MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qus1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qus1 19929
Description: The multiplicative identity of the quotient ring. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
qusring.u 𝑈 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑆))
qusring.i 𝐼 = (2Ideal‘𝑅)
qus1.o 1 = (1r𝑅)
Assertion
Ref Expression
qus1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) → (𝑈 ∈ Ring ∧ [ 1 ](𝑅 ~QG 𝑆) = (1r𝑈)))

Proof of Theorem qus1
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qusring.u . . 3 𝑈 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑆))
21a1i 11 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) → 𝑈 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑆)))
3 eqid 2825 . . 3 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
43a1i 11 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅))
5 eqid 2825 . 2 (+g𝑅) = (+g𝑅)
6 eqid 2825 . 2 (.r𝑅) = (.r𝑅)
7 qus1.o . 2 1 = (1r𝑅)
8 eqid 2825 . . . . . . 7 (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
9 eqid 2825 . . . . . . 7 (oppr𝑅) = (oppr𝑅)
10 eqid 2825 . . . . . . 7 (LIdeal‘(oppr𝑅)) = (LIdeal‘(oppr𝑅))
11 qusring.i . . . . . . 7 𝐼 = (2Ideal‘𝑅)
128, 9, 10, 112idlval 19927 . . . . . 6 𝐼 = ((LIdeal‘𝑅) ∩ (LIdeal‘(oppr𝑅)))
1312elin2 4177 . . . . 5 (𝑆𝐼 ↔ (𝑆 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑆 ∈ (LIdeal‘(oppr𝑅))))
1413simplbi 498 . . . 4 (𝑆𝐼𝑆 ∈ (LIdeal‘𝑅))
158lidlsubg 19909 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅))
1614, 15sylan2 592 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅))
17 eqid 2825 . . . 4 (𝑅 ~QG 𝑆) = (𝑅 ~QG 𝑆)
183, 17eqger 18262 . . 3 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅) → (𝑅 ~QG 𝑆) Er (Base‘𝑅))
1916, 18syl 17 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) → (𝑅 ~QG 𝑆) Er (Base‘𝑅))
20 ringabl 19252 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Abel)
2120adantr 481 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) → 𝑅 ∈ Abel)
22 ablnsg 18889 . . . . 5 (𝑅 ∈ Abel → (NrmSGrp‘𝑅) = (SubGrp‘𝑅))
2321, 22syl 17 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) → (NrmSGrp‘𝑅) = (SubGrp‘𝑅))
2416, 23eleqtrrd 2920 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) → 𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝑅))
253, 17, 5eqgcpbl 18266 . . 3 (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝑅) → ((𝑎(𝑅 ~QG 𝑆)𝑐𝑏(𝑅 ~QG 𝑆)𝑑) → (𝑎(+g𝑅)𝑏)(𝑅 ~QG 𝑆)(𝑐(+g𝑅)𝑑)))
2624, 25syl 17 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) → ((𝑎(𝑅 ~QG 𝑆)𝑐𝑏(𝑅 ~QG 𝑆)𝑑) → (𝑎(+g𝑅)𝑏)(𝑅 ~QG 𝑆)(𝑐(+g𝑅)𝑑)))
273, 17, 11, 62idlcpbl 19928 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) → ((𝑎(𝑅 ~QG 𝑆)𝑐𝑏(𝑅 ~QG 𝑆)𝑑) → (𝑎(.r𝑅)𝑏)(𝑅 ~QG 𝑆)(𝑐(.r𝑅)𝑑)))
28 simpl 483 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) → 𝑅 ∈ Ring)
292, 4, 5, 6, 7, 19, 26, 27, 28qusring2 19292 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) → (𝑈 ∈ Ring ∧ [ 1 ](𝑅 ~QG 𝑆) = (1r𝑈)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1530  wcel 2107   class class class wbr 5062  cfv 6351  (class class class)co 7151   Er wer 8279  [cec 8280  Basecbs 16475  +gcplusg 16557  .rcmulr 16558   /s cqus 16770  SubGrpcsubg 18205  NrmSGrpcnsg 18206   ~QG cqg 18207  Abelcabl 18829  1rcur 19173  Ringcrg 19219  opprcoppr 19294  LIdealclidl 19864  2Idealc2idl 19925
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2797  ax-rep 5186  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rmo 3150  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-int 4874  df-iun 4918  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7572  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-tpos 7886  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-oadd 8100  df-er 8282  df-ec 8284  df-qs 8288  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-sup 8898  df-inf 8899  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-fz 12886  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-ip 16575  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-0g 16707  df-imas 16773  df-qus 16774  df-mgm 17844  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-grp 18038  df-minusg 18039  df-sbg 18040  df-subg 18208  df-nsg 18209  df-eqg 18210  df-cmn 18830  df-abl 18831  df-mgp 19162  df-ur 19174  df-ring 19221  df-oppr 19295  df-subrg 19455  df-lmod 19558  df-lss 19626  df-sra 19866  df-rgmod 19867  df-lidl 19868  df-2idl 19926
This theorem is referenced by:  qusring  19930  qusrhm  19931
  Copyright terms: Public domain W3C validator