MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  numclwwlk1lem2f Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem numclwwlk1lem2f 29341
Description: 𝑇 is a function, mapping a double loop of length 𝑁 on vertex 𝑋 to the ordered pair of the first loop and the successor of 𝑋 in the second loop, which must be a neighbor of 𝑋. (Contributed by Alexander van der Vekens, 19-Sep-2018.) (Revised by AV, 29-May-2021.) (Proof shortened by AV, 23-Feb-2022.) (Revised by AV, 31-Oct-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
extwwlkfab.v 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
extwwlkfab.c 𝐢 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ↦ {𝑀 ∈ (𝑣(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑛) ∣ (π‘€β€˜(𝑛 βˆ’ 2)) = 𝑣})
extwwlkfab.f 𝐹 = (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)(𝑁 βˆ’ 2))
numclwwlk.t 𝑇 = (𝑒 ∈ (𝑋𝐢𝑁) ↦ ⟨(𝑒 prefix (𝑁 βˆ’ 2)), (π‘’β€˜(𝑁 βˆ’ 1))⟩)
Assertion
Ref Expression
numclwwlk1lem2f ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3)) β†’ 𝑇:(𝑋𝐢𝑁)⟢(𝐹 Γ— (𝐺 NeighbVtx 𝑋)))
Distinct variable groups:   𝑛,𝐺,𝑣,𝑀   𝑛,𝑁,𝑣,𝑀   𝑛,𝑉,𝑣,𝑀   𝑛,𝑋,𝑣,𝑀   𝑀,𝐹   𝑒,𝐢   𝑒,𝐹   𝑒,𝐺,𝑀   𝑒,𝑁   𝑒,𝑉   𝑒,𝑋
Allowed substitution hints:   𝐢(𝑀,𝑣,𝑛)   𝑇(𝑀,𝑣,𝑒,𝑛)   𝐹(𝑣,𝑛)

Proof of Theorem numclwwlk1lem2f
StepHypRef Expression
1 extwwlkfab.v . . . . 5 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
2 extwwlkfab.c . . . . 5 𝐢 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ↦ {𝑀 ∈ (𝑣(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑛) ∣ (π‘€β€˜(𝑛 βˆ’ 2)) = 𝑣})
3 extwwlkfab.f . . . . 5 𝐹 = (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)(𝑁 βˆ’ 2))
41, 2, 3extwwlkfabel 29339 . . . 4 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3)) β†’ (𝑒 ∈ (𝑋𝐢𝑁) ↔ (𝑒 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑒 prefix (𝑁 βˆ’ 2)) ∈ 𝐹 ∧ (π‘’β€˜(𝑁 βˆ’ 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (π‘’β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = 𝑋))))
5 simpr1 1195 . . . . 5 ((𝑒 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑒 prefix (𝑁 βˆ’ 2)) ∈ 𝐹 ∧ (π‘’β€˜(𝑁 βˆ’ 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (π‘’β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = 𝑋)) β†’ (𝑒 prefix (𝑁 βˆ’ 2)) ∈ 𝐹)
6 simpr2 1196 . . . . 5 ((𝑒 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑒 prefix (𝑁 βˆ’ 2)) ∈ 𝐹 ∧ (π‘’β€˜(𝑁 βˆ’ 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (π‘’β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = 𝑋)) β†’ (π‘’β€˜(𝑁 βˆ’ 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))
75, 6opelxpd 5676 . . . 4 ((𝑒 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑒 prefix (𝑁 βˆ’ 2)) ∈ 𝐹 ∧ (π‘’β€˜(𝑁 βˆ’ 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (π‘’β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = 𝑋)) β†’ ⟨(𝑒 prefix (𝑁 βˆ’ 2)), (π‘’β€˜(𝑁 βˆ’ 1))⟩ ∈ (𝐹 Γ— (𝐺 NeighbVtx 𝑋)))
84, 7syl6bi 253 . . 3 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3)) β†’ (𝑒 ∈ (𝑋𝐢𝑁) β†’ ⟨(𝑒 prefix (𝑁 βˆ’ 2)), (π‘’β€˜(𝑁 βˆ’ 1))⟩ ∈ (𝐹 Γ— (𝐺 NeighbVtx 𝑋))))
98imp 408 . 2 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3)) ∧ 𝑒 ∈ (𝑋𝐢𝑁)) β†’ ⟨(𝑒 prefix (𝑁 βˆ’ 2)), (π‘’β€˜(𝑁 βˆ’ 1))⟩ ∈ (𝐹 Γ— (𝐺 NeighbVtx 𝑋)))
10 numclwwlk.t . 2 𝑇 = (𝑒 ∈ (𝑋𝐢𝑁) ↦ ⟨(𝑒 prefix (𝑁 βˆ’ 2)), (π‘’β€˜(𝑁 βˆ’ 1))⟩)
119, 10fmptd 7067 1 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3)) β†’ 𝑇:(𝑋𝐢𝑁)⟢(𝐹 Γ— (𝐺 NeighbVtx 𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {crab 3410  βŸ¨cop 4597   ↦ cmpt 5193   Γ— cxp 5636  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362   ∈ cmpo 7364  1c1 11059   βˆ’ cmin 11392  2c2 12215  3c3 12216  β„€β‰₯cuz 12770   prefix cpfx 14565  Vtxcvtx 27989  USGraphcusgr 28142   NeighbVtx cnbgr 28322   ClWWalksN cclwwlkn 29010  ClWWalksNOncclwwlknon 29073
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-oadd 8421  df-er 8655  df-map 8774  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-dju 9844  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-xnn0 12493  df-z 12507  df-uz 12771  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-hash 14238  df-word 14410  df-lsw 14458  df-substr 14536  df-pfx 14566  df-edg 28041  df-upgr 28075  df-umgr 28076  df-usgr 28144  df-nbgr 28323  df-wwlks 28817  df-wwlksn 28818  df-clwwlk 28968  df-clwwlkn 29011  df-clwwlknon 29074
This theorem is referenced by:  numclwwlk1lem2f1  29343  numclwwlk1lem2fo  29344
  Copyright terms: Public domain W3C validator