Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stirlinglem8 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stirlinglem8 41922
Description: If 𝐴 converges to 𝐶, then 𝐹 converges to C^2 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stirlinglem8.1 𝑛𝜑
stirlinglem8.2 𝑛𝐴
stirlinglem8.3 𝑛𝐷
stirlinglem8.4 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐴‘(2 · 𝑛)))
stirlinglem8.5 (𝜑𝐴:ℕ⟶ℝ+)
stirlinglem8.6 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝐴𝑛)↑4) / ((𝐷𝑛)↑2)))
stirlinglem8.7 𝐿 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝑛)↑4))
stirlinglem8.8 𝑀 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐷𝑛)↑2))
stirlinglem8.9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐷𝑛) ∈ ℝ+)
stirlinglem8.10 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
stirlinglem8.11 (𝜑𝐴𝐶)
Assertion
Ref Expression
stirlinglem8 (𝜑𝐹 ⇝ (𝐶↑2))

Proof of Theorem stirlinglem8
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stirlinglem8.1 . . 3 𝑛𝜑
2 stirlinglem8.7 . . . 4 𝐿 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝑛)↑4))
3 nfmpt1 5061 . . . 4 𝑛(𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝑛)↑4))
42, 3nfcxfr 2946 . . 3 𝑛𝐿
5 stirlinglem8.8 . . . 4 𝑀 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐷𝑛)↑2))
6 nfmpt1 5061 . . . 4 𝑛(𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐷𝑛)↑2))
75, 6nfcxfr 2946 . . 3 𝑛𝑀
8 stirlinglem8.6 . . . 4 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝐴𝑛)↑4) / ((𝐷𝑛)↑2)))
9 nfmpt1 5061 . . . 4 𝑛(𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝐴𝑛)↑4) / ((𝐷𝑛)↑2)))
108, 9nfcxfr 2946 . . 3 𝑛𝐹
11 nnuz 12130 . . 3 ℕ = (ℤ‘1)
12 1zzd 11863 . . 3 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
13 stirlinglem8.2 . . . 4 𝑛𝐴
14 stirlinglem8.5 . . . . 5 (𝜑𝐴:ℕ⟶ℝ+)
15 rrpsscn 41424 . . . . 5 + ⊆ ℂ
16 fss 6398 . . . . 5 ((𝐴:ℕ⟶ℝ+ ∧ ℝ+ ⊆ ℂ) → 𝐴:ℕ⟶ℂ)
1714, 15, 16sylancl 586 . . . 4 (𝜑𝐴:ℕ⟶ℂ)
18 stirlinglem8.11 . . . 4 (𝜑𝐴𝐶)
19 4nn0 11766 . . . . 5 4 ∈ ℕ0
2019a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 4 ∈ ℕ0)
21 nnex 11494 . . . . . . 7 ℕ ∈ V
2221mptex 6855 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝑛)↑4)) ∈ V
232, 22eqeltri 2878 . . . . 5 𝐿 ∈ V
2423a1i 11 . . . 4 (𝜑𝐿 ∈ V)
25 simpr 485 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ)
2614ffvelrnda 6719 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴𝑛) ∈ ℝ+)
2726rpcnd 12283 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴𝑛) ∈ ℂ)
2819a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 4 ∈ ℕ0)
2927, 28expcld 13360 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐴𝑛)↑4) ∈ ℂ)
302fvmpt2 6648 . . . . 5 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ ((𝐴𝑛)↑4) ∈ ℂ) → (𝐿𝑛) = ((𝐴𝑛)↑4))
3125, 29, 30syl2anc 584 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐿𝑛) = ((𝐴𝑛)↑4))
321, 13, 4, 11, 12, 17, 18, 20, 24, 31climexp 41441 . . 3 (𝜑𝐿 ⇝ (𝐶↑4))
3321mptex 6855 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝐴𝑛)↑4) / ((𝐷𝑛)↑2))) ∈ V
348, 33eqeltri 2878 . . . 4 𝐹 ∈ V
3534a1i 11 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ V)
36 stirlinglem8.3 . . . 4 𝑛𝐷
3717adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴:ℕ⟶ℂ)
38 2nn 11560 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℕ
3938a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ)
40 id 22 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ)
4139, 40nnmulcld 11540 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ∈ ℕ)
4241adantl 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (2 · 𝑛) ∈ ℕ)
4337, 42ffvelrnd 6720 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴‘(2 · 𝑛)) ∈ ℂ)
44 stirlinglem8.4 . . . . 5 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐴‘(2 · 𝑛)))
451, 43, 44fmptdf 6747 . . . 4 (𝜑𝐷:ℕ⟶ℂ)
46 nfmpt1 5061 . . . . 5 𝑛(𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · 𝑛))
47 fex 6858 . . . . . 6 ((𝐴:ℕ⟶ℂ ∧ ℕ ∈ V) → 𝐴 ∈ V)
4817, 21, 47sylancl 586 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ V)
49 1nn 11499 . . . . . . 7 1 ∈ ℕ
50 2cnd 11565 . . . . . . . 8 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
51 1cnd 10485 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
5250, 51mulcld 10510 . . . . . . 7 (𝜑 → (2 · 1) ∈ ℂ)
53 oveq2 7027 . . . . . . . 8 (𝑛 = 1 → (2 · 𝑛) = (2 · 1))
54 eqid 2794 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · 𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · 𝑛))
5553, 54fvmptg 6636 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℕ ∧ (2 · 1) ∈ ℂ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · 𝑛))‘1) = (2 · 1))
5649, 52, 55sylancr 587 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · 𝑛))‘1) = (2 · 1))
5738a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 2 ∈ ℕ)
5849a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 ∈ ℕ)
5957, 58nnmulcld 11540 . . . . . 6 (𝜑 → (2 · 1) ∈ ℕ)
6056, 59eqeltrd 2882 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · 𝑛))‘1) ∈ ℕ)
61 1red 10491 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
6239nnred 11503 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
6341nnred 11503 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ∈ ℝ)
6439nnge1d 11535 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → 1 ≤ 2)
6561, 62, 63, 64leadd2dd 11105 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛) + 1) ≤ ((2 · 𝑛) + 2))
6654fvmpt2 6648 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (2 · 𝑛) ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · 𝑛))‘𝑛) = (2 · 𝑛))
6741, 66mpdan 683 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · 𝑛))‘𝑛) = (2 · 𝑛))
6867oveq1d 7034 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → (((𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · 𝑛))‘𝑛) + 1) = ((2 · 𝑛) + 1))
69 oveq2 7027 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑘 → (2 · 𝑛) = (2 · 𝑘))
7069cbvmptv 5064 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · 𝑛)) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (2 · 𝑘))
7170a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · 𝑛)) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (2 · 𝑘)))
72 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑘 = (𝑛 + 1)) → 𝑘 = (𝑛 + 1))
7372oveq2d 7035 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑘 = (𝑛 + 1)) → (2 · 𝑘) = (2 · (𝑛 + 1)))
74 peano2nn 11500 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
7539, 74nnmulcld 11540 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → (2 · (𝑛 + 1)) ∈ ℕ)
7671, 73, 74, 75fvmptd 6644 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · 𝑛))‘(𝑛 + 1)) = (2 · (𝑛 + 1)))
77 2cnd 11565 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
78 nncn 11496 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℂ)
79 1cnd 10485 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
8077, 78, 79adddid 10514 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → (2 · (𝑛 + 1)) = ((2 · 𝑛) + (2 · 1)))
8177mulid1d 10507 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 1) = 2)
8281oveq2d 7035 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛) + (2 · 1)) = ((2 · 𝑛) + 2))
8376, 80, 823eqtrd 2834 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · 𝑛))‘(𝑛 + 1)) = ((2 · 𝑛) + 2))
8465, 68, 833brtr4d 4996 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → (((𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · 𝑛))‘𝑛) + 1) ≤ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · 𝑛))‘(𝑛 + 1)))
8541nnzd 11936 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ∈ ℤ)
8667, 85eqeltrd 2882 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · 𝑛))‘𝑛) ∈ ℤ)
8786peano2zd 11940 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → (((𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · 𝑛))‘𝑛) + 1) ∈ ℤ)
8875nnzd 11936 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → (2 · (𝑛 + 1)) ∈ ℤ)
8976, 88eqeltrd 2882 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · 𝑛))‘(𝑛 + 1)) ∈ ℤ)
90 eluz 12107 . . . . . . . 8 (((((𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · 𝑛))‘𝑛) + 1) ∈ ℤ ∧ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · 𝑛))‘(𝑛 + 1)) ∈ ℤ) → (((𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · 𝑛))‘(𝑛 + 1)) ∈ (ℤ‘(((𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · 𝑛))‘𝑛) + 1)) ↔ (((𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · 𝑛))‘𝑛) + 1) ≤ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · 𝑛))‘(𝑛 + 1))))
9187, 89, 90syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → (((𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · 𝑛))‘(𝑛 + 1)) ∈ (ℤ‘(((𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · 𝑛))‘𝑛) + 1)) ↔ (((𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · 𝑛))‘𝑛) + 1) ≤ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · 𝑛))‘(𝑛 + 1))))
9284, 91mpbird 258 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · 𝑛))‘(𝑛 + 1)) ∈ (ℤ‘(((𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · 𝑛))‘𝑛) + 1)))
9392adantl 482 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · 𝑛))‘(𝑛 + 1)) ∈ (ℤ‘(((𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · 𝑛))‘𝑛) + 1)))
9421mptex 6855 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐴‘(2 · 𝑛))) ∈ V
9544, 94eqeltri 2878 . . . . . 6 𝐷 ∈ V
9695a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝐷 ∈ V)
9744fvmpt2 6648 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝐴‘(2 · 𝑛)) ∈ ℂ) → (𝐷𝑛) = (𝐴‘(2 · 𝑛)))
9825, 43, 97syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐷𝑛) = (𝐴‘(2 · 𝑛)))
9967adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · 𝑛))‘𝑛) = (2 · 𝑛))
10099eqcomd 2800 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (2 · 𝑛) = ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · 𝑛))‘𝑛))
101100fveq2d 6545 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴‘(2 · 𝑛)) = (𝐴‘((𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · 𝑛))‘𝑛)))
10298, 101eqtrd 2830 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐷𝑛) = (𝐴‘((𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · 𝑛))‘𝑛)))
1031, 13, 36, 46, 11, 12, 48, 27, 18, 60, 93, 96, 102climsuse 41444 . . . 4 (𝜑𝐷𝐶)
104 2nn0 11764 . . . . 5 2 ∈ ℕ0
105104a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 2 ∈ ℕ0)
10621mptex 6855 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐷𝑛)↑2)) ∈ V
1075, 106eqeltri 2878 . . . . 5 𝑀 ∈ V
108107a1i 11 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ V)
109 stirlinglem8.9 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐷𝑛) ∈ ℝ+)
110109rpcnd 12283 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐷𝑛) ∈ ℂ)
111110sqcld 13358 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐷𝑛)↑2) ∈ ℂ)
1125fvmpt2 6648 . . . . 5 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ ((𝐷𝑛)↑2) ∈ ℂ) → (𝑀𝑛) = ((𝐷𝑛)↑2))
11325, 111, 112syl2anc 584 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑀𝑛) = ((𝐷𝑛)↑2))
1141, 36, 7, 11, 12, 45, 103, 105, 108, 113climexp 41441 . . 3 (𝜑𝑀 ⇝ (𝐶↑2))
115 stirlinglem8.10 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
116115rpcnd 12283 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
117115rpne0d 12286 . . . 4 (𝜑𝐶 ≠ 0)
118 2z 11864 . . . . 5 2 ∈ ℤ
119118a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
120116, 117, 119expne0d 13366 . . 3 (𝜑 → (𝐶↑2) ≠ 0)
1211, 29, 2fmptdf 6747 . . . 4 (𝜑𝐿:ℕ⟶ℂ)
122121ffvelrnda 6719 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐿𝑛) ∈ ℂ)
123113, 111eqeltrd 2882 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑀𝑛) ∈ ℂ)
12498oveq1d 7034 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐷𝑛)↑2) = ((𝐴‘(2 · 𝑛))↑2))
125113, 124eqtrd 2830 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑀𝑛) = ((𝐴‘(2 · 𝑛))↑2))
12698, 109eqeltrrd 2883 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴‘(2 · 𝑛)) ∈ ℝ+)
127118a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℤ)
128126, 127rpexpcld 13458 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐴‘(2 · 𝑛))↑2) ∈ ℝ+)
129125, 128eqeltrd 2882 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑀𝑛) ∈ ℝ+)
130129rpne0d 12286 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑀𝑛) ≠ 0)
131130neneqd 2988 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ¬ (𝑀𝑛) = 0)
132 0cn 10482 . . . . . 6 0 ∈ ℂ
133 elsn2g 4510 . . . . . 6 (0 ∈ ℂ → ((𝑀𝑛) ∈ {0} ↔ (𝑀𝑛) = 0))
134132, 133ax-mp 5 . . . . 5 ((𝑀𝑛) ∈ {0} ↔ (𝑀𝑛) = 0)
135131, 134sylnibr 330 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ¬ (𝑀𝑛) ∈ {0})
136123, 135eldifd 3872 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑀𝑛) ∈ (ℂ ∖ {0}))
13728nn0zd 11935 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 4 ∈ ℤ)
13826, 137rpexpcld 13458 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐴𝑛)↑4) ∈ ℝ+)
139109, 127rpexpcld 13458 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐷𝑛)↑2) ∈ ℝ+)
140138, 139rpdivcld 12298 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (((𝐴𝑛)↑4) / ((𝐷𝑛)↑2)) ∈ ℝ+)
1418fvmpt2 6648 . . . . 5 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (((𝐴𝑛)↑4) / ((𝐷𝑛)↑2)) ∈ ℝ+) → (𝐹𝑛) = (((𝐴𝑛)↑4) / ((𝐷𝑛)↑2)))
14225, 140, 141syl2anc 584 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑛) = (((𝐴𝑛)↑4) / ((𝐷𝑛)↑2)))
1432fvmpt2 6648 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ ((𝐴𝑛)↑4) ∈ ℝ+) → (𝐿𝑛) = ((𝐴𝑛)↑4))
14425, 138, 143syl2anc 584 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐿𝑛) = ((𝐴𝑛)↑4))
145144, 113oveq12d 7037 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐿𝑛) / (𝑀𝑛)) = (((𝐴𝑛)↑4) / ((𝐷𝑛)↑2)))
146142, 145eqtr4d 2833 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑛) = ((𝐿𝑛) / (𝑀𝑛)))
1471, 4, 7, 10, 11, 12, 32, 35, 114, 120, 122, 136, 146climdivf 41448 . 2 (𝜑𝐹 ⇝ ((𝐶↑4) / (𝐶↑2)))
148 2cn 11562 . . . . . 6 2 ∈ ℂ
149 2p2e4 11622 . . . . . 6 (2 + 2) = 4
150148, 148, 149mvlladdi 10754 . . . . 5 2 = (4 − 2)
151150a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 2 = (4 − 2))
152151oveq2d 7035 . . 3 (𝜑 → (𝐶↑2) = (𝐶↑(4 − 2)))
15320nn0zd 11935 . . . 4 (𝜑 → 4 ∈ ℤ)
154116, 117, 119, 153expsubd 13371 . . 3 (𝜑 → (𝐶↑(4 − 2)) = ((𝐶↑4) / (𝐶↑2)))
155152, 154eqtrd 2830 . 2 (𝜑 → (𝐶↑2) = ((𝐶↑4) / (𝐶↑2)))
156147, 155breqtrrd 4992 1 (𝜑𝐹 ⇝ (𝐶↑2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1522  wnf 1766  wcel 2080  wnfc 2932  Vcvv 3436  wss 3861  {csn 4474   class class class wbr 4964  cmpt 5043  wf 6224  cfv 6228  (class class class)co 7019  cc 10384  0cc0 10386  1c1 10387   + caddc 10389   · cmul 10391  cle 10525  cmin 10719   / cdiv 11147  cn 11488  2c2 11542  4c4 11544  0cn0 11747  cz 11831  cuz 12093  +crp 12239  cexp 13279  cli 14675
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1778  ax-4 1792  ax-5 1889  ax-6 1948  ax-7 1993  ax-8 2082  ax-9 2090  ax-10 2111  ax-11 2125  ax-12 2140  ax-13 2343  ax-ext 2768  ax-rep 5084  ax-sep 5097  ax-nul 5104  ax-pow 5160  ax-pr 5224  ax-un 7322  ax-cnex 10442  ax-resscn 10443  ax-1cn 10444  ax-icn 10445  ax-addcl 10446  ax-addrcl 10447  ax-mulcl 10448  ax-mulrcl 10449  ax-mulcom 10450  ax-addass 10451  ax-mulass 10452  ax-distr 10453  ax-i2m1 10454  ax-1ne0 10455  ax-1rid 10456  ax-rnegex 10457  ax-rrecex 10458  ax-cnre 10459  ax-pre-lttri 10460  ax-pre-lttrn 10461  ax-pre-ltadd 10462  ax-pre-mulgt0 10463  ax-pre-sup 10464  ax-mulf 10466
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1763  df-nf 1767  df-sb 2042  df-mo 2575  df-eu 2611  df-clab 2775  df-cleq 2787  df-clel 2862  df-nfc 2934  df-ne 2984  df-nel 3090  df-ral 3109  df-rex 3110  df-reu 3111  df-rmo 3112  df-rab 3113  df-v 3438  df-sbc 3708  df-csb 3814  df-dif 3864  df-un 3866  df-in 3868  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4214  df-if 4384  df-pw 4457  df-sn 4475  df-pr 4477  df-tp 4479  df-op 4481  df-uni 4748  df-int 4785  df-iun 4829  df-iin 4830  df-br 4965  df-opab 5027  df-mpt 5044  df-tr 5067  df-id 5351  df-eprel 5356  df-po 5365  df-so 5366  df-fr 5405  df-se 5406  df-we 5407  df-xp 5452  df-rel 5453  df-cnv 5454  df-co 5455  df-dm 5456  df-rn 5457  df-res 5458  df-ima 5459  df-pred 6026  df-ord 6072  df-on 6073  df-lim 6074  df-suc 6075  df-iota 6192  df-fun 6230  df-fn 6231  df-f 6232  df-f1 6233  df-fo 6234  df-f1o 6235  df-fv 6236  df-isom 6237  df-riota 6980  df-ov 7022  df-oprab 7023  df-mpo 7024  df-of 7270  df-om 7440  df-1st 7548  df-2nd 7549  df-supp 7685  df-wrecs 7801  df-recs 7863  df-rdg 7901  df-1o 7956  df-2o 7957  df-oadd 7960  df-er 8142  df-map 8261  df-ixp 8314  df-en 8361  df-dom 8362  df-sdom 8363  df-fin 8364  df-fsupp 8683  df-fi 8724  df-sup 8755  df-inf 8756  df-oi 8823  df-card 9217  df-pnf 10526  df-mnf 10527  df-xr 10528  df-ltxr 10529  df-le 10530  df-sub 10721  df-neg 10722  df-div 11148  df-nn 11489  df-2 11550  df-3 11551  df-4 11552  df-5 11553  df-6 11554  df-7 11555  df-8 11556  df-9 11557  df-n0 11748  df-z 11832  df-dec 11949  df-uz 12094  df-q 12198  df-rp 12240  df-xneg 12357  df-xadd 12358  df-xmul 12359  df-icc 12595  df-fz 12743  df-fzo 12884  df-seq 13220  df-exp 13280  df-hash 13541  df-cj 14292  df-re 14293  df-im 14294  df-sqrt 14428  df-abs 14429  df-clim 14679  df-struct 16314  df-ndx 16315  df-slot 16316  df-base 16318  df-sets 16319  df-ress 16320  df-plusg 16407  df-mulr 16408  df-starv 16409  df-sca 16410  df-vsca 16411  df-ip 16412  df-tset 16413  df-ple 16414  df-ds 16416  df-unif 16417  df-hom 16418  df-cco 16419  df-rest 16525  df-topn 16526  df-0g 16544  df-gsum 16545  df-topgen 16546  df-pt 16547  df-prds 16550  df-xrs 16604  df-qtop 16609  df-imas 16610  df-xps 16612  df-mre 16686  df-mrc 16687  df-acs 16689  df-mgm 17681  df-sgrp 17723  df-mnd 17734  df-submnd 17775  df-mulg 17982  df-cntz 18188  df-cmn 18635  df-psmet 20219  df-xmet 20220  df-met 20221  df-bl 20222  df-mopn 20223  df-cnfld 20228  df-top 21186  df-topon 21203  df-topsp 21225  df-bases 21238  df-cn 21519  df-cnp 21520  df-tx 21854  df-hmeo 22047  df-xms 22613  df-ms 22614  df-tms 22615  df-cncf 23169
This theorem is referenced by:  stirlinglem15  41929
  Copyright terms: Public domain W3C validator