Theorem blennnt2 49175

Description: The binary length of a positive integer, doubled and increased by 1, is the binary length of the integer plus 1. (Contributed by AV, 30-May-2010.)

Assertion

Ref	Expression
blennnt2	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (#b‘(2 · 𝑁)) = ((#b‘𝑁) + 1))

Proof of Theorem blennnt2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn 12288	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ)
3		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ)
4	2, 3	nnmulcld 12263	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 𝑁) ∈ ℕ)
5		blennn 49161	. . 3 ⊢ ((2 · 𝑁) ∈ ℕ → (#b‘(2 · 𝑁)) = ((⌊‘(2 logb (2 · 𝑁))) + 1))
6	4, 5	syl 17	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (#b‘(2 · 𝑁)) = ((⌊‘(2 logb (2 · 𝑁))) + 1))
7		2cn 12290	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
8	7	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
9		nncn 12215	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
10	8, 9	mulcomd 11200	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 𝑁) = (𝑁 · 2))
11	10	oveq2d 7408	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 logb (2 · 𝑁)) = (2 logb (𝑁 · 2)))
12		2z 12600	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℤ
13		uzid 12851	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 ∈ ℤ → 2 ∈ (ℤ≥‘2))
14	12, 13	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ (ℤ≥‘2)
15		eluz2cnn0n1 49097	. . . . . . . 8 ⊢ (2 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}))
16	14, 15	mp1i 13	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}))
17		nnrp 13002	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
18		2rp 12995	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ+
19	18	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ+)
20		relogbmul 26819	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ∧ (𝑁 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℝ+)) → (2 logb (𝑁 · 2)) = ((2 logb 𝑁) + (2 logb 2)))
21	16, 17, 19, 20	syl12anc 847	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 logb (𝑁 · 2)) = ((2 logb 𝑁) + (2 logb 2)))
22		2ne0 12321	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ≠ 0
23		1ne2 12425	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ≠ 2
24	23	necomi 3010	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ≠ 1
25	7, 22, 24	3pm3.2i 1352	. . . . . . . 8 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 1)
26		logbid1 26810	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 1) → (2 logb 2) = 1)
27	25, 26	mp1i 13	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 logb 2) = 1)
28	27	oveq2d 7408	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 logb 𝑁) + (2 logb 2)) = ((2 logb 𝑁) + 1))
29	11, 21, 28	3eqtrd 2800	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 logb (2 · 𝑁)) = ((2 logb 𝑁) + 1))
30	29	fveq2d 6867	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb (2 · 𝑁))) = (⌊‘((2 logb 𝑁) + 1)))
31	24	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ≠ 1)
32		relogbcl 26815	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+ ∧ 2 ≠ 1) → (2 logb 𝑁) ∈ ℝ)
33	19, 17, 31, 32	syl3anc 1389	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 logb 𝑁) ∈ ℝ)
34		1zzd 12599	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℤ)
35		fladdz 13832	. . . . 5 ⊢ (((2 logb 𝑁) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ) → (⌊‘((2 logb 𝑁) + 1)) = ((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1))
36	33, 34, 35	syl2anc 593	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (⌊‘((2 logb 𝑁) + 1)) = ((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1))
37	30, 36	eqtrd 2796	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb (2 · 𝑁))) = ((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1))
38	37	oveq1d 7407	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((⌊‘(2 logb (2 · 𝑁))) + 1) = (((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1) + 1))
39		blennn 49161	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (#b‘𝑁) = ((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1))
40	39	eqcomd 2767	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1) = (#b‘𝑁))
41	40	oveq1d 7407	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1) + 1) = ((#b‘𝑁) + 1))
42	6, 38, 41	3eqtrd 2800	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (#b‘(2 · 𝑁)) = ((#b‘𝑁) + 1))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1097   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956   ∖ cdif 3901  {cpr 4583  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392  ℂcc 11068  ℝcr 11069  0cc0 11070  1c1 11071   + caddc 11073   · cmul 11075  ℕcn 12207  2c2 12269  ℤcz 12565  ℤ_≥cuz 12836  ℝ⁺crp 12990  ⌊cfl 13797   log_b clogb 26806  #_bcblen 49155

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-inf2 9593  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147  ax-pre-sup 11148  ax-addf 11149

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-se 5599  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-isom 6526  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-of 7656  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-supp 8136  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-2o 8433  df-er 8673  df-map 8805  df-pm 8806  df-ixp 8876  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-fin 8927  df-fsupp 9305  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9455  df-card 9894  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12208  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12479  df-z 12566  df-dec 12686  df-uz 12837  df-q 12947  df-rp 12991  df-xneg 13111  df-xadd 13112  df-xmul 13113  df-ioo 13350  df-ioc 13351  df-ico 13352  df-icc 13353  df-fz 13510  df-fzo 13657  df-fl 13799  df-mod 13877  df-seq 14012  df-exp 14072  df-fac 14284  df-bc 14313  df-hash 14341  df-shft 15077  df-cj 15109  df-re 15110  df-im 15111  df-sqrt 15245  df-abs 15246  df-limsup 15481  df-clim 15498  df-rlim 15499  df-sum 15697  df-ef 16080  df-sin 16082  df-cos 16083  df-pi 16085  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17250  df-plusg 17282  df-mulr 17283  df-starv 17284  df-sca 17285  df-vsca 17286  df-ip 17287  df-tset 17288  df-ple 17289  df-ds 17291  df-unif 17292  df-hom 17293  df-cco 17294  df-rest 17434  df-topn 17435  df-0g 17453  df-gsum 17454  df-topgen 17455  df-pt 17456  df-prds 17459  df-xrs 17515  df-qtop 17520  df-imas 17521  df-xps 17523  df-mre 17597  df-mrc 17598  df-acs 17600  df-mgm 18657  df-sgrp 18736  df-mnd 18752  df-submnd 18801  df-mulg 19093  df-cntz 19340  df-cmn 19805  df-psmet 21396  df-xmet 21397  df-met 21398  df-bl 21399  df-mopn 21400  df-fbas 21401  df-fg 21402  df-cnfld 21405  df-top 22934  df-topon 22951  df-topsp 22973  df-bases 22986  df-cld 23059  df-ntr 23060  df-cls 23061  df-nei 23138  df-lp 23176  df-perf 23177  df-cn 23267  df-cnp 23268  df-haus 23355  df-tx 23602  df-hmeo 23795  df-fil 23886  df-fm 23978  df-flim 23979  df-flf 23980  df-xms 24360  df-ms 24361  df-tms 24362  df-cncf 24920  df-limc 25908  df-dv 25909  df-log 26598  df-logb 26807  df-blen 49156

This theorem is referenced by:  blennn0em1  49177