Theorem flt4lem1 40010

Description: Satisfy the antecedent used in several pythagtrip 16239 lemmas, with 𝐴, 𝐶 coprime rather than 𝐴, 𝐵. (Contributed by SN, 21-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
flt4lem1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
flt4lem1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
flt4lem1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
flt4lem1.1	⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝐴)
flt4lem1.2	⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐶) = 1)
flt4lem1.3	⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2))

Assertion

Ref	Expression
flt4lem1	⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)))

Proof of Theorem flt4lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flt4lem1.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		flt4lem1.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
3		flt4lem1.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
4	1, 2, 3	3jca 1125	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ))
5		flt4lem1.3	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2))
6		flt4lem1.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐶) = 1)
7	1, 2, 3, 6, 5	fltabcoprm 40006	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) = 1)
8		flt4lem1.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝐴)
9	7, 8	jca 515	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴))
10	4, 5, 9	3jca 1125	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5036  (class class class)co 7156  1c1 10589   + caddc 10591  ℕcn 11687  2c2 11742  ↑cexp 13492   ∥ cdvds 15668   gcd cgcd 15906

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465  ax-cnex 10644  ax-resscn 10645  ax-1cn 10646  ax-icn 10647  ax-addcl 10648  ax-addrcl 10649  ax-mulcl 10650  ax-mulrcl 10651  ax-mulcom 10652  ax-addass 10653  ax-mulass 10654  ax-distr 10655  ax-i2m1 10656  ax-1ne0 10657  ax-1rid 10658  ax-rnegex 10659  ax-rrecex 10660  ax-cnre 10661  ax-pre-lttri 10662  ax-pre-lttrn 10663  ax-pre-ltadd 10664  ax-pre-mulgt0 10665  ax-pre-sup 10666

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4888  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-tr 5143  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7586  df-2nd 7700  df-wrecs 7963  df-recs 8024  df-rdg 8062  df-er 8305  df-en 8541  df-dom 8542  df-sdom 8543  df-sup 8952  df-inf 8953  df-pnf 10728  df-mnf 10729  df-xr 10730  df-ltxr 10731  df-le 10732  df-sub 10923  df-neg 10924  df-div 11349  df-nn 11688  df-2 11750  df-3 11751  df-n0 11948  df-z 12034  df-uz 12296  df-rp 12444  df-fl 13224  df-mod 13300  df-seq 13432  df-exp 13493  df-cj 14519  df-re 14520  df-im 14521  df-sqrt 14655  df-abs 14656  df-dvds 15669  df-gcd 15907

This theorem is referenced by:  flt4lem3  40012  flt4lem5a  40016  flt4lem5b  40017  flt4lem5c  40018  flt4lem5d  40019  flt4lem5e  40020