Theorem numclwwlk1lem2f 30342

Description: 𝑇 is a function, mapping a double loop of length 𝑁 on vertex 𝑋 to the ordered pair of the first loop and the successor of 𝑋 in the second loop, which must be a neighbor of 𝑋. (Contributed by Alexander van der Vekens, 19-Sep-2018.) (Revised by AV, 29-May-2021.) (Proof shortened by AV, 23-Feb-2022.) (Revised by AV, 31-Oct-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
extwwlkfab.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
extwwlkfab.c	⊢ 𝐶 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ≥‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = 𝑣})
extwwlkfab.f	⊢ 𝐹 = (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2))
numclwwlk.t	⊢ 𝑇 = (𝑢 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ↦ ⟨(𝑢 prefix (𝑁 − 2)), (𝑢‘(𝑁 − 1))⟩)

Assertion

Ref	Expression
numclwwlk1lem2f	⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → 𝑇:(𝑋𝐶𝑁)⟶(𝐹 × (𝐺 NeighbVtx 𝑋)))

Distinct variable groups:   𝑛,𝐺,𝑣,𝑤   𝑛,𝑁,𝑣,𝑤   𝑛,𝑉,𝑣,𝑤   𝑛,𝑋,𝑣,𝑤   𝑤,𝐹   𝑢,𝐶   𝑢,𝐹   𝑢,𝐺,𝑤   𝑢,𝑁   𝑢,𝑉   𝑢,𝑋

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑤,𝑣,𝑛)   𝑇(𝑤,𝑣,𝑢,𝑛)   𝐹(𝑣,𝑛)

Proof of Theorem numclwwlk1lem2f

Step	Hyp	Ref	Expression
1		extwwlkfab.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		extwwlkfab.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ≥‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = 𝑣})
3		extwwlkfab.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2))
4	1, 2, 3	extwwlkfabel 30340	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝑢 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ↔ (𝑢 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑢 prefix (𝑁 − 2)) ∈ 𝐹 ∧ (𝑢‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (𝑢‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))))
5		simpr1 1195	. . . . 5 ⊢ ((𝑢 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑢 prefix (𝑁 − 2)) ∈ 𝐹 ∧ (𝑢‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (𝑢‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → (𝑢 prefix (𝑁 − 2)) ∈ 𝐹)
6		simpr2 1196	. . . . 5 ⊢ ((𝑢 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑢 prefix (𝑁 − 2)) ∈ 𝐹 ∧ (𝑢‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (𝑢‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → (𝑢‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))
7	5, 6	opelxpd 5658	. . . 4 ⊢ ((𝑢 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑢 prefix (𝑁 − 2)) ∈ 𝐹 ∧ (𝑢‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (𝑢‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → ⟨(𝑢 prefix (𝑁 − 2)), (𝑢‘(𝑁 − 1))⟩ ∈ (𝐹 × (𝐺 NeighbVtx 𝑋)))
8	4, 7	biimtrdi 253	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝑢 ∈ (𝑋𝐶𝑁) → ⟨(𝑢 prefix (𝑁 − 2)), (𝑢‘(𝑁 − 1))⟩ ∈ (𝐹 × (𝐺 NeighbVtx 𝑋))))
9	8	imp 406	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ 𝑢 ∈ (𝑋𝐶𝑁)) → ⟨(𝑢 prefix (𝑁 − 2)), (𝑢‘(𝑁 − 1))⟩ ∈ (𝐹 × (𝐺 NeighbVtx 𝑋)))
10		numclwwlk.t	. 2 ⊢ 𝑇 = (𝑢 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ↦ ⟨(𝑢 prefix (𝑁 − 2)), (𝑢‘(𝑁 − 1))⟩)
11	9, 10	fmptd 7053	1 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → 𝑇:(𝑋𝐶𝑁)⟶(𝐹 × (𝐺 NeighbVtx 𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  {crab 3395  ⟨cop 4581   ↦ cmpt 5174   × cxp 5617  ⟶wf 6483  ‘cfv 6487  (class class class)co 7352   ∈ cmpo 7354  1c1 11013   − cmin 11350  2c2 12186  3c3 12187  ℤ_≥cuz 12738   prefix cpfx 14584  Vtxcvtx 28981  USGraphcusgr 29134   NeighbVtx cnbgr 29317   ClWWalksN cclwwlkn 30011  ClWWalksNOncclwwlknon 30074

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11068  ax-resscn 11069  ax-1cn 11070  ax-icn 11071  ax-addcl 11072  ax-addrcl 11073  ax-mulcl 11074  ax-mulrcl 11075  ax-mulcom 11076  ax-addass 11077  ax-mulass 11078  ax-distr 11079  ax-i2m1 11080  ax-1ne0 11081  ax-1rid 11082  ax-rnegex 11083  ax-rrecex 11084  ax-cnre 11085  ax-pre-lttri 11086  ax-pre-lttrn 11087  ax-pre-ltadd 11088  ax-pre-mulgt0 11089

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-2o 8392  df-oadd 8395  df-er 8628  df-map 8758  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-dju 9800  df-card 9838  df-pnf 11154  df-mnf 11155  df-xr 11156  df-ltxr 11157  df-le 11158  df-sub 11352  df-neg 11353  df-nn 12132  df-2 12194  df-3 12195  df-n0 12388  df-xnn0 12461  df-z 12475  df-uz 12739  df-fz 13414  df-fzo 13561  df-hash 14244  df-word 14427  df-lsw 14476  df-substr 14555  df-pfx 14585  df-edg 29033  df-upgr 29067  df-umgr 29068  df-usgr 29136  df-nbgr 29318  df-wwlks 29815  df-wwlksn 29816  df-clwwlk 29969  df-clwwlkn 30012  df-clwwlknon 30075

This theorem is referenced by:  numclwwlk1lem2f1  30344  numclwwlk1lem2fo  30345