Theorem erclwwlkneqlen 30456

Description: If two classes are equivalent regarding ∼, then they are words of the same length. (Contributed by Alexander van der Vekens, 8-Apr-2018.) (Revised by AV, 30-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
erclwwlkn.w	⊢ 𝑊 = (𝑁 ClWWalksN 𝐺)
erclwwlkn.r	⊢ ∼ = {⟨𝑡, 𝑢⟩ ∣ (𝑡 ∈ 𝑊 ∧ 𝑢 ∈ 𝑊 ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑡 = (𝑢 cyclShift 𝑛))}

Assertion

Ref	Expression
erclwwlkneqlen	⊢ ((𝑇 ∈ 𝑋 ∧ 𝑈 ∈ 𝑌) → (𝑇 ∼ 𝑈 → (♯‘𝑇) = (♯‘𝑈)))

Distinct variable groups:   𝑡,𝑊,𝑢   𝑡,𝑁,𝑢   𝑇,𝑛,𝑡,𝑢   𝑈,𝑛,𝑡,𝑢   𝑛,𝑊   𝑛,𝑋   𝑛,𝑌

Allowed substitution hints:   ∼ (𝑢, 𝑡, 𝑛)   𝐺(𝑢, 𝑡, 𝑛)   𝑁(𝑛)   𝑋(𝑢, 𝑡)   𝑌(𝑢, 𝑡)

Proof of Theorem erclwwlkneqlen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		erclwwlkn.w	. . 3 ⊢ 𝑊 = (𝑁 ClWWalksN 𝐺)
2		erclwwlkn.r	. . 3 ⊢ ∼ = {⟨𝑡, 𝑢⟩ ∣ (𝑡 ∈ 𝑊 ∧ 𝑢 ∈ 𝑊 ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑡 = (𝑢 cyclShift 𝑛))}
3	1, 2	erclwwlkneq 30455	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝑋 ∧ 𝑈 ∈ 𝑌) → (𝑇 ∼ 𝑈 ↔ (𝑇 ∈ 𝑊 ∧ 𝑈 ∈ 𝑊 ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑇 = (𝑈 cyclShift 𝑛))))
4		fveq2 6888	. . . . 5 ⊢ (𝑇 = (𝑈 cyclShift 𝑛) → (♯‘𝑇) = (♯‘(𝑈 cyclShift 𝑛)))
5		eqid 2766	. . . . . . . . 9 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
6	5	clwwlknwrd 30422	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → 𝑈 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
7	6, 1	eleq2s 2884	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑊 → 𝑈 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
8	7	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝑊 ∧ 𝑈 ∈ 𝑊) → 𝑈 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
9		elfzelz 13570	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ (0...𝑁) → 𝑛 ∈ ℤ)
10		cshwlen 14862	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (♯‘(𝑈 cyclShift 𝑛)) = (♯‘𝑈))
11	8, 9, 10	syl2an 608	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ∈ 𝑊 ∧ 𝑈 ∈ 𝑊) ∧ 𝑛 ∈ (0...𝑁)) → (♯‘(𝑈 cyclShift 𝑛)) = (♯‘𝑈))
12	4, 11	sylan9eqr 2823	. . . 4 ⊢ ((((𝑇 ∈ 𝑊 ∧ 𝑈 ∈ 𝑊) ∧ 𝑛 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑇 = (𝑈 cyclShift 𝑛)) → (♯‘𝑇) = (♯‘𝑈))
13	12	rexlimdva2 3171	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝑊 ∧ 𝑈 ∈ 𝑊) → (∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑇 = (𝑈 cyclShift 𝑛) → (♯‘𝑇) = (♯‘𝑈)))
14	13	3impia 1135	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝑊 ∧ 𝑈 ∈ 𝑊 ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑇 = (𝑈 cyclShift 𝑛)) → (♯‘𝑇) = (♯‘𝑈))
15	3, 14	biimtrdi 256	1 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝑋 ∧ 𝑈 ∈ 𝑌) → (𝑇 ∼ 𝑈 → (♯‘𝑇) = (♯‘𝑈)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∃wrex 3092   class class class wbr 5114  {copab 5178  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  0cc0 11118  ℤcz 12609  ...cfz 13553  ♯chash 14386  Word cword 14570   cyclShift ccsh 14851  Vtxcvtx 29383   ClWWalksN cclwwlkn 30412

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195  ax-pre-sup 11196

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8703  df-map 8835  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-sup 9412  df-inf 9413  df-card 9944  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11890  df-nn 12252  df-n0 12523  df-z 12610  df-uz 12881  df-rp 13035  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-fl 13845  df-mod 13923  df-hash 14387  df-word 14571  df-concat 14628  df-substr 14701  df-pfx 14733  df-csh 14852  df-clwwlk 30370  df-clwwlkn 30413

This theorem is used by:  erclwwlknsym  30458  erclwwlkntr  30459