Theorem flt4lem1 43406

Description: Satisfy the antecedent used in several pythagtrip 16898 lemmas, with 𝐴, 𝐶 coprime rather than 𝐴, 𝐵. (Contributed by SN, 21-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
flt4lem1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
flt4lem1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
flt4lem1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
flt4lem1.1	⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝐴)
flt4lem1.2	⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐶) = 1)
flt4lem1.3	⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2))

Assertion

Ref	Expression
flt4lem1	⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)))

Proof of Theorem flt4lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flt4lem1.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		flt4lem1.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
3		flt4lem1.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
4	1, 2, 3	3jca 1146	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ))
5		flt4lem1.3	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2))
6		flt4lem1.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐶) = 1)
7	1, 2, 3, 6, 5	fltabcoprm 43402	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) = 1)
8		flt4lem1.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝐴)
9	7, 8	jca 520	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴))
10	4, 5, 9	3jca 1146	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   class class class wbr 5109  (class class class)co 7410  1c1 11105   + caddc 11107  ℕcn 12237  2c2 12299  ↑cexp 14102   ∥ cdvds 16314   gcd cgcd 16556

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11160  ax-resscn 11161  ax-1cn 11162  ax-icn 11163  ax-addcl 11164  ax-addrcl 11165  ax-mulcl 11166  ax-mulrcl 11167  ax-mulcom 11168  ax-addass 11169  ax-mulass 11170  ax-distr 11171  ax-i2m1 11172  ax-1ne0 11173  ax-1rid 11174  ax-rnegex 11175  ax-rrecex 11176  ax-cnre 11177  ax-pre-lttri 11178  ax-pre-lttrn 11179  ax-pre-ltadd 11180  ax-pre-mulgt0 11181  ax-pre-sup 11182

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9398  df-inf 9399  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11876  df-nn 12238  df-2 12307  df-3 12308  df-n0 12509  df-z 12596  df-uz 12867  df-rp 13021  df-fl 13830  df-mod 13908  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15155  df-re 15156  df-im 15157  df-sqrt 15291  df-abs 15292  df-dvds 16315  df-gcd 16557

This theorem is used by:  flt4lem3  43408  flt4lem5a  43412  flt4lem5b  43413  flt4lem5c  43414  flt4lem5d  43415  flt4lem5e  43416