Theorem extwwlkfabel 30448

Description: Characterization of an element of the set (𝑋𝐶𝑁), i.e., a double loop of length 𝑁 on vertex 𝑋 with a construction from the set 𝐹 of closed walks on 𝑋 with length smaller by 2 than the fixed length by appending a neighbor of the last vertex and afterwards the last vertex (which is the first vertex) itself ("walking forth and back" from the last vertex). (Contributed by AV, 22-Feb-2022.) (Revised by AV, 31-Oct-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
extwwlkfab.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
extwwlkfab.c	⊢ 𝐶 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ≥‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = 𝑣})
extwwlkfab.f	⊢ 𝐹 = (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2))

Assertion

Ref	Expression
extwwlkfabel	⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝑊 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ↔ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ∈ 𝐹 ∧ (𝑊‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))))

Distinct variable groups:   𝑛,𝐺,𝑣,𝑤   𝑛,𝑁,𝑣,𝑤   𝑛,𝑉,𝑣,𝑤   𝑛,𝑋,𝑣,𝑤   𝑤,𝐹   𝑤,𝑊

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑤,𝑣,𝑛)   𝐹(𝑣,𝑛)   𝑊(𝑣,𝑛)

Proof of Theorem extwwlkfabel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		extwwlkfab.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		extwwlkfab.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ≥‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = 𝑣})
3		extwwlkfab.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2))
4	1, 2, 3	extwwlkfab 30447	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝑋𝐶𝑁) = {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤 prefix (𝑁 − 2)) ∈ 𝐹 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)})
5	4	eleq2d 2826	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝑊 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ↔ 𝑊 ∈ {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤 prefix (𝑁 − 2)) ∈ 𝐹 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)}))
6		oveq1 7370	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (𝑤 prefix (𝑁 − 2)) = (𝑊 prefix (𝑁 − 2)))
7	6	eleq1d 2825	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → ((𝑤 prefix (𝑁 − 2)) ∈ 𝐹 ↔ (𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ∈ 𝐹))
8		fveq1 6833	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (𝑤‘(𝑁 − 1)) = (𝑊‘(𝑁 − 1)))
9	8	eleq1d 2825	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → ((𝑤‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ↔ (𝑊‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋)))
10		fveq1 6833	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘(𝑁 − 2)))
11	10	eqeq1d 2742	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → ((𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋 ↔ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))
12	7, 9, 11	3anbi123d 1444	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (((𝑤 prefix (𝑁 − 2)) ∈ 𝐹 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ↔ ((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ∈ 𝐹 ∧ (𝑊‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)))
13	12	elrab 3636	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤 prefix (𝑁 − 2)) ∈ 𝐹 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)} ↔ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ∈ 𝐹 ∧ (𝑊‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)))
14	5, 13	bitrdi 288	1 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝑊 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ↔ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ∈ 𝐹 ∧ (𝑊‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  {crab 3392  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363   ∈ cmpo 7365  1c1 11037   − cmin 11375  2c2 12234  3c3 12235  ℤ_≥cuz 12786   prefix cpfx 14631  Vtxcvtx 29090  USGraphcusgr 29243   NeighbVtx cnbgr 29426   ClWWalksN cclwwlkn 30119  ClWWalksNOncclwwlknon 30182

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-2o 8403  df-oadd 8406  df-er 8640  df-map 8772  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-dju 9823  df-card 9861  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-n0 12436  df-xnn0 12509  df-z 12523  df-uz 12787  df-fz 13460  df-fzo 13607  df-hash 14291  df-word 14474  df-lsw 14523  df-substr 14602  df-pfx 14632  df-edg 29142  df-upgr 29176  df-umgr 29177  df-usgr 29245  df-nbgr 29427  df-wwlks 29923  df-wwlksn 29924  df-clwwlk 30077  df-clwwlkn 30120  df-clwwlknon 30183

This theorem is referenced by:  numclwwlk1lem2foa  30449  numclwwlk1lem2f  30450