Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stirlinglem8 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stirlinglem8 44797
Description: If 𝐴 converges to 𝐢, then 𝐹 converges to C^2 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stirlinglem8.1 β„²π‘›πœ‘
stirlinglem8.2 Ⅎ𝑛𝐴
stirlinglem8.3 Ⅎ𝑛𝐷
stirlinglem8.4 𝐷 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (π΄β€˜(2 Β· 𝑛)))
stirlinglem8.5 (πœ‘ β†’ 𝐴:β„•βŸΆβ„+)
stirlinglem8.6 𝐹 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (((π΄β€˜π‘›)↑4) / ((π·β€˜π‘›)↑2)))
stirlinglem8.7 𝐿 = (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π΄β€˜π‘›)↑4))
stirlinglem8.8 𝑀 = (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π·β€˜π‘›)↑2))
stirlinglem8.9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π·β€˜π‘›) ∈ ℝ+)
stirlinglem8.10 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ+)
stirlinglem8.11 (πœ‘ β†’ 𝐴 ⇝ 𝐢)
Assertion
Ref Expression
stirlinglem8 (πœ‘ β†’ 𝐹 ⇝ (𝐢↑2))

Proof of Theorem stirlinglem8
Dummy variable π‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stirlinglem8.1 . . 3 β„²π‘›πœ‘
2 stirlinglem8.7 . . . 4 𝐿 = (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π΄β€˜π‘›)↑4))
3 nfmpt1 5257 . . . 4 Ⅎ𝑛(𝑛 ∈ β„• ↦ ((π΄β€˜π‘›)↑4))
42, 3nfcxfr 2902 . . 3 Ⅎ𝑛𝐿
5 stirlinglem8.8 . . . 4 𝑀 = (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π·β€˜π‘›)↑2))
6 nfmpt1 5257 . . . 4 Ⅎ𝑛(𝑛 ∈ β„• ↦ ((π·β€˜π‘›)↑2))
75, 6nfcxfr 2902 . . 3 Ⅎ𝑛𝑀
8 stirlinglem8.6 . . . 4 𝐹 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (((π΄β€˜π‘›)↑4) / ((π·β€˜π‘›)↑2)))
9 nfmpt1 5257 . . . 4 Ⅎ𝑛(𝑛 ∈ β„• ↦ (((π΄β€˜π‘›)↑4) / ((π·β€˜π‘›)↑2)))
108, 9nfcxfr 2902 . . 3 Ⅎ𝑛𝐹
11 nnuz 12865 . . 3 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
12 1zzd 12593 . . 3 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„€)
13 stirlinglem8.2 . . . 4 Ⅎ𝑛𝐴
14 stirlinglem8.5 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴:β„•βŸΆβ„+)
15 rrpsscn 44304 . . . . 5 ℝ+ βŠ† β„‚
16 fss 6735 . . . . 5 ((𝐴:β„•βŸΆβ„+ ∧ ℝ+ βŠ† β„‚) β†’ 𝐴:β„•βŸΆβ„‚)
1714, 15, 16sylancl 587 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴:β„•βŸΆβ„‚)
18 stirlinglem8.11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ⇝ 𝐢)
19 4nn0 12491 . . . . 5 4 ∈ β„•0
2019a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 4 ∈ β„•0)
21 nnex 12218 . . . . . . 7 β„• ∈ V
2221mptex 7225 . . . . . 6 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π΄β€˜π‘›)↑4)) ∈ V
232, 22eqeltri 2830 . . . . 5 𝐿 ∈ V
2423a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ V)
25 simpr 486 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
2614ffvelcdmda 7087 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π΄β€˜π‘›) ∈ ℝ+)
2726rpcnd 13018 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π΄β€˜π‘›) ∈ β„‚)
2819a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 4 ∈ β„•0)
2927, 28expcld 14111 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((π΄β€˜π‘›)↑4) ∈ β„‚)
302fvmpt2 7010 . . . . 5 ((𝑛 ∈ β„• ∧ ((π΄β€˜π‘›)↑4) ∈ β„‚) β†’ (πΏβ€˜π‘›) = ((π΄β€˜π‘›)↑4))
3125, 29, 30syl2anc 585 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΏβ€˜π‘›) = ((π΄β€˜π‘›)↑4))
321, 13, 4, 11, 12, 17, 18, 20, 24, 31climexp 44321 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐿 ⇝ (𝐢↑4))
3321mptex 7225 . . . . 5 (𝑛 ∈ β„• ↦ (((π΄β€˜π‘›)↑4) / ((π·β€˜π‘›)↑2))) ∈ V
348, 33eqeltri 2830 . . . 4 𝐹 ∈ V
3534a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ V)
36 stirlinglem8.3 . . . 4 Ⅎ𝑛𝐷
3717adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝐴:β„•βŸΆβ„‚)
38 2nn 12285 . . . . . . . . 9 2 ∈ β„•
3938a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ β„• β†’ 2 ∈ β„•)
40 id 22 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ β„• β†’ 𝑛 ∈ β„•)
4139, 40nnmulcld 12265 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ β„• β†’ (2 Β· 𝑛) ∈ β„•)
4241adantl 483 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (2 Β· 𝑛) ∈ β„•)
4337, 42ffvelcdmd 7088 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π΄β€˜(2 Β· 𝑛)) ∈ β„‚)
44 stirlinglem8.4 . . . . 5 𝐷 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (π΄β€˜(2 Β· 𝑛)))
451, 43, 44fmptdf 7117 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐷:β„•βŸΆβ„‚)
46 nfmpt1 5257 . . . . 5 Ⅎ𝑛(𝑛 ∈ β„• ↦ (2 Β· 𝑛))
47 fex 7228 . . . . . 6 ((𝐴:β„•βŸΆβ„‚ ∧ β„• ∈ V) β†’ 𝐴 ∈ V)
4817, 21, 47sylancl 587 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ V)
49 1nn 12223 . . . . . . 7 1 ∈ β„•
50 2cnd 12290 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 2 ∈ β„‚)
51 1cnd 11209 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„‚)
5250, 51mulcld 11234 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (2 Β· 1) ∈ β„‚)
53 oveq2 7417 . . . . . . . 8 (𝑛 = 1 β†’ (2 Β· 𝑛) = (2 Β· 1))
54 eqid 2733 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ β„• ↦ (2 Β· 𝑛)) = (𝑛 ∈ β„• ↦ (2 Β· 𝑛))
5553, 54fvmptg 6997 . . . . . . 7 ((1 ∈ β„• ∧ (2 Β· 1) ∈ β„‚) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (2 Β· 𝑛))β€˜1) = (2 Β· 1))
5649, 52, 55sylancr 588 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (2 Β· 𝑛))β€˜1) = (2 Β· 1))
5738a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 2 ∈ β„•)
5849a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„•)
5957, 58nnmulcld 12265 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (2 Β· 1) ∈ β„•)
6056, 59eqeltrd 2834 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (2 Β· 𝑛))β€˜1) ∈ β„•)
61 1red 11215 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ β„• β†’ 1 ∈ ℝ)
6239nnred 12227 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ β„• β†’ 2 ∈ ℝ)
6341nnred 12227 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ β„• β†’ (2 Β· 𝑛) ∈ ℝ)
6439nnge1d 12260 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ β„• β†’ 1 ≀ 2)
6561, 62, 63, 64leadd2dd 11829 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ β„• β†’ ((2 Β· 𝑛) + 1) ≀ ((2 Β· 𝑛) + 2))
6654fvmpt2 7010 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ β„• ∧ (2 Β· 𝑛) ∈ β„•) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (2 Β· 𝑛))β€˜π‘›) = (2 Β· 𝑛))
6741, 66mpdan 686 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ β„• β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (2 Β· 𝑛))β€˜π‘›) = (2 Β· 𝑛))
6867oveq1d 7424 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ β„• β†’ (((𝑛 ∈ β„• ↦ (2 Β· 𝑛))β€˜π‘›) + 1) = ((2 Β· 𝑛) + 1))
69 oveq2 7417 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = π‘˜ β†’ (2 Β· 𝑛) = (2 Β· π‘˜))
7069cbvmptv 5262 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ β„• ↦ (2 Β· 𝑛)) = (π‘˜ ∈ β„• ↦ (2 Β· π‘˜))
7170a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ β„• β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ (2 Β· 𝑛)) = (π‘˜ ∈ β„• ↦ (2 Β· π‘˜)))
72 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ β„• ∧ π‘˜ = (𝑛 + 1)) β†’ π‘˜ = (𝑛 + 1))
7372oveq2d 7425 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ β„• ∧ π‘˜ = (𝑛 + 1)) β†’ (2 Β· π‘˜) = (2 Β· (𝑛 + 1)))
74 peano2nn 12224 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ β„• β†’ (𝑛 + 1) ∈ β„•)
7539, 74nnmulcld 12265 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ β„• β†’ (2 Β· (𝑛 + 1)) ∈ β„•)
7671, 73, 74, 75fvmptd 7006 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ β„• β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (2 Β· 𝑛))β€˜(𝑛 + 1)) = (2 Β· (𝑛 + 1)))
77 2cnd 12290 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ β„• β†’ 2 ∈ β„‚)
78 nncn 12220 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ β„• β†’ 𝑛 ∈ β„‚)
79 1cnd 11209 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ β„• β†’ 1 ∈ β„‚)
8077, 78, 79adddid 11238 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ β„• β†’ (2 Β· (𝑛 + 1)) = ((2 Β· 𝑛) + (2 Β· 1)))
8177mulridd 11231 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ β„• β†’ (2 Β· 1) = 2)
8281oveq2d 7425 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ β„• β†’ ((2 Β· 𝑛) + (2 Β· 1)) = ((2 Β· 𝑛) + 2))
8376, 80, 823eqtrd 2777 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ β„• β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (2 Β· 𝑛))β€˜(𝑛 + 1)) = ((2 Β· 𝑛) + 2))
8465, 68, 833brtr4d 5181 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ β„• β†’ (((𝑛 ∈ β„• ↦ (2 Β· 𝑛))β€˜π‘›) + 1) ≀ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (2 Β· 𝑛))β€˜(𝑛 + 1)))
8541nnzd 12585 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ β„• β†’ (2 Β· 𝑛) ∈ β„€)
8667, 85eqeltrd 2834 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ β„• β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (2 Β· 𝑛))β€˜π‘›) ∈ β„€)
8786peano2zd 12669 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ β„• β†’ (((𝑛 ∈ β„• ↦ (2 Β· 𝑛))β€˜π‘›) + 1) ∈ β„€)
8875nnzd 12585 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ β„• β†’ (2 Β· (𝑛 + 1)) ∈ β„€)
8976, 88eqeltrd 2834 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ β„• β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (2 Β· 𝑛))β€˜(𝑛 + 1)) ∈ β„€)
90 eluz 12836 . . . . . . . 8 (((((𝑛 ∈ β„• ↦ (2 Β· 𝑛))β€˜π‘›) + 1) ∈ β„€ ∧ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (2 Β· 𝑛))β€˜(𝑛 + 1)) ∈ β„€) β†’ (((𝑛 ∈ β„• ↦ (2 Β· 𝑛))β€˜(𝑛 + 1)) ∈ (β„€β‰₯β€˜(((𝑛 ∈ β„• ↦ (2 Β· 𝑛))β€˜π‘›) + 1)) ↔ (((𝑛 ∈ β„• ↦ (2 Β· 𝑛))β€˜π‘›) + 1) ≀ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (2 Β· 𝑛))β€˜(𝑛 + 1))))
9187, 89, 90syl2anc 585 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ β„• β†’ (((𝑛 ∈ β„• ↦ (2 Β· 𝑛))β€˜(𝑛 + 1)) ∈ (β„€β‰₯β€˜(((𝑛 ∈ β„• ↦ (2 Β· 𝑛))β€˜π‘›) + 1)) ↔ (((𝑛 ∈ β„• ↦ (2 Β· 𝑛))β€˜π‘›) + 1) ≀ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (2 Β· 𝑛))β€˜(𝑛 + 1))))
9284, 91mpbird 257 . . . . . 6 (𝑛 ∈ β„• β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (2 Β· 𝑛))β€˜(𝑛 + 1)) ∈ (β„€β‰₯β€˜(((𝑛 ∈ β„• ↦ (2 Β· 𝑛))β€˜π‘›) + 1)))
9392adantl 483 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (2 Β· 𝑛))β€˜(𝑛 + 1)) ∈ (β„€β‰₯β€˜(((𝑛 ∈ β„• ↦ (2 Β· 𝑛))β€˜π‘›) + 1)))
9421mptex 7225 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ β„• ↦ (π΄β€˜(2 Β· 𝑛))) ∈ V
9544, 94eqeltri 2830 . . . . . 6 𝐷 ∈ V
9695a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ V)
9744fvmpt2 7010 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ β„• ∧ (π΄β€˜(2 Β· 𝑛)) ∈ β„‚) β†’ (π·β€˜π‘›) = (π΄β€˜(2 Β· 𝑛)))
9825, 43, 97syl2anc 585 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π·β€˜π‘›) = (π΄β€˜(2 Β· 𝑛)))
9967adantl 483 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (2 Β· 𝑛))β€˜π‘›) = (2 Β· 𝑛))
10099eqcomd 2739 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (2 Β· 𝑛) = ((𝑛 ∈ β„• ↦ (2 Β· 𝑛))β€˜π‘›))
101100fveq2d 6896 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π΄β€˜(2 Β· 𝑛)) = (π΄β€˜((𝑛 ∈ β„• ↦ (2 Β· 𝑛))β€˜π‘›)))
10298, 101eqtrd 2773 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π·β€˜π‘›) = (π΄β€˜((𝑛 ∈ β„• ↦ (2 Β· 𝑛))β€˜π‘›)))
1031, 13, 36, 46, 11, 12, 48, 27, 18, 60, 93, 96, 102climsuse 44324 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐷 ⇝ 𝐢)
104 2nn0 12489 . . . . 5 2 ∈ β„•0
105104a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 2 ∈ β„•0)
10621mptex 7225 . . . . . 6 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π·β€˜π‘›)↑2)) ∈ V
1075, 106eqeltri 2830 . . . . 5 𝑀 ∈ V
108107a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ V)
109 stirlinglem8.9 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π·β€˜π‘›) ∈ ℝ+)
110109rpcnd 13018 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π·β€˜π‘›) ∈ β„‚)
111110sqcld 14109 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((π·β€˜π‘›)↑2) ∈ β„‚)
1125fvmpt2 7010 . . . . 5 ((𝑛 ∈ β„• ∧ ((π·β€˜π‘›)↑2) ∈ β„‚) β†’ (π‘€β€˜π‘›) = ((π·β€˜π‘›)↑2))
11325, 111, 112syl2anc 585 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘€β€˜π‘›) = ((π·β€˜π‘›)↑2))
1141, 36, 7, 11, 12, 45, 103, 105, 108, 113climexp 44321 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ⇝ (𝐢↑2))
115 stirlinglem8.10 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ+)
116115rpcnd 13018 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
117115rpne0d 13021 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢 β‰  0)
118 2z 12594 . . . . 5 2 ∈ β„€
119118a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 2 ∈ β„€)
120116, 117, 119expne0d 14117 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐢↑2) β‰  0)
1211, 29, 2fmptdf 7117 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐿:β„•βŸΆβ„‚)
122121ffvelcdmda 7087 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΏβ€˜π‘›) ∈ β„‚)
123113, 111eqeltrd 2834 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘€β€˜π‘›) ∈ β„‚)
12498oveq1d 7424 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((π·β€˜π‘›)↑2) = ((π΄β€˜(2 Β· 𝑛))↑2))
125113, 124eqtrd 2773 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘€β€˜π‘›) = ((π΄β€˜(2 Β· 𝑛))↑2))
12698, 109eqeltrrd 2835 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π΄β€˜(2 Β· 𝑛)) ∈ ℝ+)
127118a1i 11 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 2 ∈ β„€)
128126, 127rpexpcld 14210 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((π΄β€˜(2 Β· 𝑛))↑2) ∈ ℝ+)
129125, 128eqeltrd 2834 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘€β€˜π‘›) ∈ ℝ+)
130129rpne0d 13021 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘€β€˜π‘›) β‰  0)
131130neneqd 2946 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ Β¬ (π‘€β€˜π‘›) = 0)
132 0cn 11206 . . . . . 6 0 ∈ β„‚
133 elsn2g 4667 . . . . . 6 (0 ∈ β„‚ β†’ ((π‘€β€˜π‘›) ∈ {0} ↔ (π‘€β€˜π‘›) = 0))
134132, 133ax-mp 5 . . . . 5 ((π‘€β€˜π‘›) ∈ {0} ↔ (π‘€β€˜π‘›) = 0)
135131, 134sylnibr 329 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ Β¬ (π‘€β€˜π‘›) ∈ {0})
136123, 135eldifd 3960 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘€β€˜π‘›) ∈ (β„‚ βˆ– {0}))
13728nn0zd 12584 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 4 ∈ β„€)
13826, 137rpexpcld 14210 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((π΄β€˜π‘›)↑4) ∈ ℝ+)
139109, 127rpexpcld 14210 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((π·β€˜π‘›)↑2) ∈ ℝ+)
140138, 139rpdivcld 13033 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (((π΄β€˜π‘›)↑4) / ((π·β€˜π‘›)↑2)) ∈ ℝ+)
1418fvmpt2 7010 . . . . 5 ((𝑛 ∈ β„• ∧ (((π΄β€˜π‘›)↑4) / ((π·β€˜π‘›)↑2)) ∈ ℝ+) β†’ (πΉβ€˜π‘›) = (((π΄β€˜π‘›)↑4) / ((π·β€˜π‘›)↑2)))
14225, 140, 141syl2anc 585 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘›) = (((π΄β€˜π‘›)↑4) / ((π·β€˜π‘›)↑2)))
1432fvmpt2 7010 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ β„• ∧ ((π΄β€˜π‘›)↑4) ∈ ℝ+) β†’ (πΏβ€˜π‘›) = ((π΄β€˜π‘›)↑4))
14425, 138, 143syl2anc 585 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΏβ€˜π‘›) = ((π΄β€˜π‘›)↑4))
145144, 113oveq12d 7427 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((πΏβ€˜π‘›) / (π‘€β€˜π‘›)) = (((π΄β€˜π‘›)↑4) / ((π·β€˜π‘›)↑2)))
146142, 145eqtr4d 2776 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘›) = ((πΏβ€˜π‘›) / (π‘€β€˜π‘›)))
1471, 4, 7, 10, 11, 12, 32, 35, 114, 120, 122, 136, 146climdivf 44328 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹 ⇝ ((𝐢↑4) / (𝐢↑2)))
148 2cn 12287 . . . . . 6 2 ∈ β„‚
149 2p2e4 12347 . . . . . 6 (2 + 2) = 4
150148, 148, 149mvlladdi 11478 . . . . 5 2 = (4 βˆ’ 2)
151150a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 2 = (4 βˆ’ 2))
152151oveq2d 7425 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐢↑2) = (𝐢↑(4 βˆ’ 2)))
15320nn0zd 12584 . . . 4 (πœ‘ β†’ 4 ∈ β„€)
154116, 117, 119, 153expsubd 14122 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐢↑(4 βˆ’ 2)) = ((𝐢↑4) / (𝐢↑2)))
155152, 154eqtrd 2773 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐢↑2) = ((𝐢↑4) / (𝐢↑2)))
156147, 155breqtrrd 5177 1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ⇝ (𝐢↑2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542  β„²wnf 1786   ∈ wcel 2107  β„²wnfc 2884  Vcvv 3475   βŠ† wss 3949  {csn 4629   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„‚cc 11108  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   Β· cmul 11115   ≀ cle 11249   βˆ’ cmin 11444   / cdiv 11871  β„•cn 12212  2c2 12267  4c4 12269  β„•0cn0 12472  β„€cz 12558  β„€β‰₯cuz 12822  β„+crp 12974  β†‘cexp 14027   ⇝ cli 15428
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-map 8822  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-cncf 24394
This theorem is referenced by:  stirlinglem15  44804
  Copyright terms: Public domain W3C validator