Theorem erclwwlkneqlen 29318

Description: If two classes are equivalent regarding ∼, then they are words of the same length. (Contributed by Alexander van der Vekens, 8-Apr-2018.) (Revised by AV, 30-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
erclwwlkn.w	⊢ 𝑊 = (𝑁 ClWWalksN 𝐺)
erclwwlkn.r	⊢ ∼ = {⟨𝑡, 𝑢⟩ ∣ (𝑡 ∈ 𝑊 ∧ 𝑢 ∈ 𝑊 ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑡 = (𝑢 cyclShift 𝑛))}

Assertion

Ref	Expression
erclwwlkneqlen	⊢ ((𝑇 ∈ 𝑋 ∧ 𝑈 ∈ 𝑌) → (𝑇 ∼ 𝑈 → (♯‘𝑇) = (♯‘𝑈)))

Distinct variable groups:   𝑡,𝑊,𝑢   𝑡,𝑁,𝑢   𝑇,𝑛,𝑡,𝑢   𝑈,𝑛,𝑡,𝑢   𝑛,𝑊   𝑛,𝑋   𝑛,𝑌

Allowed substitution hints:   ∼ (𝑢,𝑡,𝑛)   𝐺(𝑢,𝑡,𝑛)   𝑁(𝑛)   𝑋(𝑢,𝑡)   𝑌(𝑢,𝑡)

Proof of Theorem erclwwlkneqlen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		erclwwlkn.w	. . 3 ⊢ 𝑊 = (𝑁 ClWWalksN 𝐺)
2		erclwwlkn.r	. . 3 ⊢ ∼ = {⟨𝑡, 𝑢⟩ ∣ (𝑡 ∈ 𝑊 ∧ 𝑢 ∈ 𝑊 ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑡 = (𝑢 cyclShift 𝑛))}
3	1, 2	erclwwlkneq 29317	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝑋 ∧ 𝑈 ∈ 𝑌) → (𝑇 ∼ 𝑈 ↔ (𝑇 ∈ 𝑊 ∧ 𝑈 ∈ 𝑊 ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑇 = (𝑈 cyclShift 𝑛))))
4		fveq2 6891	. . . . 5 ⊢ (𝑇 = (𝑈 cyclShift 𝑛) → (♯‘𝑇) = (♯‘(𝑈 cyclShift 𝑛)))
5		eqid 2732	. . . . . . . . 9 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
6	5	clwwlknwrd 29284	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → 𝑈 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
7	6, 1	eleq2s 2851	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑊 → 𝑈 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
8	7	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝑊 ∧ 𝑈 ∈ 𝑊) → 𝑈 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
9		elfzelz 13500	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ (0...𝑁) → 𝑛 ∈ ℤ)
10		cshwlen 14748	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (♯‘(𝑈 cyclShift 𝑛)) = (♯‘𝑈))
11	8, 9, 10	syl2an 596	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ∈ 𝑊 ∧ 𝑈 ∈ 𝑊) ∧ 𝑛 ∈ (0...𝑁)) → (♯‘(𝑈 cyclShift 𝑛)) = (♯‘𝑈))
12	4, 11	sylan9eqr 2794	. . . 4 ⊢ ((((𝑇 ∈ 𝑊 ∧ 𝑈 ∈ 𝑊) ∧ 𝑛 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑇 = (𝑈 cyclShift 𝑛)) → (♯‘𝑇) = (♯‘𝑈))
13	12	rexlimdva2 3157	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝑊 ∧ 𝑈 ∈ 𝑊) → (∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑇 = (𝑈 cyclShift 𝑛) → (♯‘𝑇) = (♯‘𝑈)))
14	13	3impia 1117	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝑊 ∧ 𝑈 ∈ 𝑊 ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑇 = (𝑈 cyclShift 𝑛)) → (♯‘𝑇) = (♯‘𝑈))
15	3, 14	syl6bi 252	1 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝑋 ∧ 𝑈 ∈ 𝑌) → (𝑇 ∼ 𝑈 → (♯‘𝑇) = (♯‘𝑈)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3070   class class class wbr 5148  {copab 5210  ‘cfv 6543  (class class class)co 7408  0cc0 11109  ℤcz 12557  ...cfz 13483  ♯chash 14289  Word cword 14463   cyclShift ccsh 14737  Vtxcvtx 28253   ClWWalksN cclwwlkn 29274

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-inf 9437  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-rp 12974  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-fl 13756  df-mod 13834  df-hash 14290  df-word 14464  df-concat 14520  df-substr 14590  df-pfx 14620  df-csh 14738  df-clwwlk 29232  df-clwwlkn 29275

This theorem is referenced by:  erclwwlknsym  29320  erclwwlkntr  29321