Theorem qus1 20140

Description: The multiplicative identity of the quotient ring. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
qusring.u	⊢ 𝑈 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑆))
qusring.i	⊢ 𝐼 = (2Ideal‘𝑅)
qus1.o	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
qus1	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → (𝑈 ∈ Ring ∧ [ 1 ](𝑅 ~QG 𝑆) = (1r‘𝑈)))

Proof of Theorem qus1

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qusring.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑆))
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → 𝑈 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑆)))
3		eqid 2739	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅))
5		eqid 2739	. 2 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
6		eqid 2739	. 2 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
7		qus1.o	. 2 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
8		eqid 2739	. . . . . . 7 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
9		eqid 2739	. . . . . . 7 ⊢ (oppr‘𝑅) = (oppr‘𝑅)
10		eqid 2739	. . . . . . 7 ⊢ (LIdeal‘(oppr‘𝑅)) = (LIdeal‘(oppr‘𝑅))
11		qusring.i	. . . . . . 7 ⊢ 𝐼 = (2Ideal‘𝑅)
12	8, 9, 10, 11	2idlval 20138	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = ((LIdeal‘𝑅) ∩ (LIdeal‘(oppr‘𝑅)))
13	12	elin2 4097	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐼 ↔ (𝑆 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑆 ∈ (LIdeal‘(oppr‘𝑅))))
14	13	simplbi 501	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐼 → 𝑆 ∈ (LIdeal‘𝑅))
15	8	lidlsubg 20120	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅))
16	14, 15	sylan2 596	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅))
17		eqid 2739	. . . 4 ⊢ (𝑅 ~QG 𝑆) = (𝑅 ~QG 𝑆)
18	3, 17	eqger 18461	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅) → (𝑅 ~QG 𝑆) Er (Base‘𝑅))
19	16, 18	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → (𝑅 ~QG 𝑆) Er (Base‘𝑅))
20		ringabl 19465	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Abel)
21	20	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → 𝑅 ∈ Abel)
22		ablnsg 19099	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Abel → (NrmSGrp‘𝑅) = (SubGrp‘𝑅))
23	21, 22	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → (NrmSGrp‘𝑅) = (SubGrp‘𝑅))
24	16, 23	eleqtrrd 2837	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → 𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝑅))
25	3, 17, 5	eqgcpbl 18465	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝑅) → ((𝑎(𝑅 ~QG 𝑆)𝑐 ∧ 𝑏(𝑅 ~QG 𝑆)𝑑) → (𝑎(+g‘𝑅)𝑏)(𝑅 ~QG 𝑆)(𝑐(+g‘𝑅)𝑑)))
26	24, 25	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → ((𝑎(𝑅 ~QG 𝑆)𝑐 ∧ 𝑏(𝑅 ~QG 𝑆)𝑑) → (𝑎(+g‘𝑅)𝑏)(𝑅 ~QG 𝑆)(𝑐(+g‘𝑅)𝑑)))
27	3, 17, 11, 6	2idlcpbl 20139	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → ((𝑎(𝑅 ~QG 𝑆)𝑐 ∧ 𝑏(𝑅 ~QG 𝑆)𝑑) → (𝑎(.r‘𝑅)𝑏)(𝑅 ~QG 𝑆)(𝑐(.r‘𝑅)𝑑)))
28		simpl 486	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → 𝑅 ∈ Ring)
29	2, 4, 5, 6, 7, 19, 26, 27, 28	qusring2 19505	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → (𝑈 ∈ Ring ∧ [ 1 ](𝑅 ~QG 𝑆) = (1r‘𝑈)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5040  ‘cfv 6350  (class class class)co 7183   Er wer 8330  [cec 8331  Basecbs 16599  +_gcplusg 16681  ._rcmulr 16682   /_s cqus 16894  SubGrpcsubg 18404  NrmSGrpcnsg 18405   ~_QG cqg 18406  Abelcabl 19038  1_rcur 19383  Ringcrg 19429  opp_rcoppr 19507  LIdealclidl 20074  2Idealc2idl 20136

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7492  ax-cnex 10684  ax-resscn 10685  ax-1cn 10686  ax-icn 10687  ax-addcl 10688  ax-addrcl 10689  ax-mulcl 10690  ax-mulrcl 10691  ax-mulcom 10692  ax-addass 10693  ax-mulass 10694  ax-distr 10695  ax-i2m1 10696  ax-1ne0 10697  ax-1rid 10698  ax-rnegex 10699  ax-rrecex 10700  ax-cnre 10701  ax-pre-lttri 10702  ax-pre-lttrn 10703  ax-pre-ltadd 10704  ax-pre-mulgt0 10705

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3402  df-sbc 3686  df-csb 3801  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4222  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-tp 4531  df-op 4533  df-uni 4807  df-iun 4893  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5439  df-eprel 5444  df-po 5452  df-so 5453  df-fr 5493  df-we 5495  df-xp 5541  df-rel 5542  df-cnv 5543  df-co 5544  df-dm 5545  df-rn 5546  df-res 5547  df-ima 5548  df-pred 6139  df-ord 6186  df-on 6187  df-lim 6188  df-suc 6189  df-iota 6308  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-riota 7140  df-ov 7186  df-oprab 7187  df-mpo 7188  df-om 7613  df-1st 7727  df-2nd 7728  df-tpos 7934  df-wrecs 7989  df-recs 8050  df-rdg 8088  df-1o 8144  df-er 8333  df-ec 8335  df-qs 8339  df-en 8569  df-dom 8570  df-sdom 8571  df-fin 8572  df-sup 8992  df-inf 8993  df-pnf 10768  df-mnf 10769  df-xr 10770  df-ltxr 10771  df-le 10772  df-sub 10963  df-neg 10964  df-nn 11730  df-2 11792  df-3 11793  df-4 11794  df-5 11795  df-6 11796  df-7 11797  df-8 11798  df-9 11799  df-n0 11990  df-z 12076  df-dec 12193  df-uz 12338  df-fz 12995  df-struct 16601  df-ndx 16602  df-slot 16603  df-base 16605  df-sets 16606  df-ress 16607  df-plusg 16694  df-mulr 16695  df-sca 16697  df-vsca 16698  df-ip 16699  df-tset 16700  df-ple 16701  df-ds 16703  df-0g 16831  df-imas 16897  df-qus 16898  df-mgm 17981  df-sgrp 18030  df-mnd 18041  df-grp 18235  df-minusg 18236  df-sbg 18237  df-subg 18407  df-nsg 18408  df-eqg 18409  df-cmn 19039  df-abl 19040  df-mgp 19372  df-ur 19384  df-ring 19431  df-oppr 19508  df-subrg 19665  df-lmod 19768  df-lss 19836  df-sra 20076  df-rgmod 20077  df-lidl 20078  df-2idl 20137

This theorem is referenced by:  qusring  20141  qusrhm  20142