MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qus1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qus1 21161
Description: The multiplicative identity of the quotient ring. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
qusring.u π‘ˆ = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑆))
qusring.i 𝐼 = (2Idealβ€˜π‘…)
qus1.o 1 = (1rβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
qus1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) β†’ (π‘ˆ ∈ Ring ∧ [ 1 ](𝑅 ~QG 𝑆) = (1rβ€˜π‘ˆ)))

Proof of Theorem qus1
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qusring.u . . 3 π‘ˆ = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑆))
21a1i 11 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) β†’ π‘ˆ = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑆)))
3 eqid 2728 . . 3 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
43a1i 11 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) β†’ (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…))
5 eqid 2728 . 2 (+gβ€˜π‘…) = (+gβ€˜π‘…)
6 eqid 2728 . 2 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
7 qus1.o . 2 1 = (1rβ€˜π‘…)
8 eqid 2728 . . . . . . 7 (LIdealβ€˜π‘…) = (LIdealβ€˜π‘…)
9 eqid 2728 . . . . . . 7 (opprβ€˜π‘…) = (opprβ€˜π‘…)
10 eqid 2728 . . . . . . 7 (LIdealβ€˜(opprβ€˜π‘…)) = (LIdealβ€˜(opprβ€˜π‘…))
11 qusring.i . . . . . . 7 𝐼 = (2Idealβ€˜π‘…)
128, 9, 10, 112idlval 21138 . . . . . 6 𝐼 = ((LIdealβ€˜π‘…) ∩ (LIdealβ€˜(opprβ€˜π‘…)))
1312elin2 4193 . . . . 5 (𝑆 ∈ 𝐼 ↔ (𝑆 ∈ (LIdealβ€˜π‘…) ∧ 𝑆 ∈ (LIdealβ€˜(opprβ€˜π‘…))))
1413simplbi 497 . . . 4 (𝑆 ∈ 𝐼 β†’ 𝑆 ∈ (LIdealβ€˜π‘…))
158lidlsubg 21112 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) β†’ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜π‘…))
1614, 15sylan2 592 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) β†’ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜π‘…))
17 eqid 2728 . . . 4 (𝑅 ~QG 𝑆) = (𝑅 ~QG 𝑆)
183, 17eqger 19126 . . 3 (𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜π‘…) β†’ (𝑅 ~QG 𝑆) Er (Baseβ€˜π‘…))
1916, 18syl 17 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) β†’ (𝑅 ~QG 𝑆) Er (Baseβ€˜π‘…))
20 ringabl 20210 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 ∈ Abel)
2120adantr 480 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) β†’ 𝑅 ∈ Abel)
22 ablnsg 19795 . . . . 5 (𝑅 ∈ Abel β†’ (NrmSGrpβ€˜π‘…) = (SubGrpβ€˜π‘…))
2321, 22syl 17 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) β†’ (NrmSGrpβ€˜π‘…) = (SubGrpβ€˜π‘…))
2416, 23eleqtrrd 2832 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) β†’ 𝑆 ∈ (NrmSGrpβ€˜π‘…))
253, 17, 5eqgcpbl 19130 . . 3 (𝑆 ∈ (NrmSGrpβ€˜π‘…) β†’ ((π‘Ž(𝑅 ~QG 𝑆)𝑐 ∧ 𝑏(𝑅 ~QG 𝑆)𝑑) β†’ (π‘Ž(+gβ€˜π‘…)𝑏)(𝑅 ~QG 𝑆)(𝑐(+gβ€˜π‘…)𝑑)))
2624, 25syl 17 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) β†’ ((π‘Ž(𝑅 ~QG 𝑆)𝑐 ∧ 𝑏(𝑅 ~QG 𝑆)𝑑) β†’ (π‘Ž(+gβ€˜π‘…)𝑏)(𝑅 ~QG 𝑆)(𝑐(+gβ€˜π‘…)𝑑)))
273, 17, 11, 62idlcpbl 21159 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) β†’ ((π‘Ž(𝑅 ~QG 𝑆)𝑐 ∧ 𝑏(𝑅 ~QG 𝑆)𝑑) β†’ (π‘Ž(.rβ€˜π‘…)𝑏)(𝑅 ~QG 𝑆)(𝑐(.rβ€˜π‘…)𝑑)))
28 simpl 482 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
292, 4, 5, 6, 7, 19, 26, 27, 28qusring2 20263 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) β†’ (π‘ˆ ∈ Ring ∧ [ 1 ](𝑅 ~QG 𝑆) = (1rβ€˜π‘ˆ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   class class class wbr 5142  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414   Er wer 8715  [cec 8716  Basecbs 17173  +gcplusg 17226  .rcmulr 17227   /s cqus 17480  SubGrpcsubg 19068  NrmSGrpcnsg 19069   ~QG cqg 19070  Abelcabl 19729  1rcur 20114  Ringcrg 20166  opprcoppr 20265  LIdealclidl 21095  2Idealc2idl 21136
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-tpos 8225  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-ec 8720  df-qs 8724  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9459  df-inf 9460  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12237  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12497  df-z 12583  df-dec 12702  df-uz 12847  df-fz 13511  df-struct 17109  df-sets 17126  df-slot 17144  df-ndx 17156  df-base 17174  df-ress 17203  df-plusg 17239  df-mulr 17240  df-sca 17242  df-vsca 17243  df-ip 17244  df-tset 17245  df-ple 17246  df-ds 17248  df-0g 17416  df-imas 17483  df-qus 17484  df-mgm 18593  df-sgrp 18672  df-mnd 18688  df-grp 18886  df-minusg 18887  df-sbg 18888  df-subg 19071  df-nsg 19072  df-eqg 19073  df-cmn 19730  df-abl 19731  df-mgp 20068  df-rng 20086  df-ur 20115  df-ring 20168  df-oppr 20266  df-subrg 20501  df-lmod 20738  df-lss 20809  df-sra 21051  df-rgmod 21052  df-lidl 21097  df-2idl 21137
This theorem is referenced by:  qusring  21162  qusrhm  21163  rhmquskerlem  33134  rhmqusnsg  33137  qsnzr  33165  qsdrngilem  33199  qsdrnglem2  33201
  Copyright terms: Public domain W3C validator