Theorem numclwwlk1lem2f 30962

Description: 𝑇 is a function, mapping a double loop of length 𝑁 on vertex 𝑋 to the ordered pair of the first loop and the successor of 𝑋 in the second loop, which must be a neighbor of 𝑋. (Contributed by Alexander van der Vekens, 19-Sep-2018.) (Revised by AV, 29-May-2021.) (Proof shortened by AV, 23-Feb-2022.) (Revised by AV, 31-Oct-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
extwwlkfab.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
extwwlkfab.c	⊢ 𝐶 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ≥‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = 𝑣})
extwwlkfab.f	⊢ 𝐹 = (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2))
numclwwlk.t	⊢ 𝑇 = (𝑢 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ↦ ⟨(𝑢 prefix (𝑁 − 2)), (𝑢‘(𝑁 − 1))⟩)

Assertion

Ref	Expression
numclwwlk1lem2f	⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → 𝑇:(𝑋𝐶𝑁)⟶(𝐹 × (𝐺 NeighbVtx 𝑋)))

Distinct variable groups:   𝑛,𝐺,𝑣,𝑤   𝑛,𝑁,𝑣,𝑤   𝑛,𝑉,𝑣,𝑤   𝑛,𝑋,𝑣,𝑤   𝑤,𝐹   𝑢,𝐶   𝑢,𝐹   𝑢,𝐺,𝑤   𝑢,𝑁   𝑢,𝑉   𝑢,𝑋

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑤, 𝑣, 𝑛)   𝑇(𝑤, 𝑣, 𝑢, 𝑛)   𝐹(𝑣, 𝑛)

Proof of Theorem numclwwlk1lem2f

Step	Hyp	Ref	Expression
1		extwwlkfab.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		extwwlkfab.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ≥‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = 𝑣})
3		extwwlkfab.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2))
4	1, 2, 3	extwwlkfabel 30960	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝑢 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ↔ (𝑢 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑢 prefix (𝑁 − 2)) ∈ 𝐹 ∧ (𝑢‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (𝑢‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))))
5		simpr1 1213	. . . . 5 ⊢ ((𝑢 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑢 prefix (𝑁 − 2)) ∈ 𝐹 ∧ (𝑢‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (𝑢‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → (𝑢 prefix (𝑁 − 2)) ∈ 𝐹)
6		simpr2 1214	. . . . 5 ⊢ ((𝑢 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑢 prefix (𝑁 − 2)) ∈ 𝐹 ∧ (𝑢‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (𝑢‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → (𝑢‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))
7	5, 6	opelxpd 5689	. . . 4 ⊢ ((𝑢 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑢 prefix (𝑁 − 2)) ∈ 𝐹 ∧ (𝑢‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (𝑢‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → ⟨(𝑢 prefix (𝑁 − 2)), (𝑢‘(𝑁 − 1))⟩ ∈ (𝐹 × (𝐺 NeighbVtx 𝑋)))
8	4, 7	biimtrdi 256	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝑢 ∈ (𝑋𝐶𝑁) → ⟨(𝑢 prefix (𝑁 − 2)), (𝑢‘(𝑁 − 1))⟩ ∈ (𝐹 × (𝐺 NeighbVtx 𝑋))))
9	8	imp 412	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ 𝑢 ∈ (𝑋𝐶𝑁)) → ⟨(𝑢 prefix (𝑁 − 2)), (𝑢‘(𝑁 − 1))⟩ ∈ (𝐹 × (𝐺 NeighbVtx 𝑋)))
10		numclwwlk.t	. 2 ⊢ 𝑇 = (𝑢 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ↦ ⟨(𝑢 prefix (𝑁 − 2)), (𝑢‘(𝑁 − 1))⟩)
11	9, 10	fmptd 7115	1 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → 𝑇:(𝑋𝐶𝑁)⟶(𝐹 × (𝐺 NeighbVtx 𝑋)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  {crab 3412  ⟨cop 4834   ↦ cmpt 5185   × cxp 5648  ⟶wf 6535  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421   ∈ cmpo 7423  1c1 11205   − cmin 11545  2c2 12401  3c3 12402  ℤ_≥cuz 12969   prefix cpfx 14825  Vtxcvtx 29580  USGraphcusgr 29736   NeighbVtx cnbgr 29919   ClWWalksN cclwwlkn 30621  ClWWalksNOncclwwlknon 30684

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8480  df-2o 8481  df-oadd 8484  df-er 8721  df-map 8853  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-fin 8981  df-dju 9986  df-card 10024  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-nn 12340  df-2 12409  df-3 12410  df-n0 12611  df-xnn0 12684  df-z 12698  df-uz 12970  df-fz 13644  df-fzo 13793  df-hash 14479  df-word 14663  df-lsw 14712  df-substr 14794  df-pfx 14826  df-edg 29632  df-upgr 29666  df-umgr 29667  df-usgr 29738  df-nbgr 29920  df-wwlks 30425  df-wwlksn 30426  df-clwwlk 30579  df-clwwlkn 30622  df-clwwlknon 30685

This theorem is used by:  numclwwlk1lem2f1  30964  numclwwlk1lem2fo  30965