Theorem flt4lem1 41389

Description: Satisfy the antecedent used in several pythagtrip 16766 lemmas, with 𝐴, 𝐶 coprime rather than 𝐴, 𝐵. (Contributed by SN, 21-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
flt4lem1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
flt4lem1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
flt4lem1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
flt4lem1.1	⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝐴)
flt4lem1.2	⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐶) = 1)
flt4lem1.3	⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2))

Assertion

Ref	Expression
flt4lem1	⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)))

Proof of Theorem flt4lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flt4lem1.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		flt4lem1.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
3		flt4lem1.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
4	1, 2, 3	3jca 1128	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ))
5		flt4lem1.3	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2))
6		flt4lem1.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐶) = 1)
7	1, 2, 3, 6, 5	fltabcoprm 41385	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) = 1)
8		flt4lem1.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝐴)
9	7, 8	jca 512	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴))
10	4, 5, 9	3jca 1128	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148  (class class class)co 7408  1c1 11110   + caddc 11112  ℕcn 12211  2c2 12266  ↑cexp 14026   ∥ cdvds 16196   gcd cgcd 16434

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-rp 12974  df-fl 13756  df-mod 13834  df-seq 13966  df-exp 14027  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-dvds 16197  df-gcd 16435

This theorem is referenced by:  flt4lem3  41391  flt4lem5a  41395  flt4lem5b  41396  flt4lem5c  41397  flt4lem5d  41398  flt4lem5e  41399