Theorem qus1 21341

Description: The multiplicative identity of the quotient ring. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
qusring.u	⊢ 𝑈 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑆))
qusring.i	⊢ 𝐼 = (2Ideal‘𝑅)
qus1.o	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
qus1	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → (𝑈 ∈ Ring ∧ [ 1 ](𝑅 ~QG 𝑆) = (1r‘𝑈)))

Proof of Theorem qus1

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qusring.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑆))
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → 𝑈 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑆)))
3		eqid 2762	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅))
5		eqid 2762	. 2 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
6		eqid 2762	. 2 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
7		qus1.o	. 2 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
8		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
9		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (oppr‘𝑅) = (oppr‘𝑅)
10		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (LIdeal‘(oppr‘𝑅)) = (LIdeal‘(oppr‘𝑅))
11		qusring.i	. . . . . . 7 ⊢ 𝐼 = (2Ideal‘𝑅)
12	8, 9, 10, 11	2idlval 21318	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = ((LIdeal‘𝑅) ∩ (LIdeal‘(oppr‘𝑅)))
13	12	elin2 4155	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐼 ↔ (𝑆 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑆 ∈ (LIdeal‘(oppr‘𝑅))))
14	13	simplbi 500	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐼 → 𝑆 ∈ (LIdeal‘𝑅))
15	8	lidlsubg 21290	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅))
16	14, 15	sylan2 602	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅))
17		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (𝑅 ~QG 𝑆) = (𝑅 ~QG 𝑆)
18	3, 17	eqger 19219	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅) → (𝑅 ~QG 𝑆) Er (Base‘𝑅))
19	16, 18	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → (𝑅 ~QG 𝑆) Er (Base‘𝑅))
20		ringabl 20327	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Abel)
21	20	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → 𝑅 ∈ Abel)
22		ablnsg 19887	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Abel → (NrmSGrp‘𝑅) = (SubGrp‘𝑅))
23	21, 22	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → (NrmSGrp‘𝑅) = (SubGrp‘𝑅))
24	16, 23	eleqtrrd 2865	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → 𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝑅))
25	3, 17, 5	eqgcpbl 19223	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝑅) → ((𝑎(𝑅 ~QG 𝑆)𝑐 ∧ 𝑏(𝑅 ~QG 𝑆)𝑑) → (𝑎(+g‘𝑅)𝑏)(𝑅 ~QG 𝑆)(𝑐(+g‘𝑅)𝑑)))
26	24, 25	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → ((𝑎(𝑅 ~QG 𝑆)𝑐 ∧ 𝑏(𝑅 ~QG 𝑆)𝑑) → (𝑎(+g‘𝑅)𝑏)(𝑅 ~QG 𝑆)(𝑐(+g‘𝑅)𝑑)))
27	3, 17, 11, 6	2idlcpbl 21339	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → ((𝑎(𝑅 ~QG 𝑆)𝑐 ∧ 𝑏(𝑅 ~QG 𝑆)𝑑) → (𝑎(.r‘𝑅)𝑏)(𝑅 ~QG 𝑆)(𝑐(.r‘𝑅)𝑑)))
28		simpl 486	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → 𝑅 ∈ Ring)
29	2, 4, 5, 6, 7, 19, 26, 27, 28	qusring2 20379	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → (𝑈 ∈ Ring ∧ [ 1 ](𝑅 ~QG 𝑆) = (1r‘𝑈)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1560   ∈ wcel 2142   class class class wbr 5100  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396   Er wer 8675  [cec 8676  Basecbs 17245  +_gcplusg 17286  ._rcmulr 17287   /_s cqus 17535  SubGrpcsubg 19162  NrmSGrpcnsg 19163   ~_QG cqg 19164  Abelcabl 19821  1_rcur 20227  Ringcrg 20279  opp_rcoppr 20381  LIdealclidl 21273  2Idealc2idl 21316

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-tpos 8206  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8678  df-ec 8680  df-qs 8684  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-sup 9388  df-inf 9389  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-nn 12211  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12482  df-z 12569  df-dec 12689  df-uz 12840  df-fz 13513  df-struct 17183  df-sets 17200  df-slot 17218  df-ndx 17230  df-base 17246  df-ress 17267  df-plusg 17299  df-mulr 17300  df-sca 17302  df-vsca 17303  df-ip 17304  df-tset 17305  df-ple 17306  df-ds 17308  df-0g 17470  df-imas 17538  df-qus 17539  df-mgm 18674  df-sgrp 18753  df-mnd 18769  df-grp 18978  df-minusg 18979  df-sbg 18980  df-subg 19165  df-nsg 19166  df-eqg 19167  df-cmn 19822  df-abl 19823  df-mgp 20187  df-rng 20199  df-ur 20228  df-ring 20281  df-oppr 20382  df-subrg 20616  df-lmod 20926  df-lss 20996  df-sra 21237  df-rgmod 21238  df-lidl 21275  df-2idl 21317

This theorem is referenced by:  qusring  21342  qusrhm  21343  rhmqusnsg  21352  rhmquskerlem  33608  qsnzr  33639  qsdrngilem  33679  qsdrnglem2  33681