Theorem numclwwlk1lem2f 30430

Description: 𝑇 is a function, mapping a double loop of length 𝑁 on vertex 𝑋 to the ordered pair of the first loop and the successor of 𝑋 in the second loop, which must be a neighbor of 𝑋. (Contributed by Alexander van der Vekens, 19-Sep-2018.) (Revised by AV, 29-May-2021.) (Proof shortened by AV, 23-Feb-2022.) (Revised by AV, 31-Oct-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
extwwlkfab.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
extwwlkfab.c	⊢ 𝐶 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ≥‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = 𝑣})
extwwlkfab.f	⊢ 𝐹 = (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2))
numclwwlk.t	⊢ 𝑇 = (𝑢 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ↦ ⟨(𝑢 prefix (𝑁 − 2)), (𝑢‘(𝑁 − 1))⟩)

Assertion

Ref	Expression
numclwwlk1lem2f	⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → 𝑇:(𝑋𝐶𝑁)⟶(𝐹 × (𝐺 NeighbVtx 𝑋)))

Distinct variable groups:   𝑛,𝐺,𝑣,𝑤   𝑛,𝑁,𝑣,𝑤   𝑛,𝑉,𝑣,𝑤   𝑛,𝑋,𝑣,𝑤   𝑤,𝐹   𝑢,𝐶   𝑢,𝐹   𝑢,𝐺,𝑤   𝑢,𝑁   𝑢,𝑉   𝑢,𝑋

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑤,𝑣,𝑛)   𝑇(𝑤,𝑣,𝑢,𝑛)   𝐹(𝑣,𝑛)

Proof of Theorem numclwwlk1lem2f

Step	Hyp	Ref	Expression
1		extwwlkfab.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		extwwlkfab.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ≥‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = 𝑣})
3		extwwlkfab.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2))
4	1, 2, 3	extwwlkfabel 30428	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝑢 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ↔ (𝑢 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑢 prefix (𝑁 − 2)) ∈ 𝐹 ∧ (𝑢‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (𝑢‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))))
5		simpr1 1195	. . . . 5 ⊢ ((𝑢 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑢 prefix (𝑁 − 2)) ∈ 𝐹 ∧ (𝑢‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (𝑢‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → (𝑢 prefix (𝑁 − 2)) ∈ 𝐹)
6		simpr2 1196	. . . . 5 ⊢ ((𝑢 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑢 prefix (𝑁 − 2)) ∈ 𝐹 ∧ (𝑢‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (𝑢‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → (𝑢‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))
7	5, 6	opelxpd 5663	. . . 4 ⊢ ((𝑢 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑢 prefix (𝑁 − 2)) ∈ 𝐹 ∧ (𝑢‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (𝑢‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → ⟨(𝑢 prefix (𝑁 − 2)), (𝑢‘(𝑁 − 1))⟩ ∈ (𝐹 × (𝐺 NeighbVtx 𝑋)))
8	4, 7	biimtrdi 253	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝑢 ∈ (𝑋𝐶𝑁) → ⟨(𝑢 prefix (𝑁 − 2)), (𝑢‘(𝑁 − 1))⟩ ∈ (𝐹 × (𝐺 NeighbVtx 𝑋))))
9	8	imp 406	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ 𝑢 ∈ (𝑋𝐶𝑁)) → ⟨(𝑢 prefix (𝑁 − 2)), (𝑢‘(𝑁 − 1))⟩ ∈ (𝐹 × (𝐺 NeighbVtx 𝑋)))
10		numclwwlk.t	. 2 ⊢ 𝑇 = (𝑢 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ↦ ⟨(𝑢 prefix (𝑁 − 2)), (𝑢‘(𝑁 − 1))⟩)
11	9, 10	fmptd 7059	1 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → 𝑇:(𝑋𝐶𝑁)⟶(𝐹 × (𝐺 NeighbVtx 𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  {crab 3399  ⟨cop 4586   ↦ cmpt 5179   × cxp 5622  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358   ∈ cmpo 7360  1c1 11027   − cmin 11364  2c2 12200  3c3 12201  ℤ_≥cuz 12751   prefix cpfx 14594  Vtxcvtx 29069  USGraphcusgr 29222   NeighbVtx cnbgr 29405   ClWWalksN cclwwlkn 30099  ClWWalksNOncclwwlknon 30162

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-oadd 8401  df-er 8635  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-dju 9813  df-card 9851  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-n0 12402  df-xnn0 12475  df-z 12489  df-uz 12752  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-hash 14254  df-word 14437  df-lsw 14486  df-substr 14565  df-pfx 14595  df-edg 29121  df-upgr 29155  df-umgr 29156  df-usgr 29224  df-nbgr 29406  df-wwlks 29903  df-wwlksn 29904  df-clwwlk 30057  df-clwwlkn 30100  df-clwwlknon 30163

This theorem is referenced by:  numclwwlk1lem2f1  30432  numclwwlk1lem2fo  30433