Theorem blennnt2 45935

Description: The binary length of a positive integer, doubled and increased by 1, is the binary length of the integer plus 1. (Contributed by AV, 30-May-2010.)

Assertion

Ref	Expression
blennnt2	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (#b‘(2 · 𝑁)) = ((#b‘𝑁) + 1))

Proof of Theorem blennnt2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn 12046	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ)
3		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ)
4	2, 3	nnmulcld 12026	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 𝑁) ∈ ℕ)
5		blennn 45921	. . 3 ⊢ ((2 · 𝑁) ∈ ℕ → (#b‘(2 · 𝑁)) = ((⌊‘(2 logb (2 · 𝑁))) + 1))
6	4, 5	syl 17	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (#b‘(2 · 𝑁)) = ((⌊‘(2 logb (2 · 𝑁))) + 1))
7		2cn 12048	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
8	7	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
9		nncn 11981	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
10	8, 9	mulcomd 10996	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 𝑁) = (𝑁 · 2))
11	10	oveq2d 7291	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 logb (2 · 𝑁)) = (2 logb (𝑁 · 2)))
12		2z 12352	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℤ
13		uzid 12597	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 ∈ ℤ → 2 ∈ (ℤ≥‘2))
14	12, 13	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ (ℤ≥‘2)
15		eluz2cnn0n1 45852	. . . . . . . 8 ⊢ (2 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}))
16	14, 15	mp1i 13	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}))
17		nnrp 12741	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
18		2rp 12735	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ+
19	18	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ+)
20		relogbmul 25927	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ∧ (𝑁 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℝ+)) → (2 logb (𝑁 · 2)) = ((2 logb 𝑁) + (2 logb 2)))
21	16, 17, 19, 20	syl12anc 834	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 logb (𝑁 · 2)) = ((2 logb 𝑁) + (2 logb 2)))
22		2ne0 12077	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ≠ 0
23		1ne2 12181	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ≠ 2
24	23	necomi 2998	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ≠ 1
25	7, 22, 24	3pm3.2i 1338	. . . . . . . 8 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 1)
26		logbid1 25918	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 1) → (2 logb 2) = 1)
27	25, 26	mp1i 13	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 logb 2) = 1)
28	27	oveq2d 7291	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 logb 𝑁) + (2 logb 2)) = ((2 logb 𝑁) + 1))
29	11, 21, 28	3eqtrd 2782	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 logb (2 · 𝑁)) = ((2 logb 𝑁) + 1))
30	29	fveq2d 6778	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb (2 · 𝑁))) = (⌊‘((2 logb 𝑁) + 1)))
31	24	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ≠ 1)
32		relogbcl 25923	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+ ∧ 2 ≠ 1) → (2 logb 𝑁) ∈ ℝ)
33	19, 17, 31, 32	syl3anc 1370	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 logb 𝑁) ∈ ℝ)
34		1zzd 12351	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℤ)
35		fladdz 13545	. . . . 5 ⊢ (((2 logb 𝑁) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ) → (⌊‘((2 logb 𝑁) + 1)) = ((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1))
36	33, 34, 35	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (⌊‘((2 logb 𝑁) + 1)) = ((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1))
37	30, 36	eqtrd 2778	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb (2 · 𝑁))) = ((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1))
38	37	oveq1d 7290	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((⌊‘(2 logb (2 · 𝑁))) + 1) = (((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1) + 1))
39		blennn 45921	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (#b‘𝑁) = ((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1))
40	39	eqcomd 2744	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1) = (#b‘𝑁))
41	40	oveq1d 7290	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1) + 1) = ((#b‘𝑁) + 1))
42	6, 38, 41	3eqtrd 2782	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (#b‘(2 · 𝑁)) = ((#b‘𝑁) + 1))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943   ∖ cdif 3884  {cpr 4563  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ℂcc 10869  ℝcr 10870  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874   · cmul 10876  ℕcn 11973  2c2 12028  ℤcz 12319  ℤ_≥cuz 12582  ℝ⁺crp 12730  ⌊cfl 13510   log_b clogb 25914  #_bcblen 45915

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949  ax-addf 10950  ax-mulf 10951

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-er 8498  df-map 8617  df-pm 8618  df-ixp 8686  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-fi 9170  df-sup 9201  df-inf 9202  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-q 12689  df-rp 12731  df-xneg 12848  df-xadd 12849  df-xmul 12850  df-ioo 13083  df-ioc 13084  df-ico 13085  df-icc 13086  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-fl 13512  df-mod 13590  df-seq 13722  df-exp 13783  df-fac 13988  df-bc 14017  df-hash 14045  df-shft 14778  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-limsup 15180  df-clim 15197  df-rlim 15198  df-sum 15398  df-ef 15777  df-sin 15779  df-cos 15780  df-pi 15782  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-starv 16977  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-ip 16980  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-unif 16985  df-hom 16986  df-cco 16987  df-rest 17133  df-topn 17134  df-0g 17152  df-gsum 17153  df-topgen 17154  df-pt 17155  df-prds 17158  df-xrs 17213  df-qtop 17218  df-imas 17219  df-xps 17221  df-mre 17295  df-mrc 17296  df-acs 17298  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-submnd 18431  df-mulg 18701  df-cntz 18923  df-cmn 19388  df-psmet 20589  df-xmet 20590  df-met 20591  df-bl 20592  df-mopn 20593  df-fbas 20594  df-fg 20595  df-cnfld 20598  df-top 22043  df-topon 22060  df-topsp 22082  df-bases 22096  df-cld 22170  df-ntr 22171  df-cls 22172  df-nei 22249  df-lp 22287  df-perf 22288  df-cn 22378  df-cnp 22379  df-haus 22466  df-tx 22713  df-hmeo 22906  df-fil 22997  df-fm 23089  df-flim 23090  df-flf 23091  df-xms 23473  df-ms 23474  df-tms 23475  df-cncf 24041  df-limc 25030  df-dv 25031  df-log 25712  df-logb 25915  df-blen 45916

This theorem is referenced by:  blennn0em1  45937