Theorem erclwwlkneqlen 30641

Description: If two classes are equivalent regarding ∼, then they are words of the same length. (Contributed by Alexander van der Vekens, 8-Apr-2018.) (Revised by AV, 30-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
erclwwlkn.w	⊢ 𝑊 = (𝑁 ClWWalksN 𝐺)
erclwwlkn.r	⊢ ∼ = {⟨𝑡, 𝑢⟩ ∣ (𝑡 ∈ 𝑊 ∧ 𝑢 ∈ 𝑊 ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑡 = (𝑢 cyclShift 𝑛))}

Assertion

Ref	Expression
erclwwlkneqlen	⊢ ((𝑇 ∈ 𝑋 ∧ 𝑈 ∈ 𝑌) → (𝑇 ∼ 𝑈 → (♯‘𝑇) = (♯‘𝑈)))

Distinct variable groups:   𝑡,𝑊,𝑢   𝑡,𝑁,𝑢   𝑇,𝑛,𝑡,𝑢   𝑈,𝑛,𝑡,𝑢   𝑛,𝑊   𝑛,𝑋   𝑛,𝑌

Allowed substitution hints:   ∼ (𝑢, 𝑡, 𝑛)   𝐺(𝑢, 𝑡, 𝑛)   𝑁(𝑛)   𝑋(𝑢, 𝑡)   𝑌(𝑢, 𝑡)

Proof of Theorem erclwwlkneqlen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		erclwwlkn.w	. . 3 ⊢ 𝑊 = (𝑁 ClWWalksN 𝐺)
2		erclwwlkn.r	. . 3 ⊢ ∼ = {⟨𝑡, 𝑢⟩ ∣ (𝑡 ∈ 𝑊 ∧ 𝑢 ∈ 𝑊 ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑡 = (𝑢 cyclShift 𝑛))}
3	1, 2	erclwwlkneq 30640	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝑋 ∧ 𝑈 ∈ 𝑌) → (𝑇 ∼ 𝑈 ↔ (𝑇 ∈ 𝑊 ∧ 𝑈 ∈ 𝑊 ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑇 = (𝑈 cyclShift 𝑛))))
4		fveq2 6877	. . . . 5 ⊢ (𝑇 = (𝑈 cyclShift 𝑛) → (♯‘𝑇) = (♯‘(𝑈 cyclShift 𝑛)))
5		eqid 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
6	5	clwwlknwrd 30607	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → 𝑈 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
7	6, 1	eleq2s 2879	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑊 → 𝑈 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
8	7	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝑊 ∧ 𝑈 ∈ 𝑊) → 𝑈 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
9		elfzelz 13637	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ (0...𝑁) → 𝑛 ∈ ℤ)
10		cshwlen 14930	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (♯‘(𝑈 cyclShift 𝑛)) = (♯‘𝑈))
11	8, 9, 10	syl2an 608	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ∈ 𝑊 ∧ 𝑈 ∈ 𝑊) ∧ 𝑛 ∈ (0...𝑁)) → (♯‘(𝑈 cyclShift 𝑛)) = (♯‘𝑈))
12	4, 11	sylan9eqr 2818	. . . 4 ⊢ ((((𝑇 ∈ 𝑊 ∧ 𝑈 ∈ 𝑊) ∧ 𝑛 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑇 = (𝑈 cyclShift 𝑛)) → (♯‘𝑇) = (♯‘𝑈))
13	12	rexlimdva2 3166	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝑊 ∧ 𝑈 ∈ 𝑊) → (∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑇 = (𝑈 cyclShift 𝑛) → (♯‘𝑇) = (♯‘𝑈)))
14	13	3impia 1135	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝑊 ∧ 𝑈 ∈ 𝑊 ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑇 = (𝑈 cyclShift 𝑛)) → (♯‘𝑇) = (♯‘𝑈))
15	3, 14	biimtrdi 256	1 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝑋 ∧ 𝑈 ∈ 𝑌) → (𝑇 ∼ 𝑈 → (♯‘𝑇) = (♯‘𝑈)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3087   class class class wbr 5103  {copab 5167  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  0cc0 11181  ℤcz 12674  ...cfz 13620  ♯chash 14454  Word cword 14638   cyclShift ccsh 14919  Vtxcvtx 29556   ClWWalksN cclwwlkn 30597

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258  ax-pre-sup 11259

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-er 8701  df-map 8833  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9418  df-inf 9419  df-card 10001  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-div 11955  df-nn 12317  df-n0 12588  df-z 12675  df-uz 12947  df-rp 13102  df-fz 13621  df-fzo 13769  df-fl 13912  df-mod 13990  df-hash 14455  df-word 14639  df-concat 14696  df-substr 14769  df-pfx 14801  df-csh 14920  df-clwwlk 30555  df-clwwlkn 30598

This theorem is used by:  erclwwlknsym  30643  erclwwlkntr  30644