MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qus1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qus1 21110
Description: The multiplicative identity of the quotient ring. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
qusring.u 𝑈 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑆))
qusring.i 𝐼 = (2Ideal‘𝑅)
qus1.o 1 = (1r𝑅)
Assertion
Ref Expression
qus1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) → (𝑈 ∈ Ring ∧ [ 1 ](𝑅 ~QG 𝑆) = (1r𝑈)))

Proof of Theorem qus1
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qusring.u . . 3 𝑈 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑆))
21a1i 11 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) → 𝑈 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑆)))
3 eqid 2731 . . 3 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
43a1i 11 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅))
5 eqid 2731 . 2 (+g𝑅) = (+g𝑅)
6 eqid 2731 . 2 (.r𝑅) = (.r𝑅)
7 qus1.o . 2 1 = (1r𝑅)
8 eqid 2731 . . . . . . 7 (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
9 eqid 2731 . . . . . . 7 (oppr𝑅) = (oppr𝑅)
10 eqid 2731 . . . . . . 7 (LIdeal‘(oppr𝑅)) = (LIdeal‘(oppr𝑅))
11 qusring.i . . . . . . 7 𝐼 = (2Ideal‘𝑅)
128, 9, 10, 112idlval 21095 . . . . . 6 𝐼 = ((LIdeal‘𝑅) ∩ (LIdeal‘(oppr𝑅)))
1312elin2 4197 . . . . 5 (𝑆𝐼 ↔ (𝑆 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑆 ∈ (LIdeal‘(oppr𝑅))))
1413simplbi 497 . . . 4 (𝑆𝐼𝑆 ∈ (LIdeal‘𝑅))
158lidlsubg 21075 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅))
1614, 15sylan2 592 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅))
17 eqid 2731 . . . 4 (𝑅 ~QG 𝑆) = (𝑅 ~QG 𝑆)
183, 17eqger 19101 . . 3 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅) → (𝑅 ~QG 𝑆) Er (Base‘𝑅))
1916, 18syl 17 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) → (𝑅 ~QG 𝑆) Er (Base‘𝑅))
20 ringabl 20176 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Abel)
2120adantr 480 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) → 𝑅 ∈ Abel)
22 ablnsg 19763 . . . . 5 (𝑅 ∈ Abel → (NrmSGrp‘𝑅) = (SubGrp‘𝑅))
2321, 22syl 17 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) → (NrmSGrp‘𝑅) = (SubGrp‘𝑅))
2416, 23eleqtrrd 2835 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) → 𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝑅))
253, 17, 5eqgcpbl 19105 . . 3 (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝑅) → ((𝑎(𝑅 ~QG 𝑆)𝑐𝑏(𝑅 ~QG 𝑆)𝑑) → (𝑎(+g𝑅)𝑏)(𝑅 ~QG 𝑆)(𝑐(+g𝑅)𝑑)))
2624, 25syl 17 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) → ((𝑎(𝑅 ~QG 𝑆)𝑐𝑏(𝑅 ~QG 𝑆)𝑑) → (𝑎(+g𝑅)𝑏)(𝑅 ~QG 𝑆)(𝑐(+g𝑅)𝑑)))
273, 17, 11, 62idlcpbl 21109 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) → ((𝑎(𝑅 ~QG 𝑆)𝑐𝑏(𝑅 ~QG 𝑆)𝑑) → (𝑎(.r𝑅)𝑏)(𝑅 ~QG 𝑆)(𝑐(.r𝑅)𝑑)))
28 simpl 482 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) → 𝑅 ∈ Ring)
292, 4, 5, 6, 7, 19, 26, 27, 28qusring2 20229 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) → (𝑈 ∈ Ring ∧ [ 1 ](𝑅 ~QG 𝑆) = (1r𝑈)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2105   class class class wbr 5148  cfv 6543  (class class class)co 7412   Er wer 8706  [cec 8707  Basecbs 17151  +gcplusg 17204  .rcmulr 17205   /s cqus 17458  SubGrpcsubg 19043  NrmSGrpcnsg 19044   ~QG cqg 19045  Abelcabl 19697  1rcur 20082  Ringcrg 20134  opprcoppr 20231  LIdealclidl 21016  2Idealc2idl 21093
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-tpos 8217  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-er 8709  df-ec 8711  df-qs 8715  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-sup 9443  df-inf 9444  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12480  df-z 12566  df-dec 12685  df-uz 12830  df-fz 13492  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-ip 17222  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-0g 17394  df-imas 17461  df-qus 17462  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-sbg 18866  df-subg 19046  df-nsg 19047  df-eqg 19048  df-cmn 19698  df-abl 19699  df-mgp 20036  df-rng 20054  df-ur 20083  df-ring 20136  df-oppr 20232  df-subrg 20467  df-lmod 20704  df-lss 20775  df-sra 21018  df-rgmod 21019  df-lidl 21020  df-2idl 21094
This theorem is referenced by:  qusring  21111  qusrhm  21112  rhmquskerlem  32982  qsnzr  33013  qsdrngilem  33047  qsdrnglem2  33049
  Copyright terms: Public domain W3C validator