MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qus2idrng Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qus2idrng 21171
Description: The quotient of a non-unital ring modulo a two-sided ideal, which is a subgroup of the additive group of the non-unital ring, is a non-unital ring (qusring 21173 analog). (Contributed by AV, 23-Feb-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
qus2idrng.u π‘ˆ = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑆))
qus2idrng.i 𝐼 = (2Idealβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
qus2idrng ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ∈ 𝐼 ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜π‘…)) β†’ π‘ˆ ∈ Rng)

Proof of Theorem qus2idrng
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qus2idrng.u . . 3 π‘ˆ = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑆))
21a1i 11 . 2 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ∈ 𝐼 ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜π‘…)) β†’ π‘ˆ = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑆)))
3 eqidd 2726 . 2 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ∈ 𝐼 ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜π‘…)) β†’ (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…))
4 eqid 2725 . 2 (+gβ€˜π‘…) = (+gβ€˜π‘…)
5 eqid 2725 . 2 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
6 simp3 1135 . . 3 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ∈ 𝐼 ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜π‘…)) β†’ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜π‘…))
7 eqid 2725 . . . 4 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
8 eqid 2725 . . . 4 (𝑅 ~QG 𝑆) = (𝑅 ~QG 𝑆)
97, 8eqger 19137 . . 3 (𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜π‘…) β†’ (𝑅 ~QG 𝑆) Er (Baseβ€˜π‘…))
106, 9syl 17 . 2 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ∈ 𝐼 ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜π‘…)) β†’ (𝑅 ~QG 𝑆) Er (Baseβ€˜π‘…))
11 rngabl 20099 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Rng β†’ 𝑅 ∈ Abel)
12113ad2ant1 1130 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ∈ 𝐼 ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜π‘…)) β†’ 𝑅 ∈ Abel)
13 ablnsg 19806 . . . . 5 (𝑅 ∈ Abel β†’ (NrmSGrpβ€˜π‘…) = (SubGrpβ€˜π‘…))
1412, 13syl 17 . . . 4 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ∈ 𝐼 ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜π‘…)) β†’ (NrmSGrpβ€˜π‘…) = (SubGrpβ€˜π‘…))
156, 14eleqtrrd 2828 . . 3 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ∈ 𝐼 ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜π‘…)) β†’ 𝑆 ∈ (NrmSGrpβ€˜π‘…))
167, 8, 4eqgcpbl 19141 . . 3 (𝑆 ∈ (NrmSGrpβ€˜π‘…) β†’ ((π‘Ž(𝑅 ~QG 𝑆)𝑐 ∧ 𝑏(𝑅 ~QG 𝑆)𝑑) β†’ (π‘Ž(+gβ€˜π‘…)𝑏)(𝑅 ~QG 𝑆)(𝑐(+gβ€˜π‘…)𝑑)))
1715, 16syl 17 . 2 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ∈ 𝐼 ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜π‘…)) β†’ ((π‘Ž(𝑅 ~QG 𝑆)𝑐 ∧ 𝑏(𝑅 ~QG 𝑆)𝑑) β†’ (π‘Ž(+gβ€˜π‘…)𝑏)(𝑅 ~QG 𝑆)(𝑐(+gβ€˜π‘…)𝑑)))
18 qus2idrng.i . . 3 𝐼 = (2Idealβ€˜π‘…)
197, 8, 18, 52idlcpblrng 21169 . 2 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ∈ 𝐼 ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜π‘…)) β†’ ((π‘Ž(𝑅 ~QG 𝑆)𝑐 ∧ 𝑏(𝑅 ~QG 𝑆)𝑑) β†’ (π‘Ž(.rβ€˜π‘…)𝑏)(𝑅 ~QG 𝑆)(𝑐(.rβ€˜π‘…)𝑑)))
20 simp1 1133 . 2 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ∈ 𝐼 ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜π‘…)) β†’ 𝑅 ∈ Rng)
212, 3, 4, 5, 10, 17, 19, 20qusrng 20124 1 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ∈ 𝐼 ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜π‘…)) β†’ π‘ˆ ∈ Rng)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5143  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416   Er wer 8720  Basecbs 17179  +gcplusg 17232  .rcmulr 17233   /s cqus 17486  SubGrpcsubg 19079  NrmSGrpcnsg 19080   ~QG cqg 19081  Abelcabl 19740  Rngcrng 20096  2Idealc2idl 21147
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-tpos 8230  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-ec 8725  df-qs 8729  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-sup 9465  df-inf 9466  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-fz 13517  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-ip 17250  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-0g 17422  df-imas 17489  df-qus 17490  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18897  df-minusg 18898  df-sbg 18899  df-subg 19082  df-nsg 19083  df-eqg 19084  df-cmn 19741  df-abl 19742  df-mgp 20079  df-rng 20097  df-oppr 20277  df-lss 20820  df-sra 21062  df-rgmod 21063  df-lidl 21108  df-2idl 21148
This theorem is referenced by:  rngqiprng  21190  rngqiprngimf1  21194  pzriprnglem13  21423
  Copyright terms: Public domain W3C validator