Theorem extwwlkfabel 30423

Description: Characterization of an element of the set (𝑋𝐶𝑁), i.e., a double loop of length 𝑁 on vertex 𝑋 with a construction from the set 𝐹 of closed walks on 𝑋 with length smaller by 2 than the fixed length by appending a neighbor of the last vertex and afterwards the last vertex (which is the first vertex) itself ("walking forth and back" from the last vertex). (Contributed by AV, 22-Feb-2022.) (Revised by AV, 31-Oct-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
extwwlkfab.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
extwwlkfab.c	⊢ 𝐶 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ≥‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = 𝑣})
extwwlkfab.f	⊢ 𝐹 = (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2))

Assertion

Ref	Expression
extwwlkfabel	⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝑊 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ↔ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ∈ 𝐹 ∧ (𝑊‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))))

Distinct variable groups:   𝑛,𝐺,𝑣,𝑤   𝑛,𝑁,𝑣,𝑤   𝑛,𝑉,𝑣,𝑤   𝑛,𝑋,𝑣,𝑤   𝑤,𝐹   𝑤,𝑊

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑤,𝑣,𝑛)   𝐹(𝑣,𝑛)   𝑊(𝑣,𝑛)

Proof of Theorem extwwlkfabel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		extwwlkfab.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		extwwlkfab.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ≥‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = 𝑣})
3		extwwlkfab.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2))
4	1, 2, 3	extwwlkfab 30422	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝑋𝐶𝑁) = {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤 prefix (𝑁 − 2)) ∈ 𝐹 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)})
5	4	eleq2d 2823	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝑊 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ↔ 𝑊 ∈ {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤 prefix (𝑁 − 2)) ∈ 𝐹 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)}))
6		oveq1 7374	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (𝑤 prefix (𝑁 − 2)) = (𝑊 prefix (𝑁 − 2)))
7	6	eleq1d 2822	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → ((𝑤 prefix (𝑁 − 2)) ∈ 𝐹 ↔ (𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ∈ 𝐹))
8		fveq1 6840	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (𝑤‘(𝑁 − 1)) = (𝑊‘(𝑁 − 1)))
9	8	eleq1d 2822	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → ((𝑤‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ↔ (𝑊‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋)))
10		fveq1 6840	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘(𝑁 − 2)))
11	10	eqeq1d 2739	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → ((𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋 ↔ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))
12	7, 9, 11	3anbi123d 1439	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (((𝑤 prefix (𝑁 − 2)) ∈ 𝐹 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ↔ ((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ∈ 𝐹 ∧ (𝑊‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)))
13	12	elrab 3635	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤 prefix (𝑁 − 2)) ∈ 𝐹 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)} ↔ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ∈ 𝐹 ∧ (𝑊‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)))
14	5, 13	bitrdi 287	1 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝑊 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ↔ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ∈ 𝐹 ∧ (𝑊‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {crab 3390  ‘cfv 6499  (class class class)co 7367   ∈ cmpo 7369  1c1 11039   − cmin 11377  2c2 12236  3c3 12237  ℤ_≥cuz 12788   prefix cpfx 14633  Vtxcvtx 29065  USGraphcusgr 29218   NeighbVtx cnbgr 29401   ClWWalksN cclwwlkn 30094  ClWWalksNOncclwwlknon 30157

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5308  ax-pr 5376  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6266  df-ord 6327  df-on 6328  df-lim 6329  df-suc 6330  df-iota 6455  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-oadd 8409  df-er 8643  df-map 8775  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-dju 9825  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-n0 12438  df-xnn0 12511  df-z 12525  df-uz 12789  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-hash 14293  df-word 14476  df-lsw 14525  df-substr 14604  df-pfx 14634  df-edg 29117  df-upgr 29151  df-umgr 29152  df-usgr 29220  df-nbgr 29402  df-wwlks 29898  df-wwlksn 29899  df-clwwlk 30052  df-clwwlkn 30095  df-clwwlknon 30158

This theorem is referenced by:  numclwwlk1lem2foa  30424  numclwwlk1lem2f  30425