MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qus2idrng Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qus2idrng 21301
Description: The quotient of a non-unital ring modulo a two-sided ideal, which is a subgroup of the additive group of the non-unital ring, is a non-unital ring (qusring 21303 analog). (Contributed by AV, 23-Feb-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
qus2idrng.u 𝑈 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑆))
qus2idrng.i 𝐼 = (2Ideal‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
qus2idrng ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆𝐼𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅)) → 𝑈 ∈ Rng)

Proof of Theorem qus2idrng
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qus2idrng.u . . 3 𝑈 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑆))
21a1i 11 . 2 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆𝐼𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅)) → 𝑈 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑆)))
3 eqidd 2736 . 2 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆𝐼𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅)) → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅))
4 eqid 2735 . 2 (+g𝑅) = (+g𝑅)
5 eqid 2735 . 2 (.r𝑅) = (.r𝑅)
6 simp3 1137 . . 3 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆𝐼𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅)) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅))
7 eqid 2735 . . . 4 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
8 eqid 2735 . . . 4 (𝑅 ~QG 𝑆) = (𝑅 ~QG 𝑆)
97, 8eqger 19209 . . 3 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅) → (𝑅 ~QG 𝑆) Er (Base‘𝑅))
106, 9syl 17 . 2 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆𝐼𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅)) → (𝑅 ~QG 𝑆) Er (Base‘𝑅))
11 rngabl 20173 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Rng → 𝑅 ∈ Abel)
12113ad2ant1 1132 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆𝐼𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Abel)
13 ablnsg 19880 . . . . 5 (𝑅 ∈ Abel → (NrmSGrp‘𝑅) = (SubGrp‘𝑅))
1412, 13syl 17 . . . 4 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆𝐼𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅)) → (NrmSGrp‘𝑅) = (SubGrp‘𝑅))
156, 14eleqtrrd 2842 . . 3 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆𝐼𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅)) → 𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝑅))
167, 8, 4eqgcpbl 19213 . . 3 (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝑅) → ((𝑎(𝑅 ~QG 𝑆)𝑐𝑏(𝑅 ~QG 𝑆)𝑑) → (𝑎(+g𝑅)𝑏)(𝑅 ~QG 𝑆)(𝑐(+g𝑅)𝑑)))
1715, 16syl 17 . 2 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆𝐼𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅)) → ((𝑎(𝑅 ~QG 𝑆)𝑐𝑏(𝑅 ~QG 𝑆)𝑑) → (𝑎(+g𝑅)𝑏)(𝑅 ~QG 𝑆)(𝑐(+g𝑅)𝑑)))
18 qus2idrng.i . . 3 𝐼 = (2Ideal‘𝑅)
197, 8, 18, 52idlcpblrng 21299 . 2 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆𝐼𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅)) → ((𝑎(𝑅 ~QG 𝑆)𝑐𝑏(𝑅 ~QG 𝑆)𝑑) → (𝑎(.r𝑅)𝑏)(𝑅 ~QG 𝑆)(𝑐(.r𝑅)𝑑)))
20 simp1 1135 . 2 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆𝐼𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Rng)
212, 3, 4, 5, 10, 17, 19, 20qusrng 20198 1 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆𝐼𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅)) → 𝑈 ∈ Rng)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106   class class class wbr 5148  cfv 6563  (class class class)co 7431   Er wer 8741  Basecbs 17245  +gcplusg 17298  .rcmulr 17299   /s cqus 17552  SubGrpcsubg 19151  NrmSGrpcnsg 19152   ~QG cqg 19153  Abelcabl 19814  Rngcrng 20170  2Idealc2idl 21277
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-tpos 8250  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-ec 8746  df-qs 8750  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-0g 17488  df-imas 17555  df-qus 17556  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-subg 19154  df-nsg 19155  df-eqg 19156  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-oppr 20351  df-lss 20948  df-sra 21190  df-rgmod 21191  df-lidl 21236  df-2idl 21278
This theorem is referenced by:  rngqiprng  21324  rngqiprngimf1  21328  pzriprnglem13  21522
  Copyright terms: Public domain W3C validator