Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stirlinglem8 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stirlinglem8 44787
Description: If 𝐴 converges to 𝐢, then 𝐹 converges to C^2 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stirlinglem8.1 β„²π‘›πœ‘
stirlinglem8.2 Ⅎ𝑛𝐴
stirlinglem8.3 Ⅎ𝑛𝐷
stirlinglem8.4 𝐷 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (π΄β€˜(2 Β· 𝑛)))
stirlinglem8.5 (πœ‘ β†’ 𝐴:β„•βŸΆβ„+)
stirlinglem8.6 𝐹 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (((π΄β€˜π‘›)↑4) / ((π·β€˜π‘›)↑2)))
stirlinglem8.7 𝐿 = (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π΄β€˜π‘›)↑4))
stirlinglem8.8 𝑀 = (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π·β€˜π‘›)↑2))
stirlinglem8.9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π·β€˜π‘›) ∈ ℝ+)
stirlinglem8.10 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ+)
stirlinglem8.11 (πœ‘ β†’ 𝐴 ⇝ 𝐢)
Assertion
Ref Expression
stirlinglem8 (πœ‘ β†’ 𝐹 ⇝ (𝐢↑2))

Proof of Theorem stirlinglem8
Dummy variable π‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stirlinglem8.1 . . 3 β„²π‘›πœ‘
2 stirlinglem8.7 . . . 4 𝐿 = (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π΄β€˜π‘›)↑4))
3 nfmpt1 5256 . . . 4 Ⅎ𝑛(𝑛 ∈ β„• ↦ ((π΄β€˜π‘›)↑4))
42, 3nfcxfr 2901 . . 3 Ⅎ𝑛𝐿
5 stirlinglem8.8 . . . 4 𝑀 = (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π·β€˜π‘›)↑2))
6 nfmpt1 5256 . . . 4 Ⅎ𝑛(𝑛 ∈ β„• ↦ ((π·β€˜π‘›)↑2))
75, 6nfcxfr 2901 . . 3 Ⅎ𝑛𝑀
8 stirlinglem8.6 . . . 4 𝐹 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (((π΄β€˜π‘›)↑4) / ((π·β€˜π‘›)↑2)))
9 nfmpt1 5256 . . . 4 Ⅎ𝑛(𝑛 ∈ β„• ↦ (((π΄β€˜π‘›)↑4) / ((π·β€˜π‘›)↑2)))
108, 9nfcxfr 2901 . . 3 Ⅎ𝑛𝐹
11 nnuz 12864 . . 3 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
12 1zzd 12592 . . 3 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„€)
13 stirlinglem8.2 . . . 4 Ⅎ𝑛𝐴
14 stirlinglem8.5 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴:β„•βŸΆβ„+)
15 rrpsscn 44294 . . . . 5 ℝ+ βŠ† β„‚
16 fss 6734 . . . . 5 ((𝐴:β„•βŸΆβ„+ ∧ ℝ+ βŠ† β„‚) β†’ 𝐴:β„•βŸΆβ„‚)
1714, 15, 16sylancl 586 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴:β„•βŸΆβ„‚)
18 stirlinglem8.11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ⇝ 𝐢)
19 4nn0 12490 . . . . 5 4 ∈ β„•0
2019a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 4 ∈ β„•0)
21 nnex 12217 . . . . . . 7 β„• ∈ V
2221mptex 7224 . . . . . 6 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π΄β€˜π‘›)↑4)) ∈ V
232, 22eqeltri 2829 . . . . 5 𝐿 ∈ V
2423a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ V)
25 simpr 485 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
2614ffvelcdmda 7086 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π΄β€˜π‘›) ∈ ℝ+)
2726rpcnd 13017 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π΄β€˜π‘›) ∈ β„‚)
2819a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 4 ∈ β„•0)
2927, 28expcld 14110 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((π΄β€˜π‘›)↑4) ∈ β„‚)
302fvmpt2 7009 . . . . 5 ((𝑛 ∈ β„• ∧ ((π΄β€˜π‘›)↑4) ∈ β„‚) β†’ (πΏβ€˜π‘›) = ((π΄β€˜π‘›)↑4))
3125, 29, 30syl2anc 584 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΏβ€˜π‘›) = ((π΄β€˜π‘›)↑4))
321, 13, 4, 11, 12, 17, 18, 20, 24, 31climexp 44311 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐿 ⇝ (𝐢↑4))
3321mptex 7224 . . . . 5 (𝑛 ∈ β„• ↦ (((π΄β€˜π‘›)↑4) / ((π·β€˜π‘›)↑2))) ∈ V
348, 33eqeltri 2829 . . . 4 𝐹 ∈ V
3534a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ V)
36 stirlinglem8.3 . . . 4 Ⅎ𝑛𝐷
3717adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝐴:β„•βŸΆβ„‚)
38 2nn 12284 . . . . . . . . 9 2 ∈ β„•
3938a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ β„• β†’ 2 ∈ β„•)
40 id 22 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ β„• β†’ 𝑛 ∈ β„•)
4139, 40nnmulcld 12264 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ β„• β†’ (2 Β· 𝑛) ∈ β„•)
4241adantl 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (2 Β· 𝑛) ∈ β„•)
4337, 42ffvelcdmd 7087 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π΄β€˜(2 Β· 𝑛)) ∈ β„‚)
44 stirlinglem8.4 . . . . 5 𝐷 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (π΄β€˜(2 Β· 𝑛)))
451, 43, 44fmptdf 7116 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐷:β„•βŸΆβ„‚)
46 nfmpt1 5256 . . . . 5 Ⅎ𝑛(𝑛 ∈ β„• ↦ (2 Β· 𝑛))
47 fex 7227 . . . . . 6 ((𝐴:β„•βŸΆβ„‚ ∧ β„• ∈ V) β†’ 𝐴 ∈ V)
4817, 21, 47sylancl 586 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ V)
49 1nn 12222 . . . . . . 7 1 ∈ β„•
50 2cnd 12289 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 2 ∈ β„‚)
51 1cnd 11208 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„‚)
5250, 51mulcld 11233 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (2 Β· 1) ∈ β„‚)
53 oveq2 7416 . . . . . . . 8 (𝑛 = 1 β†’ (2 Β· 𝑛) = (2 Β· 1))
54 eqid 2732 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ β„• ↦ (2 Β· 𝑛)) = (𝑛 ∈ β„• ↦ (2 Β· 𝑛))
5553, 54fvmptg 6996 . . . . . . 7 ((1 ∈ β„• ∧ (2 Β· 1) ∈ β„‚) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (2 Β· 𝑛))β€˜1) = (2 Β· 1))
5649, 52, 55sylancr 587 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (2 Β· 𝑛))β€˜1) = (2 Β· 1))
5738a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 2 ∈ β„•)
5849a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„•)
5957, 58nnmulcld 12264 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (2 Β· 1) ∈ β„•)
6056, 59eqeltrd 2833 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (2 Β· 𝑛))β€˜1) ∈ β„•)
61 1red 11214 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ β„• β†’ 1 ∈ ℝ)
6239nnred 12226 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ β„• β†’ 2 ∈ ℝ)
6341nnred 12226 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ β„• β†’ (2 Β· 𝑛) ∈ ℝ)
6439nnge1d 12259 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ β„• β†’ 1 ≀ 2)
6561, 62, 63, 64leadd2dd 11828 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ β„• β†’ ((2 Β· 𝑛) + 1) ≀ ((2 Β· 𝑛) + 2))
6654fvmpt2 7009 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ β„• ∧ (2 Β· 𝑛) ∈ β„•) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (2 Β· 𝑛))β€˜π‘›) = (2 Β· 𝑛))
6741, 66mpdan 685 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ β„• β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (2 Β· 𝑛))β€˜π‘›) = (2 Β· 𝑛))
6867oveq1d 7423 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ β„• β†’ (((𝑛 ∈ β„• ↦ (2 Β· 𝑛))β€˜π‘›) + 1) = ((2 Β· 𝑛) + 1))
69 oveq2 7416 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = π‘˜ β†’ (2 Β· 𝑛) = (2 Β· π‘˜))
7069cbvmptv 5261 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ β„• ↦ (2 Β· 𝑛)) = (π‘˜ ∈ β„• ↦ (2 Β· π‘˜))
7170a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ β„• β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ (2 Β· 𝑛)) = (π‘˜ ∈ β„• ↦ (2 Β· π‘˜)))
72 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ β„• ∧ π‘˜ = (𝑛 + 1)) β†’ π‘˜ = (𝑛 + 1))
7372oveq2d 7424 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ β„• ∧ π‘˜ = (𝑛 + 1)) β†’ (2 Β· π‘˜) = (2 Β· (𝑛 + 1)))
74 peano2nn 12223 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ β„• β†’ (𝑛 + 1) ∈ β„•)
7539, 74nnmulcld 12264 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ β„• β†’ (2 Β· (𝑛 + 1)) ∈ β„•)
7671, 73, 74, 75fvmptd 7005 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ β„• β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (2 Β· 𝑛))β€˜(𝑛 + 1)) = (2 Β· (𝑛 + 1)))
77 2cnd 12289 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ β„• β†’ 2 ∈ β„‚)
78 nncn 12219 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ β„• β†’ 𝑛 ∈ β„‚)
79 1cnd 11208 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ β„• β†’ 1 ∈ β„‚)
8077, 78, 79adddid 11237 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ β„• β†’ (2 Β· (𝑛 + 1)) = ((2 Β· 𝑛) + (2 Β· 1)))
8177mulridd 11230 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ β„• β†’ (2 Β· 1) = 2)
8281oveq2d 7424 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ β„• β†’ ((2 Β· 𝑛) + (2 Β· 1)) = ((2 Β· 𝑛) + 2))
8376, 80, 823eqtrd 2776 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ β„• β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (2 Β· 𝑛))β€˜(𝑛 + 1)) = ((2 Β· 𝑛) + 2))
8465, 68, 833brtr4d 5180 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ β„• β†’ (((𝑛 ∈ β„• ↦ (2 Β· 𝑛))β€˜π‘›) + 1) ≀ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (2 Β· 𝑛))β€˜(𝑛 + 1)))
8541nnzd 12584 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ β„• β†’ (2 Β· 𝑛) ∈ β„€)
8667, 85eqeltrd 2833 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ β„• β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (2 Β· 𝑛))β€˜π‘›) ∈ β„€)
8786peano2zd 12668 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ β„• β†’ (((𝑛 ∈ β„• ↦ (2 Β· 𝑛))β€˜π‘›) + 1) ∈ β„€)
8875nnzd 12584 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ β„• β†’ (2 Β· (𝑛 + 1)) ∈ β„€)
8976, 88eqeltrd 2833 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ β„• β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (2 Β· 𝑛))β€˜(𝑛 + 1)) ∈ β„€)
90 eluz 12835 . . . . . . . 8 (((((𝑛 ∈ β„• ↦ (2 Β· 𝑛))β€˜π‘›) + 1) ∈ β„€ ∧ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (2 Β· 𝑛))β€˜(𝑛 + 1)) ∈ β„€) β†’ (((𝑛 ∈ β„• ↦ (2 Β· 𝑛))β€˜(𝑛 + 1)) ∈ (β„€β‰₯β€˜(((𝑛 ∈ β„• ↦ (2 Β· 𝑛))β€˜π‘›) + 1)) ↔ (((𝑛 ∈ β„• ↦ (2 Β· 𝑛))β€˜π‘›) + 1) ≀ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (2 Β· 𝑛))β€˜(𝑛 + 1))))
9187, 89, 90syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ β„• β†’ (((𝑛 ∈ β„• ↦ (2 Β· 𝑛))β€˜(𝑛 + 1)) ∈ (β„€β‰₯β€˜(((𝑛 ∈ β„• ↦ (2 Β· 𝑛))β€˜π‘›) + 1)) ↔ (((𝑛 ∈ β„• ↦ (2 Β· 𝑛))β€˜π‘›) + 1) ≀ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (2 Β· 𝑛))β€˜(𝑛 + 1))))
9284, 91mpbird 256 . . . . . 6 (𝑛 ∈ β„• β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (2 Β· 𝑛))β€˜(𝑛 + 1)) ∈ (β„€β‰₯β€˜(((𝑛 ∈ β„• ↦ (2 Β· 𝑛))β€˜π‘›) + 1)))
9392adantl 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (2 Β· 𝑛))β€˜(𝑛 + 1)) ∈ (β„€β‰₯β€˜(((𝑛 ∈ β„• ↦ (2 Β· 𝑛))β€˜π‘›) + 1)))
9421mptex 7224 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ β„• ↦ (π΄β€˜(2 Β· 𝑛))) ∈ V
9544, 94eqeltri 2829 . . . . . 6 𝐷 ∈ V
9695a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ V)
9744fvmpt2 7009 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ β„• ∧ (π΄β€˜(2 Β· 𝑛)) ∈ β„‚) β†’ (π·β€˜π‘›) = (π΄β€˜(2 Β· 𝑛)))
9825, 43, 97syl2anc 584 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π·β€˜π‘›) = (π΄β€˜(2 Β· 𝑛)))
9967adantl 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (2 Β· 𝑛))β€˜π‘›) = (2 Β· 𝑛))
10099eqcomd 2738 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (2 Β· 𝑛) = ((𝑛 ∈ β„• ↦ (2 Β· 𝑛))β€˜π‘›))
101100fveq2d 6895 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π΄β€˜(2 Β· 𝑛)) = (π΄β€˜((𝑛 ∈ β„• ↦ (2 Β· 𝑛))β€˜π‘›)))
10298, 101eqtrd 2772 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π·β€˜π‘›) = (π΄β€˜((𝑛 ∈ β„• ↦ (2 Β· 𝑛))β€˜π‘›)))
1031, 13, 36, 46, 11, 12, 48, 27, 18, 60, 93, 96, 102climsuse 44314 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐷 ⇝ 𝐢)
104 2nn0 12488 . . . . 5 2 ∈ β„•0
105104a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 2 ∈ β„•0)
10621mptex 7224 . . . . . 6 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π·β€˜π‘›)↑2)) ∈ V
1075, 106eqeltri 2829 . . . . 5 𝑀 ∈ V
108107a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ V)
109 stirlinglem8.9 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π·β€˜π‘›) ∈ ℝ+)
110109rpcnd 13017 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π·β€˜π‘›) ∈ β„‚)
111110sqcld 14108 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((π·β€˜π‘›)↑2) ∈ β„‚)
1125fvmpt2 7009 . . . . 5 ((𝑛 ∈ β„• ∧ ((π·β€˜π‘›)↑2) ∈ β„‚) β†’ (π‘€β€˜π‘›) = ((π·β€˜π‘›)↑2))
11325, 111, 112syl2anc 584 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘€β€˜π‘›) = ((π·β€˜π‘›)↑2))
1141, 36, 7, 11, 12, 45, 103, 105, 108, 113climexp 44311 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ⇝ (𝐢↑2))
115 stirlinglem8.10 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ+)
116115rpcnd 13017 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
117115rpne0d 13020 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢 β‰  0)
118 2z 12593 . . . . 5 2 ∈ β„€
119118a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 2 ∈ β„€)
120116, 117, 119expne0d 14116 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐢↑2) β‰  0)
1211, 29, 2fmptdf 7116 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐿:β„•βŸΆβ„‚)
122121ffvelcdmda 7086 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΏβ€˜π‘›) ∈ β„‚)
123113, 111eqeltrd 2833 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘€β€˜π‘›) ∈ β„‚)
12498oveq1d 7423 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((π·β€˜π‘›)↑2) = ((π΄β€˜(2 Β· 𝑛))↑2))
125113, 124eqtrd 2772 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘€β€˜π‘›) = ((π΄β€˜(2 Β· 𝑛))↑2))
12698, 109eqeltrrd 2834 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π΄β€˜(2 Β· 𝑛)) ∈ ℝ+)
127118a1i 11 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 2 ∈ β„€)
128126, 127rpexpcld 14209 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((π΄β€˜(2 Β· 𝑛))↑2) ∈ ℝ+)
129125, 128eqeltrd 2833 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘€β€˜π‘›) ∈ ℝ+)
130129rpne0d 13020 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘€β€˜π‘›) β‰  0)
131130neneqd 2945 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ Β¬ (π‘€β€˜π‘›) = 0)
132 0cn 11205 . . . . . 6 0 ∈ β„‚
133 elsn2g 4666 . . . . . 6 (0 ∈ β„‚ β†’ ((π‘€β€˜π‘›) ∈ {0} ↔ (π‘€β€˜π‘›) = 0))
134132, 133ax-mp 5 . . . . 5 ((π‘€β€˜π‘›) ∈ {0} ↔ (π‘€β€˜π‘›) = 0)
135131, 134sylnibr 328 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ Β¬ (π‘€β€˜π‘›) ∈ {0})
136123, 135eldifd 3959 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘€β€˜π‘›) ∈ (β„‚ βˆ– {0}))
13728nn0zd 12583 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 4 ∈ β„€)
13826, 137rpexpcld 14209 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((π΄β€˜π‘›)↑4) ∈ ℝ+)
139109, 127rpexpcld 14209 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((π·β€˜π‘›)↑2) ∈ ℝ+)
140138, 139rpdivcld 13032 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (((π΄β€˜π‘›)↑4) / ((π·β€˜π‘›)↑2)) ∈ ℝ+)
1418fvmpt2 7009 . . . . 5 ((𝑛 ∈ β„• ∧ (((π΄β€˜π‘›)↑4) / ((π·β€˜π‘›)↑2)) ∈ ℝ+) β†’ (πΉβ€˜π‘›) = (((π΄β€˜π‘›)↑4) / ((π·β€˜π‘›)↑2)))
14225, 140, 141syl2anc 584 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘›) = (((π΄β€˜π‘›)↑4) / ((π·β€˜π‘›)↑2)))
1432fvmpt2 7009 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ β„• ∧ ((π΄β€˜π‘›)↑4) ∈ ℝ+) β†’ (πΏβ€˜π‘›) = ((π΄β€˜π‘›)↑4))
14425, 138, 143syl2anc 584 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΏβ€˜π‘›) = ((π΄β€˜π‘›)↑4))
145144, 113oveq12d 7426 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((πΏβ€˜π‘›) / (π‘€β€˜π‘›)) = (((π΄β€˜π‘›)↑4) / ((π·β€˜π‘›)↑2)))
146142, 145eqtr4d 2775 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘›) = ((πΏβ€˜π‘›) / (π‘€β€˜π‘›)))
1471, 4, 7, 10, 11, 12, 32, 35, 114, 120, 122, 136, 146climdivf 44318 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹 ⇝ ((𝐢↑4) / (𝐢↑2)))
148 2cn 12286 . . . . . 6 2 ∈ β„‚
149 2p2e4 12346 . . . . . 6 (2 + 2) = 4
150148, 148, 149mvlladdi 11477 . . . . 5 2 = (4 βˆ’ 2)
151150a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 2 = (4 βˆ’ 2))
152151oveq2d 7424 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐢↑2) = (𝐢↑(4 βˆ’ 2)))
15320nn0zd 12583 . . . 4 (πœ‘ β†’ 4 ∈ β„€)
154116, 117, 119, 153expsubd 14121 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐢↑(4 βˆ’ 2)) = ((𝐢↑4) / (𝐢↑2)))
155152, 154eqtrd 2772 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐢↑2) = ((𝐢↑4) / (𝐢↑2)))
156147, 155breqtrrd 5176 1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ⇝ (𝐢↑2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541  β„²wnf 1785   ∈ wcel 2106  β„²wnfc 2883  Vcvv 3474   βŠ† wss 3948  {csn 4628   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  β„‚cc 11107  0cc0 11109  1c1 11110   + caddc 11112   Β· cmul 11114   ≀ cle 11248   βˆ’ cmin 11443   / cdiv 11870  β„•cn 12211  2c2 12266  4c4 12268  β„•0cn0 12471  β„€cz 12557  β„€β‰₯cuz 12821  β„+crp 12973  β†‘cexp 14026   ⇝ cli 15427
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-mulf 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7669  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8146  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-2o 8466  df-er 8702  df-map 8821  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12974  df-xneg 13091  df-xadd 13092  df-xmul 13093  df-icc 13330  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-seq 13966  df-exp 14027  df-hash 14290  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-clim 15431  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-hom 17220  df-cco 17221  df-rest 17367  df-topn 17368  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-topgen 17388  df-pt 17389  df-prds 17392  df-xrs 17447  df-qtop 17452  df-imas 17453  df-xps 17455  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-submnd 18671  df-mulg 18950  df-cntz 19180  df-cmn 19649  df-psmet 20935  df-xmet 20936  df-met 20937  df-bl 20938  df-mopn 20939  df-cnfld 20944  df-top 22395  df-topon 22412  df-topsp 22434  df-bases 22448  df-cn 22730  df-cnp 22731  df-tx 23065  df-hmeo 23258  df-xms 23825  df-ms 23826  df-tms 23827  df-cncf 24393
This theorem is referenced by:  stirlinglem15  44794
  Copyright terms: Public domain W3C validator