Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  numclwwlk1lem2f Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem numclwwlk1lem2f 28184
 Description: 𝑇 is a function, mapping a double loop of length 𝑁 on vertex 𝑋 to the ordered pair of the first loop and the successor of 𝑋 in the second loop, which must be a neighbor of 𝑋. (Contributed by Alexander van der Vekens, 19-Sep-2018.) (Revised by AV, 29-May-2021.) (Proof shortened by AV, 23-Feb-2022.) (Revised by AV, 31-Oct-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
extwwlkfab.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
extwwlkfab.c 𝐶 = (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = 𝑣})
extwwlkfab.f 𝐹 = (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2))
numclwwlk.t 𝑇 = (𝑢 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ↦ ⟨(𝑢 prefix (𝑁 − 2)), (𝑢‘(𝑁 − 1))⟩)
Assertion
Ref Expression
numclwwlk1lem2f ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → 𝑇:(𝑋𝐶𝑁)⟶(𝐹 × (𝐺 NeighbVtx 𝑋)))
Distinct variable groups:   𝑛,𝐺,𝑣,𝑤   𝑛,𝑁,𝑣,𝑤   𝑛,𝑉,𝑣,𝑤   𝑛,𝑋,𝑣,𝑤   𝑤,𝐹   𝑢,𝐶   𝑢,𝐹   𝑢,𝐺,𝑤   𝑢,𝑁   𝑢,𝑉   𝑢,𝑋
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑤,𝑣,𝑛)   𝑇(𝑤,𝑣,𝑢,𝑛)   𝐹(𝑣,𝑛)

Proof of Theorem numclwwlk1lem2f
StepHypRef Expression
1 extwwlkfab.v . . . . 5 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 extwwlkfab.c . . . . 5 𝐶 = (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = 𝑣})
3 extwwlkfab.f . . . . 5 𝐹 = (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2))
41, 2, 3extwwlkfabel 28182 . . . 4 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑢 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ↔ (𝑢 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑢 prefix (𝑁 − 2)) ∈ 𝐹 ∧ (𝑢‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (𝑢‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))))
5 simpr1 1191 . . . . 5 ((𝑢 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑢 prefix (𝑁 − 2)) ∈ 𝐹 ∧ (𝑢‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (𝑢‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → (𝑢 prefix (𝑁 − 2)) ∈ 𝐹)
6 simpr2 1192 . . . . 5 ((𝑢 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑢 prefix (𝑁 − 2)) ∈ 𝐹 ∧ (𝑢‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (𝑢‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → (𝑢‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))
75, 6opelxpd 5561 . . . 4 ((𝑢 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑢 prefix (𝑁 − 2)) ∈ 𝐹 ∧ (𝑢‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (𝑢‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → ⟨(𝑢 prefix (𝑁 − 2)), (𝑢‘(𝑁 − 1))⟩ ∈ (𝐹 × (𝐺 NeighbVtx 𝑋)))
84, 7syl6bi 256 . . 3 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑢 ∈ (𝑋𝐶𝑁) → ⟨(𝑢 prefix (𝑁 − 2)), (𝑢‘(𝑁 − 1))⟩ ∈ (𝐹 × (𝐺 NeighbVtx 𝑋))))
98imp 410 . 2 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ 𝑢 ∈ (𝑋𝐶𝑁)) → ⟨(𝑢 prefix (𝑁 − 2)), (𝑢‘(𝑁 − 1))⟩ ∈ (𝐹 × (𝐺 NeighbVtx 𝑋)))
10 numclwwlk.t . 2 𝑇 = (𝑢 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ↦ ⟨(𝑢 prefix (𝑁 − 2)), (𝑢‘(𝑁 − 1))⟩)
119, 10fmptd 6865 1 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → 𝑇:(𝑋𝐶𝑁)⟶(𝐹 × (𝐺 NeighbVtx 𝑋)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  {crab 3110  ⟨cop 4534   ↦ cmpt 5114   × cxp 5521  ⟶wf 6328  ‘cfv 6332  (class class class)co 7145   ∈ cmpo 7147  1c1 10545   − cmin 10877  2c2 11698  3c3 11699  ℤ≥cuz 12251   prefix cpfx 14043  Vtxcvtx 26833  USGraphcusgr 26986   NeighbVtx cnbgr 27166   ClWWalksN cclwwlkn 27853  ClWWalksNOncclwwlknon 27916 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5158  ax-sep 5171  ax-nul 5178  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7454  ax-cnex 10600  ax-resscn 10601  ax-1cn 10602  ax-icn 10603  ax-addcl 10604  ax-addrcl 10605  ax-mulcl 10606  ax-mulrcl 10607  ax-mulcom 10608  ax-addass 10609  ax-mulass 10610  ax-distr 10611  ax-i2m1 10612  ax-1ne0 10613  ax-1rid 10614  ax-rnegex 10615  ax-rrecex 10616  ax-cnre 10617  ax-pre-lttri 10618  ax-pre-lttrn 10619  ax-pre-ltadd 10620  ax-pre-mulgt0 10621 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3444  df-sbc 3723  df-csb 3831  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4805  df-int 4843  df-iun 4887  df-br 5035  df-opab 5097  df-mpt 5115  df-tr 5141  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6334  df-fn 6335  df-f 6336  df-f1 6337  df-fo 6338  df-f1o 6339  df-fv 6340  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7574  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7948  df-recs 8009  df-rdg 8047  df-1o 8103  df-2o 8104  df-oadd 8107  df-er 8290  df-map 8409  df-en 8511  df-dom 8512  df-sdom 8513  df-fin 8514  df-dju 9332  df-card 9370  df-pnf 10684  df-mnf 10685  df-xr 10686  df-ltxr 10687  df-le 10688  df-sub 10879  df-neg 10880  df-nn 11644  df-2 11706  df-3 11707  df-n0 11904  df-xnn0 11976  df-z 11990  df-uz 12252  df-fz 12906  df-fzo 13049  df-hash 13707  df-word 13878  df-lsw 13926  df-substr 14014  df-pfx 14044  df-edg 26885  df-upgr 26919  df-umgr 26920  df-usgr 26988  df-nbgr 27167  df-wwlks 27660  df-wwlksn 27661  df-clwwlk 27811  df-clwwlkn 27854  df-clwwlknon 27917 This theorem is referenced by:  numclwwlk1lem2f1  28186  numclwwlk1lem2fo  28187
 Copyright terms: Public domain W3C validator