Theorem erclwwlkneqlen 28440

Description: If two classes are equivalent regarding ∼, then they are words of the same length. (Contributed by Alexander van der Vekens, 8-Apr-2018.) (Revised by AV, 30-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
erclwwlkn.w	⊢ 𝑊 = (𝑁 ClWWalksN 𝐺)
erclwwlkn.r	⊢ ∼ = {⟨𝑡, 𝑢⟩ ∣ (𝑡 ∈ 𝑊 ∧ 𝑢 ∈ 𝑊 ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑡 = (𝑢 cyclShift 𝑛))}

Assertion

Ref	Expression
erclwwlkneqlen	⊢ ((𝑇 ∈ 𝑋 ∧ 𝑈 ∈ 𝑌) → (𝑇 ∼ 𝑈 → (♯‘𝑇) = (♯‘𝑈)))

Distinct variable groups:   𝑡,𝑊,𝑢   𝑡,𝑁,𝑢   𝑇,𝑛,𝑡,𝑢   𝑈,𝑛,𝑡,𝑢   𝑛,𝑊   𝑛,𝑋   𝑛,𝑌

Allowed substitution hints:   ∼ (𝑢,𝑡,𝑛)   𝐺(𝑢,𝑡,𝑛)   𝑁(𝑛)   𝑋(𝑢,𝑡)   𝑌(𝑢,𝑡)

Proof of Theorem erclwwlkneqlen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		erclwwlkn.w	. . 3 ⊢ 𝑊 = (𝑁 ClWWalksN 𝐺)
2		erclwwlkn.r	. . 3 ⊢ ∼ = {⟨𝑡, 𝑢⟩ ∣ (𝑡 ∈ 𝑊 ∧ 𝑢 ∈ 𝑊 ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑡 = (𝑢 cyclShift 𝑛))}
3	1, 2	erclwwlkneq 28439	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝑋 ∧ 𝑈 ∈ 𝑌) → (𝑇 ∼ 𝑈 ↔ (𝑇 ∈ 𝑊 ∧ 𝑈 ∈ 𝑊 ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑇 = (𝑈 cyclShift 𝑛))))
4		fveq2 6766	. . . . 5 ⊢ (𝑇 = (𝑈 cyclShift 𝑛) → (♯‘𝑇) = (♯‘(𝑈 cyclShift 𝑛)))
5		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
6	5	clwwlknwrd 28406	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → 𝑈 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
7	6, 1	eleq2s 2857	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑊 → 𝑈 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
8	7	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝑊 ∧ 𝑈 ∈ 𝑊) → 𝑈 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
9		elfzelz 13266	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ (0...𝑁) → 𝑛 ∈ ℤ)
10		cshwlen 14522	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (♯‘(𝑈 cyclShift 𝑛)) = (♯‘𝑈))
11	8, 9, 10	syl2an 596	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ∈ 𝑊 ∧ 𝑈 ∈ 𝑊) ∧ 𝑛 ∈ (0...𝑁)) → (♯‘(𝑈 cyclShift 𝑛)) = (♯‘𝑈))
12	4, 11	sylan9eqr 2800	. . . 4 ⊢ ((((𝑇 ∈ 𝑊 ∧ 𝑈 ∈ 𝑊) ∧ 𝑛 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑇 = (𝑈 cyclShift 𝑛)) → (♯‘𝑇) = (♯‘𝑈))
13	12	rexlimdva2 3214	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝑊 ∧ 𝑈 ∈ 𝑊) → (∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑇 = (𝑈 cyclShift 𝑛) → (♯‘𝑇) = (♯‘𝑈)))
14	13	3impia 1116	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝑊 ∧ 𝑈 ∈ 𝑊 ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑇 = (𝑈 cyclShift 𝑛)) → (♯‘𝑇) = (♯‘𝑈))
15	3, 14	syl6bi 252	1 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝑋 ∧ 𝑈 ∈ 𝑌) → (𝑇 ∼ 𝑈 → (♯‘𝑇) = (♯‘𝑈)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3065   class class class wbr 5073  {copab 5135  ‘cfv 6426  (class class class)co 7267  0cc0 10881  ℤcz 12329  ...cfz 13249  ♯chash 14054  Word cword 14227   cyclShift ccsh 14511  Vtxcvtx 27376   ClWWalksN cclwwlkn 28396

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5208  ax-sep 5221  ax-nul 5228  ax-pow 5286  ax-pr 5350  ax-un 7578  ax-cnex 10937  ax-resscn 10938  ax-1cn 10939  ax-icn 10940  ax-addcl 10941  ax-addrcl 10942  ax-mulcl 10943  ax-mulrcl 10944  ax-mulcom 10945  ax-addass 10946  ax-mulass 10947  ax-distr 10948  ax-i2m1 10949  ax-1ne0 10950  ax-1rid 10951  ax-rnegex 10952  ax-rrecex 10953  ax-cnre 10954  ax-pre-lttri 10955  ax-pre-lttrn 10956  ax-pre-ltadd 10957  ax-pre-mulgt0 10958  ax-pre-sup 10959

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rmo 3072  df-rab 3073  df-v 3431  df-sbc 3716  df-csb 3832  df-dif 3889  df-un 3891  df-in 3893  df-ss 3903  df-pss 3905  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5157  df-tr 5191  df-id 5484  df-eprel 5490  df-po 5498  df-so 5499  df-fr 5539  df-we 5541  df-xp 5590  df-rel 5591  df-cnv 5592  df-co 5593  df-dm 5594  df-rn 5595  df-res 5596  df-ima 5597  df-pred 6195  df-ord 6262  df-on 6263  df-lim 6264  df-suc 6265  df-iota 6384  df-fun 6428  df-fn 6429  df-f 6430  df-f1 6431  df-fo 6432  df-f1o 6433  df-fv 6434  df-riota 7224  df-ov 7270  df-oprab 7271  df-mpo 7272  df-om 7703  df-1st 7820  df-2nd 7821  df-frecs 8084  df-wrecs 8115  df-recs 8189  df-rdg 8228  df-1o 8284  df-er 8485  df-map 8604  df-en 8721  df-dom 8722  df-sdom 8723  df-fin 8724  df-sup 9188  df-inf 9189  df-card 9707  df-pnf 11021  df-mnf 11022  df-xr 11023  df-ltxr 11024  df-le 11025  df-sub 11217  df-neg 11218  df-div 11643  df-nn 11984  df-n0 12244  df-z 12330  df-uz 12593  df-rp 12741  df-fz 13250  df-fzo 13393  df-fl 13522  df-mod 13600  df-hash 14055  df-word 14228  df-concat 14284  df-substr 14364  df-pfx 14394  df-csh 14512  df-clwwlk 28354  df-clwwlkn 28397

This theorem is referenced by:  erclwwlknsym  28442  erclwwlkntr  28443