Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stirlinglem8 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stirlinglem8 44396
Description: If 𝐴 converges to 𝐢, then 𝐹 converges to C^2 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stirlinglem8.1 β„²π‘›πœ‘
stirlinglem8.2 Ⅎ𝑛𝐴
stirlinglem8.3 Ⅎ𝑛𝐷
stirlinglem8.4 𝐷 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (π΄β€˜(2 Β· 𝑛)))
stirlinglem8.5 (πœ‘ β†’ 𝐴:β„•βŸΆβ„+)
stirlinglem8.6 𝐹 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (((π΄β€˜π‘›)↑4) / ((π·β€˜π‘›)↑2)))
stirlinglem8.7 𝐿 = (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π΄β€˜π‘›)↑4))
stirlinglem8.8 𝑀 = (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π·β€˜π‘›)↑2))
stirlinglem8.9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π·β€˜π‘›) ∈ ℝ+)
stirlinglem8.10 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ+)
stirlinglem8.11 (πœ‘ β†’ 𝐴 ⇝ 𝐢)
Assertion
Ref Expression
stirlinglem8 (πœ‘ β†’ 𝐹 ⇝ (𝐢↑2))

Proof of Theorem stirlinglem8
Dummy variable π‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stirlinglem8.1 . . 3 β„²π‘›πœ‘
2 stirlinglem8.7 . . . 4 𝐿 = (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π΄β€˜π‘›)↑4))
3 nfmpt1 5218 . . . 4 Ⅎ𝑛(𝑛 ∈ β„• ↦ ((π΄β€˜π‘›)↑4))
42, 3nfcxfr 2906 . . 3 Ⅎ𝑛𝐿
5 stirlinglem8.8 . . . 4 𝑀 = (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π·β€˜π‘›)↑2))
6 nfmpt1 5218 . . . 4 Ⅎ𝑛(𝑛 ∈ β„• ↦ ((π·β€˜π‘›)↑2))
75, 6nfcxfr 2906 . . 3 Ⅎ𝑛𝑀
8 stirlinglem8.6 . . . 4 𝐹 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (((π΄β€˜π‘›)↑4) / ((π·β€˜π‘›)↑2)))
9 nfmpt1 5218 . . . 4 Ⅎ𝑛(𝑛 ∈ β„• ↦ (((π΄β€˜π‘›)↑4) / ((π·β€˜π‘›)↑2)))
108, 9nfcxfr 2906 . . 3 Ⅎ𝑛𝐹
11 nnuz 12813 . . 3 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
12 1zzd 12541 . . 3 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„€)
13 stirlinglem8.2 . . . 4 Ⅎ𝑛𝐴
14 stirlinglem8.5 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴:β„•βŸΆβ„+)
15 rrpsscn 43903 . . . . 5 ℝ+ βŠ† β„‚
16 fss 6690 . . . . 5 ((𝐴:β„•βŸΆβ„+ ∧ ℝ+ βŠ† β„‚) β†’ 𝐴:β„•βŸΆβ„‚)
1714, 15, 16sylancl 587 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴:β„•βŸΆβ„‚)
18 stirlinglem8.11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ⇝ 𝐢)
19 4nn0 12439 . . . . 5 4 ∈ β„•0
2019a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 4 ∈ β„•0)
21 nnex 12166 . . . . . . 7 β„• ∈ V
2221mptex 7178 . . . . . 6 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π΄β€˜π‘›)↑4)) ∈ V
232, 22eqeltri 2834 . . . . 5 𝐿 ∈ V
2423a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ V)
25 simpr 486 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
2614ffvelcdmda 7040 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π΄β€˜π‘›) ∈ ℝ+)
2726rpcnd 12966 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π΄β€˜π‘›) ∈ β„‚)
2819a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 4 ∈ β„•0)
2927, 28expcld 14058 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((π΄β€˜π‘›)↑4) ∈ β„‚)
302fvmpt2 6964 . . . . 5 ((𝑛 ∈ β„• ∧ ((π΄β€˜π‘›)↑4) ∈ β„‚) β†’ (πΏβ€˜π‘›) = ((π΄β€˜π‘›)↑4))
3125, 29, 30syl2anc 585 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΏβ€˜π‘›) = ((π΄β€˜π‘›)↑4))
321, 13, 4, 11, 12, 17, 18, 20, 24, 31climexp 43920 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐿 ⇝ (𝐢↑4))
3321mptex 7178 . . . . 5 (𝑛 ∈ β„• ↦ (((π΄β€˜π‘›)↑4) / ((π·β€˜π‘›)↑2))) ∈ V
348, 33eqeltri 2834 . . . 4 𝐹 ∈ V
3534a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ V)
36 stirlinglem8.3 . . . 4 Ⅎ𝑛𝐷
3717adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝐴:β„•βŸΆβ„‚)
38 2nn 12233 . . . . . . . . 9 2 ∈ β„•
3938a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ β„• β†’ 2 ∈ β„•)
40 id 22 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ β„• β†’ 𝑛 ∈ β„•)
4139, 40nnmulcld 12213 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ β„• β†’ (2 Β· 𝑛) ∈ β„•)
4241adantl 483 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (2 Β· 𝑛) ∈ β„•)
4337, 42ffvelcdmd 7041 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π΄β€˜(2 Β· 𝑛)) ∈ β„‚)
44 stirlinglem8.4 . . . . 5 𝐷 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (π΄β€˜(2 Β· 𝑛)))
451, 43, 44fmptdf 7070 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐷:β„•βŸΆβ„‚)
46 nfmpt1 5218 . . . . 5 Ⅎ𝑛(𝑛 ∈ β„• ↦ (2 Β· 𝑛))
47 fex 7181 . . . . . 6 ((𝐴:β„•βŸΆβ„‚ ∧ β„• ∈ V) β†’ 𝐴 ∈ V)
4817, 21, 47sylancl 587 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ V)
49 1nn 12171 . . . . . . 7 1 ∈ β„•
50 2cnd 12238 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 2 ∈ β„‚)
51 1cnd 11157 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„‚)
5250, 51mulcld 11182 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (2 Β· 1) ∈ β„‚)
53 oveq2 7370 . . . . . . . 8 (𝑛 = 1 β†’ (2 Β· 𝑛) = (2 Β· 1))
54 eqid 2737 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ β„• ↦ (2 Β· 𝑛)) = (𝑛 ∈ β„• ↦ (2 Β· 𝑛))
5553, 54fvmptg 6951 . . . . . . 7 ((1 ∈ β„• ∧ (2 Β· 1) ∈ β„‚) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (2 Β· 𝑛))β€˜1) = (2 Β· 1))
5649, 52, 55sylancr 588 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (2 Β· 𝑛))β€˜1) = (2 Β· 1))
5738a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 2 ∈ β„•)
5849a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„•)
5957, 58nnmulcld 12213 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (2 Β· 1) ∈ β„•)
6056, 59eqeltrd 2838 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (2 Β· 𝑛))β€˜1) ∈ β„•)
61 1red 11163 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ β„• β†’ 1 ∈ ℝ)
6239nnred 12175 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ β„• β†’ 2 ∈ ℝ)
6341nnred 12175 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ β„• β†’ (2 Β· 𝑛) ∈ ℝ)
6439nnge1d 12208 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ β„• β†’ 1 ≀ 2)
6561, 62, 63, 64leadd2dd 11777 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ β„• β†’ ((2 Β· 𝑛) + 1) ≀ ((2 Β· 𝑛) + 2))
6654fvmpt2 6964 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ β„• ∧ (2 Β· 𝑛) ∈ β„•) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (2 Β· 𝑛))β€˜π‘›) = (2 Β· 𝑛))
6741, 66mpdan 686 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ β„• β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (2 Β· 𝑛))β€˜π‘›) = (2 Β· 𝑛))
6867oveq1d 7377 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ β„• β†’ (((𝑛 ∈ β„• ↦ (2 Β· 𝑛))β€˜π‘›) + 1) = ((2 Β· 𝑛) + 1))
69 oveq2 7370 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = π‘˜ β†’ (2 Β· 𝑛) = (2 Β· π‘˜))
7069cbvmptv 5223 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ β„• ↦ (2 Β· 𝑛)) = (π‘˜ ∈ β„• ↦ (2 Β· π‘˜))
7170a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ β„• β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ (2 Β· 𝑛)) = (π‘˜ ∈ β„• ↦ (2 Β· π‘˜)))
72 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ β„• ∧ π‘˜ = (𝑛 + 1)) β†’ π‘˜ = (𝑛 + 1))
7372oveq2d 7378 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ β„• ∧ π‘˜ = (𝑛 + 1)) β†’ (2 Β· π‘˜) = (2 Β· (𝑛 + 1)))
74 peano2nn 12172 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ β„• β†’ (𝑛 + 1) ∈ β„•)
7539, 74nnmulcld 12213 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ β„• β†’ (2 Β· (𝑛 + 1)) ∈ β„•)
7671, 73, 74, 75fvmptd 6960 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ β„• β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (2 Β· 𝑛))β€˜(𝑛 + 1)) = (2 Β· (𝑛 + 1)))
77 2cnd 12238 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ β„• β†’ 2 ∈ β„‚)
78 nncn 12168 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ β„• β†’ 𝑛 ∈ β„‚)
79 1cnd 11157 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ β„• β†’ 1 ∈ β„‚)
8077, 78, 79adddid 11186 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ β„• β†’ (2 Β· (𝑛 + 1)) = ((2 Β· 𝑛) + (2 Β· 1)))
8177mulid1d 11179 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ β„• β†’ (2 Β· 1) = 2)
8281oveq2d 7378 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ β„• β†’ ((2 Β· 𝑛) + (2 Β· 1)) = ((2 Β· 𝑛) + 2))
8376, 80, 823eqtrd 2781 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ β„• β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (2 Β· 𝑛))β€˜(𝑛 + 1)) = ((2 Β· 𝑛) + 2))
8465, 68, 833brtr4d 5142 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ β„• β†’ (((𝑛 ∈ β„• ↦ (2 Β· 𝑛))β€˜π‘›) + 1) ≀ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (2 Β· 𝑛))β€˜(𝑛 + 1)))
8541nnzd 12533 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ β„• β†’ (2 Β· 𝑛) ∈ β„€)
8667, 85eqeltrd 2838 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ β„• β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (2 Β· 𝑛))β€˜π‘›) ∈ β„€)
8786peano2zd 12617 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ β„• β†’ (((𝑛 ∈ β„• ↦ (2 Β· 𝑛))β€˜π‘›) + 1) ∈ β„€)
8875nnzd 12533 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ β„• β†’ (2 Β· (𝑛 + 1)) ∈ β„€)
8976, 88eqeltrd 2838 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ β„• β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (2 Β· 𝑛))β€˜(𝑛 + 1)) ∈ β„€)
90 eluz 12784 . . . . . . . 8 (((((𝑛 ∈ β„• ↦ (2 Β· 𝑛))β€˜π‘›) + 1) ∈ β„€ ∧ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (2 Β· 𝑛))β€˜(𝑛 + 1)) ∈ β„€) β†’ (((𝑛 ∈ β„• ↦ (2 Β· 𝑛))β€˜(𝑛 + 1)) ∈ (β„€β‰₯β€˜(((𝑛 ∈ β„• ↦ (2 Β· 𝑛))β€˜π‘›) + 1)) ↔ (((𝑛 ∈ β„• ↦ (2 Β· 𝑛))β€˜π‘›) + 1) ≀ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (2 Β· 𝑛))β€˜(𝑛 + 1))))
9187, 89, 90syl2anc 585 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ β„• β†’ (((𝑛 ∈ β„• ↦ (2 Β· 𝑛))β€˜(𝑛 + 1)) ∈ (β„€β‰₯β€˜(((𝑛 ∈ β„• ↦ (2 Β· 𝑛))β€˜π‘›) + 1)) ↔ (((𝑛 ∈ β„• ↦ (2 Β· 𝑛))β€˜π‘›) + 1) ≀ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (2 Β· 𝑛))β€˜(𝑛 + 1))))
9284, 91mpbird 257 . . . . . 6 (𝑛 ∈ β„• β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (2 Β· 𝑛))β€˜(𝑛 + 1)) ∈ (β„€β‰₯β€˜(((𝑛 ∈ β„• ↦ (2 Β· 𝑛))β€˜π‘›) + 1)))
9392adantl 483 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (2 Β· 𝑛))β€˜(𝑛 + 1)) ∈ (β„€β‰₯β€˜(((𝑛 ∈ β„• ↦ (2 Β· 𝑛))β€˜π‘›) + 1)))
9421mptex 7178 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ β„• ↦ (π΄β€˜(2 Β· 𝑛))) ∈ V
9544, 94eqeltri 2834 . . . . . 6 𝐷 ∈ V
9695a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ V)
9744fvmpt2 6964 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ β„• ∧ (π΄β€˜(2 Β· 𝑛)) ∈ β„‚) β†’ (π·β€˜π‘›) = (π΄β€˜(2 Β· 𝑛)))
9825, 43, 97syl2anc 585 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π·β€˜π‘›) = (π΄β€˜(2 Β· 𝑛)))
9967adantl 483 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (2 Β· 𝑛))β€˜π‘›) = (2 Β· 𝑛))
10099eqcomd 2743 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (2 Β· 𝑛) = ((𝑛 ∈ β„• ↦ (2 Β· 𝑛))β€˜π‘›))
101100fveq2d 6851 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π΄β€˜(2 Β· 𝑛)) = (π΄β€˜((𝑛 ∈ β„• ↦ (2 Β· 𝑛))β€˜π‘›)))
10298, 101eqtrd 2777 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π·β€˜π‘›) = (π΄β€˜((𝑛 ∈ β„• ↦ (2 Β· 𝑛))β€˜π‘›)))
1031, 13, 36, 46, 11, 12, 48, 27, 18, 60, 93, 96, 102climsuse 43923 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐷 ⇝ 𝐢)
104 2nn0 12437 . . . . 5 2 ∈ β„•0
105104a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 2 ∈ β„•0)
10621mptex 7178 . . . . . 6 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π·β€˜π‘›)↑2)) ∈ V
1075, 106eqeltri 2834 . . . . 5 𝑀 ∈ V
108107a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ V)
109 stirlinglem8.9 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π·β€˜π‘›) ∈ ℝ+)
110109rpcnd 12966 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π·β€˜π‘›) ∈ β„‚)
111110sqcld 14056 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((π·β€˜π‘›)↑2) ∈ β„‚)
1125fvmpt2 6964 . . . . 5 ((𝑛 ∈ β„• ∧ ((π·β€˜π‘›)↑2) ∈ β„‚) β†’ (π‘€β€˜π‘›) = ((π·β€˜π‘›)↑2))
11325, 111, 112syl2anc 585 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘€β€˜π‘›) = ((π·β€˜π‘›)↑2))
1141, 36, 7, 11, 12, 45, 103, 105, 108, 113climexp 43920 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ⇝ (𝐢↑2))
115 stirlinglem8.10 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ+)
116115rpcnd 12966 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
117115rpne0d 12969 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢 β‰  0)
118 2z 12542 . . . . 5 2 ∈ β„€
119118a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 2 ∈ β„€)
120116, 117, 119expne0d 14064 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐢↑2) β‰  0)
1211, 29, 2fmptdf 7070 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐿:β„•βŸΆβ„‚)
122121ffvelcdmda 7040 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΏβ€˜π‘›) ∈ β„‚)
123113, 111eqeltrd 2838 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘€β€˜π‘›) ∈ β„‚)
12498oveq1d 7377 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((π·β€˜π‘›)↑2) = ((π΄β€˜(2 Β· 𝑛))↑2))
125113, 124eqtrd 2777 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘€β€˜π‘›) = ((π΄β€˜(2 Β· 𝑛))↑2))
12698, 109eqeltrrd 2839 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π΄β€˜(2 Β· 𝑛)) ∈ ℝ+)
127118a1i 11 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 2 ∈ β„€)
128126, 127rpexpcld 14157 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((π΄β€˜(2 Β· 𝑛))↑2) ∈ ℝ+)
129125, 128eqeltrd 2838 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘€β€˜π‘›) ∈ ℝ+)
130129rpne0d 12969 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘€β€˜π‘›) β‰  0)
131130neneqd 2949 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ Β¬ (π‘€β€˜π‘›) = 0)
132 0cn 11154 . . . . . 6 0 ∈ β„‚
133 elsn2g 4629 . . . . . 6 (0 ∈ β„‚ β†’ ((π‘€β€˜π‘›) ∈ {0} ↔ (π‘€β€˜π‘›) = 0))
134132, 133ax-mp 5 . . . . 5 ((π‘€β€˜π‘›) ∈ {0} ↔ (π‘€β€˜π‘›) = 0)
135131, 134sylnibr 329 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ Β¬ (π‘€β€˜π‘›) ∈ {0})
136123, 135eldifd 3926 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘€β€˜π‘›) ∈ (β„‚ βˆ– {0}))
13728nn0zd 12532 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 4 ∈ β„€)
13826, 137rpexpcld 14157 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((π΄β€˜π‘›)↑4) ∈ ℝ+)
139109, 127rpexpcld 14157 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((π·β€˜π‘›)↑2) ∈ ℝ+)
140138, 139rpdivcld 12981 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (((π΄β€˜π‘›)↑4) / ((π·β€˜π‘›)↑2)) ∈ ℝ+)
1418fvmpt2 6964 . . . . 5 ((𝑛 ∈ β„• ∧ (((π΄β€˜π‘›)↑4) / ((π·β€˜π‘›)↑2)) ∈ ℝ+) β†’ (πΉβ€˜π‘›) = (((π΄β€˜π‘›)↑4) / ((π·β€˜π‘›)↑2)))
14225, 140, 141syl2anc 585 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘›) = (((π΄β€˜π‘›)↑4) / ((π·β€˜π‘›)↑2)))
1432fvmpt2 6964 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ β„• ∧ ((π΄β€˜π‘›)↑4) ∈ ℝ+) β†’ (πΏβ€˜π‘›) = ((π΄β€˜π‘›)↑4))
14425, 138, 143syl2anc 585 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΏβ€˜π‘›) = ((π΄β€˜π‘›)↑4))
145144, 113oveq12d 7380 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((πΏβ€˜π‘›) / (π‘€β€˜π‘›)) = (((π΄β€˜π‘›)↑4) / ((π·β€˜π‘›)↑2)))
146142, 145eqtr4d 2780 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘›) = ((πΏβ€˜π‘›) / (π‘€β€˜π‘›)))
1471, 4, 7, 10, 11, 12, 32, 35, 114, 120, 122, 136, 146climdivf 43927 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹 ⇝ ((𝐢↑4) / (𝐢↑2)))
148 2cn 12235 . . . . . 6 2 ∈ β„‚
149 2p2e4 12295 . . . . . 6 (2 + 2) = 4
150148, 148, 149mvlladdi 11426 . . . . 5 2 = (4 βˆ’ 2)
151150a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 2 = (4 βˆ’ 2))
152151oveq2d 7378 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐢↑2) = (𝐢↑(4 βˆ’ 2)))
15320nn0zd 12532 . . . 4 (πœ‘ β†’ 4 ∈ β„€)
154116, 117, 119, 153expsubd 14069 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐢↑(4 βˆ’ 2)) = ((𝐢↑4) / (𝐢↑2)))
155152, 154eqtrd 2777 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐢↑2) = ((𝐢↑4) / (𝐢↑2)))
156147, 155breqtrrd 5138 1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ⇝ (𝐢↑2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542  β„²wnf 1786   ∈ wcel 2107  β„²wnfc 2888  Vcvv 3448   βŠ† wss 3915  {csn 4591   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  β„‚cc 11056  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   Β· cmul 11063   ≀ cle 11197   βˆ’ cmin 11392   / cdiv 11819  β„•cn 12160  2c2 12215  4c4 12217  β„•0cn0 12420  β„€cz 12506  β„€β‰₯cuz 12770  β„+crp 12922  β†‘cexp 13974   ⇝ cli 15373
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136  ax-mulf 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-er 8655  df-map 8774  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-seq 13914  df-exp 13975  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-clim 15377  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-starv 17155  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-unif 17163  df-hom 17164  df-cco 17165  df-rest 17311  df-topn 17312  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-topgen 17332  df-pt 17333  df-prds 17336  df-xrs 17391  df-qtop 17396  df-imas 17397  df-xps 17399  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-submnd 18609  df-mulg 18880  df-cntz 19104  df-cmn 19571  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cncf 24257
This theorem is referenced by:  stirlinglem15  44403
  Copyright terms: Public domain W3C validator