Theorem flt4lem1 42616

Description: Satisfy the antecedent used in several pythagtrip 16852 lemmas, with 𝐴, 𝐶 coprime rather than 𝐴, 𝐵. (Contributed by SN, 21-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
flt4lem1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
flt4lem1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
flt4lem1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
flt4lem1.1	⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝐴)
flt4lem1.2	⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐶) = 1)
flt4lem1.3	⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2))

Assertion

Ref	Expression
flt4lem1	⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)))

Proof of Theorem flt4lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flt4lem1.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		flt4lem1.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
3		flt4lem1.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
4	1, 2, 3	3jca 1128	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ))
5		flt4lem1.3	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2))
6		flt4lem1.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐶) = 1)
7	1, 2, 3, 6, 5	fltabcoprm 42612	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) = 1)
8		flt4lem1.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝐴)
9	7, 8	jca 511	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴))
10	4, 5, 9	3jca 1128	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5119  (class class class)co 7403  1c1 11128   + caddc 11130  ℕcn 12238  2c2 12293  ↑cexp 14077   ∥ cdvds 16270   gcd cgcd 16511

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-riota 7360  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-om 7860  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8717  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-sup 9452  df-inf 9453  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11466  df-neg 11467  df-div 11893  df-nn 12239  df-2 12301  df-3 12302  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12851  df-rp 13007  df-fl 13807  df-mod 13885  df-seq 14018  df-exp 14078  df-cj 15116  df-re 15117  df-im 15118  df-sqrt 15252  df-abs 15253  df-dvds 16271  df-gcd 16512

This theorem is referenced by:  flt4lem3  42618  flt4lem5a  42622  flt4lem5b  42623  flt4lem5c  42624  flt4lem5d  42625  flt4lem5e  42626