Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stirlinglem8 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stirlinglem8 45463
Description: If 𝐴 converges to 𝐶, then 𝐹 converges to C^2 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stirlinglem8.1 𝑛𝜑
stirlinglem8.2 𝑛𝐴
stirlinglem8.3 𝑛𝐷
stirlinglem8.4 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐴‘(2 · 𝑛)))
stirlinglem8.5 (𝜑𝐴:ℕ⟶ℝ+)
stirlinglem8.6 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝐴𝑛)↑4) / ((𝐷𝑛)↑2)))
stirlinglem8.7 𝐿 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝑛)↑4))
stirlinglem8.8 𝑀 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐷𝑛)↑2))
stirlinglem8.9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐷𝑛) ∈ ℝ+)
stirlinglem8.10 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
stirlinglem8.11 (𝜑𝐴𝐶)
Assertion
Ref Expression
stirlinglem8 (𝜑𝐹 ⇝ (𝐶↑2))

Proof of Theorem stirlinglem8
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stirlinglem8.1 . . 3 𝑛𝜑
2 stirlinglem8.7 . . . 4 𝐿 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝑛)↑4))
3 nfmpt1 5250 . . . 4 𝑛(𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝑛)↑4))
42, 3nfcxfr 2897 . . 3 𝑛𝐿
5 stirlinglem8.8 . . . 4 𝑀 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐷𝑛)↑2))
6 nfmpt1 5250 . . . 4 𝑛(𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐷𝑛)↑2))
75, 6nfcxfr 2897 . . 3 𝑛𝑀
8 stirlinglem8.6 . . . 4 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝐴𝑛)↑4) / ((𝐷𝑛)↑2)))
9 nfmpt1 5250 . . . 4 𝑛(𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝐴𝑛)↑4) / ((𝐷𝑛)↑2)))
108, 9nfcxfr 2897 . . 3 𝑛𝐹
11 nnuz 12889 . . 3 ℕ = (ℤ‘1)
12 1zzd 12617 . . 3 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
13 stirlinglem8.2 . . . 4 𝑛𝐴
14 stirlinglem8.5 . . . . 5 (𝜑𝐴:ℕ⟶ℝ+)
15 rrpsscn 44970 . . . . 5 + ⊆ ℂ
16 fss 6733 . . . . 5 ((𝐴:ℕ⟶ℝ+ ∧ ℝ+ ⊆ ℂ) → 𝐴:ℕ⟶ℂ)
1714, 15, 16sylancl 585 . . . 4 (𝜑𝐴:ℕ⟶ℂ)
18 stirlinglem8.11 . . . 4 (𝜑𝐴𝐶)
19 4nn0 12515 . . . . 5 4 ∈ ℕ0
2019a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 4 ∈ ℕ0)
21 nnex 12242 . . . . . . 7 ℕ ∈ V
2221mptex 7229 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝑛)↑4)) ∈ V
232, 22eqeltri 2825 . . . . 5 𝐿 ∈ V
2423a1i 11 . . . 4 (𝜑𝐿 ∈ V)
25 simpr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ)
2614ffvelcdmda 7088 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴𝑛) ∈ ℝ+)
2726rpcnd 13044 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴𝑛) ∈ ℂ)
2819a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 4 ∈ ℕ0)
2927, 28expcld 14136 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐴𝑛)↑4) ∈ ℂ)
302fvmpt2 7010 . . . . 5 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ ((𝐴𝑛)↑4) ∈ ℂ) → (𝐿𝑛) = ((𝐴𝑛)↑4))
3125, 29, 30syl2anc 583 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐿𝑛) = ((𝐴𝑛)↑4))
321, 13, 4, 11, 12, 17, 18, 20, 24, 31climexp 44987 . . 3 (𝜑𝐿 ⇝ (𝐶↑4))
3321mptex 7229 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝐴𝑛)↑4) / ((𝐷𝑛)↑2))) ∈ V
348, 33eqeltri 2825 . . . 4 𝐹 ∈ V
3534a1i 11 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ V)
36 stirlinglem8.3 . . . 4 𝑛𝐷
3717adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴:ℕ⟶ℂ)
38 2nn 12309 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℕ
3938a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ)
40 id 22 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ)
4139, 40nnmulcld 12289 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ∈ ℕ)
4241adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (2 · 𝑛) ∈ ℕ)
4337, 42ffvelcdmd 7089 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴‘(2 · 𝑛)) ∈ ℂ)
44 stirlinglem8.4 . . . . 5 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐴‘(2 · 𝑛)))
451, 43, 44fmptdf 7121 . . . 4 (𝜑𝐷:ℕ⟶ℂ)
46 nfmpt1 5250 . . . . 5 𝑛(𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · 𝑛))
47 fex 7232 . . . . . 6 ((𝐴:ℕ⟶ℂ ∧ ℕ ∈ V) → 𝐴 ∈ V)
4817, 21, 47sylancl 585 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ V)
49 1nn 12247 . . . . . . 7 1 ∈ ℕ
50 2cnd 12314 . . . . . . . 8 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
51 1cnd 11233 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
5250, 51mulcld 11258 . . . . . . 7 (𝜑 → (2 · 1) ∈ ℂ)
53 oveq2 7422 . . . . . . . 8 (𝑛 = 1 → (2 · 𝑛) = (2 · 1))
54 eqid 2728 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · 𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · 𝑛))
5553, 54fvmptg 6997 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℕ ∧ (2 · 1) ∈ ℂ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · 𝑛))‘1) = (2 · 1))
5649, 52, 55sylancr 586 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · 𝑛))‘1) = (2 · 1))
5738a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 2 ∈ ℕ)
5849a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 ∈ ℕ)
5957, 58nnmulcld 12289 . . . . . 6 (𝜑 → (2 · 1) ∈ ℕ)
6056, 59eqeltrd 2829 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · 𝑛))‘1) ∈ ℕ)
61 1red 11239 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
6239nnred 12251 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
6341nnred 12251 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ∈ ℝ)
6439nnge1d 12284 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → 1 ≤ 2)
6561, 62, 63, 64leadd2dd 11853 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛) + 1) ≤ ((2 · 𝑛) + 2))
6654fvmpt2 7010 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (2 · 𝑛) ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · 𝑛))‘𝑛) = (2 · 𝑛))
6741, 66mpdan 686 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · 𝑛))‘𝑛) = (2 · 𝑛))
6867oveq1d 7429 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → (((𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · 𝑛))‘𝑛) + 1) = ((2 · 𝑛) + 1))
69 oveq2 7422 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑘 → (2 · 𝑛) = (2 · 𝑘))
7069cbvmptv 5255 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · 𝑛)) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (2 · 𝑘))
7170a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · 𝑛)) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (2 · 𝑘)))
72 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑘 = (𝑛 + 1)) → 𝑘 = (𝑛 + 1))
7372oveq2d 7430 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑘 = (𝑛 + 1)) → (2 · 𝑘) = (2 · (𝑛 + 1)))
74 peano2nn 12248 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
7539, 74nnmulcld 12289 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → (2 · (𝑛 + 1)) ∈ ℕ)
7671, 73, 74, 75fvmptd 7006 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · 𝑛))‘(𝑛 + 1)) = (2 · (𝑛 + 1)))
77 2cnd 12314 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
78 nncn 12244 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℂ)
79 1cnd 11233 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
8077, 78, 79adddid 11262 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → (2 · (𝑛 + 1)) = ((2 · 𝑛) + (2 · 1)))
8177mulridd 11255 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 1) = 2)
8281oveq2d 7430 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛) + (2 · 1)) = ((2 · 𝑛) + 2))
8376, 80, 823eqtrd 2772 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · 𝑛))‘(𝑛 + 1)) = ((2 · 𝑛) + 2))
8465, 68, 833brtr4d 5174 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → (((𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · 𝑛))‘𝑛) + 1) ≤ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · 𝑛))‘(𝑛 + 1)))
8541nnzd 12609 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ∈ ℤ)
8667, 85eqeltrd 2829 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · 𝑛))‘𝑛) ∈ ℤ)
8786peano2zd 12693 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → (((𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · 𝑛))‘𝑛) + 1) ∈ ℤ)
8875nnzd 12609 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → (2 · (𝑛 + 1)) ∈ ℤ)
8976, 88eqeltrd 2829 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · 𝑛))‘(𝑛 + 1)) ∈ ℤ)
90 eluz 12860 . . . . . . . 8 (((((𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · 𝑛))‘𝑛) + 1) ∈ ℤ ∧ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · 𝑛))‘(𝑛 + 1)) ∈ ℤ) → (((𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · 𝑛))‘(𝑛 + 1)) ∈ (ℤ‘(((𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · 𝑛))‘𝑛) + 1)) ↔ (((𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · 𝑛))‘𝑛) + 1) ≤ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · 𝑛))‘(𝑛 + 1))))
9187, 89, 90syl2anc 583 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → (((𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · 𝑛))‘(𝑛 + 1)) ∈ (ℤ‘(((𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · 𝑛))‘𝑛) + 1)) ↔ (((𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · 𝑛))‘𝑛) + 1) ≤ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · 𝑛))‘(𝑛 + 1))))
9284, 91mpbird 257 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · 𝑛))‘(𝑛 + 1)) ∈ (ℤ‘(((𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · 𝑛))‘𝑛) + 1)))
9392adantl 481 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · 𝑛))‘(𝑛 + 1)) ∈ (ℤ‘(((𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · 𝑛))‘𝑛) + 1)))
9421mptex 7229 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐴‘(2 · 𝑛))) ∈ V
9544, 94eqeltri 2825 . . . . . 6 𝐷 ∈ V
9695a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝐷 ∈ V)
9744fvmpt2 7010 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝐴‘(2 · 𝑛)) ∈ ℂ) → (𝐷𝑛) = (𝐴‘(2 · 𝑛)))
9825, 43, 97syl2anc 583 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐷𝑛) = (𝐴‘(2 · 𝑛)))
9967adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · 𝑛))‘𝑛) = (2 · 𝑛))
10099eqcomd 2734 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (2 · 𝑛) = ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · 𝑛))‘𝑛))
101100fveq2d 6895 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴‘(2 · 𝑛)) = (𝐴‘((𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · 𝑛))‘𝑛)))
10298, 101eqtrd 2768 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐷𝑛) = (𝐴‘((𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · 𝑛))‘𝑛)))
1031, 13, 36, 46, 11, 12, 48, 27, 18, 60, 93, 96, 102climsuse 44990 . . . 4 (𝜑𝐷𝐶)
104 2nn0 12513 . . . . 5 2 ∈ ℕ0
105104a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 2 ∈ ℕ0)
10621mptex 7229 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐷𝑛)↑2)) ∈ V
1075, 106eqeltri 2825 . . . . 5 𝑀 ∈ V
108107a1i 11 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ V)
109 stirlinglem8.9 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐷𝑛) ∈ ℝ+)
110109rpcnd 13044 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐷𝑛) ∈ ℂ)
111110sqcld 14134 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐷𝑛)↑2) ∈ ℂ)
1125fvmpt2 7010 . . . . 5 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ ((𝐷𝑛)↑2) ∈ ℂ) → (𝑀𝑛) = ((𝐷𝑛)↑2))
11325, 111, 112syl2anc 583 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑀𝑛) = ((𝐷𝑛)↑2))
1141, 36, 7, 11, 12, 45, 103, 105, 108, 113climexp 44987 . . 3 (𝜑𝑀 ⇝ (𝐶↑2))
115 stirlinglem8.10 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
116115rpcnd 13044 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
117115rpne0d 13047 . . . 4 (𝜑𝐶 ≠ 0)
118 2z 12618 . . . . 5 2 ∈ ℤ
119118a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
120116, 117, 119expne0d 14142 . . 3 (𝜑 → (𝐶↑2) ≠ 0)
1211, 29, 2fmptdf 7121 . . . 4 (𝜑𝐿:ℕ⟶ℂ)
122121ffvelcdmda 7088 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐿𝑛) ∈ ℂ)
123113, 111eqeltrd 2829 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑀𝑛) ∈ ℂ)
12498oveq1d 7429 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐷𝑛)↑2) = ((𝐴‘(2 · 𝑛))↑2))
125113, 124eqtrd 2768 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑀𝑛) = ((𝐴‘(2 · 𝑛))↑2))
12698, 109eqeltrrd 2830 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴‘(2 · 𝑛)) ∈ ℝ+)
127118a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℤ)
128126, 127rpexpcld 14235 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐴‘(2 · 𝑛))↑2) ∈ ℝ+)
129125, 128eqeltrd 2829 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑀𝑛) ∈ ℝ+)
130129rpne0d 13047 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑀𝑛) ≠ 0)
131130neneqd 2941 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ¬ (𝑀𝑛) = 0)
132 0cn 11230 . . . . . 6 0 ∈ ℂ
133 elsn2g 4662 . . . . . 6 (0 ∈ ℂ → ((𝑀𝑛) ∈ {0} ↔ (𝑀𝑛) = 0))
134132, 133ax-mp 5 . . . . 5 ((𝑀𝑛) ∈ {0} ↔ (𝑀𝑛) = 0)
135131, 134sylnibr 329 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ¬ (𝑀𝑛) ∈ {0})
136123, 135eldifd 3956 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑀𝑛) ∈ (ℂ ∖ {0}))
13728nn0zd 12608 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 4 ∈ ℤ)
13826, 137rpexpcld 14235 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐴𝑛)↑4) ∈ ℝ+)
139109, 127rpexpcld 14235 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐷𝑛)↑2) ∈ ℝ+)
140138, 139rpdivcld 13059 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (((𝐴𝑛)↑4) / ((𝐷𝑛)↑2)) ∈ ℝ+)
1418fvmpt2 7010 . . . . 5 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (((𝐴𝑛)↑4) / ((𝐷𝑛)↑2)) ∈ ℝ+) → (𝐹𝑛) = (((𝐴𝑛)↑4) / ((𝐷𝑛)↑2)))
14225, 140, 141syl2anc 583 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑛) = (((𝐴𝑛)↑4) / ((𝐷𝑛)↑2)))
1432fvmpt2 7010 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ ((𝐴𝑛)↑4) ∈ ℝ+) → (𝐿𝑛) = ((𝐴𝑛)↑4))
14425, 138, 143syl2anc 583 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐿𝑛) = ((𝐴𝑛)↑4))
145144, 113oveq12d 7432 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐿𝑛) / (𝑀𝑛)) = (((𝐴𝑛)↑4) / ((𝐷𝑛)↑2)))
146142, 145eqtr4d 2771 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑛) = ((𝐿𝑛) / (𝑀𝑛)))
1471, 4, 7, 10, 11, 12, 32, 35, 114, 120, 122, 136, 146climdivf 44994 . 2 (𝜑𝐹 ⇝ ((𝐶↑4) / (𝐶↑2)))
148 2cn 12311 . . . . . 6 2 ∈ ℂ
149 2p2e4 12371 . . . . . 6 (2 + 2) = 4
150148, 148, 149mvlladdi 11502 . . . . 5 2 = (4 − 2)
151150a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 2 = (4 − 2))
152151oveq2d 7430 . . 3 (𝜑 → (𝐶↑2) = (𝐶↑(4 − 2)))
15320nn0zd 12608 . . . 4 (𝜑 → 4 ∈ ℤ)
154116, 117, 119, 153expsubd 14147 . . 3 (𝜑 → (𝐶↑(4 − 2)) = ((𝐶↑4) / (𝐶↑2)))
155152, 154eqtrd 2768 . 2 (𝜑 → (𝐶↑2) = ((𝐶↑4) / (𝐶↑2)))
156147, 155breqtrrd 5170 1 (𝜑𝐹 ⇝ (𝐶↑2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1534  wnf 1778  wcel 2099  wnfc 2879  Vcvv 3470  wss 3945  {csn 4624   class class class wbr 5142  cmpt 5225  wf 6538  cfv 6542  (class class class)co 7414  cc 11130  0cc0 11132  1c1 11133   + caddc 11135   · cmul 11137  cle 11273  cmin 11468   / cdiv 11895  cn 12236  2c2 12291  4c4 12293  0cn0 12496  cz 12582  cuz 12846  +crp 13000  cexp 14052  cli 15454
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209  ax-pre-sup 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8718  df-map 8840  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9380  df-fi 9428  df-sup 9459  df-inf 9460  df-oi 9527  df-card 9956  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11896  df-nn 12237  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12497  df-z 12583  df-dec 12702  df-uz 12847  df-q 12957  df-rp 13001  df-xneg 13118  df-xadd 13119  df-xmul 13120  df-icc 13357  df-fz 13511  df-fzo 13654  df-seq 13993  df-exp 14053  df-hash 14316  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-clim 15458  df-struct 17109  df-sets 17126  df-slot 17144  df-ndx 17156  df-base 17174  df-ress 17203  df-plusg 17239  df-mulr 17240  df-starv 17241  df-sca 17242  df-vsca 17243  df-ip 17244  df-tset 17245  df-ple 17246  df-ds 17248  df-unif 17249  df-hom 17250  df-cco 17251  df-rest 17397  df-topn 17398  df-0g 17416  df-gsum 17417  df-topgen 17418  df-pt 17419  df-prds 17422  df-xrs 17477  df-qtop 17482  df-imas 17483  df-xps 17485  df-mre 17559  df-mrc 17560  df-acs 17562  df-mgm 18593  df-sgrp 18672  df-mnd 18688  df-submnd 18734  df-mulg 19017  df-cntz 19261  df-cmn 19730  df-psmet 21264  df-xmet 21265  df-met 21266  df-bl 21267  df-mopn 21268  df-cnfld 21273  df-top 22789  df-topon 22806  df-topsp 22828  df-bases 22842  df-cn 23124  df-cnp 23125  df-tx 23459  df-hmeo 23652  df-xms 24219  df-ms 24220  df-tms 24221  df-cncf 24791
This theorem is referenced by:  stirlinglem15  45470
  Copyright terms: Public domain W3C validator