Theorem flo1 15796

Description: The floor function satisfies ⌊(𝑥) = 𝑥 + 𝑂(1). (Contributed by Mario Carneiro, 21-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
flo1	⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 − (⌊‘𝑥))) ∈ 𝑂(1)

Proof of Theorem flo1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssidd 4004	. . 3 ⊢ (⊤ → ℝ ⊆ ℝ)
2		reflcl 13757	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (⌊‘𝑥) ∈ ℝ)
3		resubcl 11520	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (⌊‘𝑥) ∈ ℝ) → (𝑥 − (⌊‘𝑥)) ∈ ℝ)
4	2, 3	mpdan 686	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 − (⌊‘𝑥)) ∈ ℝ)
5	4	recnd 11238	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 − (⌊‘𝑥)) ∈ ℂ)
6	5	adantl 483	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 − (⌊‘𝑥)) ∈ ℂ)
7		1red 11211	. . 3 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℝ)
8		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ)
9		flle 13760	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (⌊‘𝑥) ≤ 𝑥)
10	2, 8, 9	abssubge0d 15374	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (abs‘(𝑥 − (⌊‘𝑥))) = (𝑥 − (⌊‘𝑥)))
11		fracle1 13764	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 − (⌊‘𝑥)) ≤ 1)
12	10, 11	eqbrtrd 5169	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (abs‘(𝑥 − (⌊‘𝑥))) ≤ 1)
13	12	ad2antrl 727	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (abs‘(𝑥 − (⌊‘𝑥))) ≤ 1)
14	1, 6, 7, 7, 13	elo1d 15476	. 2 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 − (⌊‘𝑥))) ∈ 𝑂(1))
15	14	mptru 1549	1 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 − (⌊‘𝑥))) ∈ 𝑂(1)

Syntax hints:  ⊤wtru 1543   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  ‘cfv 6540  (class class class)co 7404  ℂcc 11104  ℝcr 11105  1c1 11107   ≤ cle 11245   − cmin 11440  ⌊cfl 13751  abscabs 15177  𝑂(1)co1 15426

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7851  df-2nd 7971  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8699  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-ico 13326  df-fl 13753  df-seq 13963  df-exp 14024  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-o1 15430  df-lo1 15431

This theorem is referenced by: (None)