐴–1-1-onto→𝐴
2		symggrp.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
3		eqid 2773	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
4	2, 3	elsymgbas 18284	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (( I ↾ 𝐴) ∈ (Base‘𝐺) ↔ ( I ↾ 𝐴):𝐴–1-1-onto→𝐴))
5	1, 4	mpbiri 250	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ( I ↾ 𝐴) ∈ (Base‘𝐺))
6		eqid 2773	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
7	2, 3, 6	symgov 18292	. . . . 5 ⊢ ((( I ↾ 𝐴) ∈ (Base‘𝐺) ∧ ( I ↾ 𝐴) ∈ (Base‘𝐺)) → (( I ↾ 𝐴)(+g‘𝐺)( I ↾ 𝐴)) = (( I ↾ 𝐴) ∘ ( I ↾ 𝐴)))
8	5, 5, 7	syl2anc 576	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (( I ↾ 𝐴)(+g‘𝐺)( I ↾ 𝐴)) = (( I ↾ 𝐴) ∘ ( I ↾ 𝐴)))
9		f1of 6442	. . . . 5 ⊢ (( I ↾ 𝐴):𝐴–1-1-onto→𝐴 → ( I ↾ 𝐴):𝐴⟶𝐴)
10		fcoi1 6379	. . . . 5 ⊢ (( I ↾ 𝐴):𝐴⟶𝐴 → (( I ↾ 𝐴) ∘ ( I ↾ 𝐴)) = ( I ↾ 𝐴))
11	1, 9, 10	mp2b 10	. . . 4 ⊢ (( I ↾ 𝐴) ∘ ( I ↾ 𝐴)) = ( I ↾ 𝐴)
12	8, 11	syl6eq 2825	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (( I ↾ 𝐴)(+g‘𝐺)( I ↾ 𝐴)) = ( I ↾ 𝐴))
13	2	symggrp 18302	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ Grp)
14		eqid 2773	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
15	3, 6, 14	grpid 17939	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ( I ↾ 𝐴) ∈ (Base‘𝐺)) → ((( I ↾ 𝐴)(+g‘𝐺)( I ↾ 𝐴)) = ( I ↾ 𝐴) ↔ (0g‘𝐺) = ( I ↾ 𝐴)))
16	13, 5, 15	syl2anc 576	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((( I ↾ 𝐴)(+g‘𝐺)( I ↾ 𝐴)) = ( I ↾ 𝐴) ↔ (0g‘𝐺) = ( I ↾ 𝐴)))
17	12, 16	mpbid 224	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (0g‘𝐺) = ( I ↾ 𝐴))
18	17	eqcomd 2779	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ( I ↾ 𝐴) = (0g‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   = wceq 1508   ∈ wcel 2051   I cid 5308   ↾ cres 5406   ∘ ccom 5408  ⟶wf 6182  –1-1-onto→wf1o 6185  ‘cfv 6186  (class class class)co 6975  Basecbs 16338  +_gcplusg 16420  0_gc0g 16568  Grpcgrp 17904  SymGrpcsymg 18279

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2745  ax-rep 5046  ax-sep 5057  ax-nul 5064  ax-pow 5116  ax-pr 5183  ax-un 7278  ax-cnex 10390  ax-resscn 10391  ax-1cn 10392  ax-icn 10393  ax-addcl 10394  ax-addrcl 10395  ax-mulcl 10396  ax-mulrcl 10397  ax-mulcom 10398  ax-addass 10399  ax-mulass 10400  ax-distr 10401  ax-i2m1 10402  ax-1ne0 10403  ax-1rid 10404  ax-rnegex 10405  ax-rrecex 10406  ax-cnre 10407  ax-pre-lttri 10408  ax-pre-lttrn 10409  ax-pre-ltadd 10410  ax-pre-mulgt0 10411

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2754  df-cleq 2766  df-clel 2841  df-nfc 2913  df-ne 2963  df-nel 3069  df-ral 3088  df-rex 3089  df-reu 3090  df-rmo 3091  df-rab 3092  df-v 3412  df-sbc 3677  df-csb 3782  df-dif 3827  df-un 3829  df-in 3831  df-ss 3838  df-pss 3840  df-nul 4174  df-if 4346  df-pw 4419  df-sn 4437  df-pr 4439  df-tp 4441  df-op 4443  df-uni 4710  df-int 4747  df-iun 4791  df-br 4927  df-opab 4989  df-mpt 5006  df-tr 5028  df-id 5309  df-eprel 5314  df-po 5323  df-so 5324  df-fr 5363  df-we 5365  df-xp 5410  df-rel 5411  df-cnv 5412  df-co 5413  df-dm 5414  df-rn 5415  df-res 5416  df-ima 5417  df-pred 5984  df-ord 6030  df-on 6031  df-lim 6032  df-suc 6033  df-iota 6150  df-fun 6188  df-fn 6189  df-f 6190  df-f1 6191  df-fo 6192  df-f1o 6193  df-fv 6194  df-riota 6936  df-ov 6978  df-oprab 6979  df-mpo 6980  df-om 7396  df-1st 7500  df-2nd 7501  df-wrecs 7749  df-recs 7811  df-rdg 7849  df-1o 7904  df-oadd 7908  df-er 8088  df-map 8207  df-en 8306  df-dom 8307  df-sdom 8308  df-fin 8309  df-pnf 10475  df-mnf 10476  df-xr 10477  df-ltxr 10478  df-le 10479  df-sub 10671  df-neg 10672  df-nn 11439  df-2 11502  df-3 11503  df-4 11504  df-5 11505  df-6 11506  df-7 11507  df-8 11508  df-9 11509  df-n0 11707  df-z 11793  df-uz 12058  df-fz 12708  df-struct 16340  df-ndx 16341  df-slot 16342  df-base 16344  df-plusg 16433  df-tset 16439  df-0g 16570  df-mgm 17723  df-sgrp 17765  df-mnd 17776  df-grp 17907  df-symg 18280

This theorem is referenced by:  symginv  18304  lactghmga  18306  idressubgsymg  18312  cayleylem2  18315  gsmsymgrfix  18330  gsmsymgreq  18334  symgsssg  18369  symgfisg  18370  symggen  18372  psgnunilem2  18398  psgnuni  18402  psgn0fv0  18414  psgnsn  18423  psgnprfval1  18425  madetsumid  20790  mdetdiag  20928  mdetunilem7  20947  psgnid  30493  cyc3genpmlem  30497