Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  blennnt2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem blennnt2 46749
Description: The binary length of a positive integer, doubled and increased by 1, is the binary length of the integer plus 1. (Contributed by AV, 30-May-2010.)
Assertion
Ref Expression
blennnt2 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (#bโ€˜(2 ยท ๐‘)) = ((#bโ€˜๐‘) + 1))

Proof of Theorem blennnt2
StepHypRef Expression
1 2nn 12233 . . . . 5 2 โˆˆ โ„•
21a1i 11 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 2 โˆˆ โ„•)
3 id 22 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
42, 3nnmulcld 12213 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„•)
5 blennn 46735 . . 3 ((2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„• โ†’ (#bโ€˜(2 ยท ๐‘)) = ((โŒŠโ€˜(2 logb (2 ยท ๐‘))) + 1))
64, 5syl 17 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (#bโ€˜(2 ยท ๐‘)) = ((โŒŠโ€˜(2 logb (2 ยท ๐‘))) + 1))
7 2cn 12235 . . . . . . . . 9 2 โˆˆ โ„‚
87a1i 11 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
9 nncn 12168 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
108, 9mulcomd 11183 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (2 ยท ๐‘) = (๐‘ ยท 2))
1110oveq2d 7378 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (2 logb (2 ยท ๐‘)) = (2 logb (๐‘ ยท 2)))
12 2z 12542 . . . . . . . . 9 2 โˆˆ โ„ค
13 uzid 12785 . . . . . . . . 9 (2 โˆˆ โ„ค โ†’ 2 โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
1412, 13ax-mp 5 . . . . . . . 8 2 โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)
15 eluz2cnn0n1 46666 . . . . . . . 8 (2 โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ 2 โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0, 1}))
1614, 15mp1i 13 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 2 โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0, 1}))
17 nnrp 12933 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„+)
18 2rp 12927 . . . . . . . 8 2 โˆˆ โ„+
1918a1i 11 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 2 โˆˆ โ„+)
20 relogbmul 26143 . . . . . . 7 ((2 โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0, 1}) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„+ โˆง 2 โˆˆ โ„+)) โ†’ (2 logb (๐‘ ยท 2)) = ((2 logb ๐‘) + (2 logb 2)))
2116, 17, 19, 20syl12anc 836 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (2 logb (๐‘ ยท 2)) = ((2 logb ๐‘) + (2 logb 2)))
22 2ne0 12264 . . . . . . . . 9 2 โ‰  0
23 1ne2 12368 . . . . . . . . . 10 1 โ‰  2
2423necomi 2999 . . . . . . . . 9 2 โ‰  1
257, 22, 243pm3.2i 1340 . . . . . . . 8 (2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0 โˆง 2 โ‰  1)
26 logbid1 26134 . . . . . . . 8 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0 โˆง 2 โ‰  1) โ†’ (2 logb 2) = 1)
2725, 26mp1i 13 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (2 logb 2) = 1)
2827oveq2d 7378 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((2 logb ๐‘) + (2 logb 2)) = ((2 logb ๐‘) + 1))
2911, 21, 283eqtrd 2781 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (2 logb (2 ยท ๐‘)) = ((2 logb ๐‘) + 1))
3029fveq2d 6851 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (โŒŠโ€˜(2 logb (2 ยท ๐‘))) = (โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘) + 1)))
3124a1i 11 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 2 โ‰  1)
32 relogbcl 26139 . . . . . 6 ((2 โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+ โˆง 2 โ‰  1) โ†’ (2 logb ๐‘) โˆˆ โ„)
3319, 17, 31, 32syl3anc 1372 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (2 logb ๐‘) โˆˆ โ„)
34 1zzd 12541 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
35 fladdz 13737 . . . . 5 (((2 logb ๐‘) โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„ค) โ†’ (โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘) + 1)) = ((โŒŠโ€˜(2 logb ๐‘)) + 1))
3633, 34, 35syl2anc 585 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘) + 1)) = ((โŒŠโ€˜(2 logb ๐‘)) + 1))
3730, 36eqtrd 2777 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (โŒŠโ€˜(2 logb (2 ยท ๐‘))) = ((โŒŠโ€˜(2 logb ๐‘)) + 1))
3837oveq1d 7377 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((โŒŠโ€˜(2 logb (2 ยท ๐‘))) + 1) = (((โŒŠโ€˜(2 logb ๐‘)) + 1) + 1))
39 blennn 46735 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (#bโ€˜๐‘) = ((โŒŠโ€˜(2 logb ๐‘)) + 1))
4039eqcomd 2743 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((โŒŠโ€˜(2 logb ๐‘)) + 1) = (#bโ€˜๐‘))
4140oveq1d 7377 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (((โŒŠโ€˜(2 logb ๐‘)) + 1) + 1) = ((#bโ€˜๐‘) + 1))
426, 38, 413eqtrd 2781 1 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (#bโ€˜(2 ยท ๐‘)) = ((#bโ€˜๐‘) + 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2944   โˆ– cdif 3912  {cpr 4593  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  โ„‚cc 11056  โ„cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   ยท cmul 11063  โ„•cn 12160  2c2 12215  โ„คcz 12506  โ„คโ‰ฅcuz 12770  โ„+crp 12922  โŒŠcfl 13702   logb clogb 26130  #bcblen 46729
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136  ax-addf 11137  ax-mulf 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-ioo 13275  df-ioc 13276  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-mod 13782  df-seq 13914  df-exp 13975  df-fac 14181  df-bc 14210  df-hash 14238  df-shft 14959  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-limsup 15360  df-clim 15377  df-rlim 15378  df-sum 15578  df-ef 15957  df-sin 15959  df-cos 15960  df-pi 15962  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-starv 17155  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-unif 17163  df-hom 17164  df-cco 17165  df-rest 17311  df-topn 17312  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-topgen 17332  df-pt 17333  df-prds 17336  df-xrs 17391  df-qtop 17396  df-imas 17397  df-xps 17399  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-submnd 18609  df-mulg 18880  df-cntz 19104  df-cmn 19571  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-lp 22503  df-perf 22504  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-haus 22682  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cncf 24257  df-limc 25246  df-dv 25247  df-log 25928  df-logb 26131  df-blen 46730
This theorem is referenced by:  blennn0em1  46751
  Copyright terms: Public domain W3C validator