MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  flo1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem flo1 14921
Description: The floor function satisfies ⌊(𝑥) = 𝑥 + 𝑂(1). (Contributed by Mario Carneiro, 21-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
flo1 (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 − (⌊‘𝑥))) ∈ 𝑂(1)

Proof of Theorem flo1
StepHypRef Expression
1 ssidd 3819 . . 3 (⊤ → ℝ ⊆ ℝ)
2 reflcl 12849 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ → (⌊‘𝑥) ∈ ℝ)
3 resubcl 10636 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (⌊‘𝑥) ∈ ℝ) → (𝑥 − (⌊‘𝑥)) ∈ ℝ)
42, 3mpdan 679 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 − (⌊‘𝑥)) ∈ ℝ)
54recnd 10356 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 − (⌊‘𝑥)) ∈ ℂ)
65adantl 474 . . 3 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 − (⌊‘𝑥)) ∈ ℂ)
7 1red 10328 . . 3 (⊤ → 1 ∈ ℝ)
8 id 22 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ)
9 flle 12852 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ → (⌊‘𝑥) ≤ 𝑥)
102, 8, 9abssubge0d 14508 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ → (abs‘(𝑥 − (⌊‘𝑥))) = (𝑥 − (⌊‘𝑥)))
11 fracle1 12856 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 − (⌊‘𝑥)) ≤ 1)
1210, 11eqbrtrd 4864 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ → (abs‘(𝑥 − (⌊‘𝑥))) ≤ 1)
1312ad2antrl 720 . . 3 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (abs‘(𝑥 − (⌊‘𝑥))) ≤ 1)
141, 6, 7, 7, 13elo1d 14605 . 2 (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 − (⌊‘𝑥))) ∈ 𝑂(1))
1514mptru 1661 1 (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 − (⌊‘𝑥))) ∈ 𝑂(1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wtru 1654  wcel 2157   class class class wbr 4842  cmpt 4921  cfv 6100  (class class class)co 6877  cc 10221  cr 10222  1c1 10224  cle 10363  cmin 10555  cfl 12843  abscabs 14312  𝑂(1)co1 14555
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2776  ax-sep 4974  ax-nul 4982  ax-pow 5034  ax-pr 5096  ax-un 7182  ax-cnex 10279  ax-resscn 10280  ax-1cn 10281  ax-icn 10282  ax-addcl 10283  ax-addrcl 10284  ax-mulcl 10285  ax-mulrcl 10286  ax-mulcom 10287  ax-addass 10288  ax-mulass 10289  ax-distr 10290  ax-i2m1 10291  ax-1ne0 10292  ax-1rid 10293  ax-rnegex 10294  ax-rrecex 10295  ax-cnre 10296  ax-pre-lttri 10297  ax-pre-lttrn 10298  ax-pre-ltadd 10299  ax-pre-mulgt0 10300  ax-pre-sup 10301
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2785  df-cleq 2791  df-clel 2794  df-nfc 2929  df-ne 2971  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rmo 3096  df-rab 3097  df-v 3386  df-sbc 3633  df-csb 3728  df-dif 3771  df-un 3773  df-in 3775  df-ss 3782  df-pss 3784  df-nul 4115  df-if 4277  df-pw 4350  df-sn 4368  df-pr 4370  df-tp 4372  df-op 4374  df-uni 4628  df-iun 4711  df-br 4843  df-opab 4905  df-mpt 4922  df-tr 4945  df-id 5219  df-eprel 5224  df-po 5232  df-so 5233  df-fr 5270  df-we 5272  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-pred 5897  df-ord 5943  df-on 5944  df-lim 5945  df-suc 5946  df-iota 6063  df-fun 6102  df-fn 6103  df-f 6104  df-f1 6105  df-fo 6106  df-f1o 6107  df-fv 6108  df-riota 6838  df-ov 6880  df-oprab 6881  df-mpt2 6882  df-om 7299  df-2nd 7401  df-wrecs 7644  df-recs 7706  df-rdg 7744  df-er 7981  df-pm 8097  df-en 8195  df-dom 8196  df-sdom 8197  df-sup 8589  df-inf 8590  df-pnf 10364  df-mnf 10365  df-xr 10366  df-ltxr 10367  df-le 10368  df-sub 10557  df-neg 10558  df-div 10976  df-nn 11312  df-2 11373  df-3 11374  df-n0 11578  df-z 11664  df-uz 11928  df-rp 12072  df-ico 12427  df-fl 12845  df-seq 13053  df-exp 13112  df-cj 14177  df-re 14178  df-im 14179  df-sqrt 14313  df-abs 14314  df-o1 14559  df-lo1 14560
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator